(共23张PPT)
二次函数y＝x2与y＝－x2的图象与性质
3.3.1
鲁教版
九年级上
第三章
二次函数
D
D
1
2
3
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C
y1＜y2
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B
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B
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关于二次函数y＝x2的图象，下列说法中不正确的是( )
A．图象经过点(0，0)
B．图象的顶点为点(0，0)
C．图象的最低点是点(0，0)
D．图象的最高点是点(0，0)
1
D
关于二次函数y＝－x2的图象，下列说法：①图象的开口向下；②图象的对称轴是直线x＝0；③图象的顶点在原点；④图象的最高点是原点．其中，正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D
2
下列关于抛物线y＝x2和y＝－x2的异同点说法错误的是( )
A．抛物线y＝x2和y＝－x2有共同的顶点和对称轴
B．抛物线y＝x2和y＝－x2的开口方向相反
C．抛物线y＝x2和y＝－x2关于x轴成轴对称
D．点A(－3，9)在抛物线y＝x2上，也在抛物线y＝－x2上
3
D
【点拨】点A(－3，9)在拋物线y＝x2上，但不在拋物线y＝－x2上．
已知正方形的边长为x(cm)，则它的面积y(cm2)与边长x(cm)的函数关系图象为( )
4
C
【点拨】根据正方形的面积公式可知，函数关系式为y＝x2，又x＞0，故选C.
5
D
已知点(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数y＝－x2的图象上的两点，当x16
y1＜y2
【2019·益阳】下列函数中，y总随x的增大而减小的是( )
A．y＝4x
B．y＝－4x
C．y＝x－4
D．y＝x2
B
7
【2020·嘉兴】已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是( )
A．当n－m＝1时，b－a有最小值
B．当n－m＝1时，b－a有最大值
C．当b－a＝1时，n－m无最小值
D．当b－a＝1时，n－m有最大值
8
B
已知a＜－1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数y＝x2的图象上，则( )
A．y1＜y2＜y3
B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1
D．y2＜y1＜y3
9
C
【点拨】因为a＜－1，所以a－1＜a＜a＋1＜0，即这三个点都在函数y＝x2图象的对称轴左侧．又因为在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以y3＜y2＜y1，故选C.
如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与二次函数y2＝x2的图象交于A(－1，1)和B(2，4)两点，则当y1A．x<－1
B．x>2
C．－1D．x<－1或x>2
10
D
函数y＝－x2(－2≤x≤1)的最大值为________，最小值为________.
11
0
－4
【点拨】本题易忽略在取值范围中当x＝0时取得最大值，最大值为0，而不是当x＝1时取得最大值，最大值为－1.
12
(2)当k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标．当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？
(3)当k为何值时，二次函数有最大值？最大值是多少？当x
为何值时，y的值随x值的增大而减小？
点M(－3，9)在二次函数y＝x2的图象上吗？请分别写出点M关于x轴的对称点N，关于y轴的对称点P，关于原点的对称点Q的坐标．点N，P，Q在二次函数y＝x2的图象上吗？在二次函数y＝－x2的图象上吗？
13
10
解：∵当x＝－3时，y＝(－3)2＝9，
∴点M在二次函数y＝x2的图象上．
由题意，得点N(－3，－9)，点P(3，9)，点Q(3，－9)，
∴点P在二次函数y＝x2的图象上，N，Q两点在二次函数y＝－x2的图象上．
14
已知点A(1，a)在抛物线y＝x2上．
(1)求点A的坐标．
解：把点A(1，a)的坐标代入y＝x2，
得a＝1，所以点A的坐标为(1，1)．
(2)在x轴上是否存在点P，使得△OAP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
已知抛物线y＝－x2与直线y＝3x＋m都经过点(2，n)．
(1)画出函数y＝－x2的图象，并求出m，n的值．
15
解：函数y＝－x2的图象如图所示．?
∵抛物线y＝－x2与直线y＝3x＋m
都经过点(2，n)，
∴n＝－22，n＝3×2＋m，
∴n＝－4，m＝－10.
(2)两者是否存在另一个交点？若存在，请求出另一个交点的坐标；若不存在，请说明理由．(共66张PPT)
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第三章
二次函数
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1
已知函数y＝(m＋3)xm2＋4m－3＋5是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)当m为何值时，该函数图象的开口向上？
解：∵函数图象的开口向上，
∴m＋3>0.∴m>－3.
∴m＝1.
∴当m＝1时，该函数图象的开口向上．
(3)当m为何值时，该函数有最大值？
解:∵函数有最大值，
∴m＋3<0，
∴m<－3.
∴m＝－5.
∴当m＝－5时，该函数有最大值．
2
【2020·德州】二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是( )
A．若(－2，y1)，(5，y2)是函数图象上的两点，则y1＞y2
B．3a＋c＝0
C．方程ax2＋bx＋c＝－2有两个不相等的实数根
D．当x≥0时，y随x的增大而减小
D
【点拨】∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点(－2，y1)与(4，y1)是对称点．
∵当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴y1>y2，故A选项正确；
把点(－1，0)，(3，0)的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋c，
得a－b＋c＝0①，9a＋3b＋c＝0②，
①×3＋②得12a＋4c＝0，
∴3a＋c＝0，故B选项正确；
当y＝－2时，ax2＋bx＋c＝－2，
由图象得纵坐标为－2的点有2个，
∴方程ax2＋bx＋c＝－2有两个不相等的实数根，
故C选项正确；
∵二次函数图象的对称轴为直线x＝1，a＜0，
∴当x≤1时，y随x的增大而增大；
当x≥1时，y随x的增大而减小．故D选项错误．故选D.
3
【2020·湘西州】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：
①abc＞0；
②b－2a＜0；
③a－b＋c＞0；
④a＋b＞n(an＋b)，(n≠1)；
⑤2c＜3b.
正确的是( )
A．①③
B．②⑤
C．③④
D．④⑤
D
【点拨】①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，
故①错误；
②由于a＜0，所以－2a＞0.又b＞0，所以b－2a＞0，故②错误；
③当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，故③错误；
④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a＋b＋c，而当x＝n时，y＝an2＋bn＋c，
所以a＋b＋c＞an2＋bn＋c，故a＋b＞an2＋bn，即a＋b＞n(an＋b)，故④正确；
4
【中考·乐山】已知关于x的一元二次方程mx2＋(1－5m)x－5＝0(m≠0)．
(1)求证：无论m为何非零实数，此方程总有两个实数根．
证明：∵Δ＝(1－5m)2－4m×(－5)
＝1＋25m2－10m＋20m
＝25m2＋10m＋1
＝(5m＋1)2≥0，
∴无论m为何非零实数，此方程总有两个实数根；
(2)若抛物线y＝mx2＋(1－5m)x－5与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，且|x1－x2|＝6，求m的值．
(3)若m＞0，点P(a，b)与Q(a＋n，b)在(2)中的抛物线上(点P，Q不重合)，求代数式4a2－n2＋8n的值．
5
如图，有长为24
m的栅栏，一面利用墙(墙的最大可用长度为10
m)，围成中间隔有一道栅栏的长方形鸡舍(栅栏厚度不计)．设鸡舍的一边AB为x
m，面积为S
m2.
(1)求S与x的函数表达式(不必写出x的取值范围)；
解：∵AB＝x
m，
∴BC＝(24－3x)
m，
∴S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x.
(2)如果围成面积为45
m2的鸡舍，AB的长是多少米？
(3)能围成面积比45
m2更大的鸡舍吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．
6
跳绳时，绳甩到最高处时的形状可近似看作抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距(A与B间的水平距离)为6
m，到地面的距离AO和BD均为0.9
m，身高为1.4
m的小丽站在距点O的水平距离为1
m的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线对应的
函数表达式为y＝ax2＋bx＋0.9.
(1)求该抛物线对应的函数表达式(不考虑自变量的取值范围)；
(2)如果小华站在O，D之间，且离点O的距离为3
m，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；
解：把x＝3代入y＝－0.1x2＋0.6x＋0.9，
得y＝－0.1×32＋0.6×3＋0.9＝1.8.
即小华的身高是1.8
m.
(3)如果身高为1.4
m的小丽站在O，D之间，且离点O的距离为t
m，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象，写出t的取值范围．
解：当y＝1.4时，－0.1x2＋0.6x＋0.9＝1.4.
解得x1＝1，x2＝5.
∴1＜t＜5.
7
8
物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q(只)与第x天的关系为q＝－2x2＋80x－200
(6≤x≤30，且x为整数)，已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．
(1)直接写出该药店该月前5天的销售价格p与x和销量q与x之间的函数关系式；
解：p＝x＋1，1≤x≤5且x为整数；
q＝5x＋65，1≤x≤5且x为整数．
(2)求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W(元)与x的函数关系式，并判断第几天的利润最大；
当1≤x≤5且x为整数时，销售价格、销量均随x的增大而增大，
故当x＝5时，W有最大值，最大值为495；
当6≤x≤30且x为整数时，
W＝－x2＋40x－100＝－(x－20)2＋300，
故当x＝20时，W有最大值，最大值为300.
由495＞300，可知第5天的利润最大．
(3)物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m倍的罚款，若罚款金额不低于2
000元，则m的取值范围为________．
9
【2020·潍坊】某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y(桶)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？(利润＝销售价－进价)
解：设药店每天获得的利润为w元，由题意得w＝(x－50)(－2x＋220)＝－2(x－80)2＋1
800，
∵－2＜0，
∴当x＝80时，w有最大值，此时最大值是1
800，
故每桶消毒液的销售价定为80元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是1
800元．
10
如图，线段AB的长为2，点C为AB上一个动点(不与点A，B重合)，分别以AC，BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，求DE长的最小值．
【2020·青岛】某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4
m，宽AB＝3
m，抛物线的最高点E到BC的距离为4
m.
(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2＋m(k≠0)表示．求该抛物线的函数表达式．
11
(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM＝2
m，求每个B型活动板房的成本是多少(每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本＋一扇窗户FGMN的成本)．
(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？
12
B
13
【2020·益阳】某公司新产品上市30天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是________元．
1800
【点拨】设日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为y＝kt，
将点(30，60)的坐标代入，得30k＝60，得k＝2，即日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为y＝2t.
当0＜t≤20时，设单件产品的销售利润w与上市时间t之间的函数关系式为w＝at，
将点(20，30)的坐标代入，得20a＝30，得a＝1.5，即当0＜t≤20时，单件产品的销售利润w与上市时间t之间的函数关系式为w＝1.5t，
当20＜t≤30时，单件产品的销售利润w与上市时间t之间的函数关系式为w＝30，
设日销售利润为W元，当0＜t≤20时，W＝1.5t×2t＝3t2，
故当t＝20时，W取得最大值，此时W＝1
200；
当20＜t≤30时，W＝30×2t＝60t，
故当t＝30时，W取得最大值，此时W＝1
800，
综上所述，最大日销售利润为1
800元．
10
14
(2)如图②，将抛物线F1先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC.
①求点D的坐标；
②判断△BCD的形状，并说明理由．
(3)在(2)的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10
15
【中考·安徽】如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．
(1)求a，b的值；
(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6)，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求出S的最大值．(共27张PPT)
二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
3.4.2
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九年级上
第三章
二次函数
B
A
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A
A
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C
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D
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D
A
C
y1＞y2＞y3
13
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答
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15
二次函数y＝－(x－1)2的图象大致是( )
1
B
【中考·兰州】在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2的是( )
A．y＝(x＋2)2
B．y＝2x2－2
C．y＝－2x2－2
D．y＝2(x－2)2
A
2
对于抛物线y＝2(x－1)2，下列说法正确的有( )
①开口向上；
②顶点坐标为(0，－1)；
③对称轴为直线x＝1；
④与x轴的交点坐标为(1，0)．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3
C
已知二次函数y＝3(x＋2)2与y＝3(x－2)2，下列有关函数的图象说法错误的是( )
A．形状相同，开口方向相反
B．对称轴关于y轴对称
C．顶点关于y轴对称
D．关于y轴对称
4
A
【点拨】因为两个二次函数中a的值都为3，所以图象的开口方向都向上，故选A.
关于二次函数y＝－2(x＋3)2，下列说法正确的是( )
A．其图象的开口向上
B．其图象的对称轴是直线x＝3
C．其图象的顶点坐标是(0，3)
D．当x＞－3时，y随x的增大而减小
5
D
已知抛物线y＝－(x＋1)2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x1＜x2＜－1，那么下列结论成立的是( )
A．y1＜y2＜0
B．0＜y1＜y2
C．0＜y2＜y1
D．y2＜y1＜0
6
A
若二次函数y＝(x－m)2，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是( )
A．m＝3
B．m＞3
C．m≥3
D．m≤3
C
7
【点拨】∵二次函数y＝(x－m)2的二次项系数是1，∴该二次函数的图象开口向上，其对称轴是直线x＝m.∵当x≤3时，y随x的增大而减小，∴m≥3.故选C.
【中考·黄冈】当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为( )
A．－1
B．2
C．0或2
D．－1或2
8
D
【点拨】∵当x＝0或2时，函数y＝x2－2x＋1＝(x－1)2的值为1，∴①当x≤0时，y有最小值1；②当0＜x＜2时，y有最小值0；③当x≥2时，y有最小值1.∵当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，∴a＋1＝0或a＝2.∴a＝－1或a＝2.
【中考·海南】把抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x＋2)2，则这个平移过程正确的是( )
A．向左平移2个单位长度
B．向右平移2个单位长度
C．向上平移2个单位长度
D．向下平移2个单位长度
9
A
把函数y＝－3x2的图象沿x轴向左平移5个单位长度，得到的图象的表达式为( )
A．y＝－3x2＋5
B．y＝－3x2－5
C．y＝－3(x＋5)2
D．y＝－3(x－5)2
10
C
11
y1＞y2＞y3
易错警示：在比较函数值的大小时，首先要保证所有含所比较函数值的点在对称轴的同一侧，若不在对称轴的同一侧，通过抛物线的对称性将点统一到同一侧后再进行大小比较．
12
已知抛物线y＝a(x－h)2的对称轴为直线x＝－2，且过点(1，－3)．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)画出函数的图象．
解：函数图象如图所示．
(3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值(或最小值)？
解：当x<－2时，y随x的增大而增大；当x＝－2时，函数有最大值．
13
(2)写出抛物线y＝a(x－h)2的对称轴及顶点坐标．
14
如图，将抛物线y＝x2向右平移a个单位长度后，顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形．
(1)求a的值．
解：依题意将抛物线y＝x2平移后为抛物线y＝(x－a)2，即y＝x2－2ax＋a2.
∵OA＝OB，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，a2)，∴a2＝a.
∵a≠0，∴a＝1.
(2)图中的抛物线上是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求S△ABC；若不存在，请说明理由．
15
如图，已知二次函数y＝(x＋2)2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B.
(1)求出点A，点B的坐标．
解：在y＝(x＋2)2中，令y＝0，
得x＝－2；令x＝0，得y＝4.
∴点A，点B的坐标分别为(－2，0)，(0，4)．
(2)求S△AOB.
(3)求出抛物线的对称轴．
解：抛物线的对称轴为直线x＝－2.
(4)在对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：存在．①以OA和OB为邻边可作平行四边形PAOB，易求得P(－2，4)；
②以AB和OB为邻边可作平行四边形PABO，
易求得P(－2，－4)．
∴点P的坐标为(－2，4)或(－2，－4)．(共28张PPT)
利用二次函数求几何图形面积的最值问题
3.6.1
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第三章
二次函数
B
B
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D
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二次函数y＝x2－4x＋c的最小值为0，则c的值为( )
A．2
B．4
C．－4
D．16
1
B
B
2
已知y＝－x(x＋3－a)＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，若y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值情况是( )
A．a＝9
B．a＝5
C．a≤9
D．a≤5
3
D
二次函数y＝2x2－6x＋1，当0≤x≤5时，y的取值范围是________________．
4
5
－4≤m≤－2
若二次函数y＝x2＋ax＋5的图象关于直线x＝－2对称，且当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，则m的取值范围是______________．
已知一个直角三角形两直角边长之和为20
cm，则这个直角三角形的最大面积为( )
A．25
cm2
B．50
cm2
C．100
cm2
D．不确定
6
B
用一条长为40
cm的绳子围成一个面积为a
cm2的长方形，a的值不可能为( )
A．20
B．40
C．100
D．120
D
7
【中考·沈阳】如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开，已知篱笆的总长为900
m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝________m时，矩形土地ABCD的面积最大．
8
150
【中考·金华】在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB＋BC＝10
m，拴住小狗的10
m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S
m2.
(1)如图①，若BC＝4
m，
则S＝________；
9
88π
(2)如图②，现考虑在(1)中矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一等边三角形CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为________．
【中考·福建】如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
(1)若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
10
解：设AB＝m米，则AD＝BC＝(100－2m)米，
根据题意得m(100－2m)＝450，解得m1＝5，m2＝45，
当m＝5时，100－2m＝90＞20，不合题意，舍去；
当m＝45时，100－2m＝10.
答：AD的长为10米．
(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值．
如图，点E，F，G，H分别在菱形ABCD的四边上，BE＝BF＝DG＝DH，连接EF，FG，GH，HE得到四边形EFGH，∠A＝60°，AB＝a.
(1)设BE＝x，求HE的长度(用含a，x的代数式表示)．
11
解：在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝60°，
∵BE＝BF＝DG＝DH，∴AE＝AH.
∴△AEH为等边三角形．
∴AE＝AH＝HE.
∵AB＝a，BE＝x，
∴HE＝AE＝a－x.
(2)求矩形EFGH面积的最大值．
12
如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12
mm，BC＝24
mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2
mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4
mm/s
的速度移动．已知P，Q分别从A，B同时出发，求△PBQ的面积S(mm2)关于出发时间t(s)的函数表达式，并求出t为何值时，△PBQ的面积最大，
最大值是多少？
【2020·无锡】有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、
40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．
(1)当x＝5时，求种植总成本y；
13
(2)求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
解：由题易知EF＝(20－2x)米，EH＝(30－2x)米，
则y＝(30＋30－2x)·x·20＋(20＋20－2x)·x·60＋(30－2x)(20－2x)·40＝－400x＋24
000(0＜x＜10)．
(3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，求三种花卉的最低种植总成本．
10(共23张PPT)
确定二次函数的表达式
3.5
鲁教版
九年级上
第三章
二次函数
y＝x2＋x
B
1
2
3
4
5
A
D
6
7
8
C
A
答
案
呈
现
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C
10
11
B
①③④
已知二次函数y＝ax2＋bx，阅读右面的表格信息，由此可知y与x的函数表达式是________.
1
y＝x2＋x
若一条抛物线和抛物线y＝－2x2的形状相同，开口方向也相同，顶点坐标是(－1，2)，则该抛物线的表达式为( )
A．y＝－2(x－1)2＋2
B．y＝－2(x＋1)2＋2
C．y＝－(2x＋1)2＋2
D．y＝－(2x－1)2＋2
B
2
3
A
若二次函数y＝x2＋bx＋5，配方后为y＝(x－3)2＋k，则b与k的值分别为( )
A．－6，－4
B．－6，4
C．6，4
D．6，－4
4
A
5
C
已知一个二次函数，当x＝1时，y有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的表达式是( )
A．y＝－2x2－x＋3
B．y＝－2x2＋4
C．y＝－2x2＋4x＋8
D．y＝－2x2＋4x＋6
6
D
【点拨】∵二次函数图象的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，∴可设该二次函数的表达式为y＝－2(x－h)2＋k.∵当x＝1时，y有最大值8，∴该二次函数图象的顶点坐标为(1，8)，∴h＝1，k＝8，∴该二次函数的表达式为y＝－2(x－1)2＋8，即y＝－2x2＋4x＋6.故选D.
C
7
如图，函数y＝－x2＋bx＋c的部分图象与x轴、y轴的交点分别为A(1，0)，B(0，3)，函数图象的对称轴是直线x＝－1，有下列结论：
①该函数的表达式为y＝－x2－2x＋3；
②当x＝－1时，函数有最大值4；
③当x＞－4时，y随x的增大而增大；
④该函数的图象与x轴的另一个交点是C(5，0)．
其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8
B
【2020·泰安】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的y与x的部分对应值如下表：
下列结论：
①a＞0；
②当x＝－2时，函数最小值为－6；
③若点(－8，y1)，点(8，y2)在二次函数图象上，则y1＜y2；
④方程ax2＋bx＋c＝－5有两个不相等的实数根．
9
其中，正确结论的序号是________(把所有正确结论的序号都填上)．
①③④
10
【2020·天门】把抛物线C1：y＝x2＋2x＋3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2.
(1)直接写出抛物线C2的函数表达式；
解：抛物线C2的函数表达式为y＝(x－3)2－3.
(2)动点P(a，－6)能否在抛物线C2上？请说明理由；
解：动点P(a，－6)不在抛物线C2上．
理由如下：
∵抛物线C2的函数表达式为y＝(x－3)2－3，
∴函数的最小值为－3.
∵－6＜－3，
∴动点P(a，－6)不在抛物线C2上．
(3)若点A(m，y1)，B(n，y2)都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．
解：∵抛物线C2的函数表达式为y＝(x－3)2－3，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝3，
∴当x＜3时，y随x的增大而减小．
∵点A(m，y1)，B(n，y2)都在抛物线C2上，且m＜n＜0＜3，∴y1＞y2.
11
【中考·菏泽】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点．
(1)试求抛物线的函数表达式；
(2)记抛物线的顶点为D，求△BCD的面积；(共37张PPT)
二次函数与一元二次方程之间的关系
3.7.1
鲁教版
九年级上
第三章
二次函数
B
C
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2
3
4
5
C
6
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D
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C
B
A
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答
案
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观察图象(如图)填空：
(1)二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有________个交点，则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式Δ________0.
1
两
>
(2)二次函数y＝x2－6x＋9的图象与x轴有________个交点，则一元二次方程x2－6x＋9＝0的根的判别式Δ________0.
(3)二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴________交点，则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式Δ________0.
一
＝
没有
<
【2020·荆门】若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过第四象限的点(1，－1)，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( )
A．有两个大于1的不相等实数根
B．有两个小于1的不相等实数根
C．有一个大于1另一个小于1的实数根
D．没有实数根
C
2
【点拨】由抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过第四象限的点(1，－1)，画出函数的图象如图．
由图象可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是有一个大于1另一个小于1的实数根．故选C.
【2019·梧州】已知m＞0，关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0的解为x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是( )
A．x1＜－1＜2＜x2
B．－1＜x1＜2＜x2
C．－1＜x1＜x2＜2
D．x1＜－1＜x2＜2
3
A
【点拨】关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0的解x1，x2可以看作二次函数y＝(x＋1)(x－2)的图象与直线y＝m(m＞0)的交点的横坐标．
∵二次函数y＝(x＋1)(x－2)的图象与x轴的交点坐标为(－1，0)，(2，0)，
∴当m＞0时，直线y＝m与抛物线的交点位于x轴上方，此时交点的横坐标x＜－1或x＞2.
又∵x1＜x2，∴x1＜－1＜2＜x2.
4
B
【2019·荆门】抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
5
C
【2019·杭州】在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝(x＋a)(x＋b)的图象与x轴有M个交点，函数y＝(ax＋1)(bx＋1)的图象与x轴有N个交点，则( )
A．M＝N－1或M＝N＋1
B．M＝N－1或M＝N＋2
C．M＝N或M＝N＋1
D．M＝N或M＝N－1
6
C
【点拨】∵y＝(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，a≠b，
∴(a＋b)2－4ab＝(a－b)2＞0.∴函数y＝(x＋a)(x＋b)的图象与x轴有2个交点，即M＝2.∵函数y＝(ax＋1)(bx＋1)＝abx2＋(a＋b)x＋1，∴当ab≠0时，(a＋b)2－4ab＝(a－b)2＞0，此时函数y＝(ax＋1)(bx＋1)的图象与x轴有2个交点，即N＝2，则M＝N；当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，此时函数y＝(ax＋1)(bx＋1)＝bx＋1为一次函数，其图象与x轴有1个交点，即N＝1，则M＝N＋1.综上可知，M＝N或M＝N＋1.
【2020·昆明】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B(0，－2)，点A(－1，m)在抛物线上，则下列结论中错误的是( )
D
7
【2020·毕节】已知y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x＝2.若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，且x1＜x2，－1＜x1＜0，则下列说法正确的是( )?
A．x1＋x2＜0
B．4＜x2＜5
C．b2－4ac＜0
D．ab＞0
8
B
【中考·徐州】若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( )
A．b＜1且b≠0
B．b＞1
C．0＜b＜1
D．b＜1
9
A
【点拨】根据函数的图象与坐标轴有三个交点，可得(－2)2－4b＞0，解得b＜1.但本题易忽略与x轴的交点不能在原点上，即b≠0，否则将与坐标轴只有两个交点．故选A.
【2020·眉山】如图①，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为(3，0)，点C坐标为(0，3)．
(1)求抛物线的表达式．
10
(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标．
(3)如图②，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：存在．令y＝0，则－x2＋2x＋3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3.∴点A(－1，0)．
∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴顶点M的坐标为(1，4)，∵点M(1，4)，点C(0，3)，
∴直线MC的表达式为y＝x＋3.
如图②，设直线MC与x轴交于点E，过点N作NQ⊥MC于Q，连接AN.∴点E(－3，0)，∴DE＝4＝MD，∴∠NMQ＝45°.
11
(2)求抛物线的对称轴；
解：∵点A与点B关于直线x＝1对称，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
12
【2019·荆州】若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的顶点在一次函数y＝kx＋t(k≠0)的图象上，则称y＝ax2＋bx＋c(a≠0)为y＝kx＋t(k≠0)的伴随函数，如：y＝x2＋1是y＝x＋1的伴随函数．
(1)若y＝x2－4是y＝－x＋p的伴随函数，求直线y＝－x＋p与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若函数y＝mx－3(m≠0)的伴随函数y＝x2＋2x＋n的图象与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．
13
(2)当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．(共29张PPT)
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
3.4.3
鲁教版
九年级上
第三章
二次函数
D
D
1
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C
C
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C
A
答
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B
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11
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D
2
D
13
14
答
案
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【2020·哈尔滨】将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为( )
A．y＝(x＋3)2＋5
B．y＝(x－3)2＋5
C．y＝(x＋5)2＋3
D．y＝(x－5)2＋3
1
D
【2020·陕西】在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－(m－1)x＋m(m＞1)沿y轴向下平移3个单位长度．则平移后得到的抛物线的顶点一定在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
D
2
【2019·衢州】二次函数y＝(x－1)2＋3图象的顶点坐标是( )
A．(1，3)
B．(1，－3)
C．(－1，3)
D．(－1，－3)
3
A
对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，下列说法正确的是( )
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝－1
C．顶点坐标是(1，2)
D．与x轴有两个交点
4
C
【点拨】y＝(x－1)2＋2的图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，2)，与x轴没有交点，故选C.
【中考·益阳】若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为( )
A．m＞1
B．m＞0
C．m＞－1
D．－1＜m＜0
5
B
下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴，且经过点(0，1)的是( )
A．y＝(x－2)2＋1
B．y＝(x＋2)2＋1
C．y＝(x－2)2－3
D．y＝(x＋2)2－3
6
C
二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图象经过( )
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、三、四象限
C
7
【点拨】由图象可知抛物线的对称轴x＞0，
∴m＜0.顶点在第四象限，∴n＜0.故y＝mx＋n的图象经过第二、三、四象限．
【2020·甘孜州】如图，二次函数y＝a(x＋1)2＋k的图象与x轴交于A(－3，0)，B两点，下列说法错误的是( )
A．a＜0
B．图象的对称轴为直线x＝－1
C．点B的坐标为(1，0)
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
8
D
【点拨】观察图象可知a＜0，由抛物线的表达式可知对称轴为直线x＝－1，∵A(－3，0)，A，B关于直线x＝－1对称，∴B(1，0)，故A，B，C正确．故选D.
【2020·青岛】抛物线y＝2x2＋2(k－1)x－k(k为常数)与x轴交点的个数是________．
9
2
【点拨】∵抛物线y＝2x2＋2(k－1)x－k(k为常数)，
∴当y＝0时，0＝2x2＋2(k－1)x－k，
∴Δ＝[2(k－1)]2－4×2×(－k)＝4k2＋4＞0，
∴0＝2x2＋2(k－1)x－k有两个不相等的实数根，
∴抛物线y＝2x2＋2(k－1)x－k(k为常数)与x轴有两个交点．
10
D
【点拨】结合二次函数的增减性及图象的开口方向、对称轴进行解答即可．
11
【2019·泰州】如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为(4，－3)，该图象与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1.
(1)求该二次函数的表达式；
(2)求tan
∠ABC.
12
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解：二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－5)．
13
【2020·绍兴】如图①，排球场长为18
m，宽为9
m，网高为2.24
m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9
m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88
m，即BA＝2.88
m，这时水平距离OB＝7
m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图②.
(1)若球向正前方运动(即x轴垂直于底线)，求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式(不必写出x的取值范围)．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．
解:如图，过点P作底线的平行线PQ，
过点O作边线的平行线OQ，两线交于点Q，
连接OP.则∠OQP＝90°.
14
如图，已知抛物线y＝a(x－h)2＋k与x轴的一个交点为A(3，0)，与y轴的交点为B(0，3)，对称轴为直线x＝1.
(1)求抛物线对应的函数表达式；
【点拨】利用待定系数法求出抛物线对应的函数表达式．
(2)已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标．
【点拨】根据等腰三角形的两腰相等，利用分类讨论思想分成三种情况：①MA＝MB，②AB＝AM，③AB＝BM，分别对这三种情况进行讨论．(共44张PPT)
二次函数的图象和性质的九种常见类型
阶段核心归类
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九年级上
第三章
二次函数
1
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3
4
5
6
7
8
答
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【2020·达州】如图，直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2＋bx＋c交于A，B两点，则y＝ax2＋(b－k)x＋c的图象可能是( )
1
B
【点拨】设y＝y2－y1，
∵y1＝kx，y2＝ax2＋bx＋c，
∴y＝ax2＋(b－k)x＋c，
由图象可知，在点A和点B之间，y＞0，在点A的左侧或点B的右侧，y＜0，
故选项B符合题意，选项A，C，D不符合题意．故选B.
2
(2)若抛物线经过点(2k，y1)和点(2，y2)，且y1＞y2，求k的取值范围；
【2020·安徽】在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)，直线y＝x＋m经过点A，抛物线y＝ax2＋bx＋1恰好经过A，B，C三点中的两点．
(1)判断点B是否在直线y＝x＋m上，并说明理由；
3
解：点B在直线y＝x＋m上．
理由如下：
∵直线y＝x＋m经过点A(1，2)，
∴2＝1＋m，解得m＝1，
∴直线的表达式为y＝x＋1.
把x＝2代入y＝x＋1得y＝3，
∴点B(2，3)在直线y＝x＋m上．
(2)求a，b的值；
(3)平移抛物线y＝ax2＋bx＋1，使其顶点仍在直线y＝x＋m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
4
【中考·杭州】设二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)(a，b是常数，a≠0)．
(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．
解：令y＝0，
则0＝ax2＋bx－(a＋b)，
∵Δ＝b2－4a[－(a＋b)]＝b2＋4ab＋4a2＝(2a＋b)2≥0，
∴方程有两个不相等的实数根或两个相等的实数根．
∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个．
(2)若该二次函数图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的两个，求该二次函数的表达式．
(3)若a＋b＜0，点P(2，m)(m＞0)在该二次函数图象上，求证：a＞0.
证明：当x＝2时，y＝m，
∴m＝4a＋2b－(a＋b)＝3a＋b＞0①，
∵a＋b＜0.
∴－a－b＞0②，
①＋②得2a＞0，∴a＞0.
【中考·牡丹江】如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点，点D为抛物线的顶点，连接BD，点H为BD的中点．请解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
5
(2)在y轴上找一点P，使PD＋PH的值最小，则PD＋PH的最小值为________．
6
【中考·郴州】设a，b是任意两个实数，用max{a，b}表示a，b两数中较大者，例如：max{－1，－1}＝－1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4.参照上面的材料，解答下列问题：
(1)max{5，2}＝________，max{0，3}＝________．
5
3
(2)若max{3x＋1，－x＋1}＝－x＋1，求x的取值范围．
解：∵max{3x＋1，－x＋1}＝－x＋1，
∴3x＋1≤－x＋1，解得x≤0.
(3)求函数y＝x2－2x－4与y＝－x＋2的图象的交点坐标．函数y＝x2－2x－4的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝－x＋2的图象，并根据图象直接写出max{－x＋2，x2－2x－4}的最小值．
7
【2020·雅安】已知二次函数y＝x2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)．
(1)求二次函数的表达式及A点坐标．
(2)D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标．
解：如图，连接AD，CD.
则当点D到直线AC的距离取得最大值时，
△DAC的面积最大．
(3)M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M，N，B，O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标(不写求解过程)．
解：存在．点N的坐标为(－2，－3)或(0，－3)或(2，5)．
8
【2020·娄底】如图，抛物线经过点A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)．
(1)求抛物线的表达式．
解：由题意可设抛物线的表达式为
y＝a(x＋3)(x－1)，把C(0，3)的坐标代入，
可得a＝－1，∴y＝－(x＋3)(x－1)＝－x2－2x＋3.
∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3.
(2)点P(m，n)是抛物线上的动点，当－3＜m＜0时，试确定m的值，使得△PAC的面积最大．
(3)抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足DA2－DC2＝6，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
解：存在．由A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，可得OA＝3，OB＝1，OC＝3，BA＝4.
则易得∠CAO＝45°.
如图②，连接BC，则BC2＝OB2＋OC2＝10，
∴BA2－BC2＝6.
过点B作AC的垂线交抛物线于点D，交AC于点H，连接DC.
则∠DBA＝∠CAO＝45°，易得
DA2－DC2＝HA2－HC2＝BA2－BC2＝6，
∵∠CAO＝∠DBA，
∴点H在AB的垂直平分线上，即点H在抛物线的对称轴直线x＝－1上，
∴点D与点C关于抛物线的对称轴直线x＝－1对称．
∵C(0，3)，∴点D的坐标为(－2，3)．
9
②求此函数的最大值．
(2)已知线段AB的两个端点坐标分别为A(2，2)，B(4，2)，当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围．
(3)当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，求n的取值范围．(共27张PPT)
利用建立坐标系解“抛物线”型问题
3.6.3
鲁教版
九年级上
第三章
二次函数
B
B
1
2
3
4
5
6
7
8
20s
答
案
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9
D
B
4
1
B
【点拨】如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN＝4米，EF＝14米，BC＝10米，DO＝1.5米．
B
2
3
20
s
【2019·襄阳】如图，若被击打的小球飞行高度h(m)与飞行时间t(s)之间具有的关系为h＝20t－5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为________s.
4
4
【2019·临沂】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(m)与小球运动时间t(s)之间的函数关系如图所示．给出下列结论：
①小球在空中经过的路程是40
m；
②小球抛出3
s后，速度越来越快；
③小球抛出3
s时速度为0；
④小球的高度h＝30
m时，t＝1.5
s.
其中正确的是( )
A．①④
B．①②
C．②③④
D．②③
5
D
【中考·北京】跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(m)与水平距离x(m)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，
水平距离为( )
A．10
m
B．15
m
C．20
m
D．22.5
m
6
B
7
(1)求该抛物线对应的函数表达式，并计算出
拱顶D到地面OA的距离．
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6
m，宽为4
m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？
(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8
m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
【2020·台州】用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图①)．
科学原理：如图②，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H(单位：cm)，如果在离水面竖直距离为h(单位：cm)的地方开大小合适的小孔，那么
从小孔射出水的射程(水流落地点
离小孔的水平距离)s(单位：cm)
与h的关系为s2＝4h(H－h)．
8
应用思考：现用高度为20
cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离为h
cm处开一个小孔．
(1)写出s2与h的关系式，并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
解：∵s2＝4h(H－h)，
∴当H＝20时，s2＝4h(20－h)＝－4(h－10)2＋400.
∴当h＝10时，s2有最大值400，
∴当h＝10时，s有最大值20.
即当h为10时，射程s有最大值，最大射程是20
cm.
(2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式．
解：要使两孔射出水的射程相同，则有：
4a(20－a)＝4b(20－b)，∴20a－a2＝20b－b2，
∴a2－b2＝20a－20b，∴(a＋b)(a－b)＝20(a－b)，
∴(a－b)(a＋b－20)＝0，∴a－b＝0或a＋b－20＝0，
∴a＝b或a＋b＝20.
(3)如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16
cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．
9
【2020·嘉兴】在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分(如图①所示建立直角坐标系)，抛物线顶点为点B.
(1)求该抛物线的函数表达式．
解：设y＝a(x－0.4)2＋3.32(a≠0)，
把x＝0，y＝3代入，解得a＝－2，
∴抛物线的函数表达式为y＝－2(x－0.4)2＋3.32.
(2)当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD＝2.6
m.
①求OD的长．
解：把y＝2.6代入y＝－2(x－0.4)2＋3.32，
化简得(x－0.4)2＝0.36，
解得x1＝－0.2(舍去)，x2＝1，
∴OD＝1
m.
②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点D处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点E(4，1.3)．东东起跳后所持球离地面高度h1(m)(传球前)与东东起跳后时间t(s)满足函数关系式h1＝－2(t－0.5)2＋2.7(0≤t≤1)；小戴在点F(1.5，0)处拦截，他比东东晚0.3
s垂直起跳，其拦截高度h2(m)与东东起跳后时间t(s)的函数关系如图②所示(其中两条抛物线的形状相同)．
东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点E？
若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？
若不能，请说明理由(直线传球过程中球运动时间忽略不计)．
解：东东的直线传球能越过小戴的拦截传到点E.
如图，由图①可得，当0≤t≤0.3时，h2＝2.2.
当0.3＜t≤1.3时，易得h2＝－2(t－0.8)2＋2.7.
当h1－h2＝0时，t＝0.65，
东东在点D起跳传球与小戴在点F处拦截的
示意图如图②，设MD＝h1，NF＝h2，
当点M，N，E三点共线时，过点E作EG⊥
MD于点G，交NF于点H，过点N作NP⊥MD于点P.(共28张PPT)
二次函数y＝ax2的图象与性质
3.3.2
鲁教版
九年级上
第三章
二次函数
A
A
1
2
3
4
5
D
y＝x2
(答案不唯一)
6
7
8
A
A
答
案
呈
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9
B
10
11
12
D
A
13
14
答
案
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若二次函数y＝ax2的图象过点P(－2，4)，则该图象必经过点( )
A．(2，4) B．(－2，－4) C．(－4，2) D．(4，－2)
1
A
关于二次函数y＝2x2与y＝－2x2，下列叙述正确的有( )
①它们的图象都是抛物线；
②它们的图象的对称轴都是y轴；
③它们的图象都经过点(0，0)；
④二次函数y＝2x2的图象开口向上，二次函数y＝－2x2的图象开口向下；
⑤它们的图象关于x轴对称．
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
A
2
3
A
【点拨】抛物线的开口大小由二次项系数a的绝对值的大小确定，二次项系数的绝对值越大，开口越小．故选A.
【2019·呼和浩特】二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是( )
4
D
【2019·山西】北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图①)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线形钢拱通过吊杆、拉索与主梁相连．最高的钢拱如图②所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点．拱高为78
m(即最高点O到AB的距离为78
m)，跨径为90
m(即AB＝90
m)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系．则此抛物线形钢拱的函数表达式为( )
5
B
【2020·无锡】请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴：_____________________．
6
y＝x2(答案不唯一)
若函数y＝－4x2的函数值y随x的增大而减小，则自变量x的取值范围是( )
A．x＞0
B．x＜0
C．x＞4
D．x＜－4
A
7
对于二次函数y＝－4x2，下列描述正确的是( )
A．图象开口向上
B．函数的最小值为－4
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
8
D
【点拨】由于a＝－4，所以图象开口向下，且最高点是原点，所以函数的最大值为0.又因为图象开口向下，所以当x＜0时，y随x的增大而增大．
【2020·南充】如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)．若抛物线y＝ax2与正方形有公共点，则实数a的取值范围是( )
9
A
已知二次函数y＝x2，在－1≤x≤4这个范围内，求函数的最值．
10
错解：当x＝－1时，y＝(－1)2＝1；
当x＝4时，y＝42＝16.
∴在－1≤x≤4这个范围内，函数y＝x2的最小值是1，最大值是16.
诊断：－1≤x≤4既包含了正数、零，又包含了负数，因此在这个范围内对应的函数值y随x的变化情况要分段研究．实际上，当x＝0时，函数取得最小值0.而当x＝－1时，y＝1；当x＝4时，y＝16.因此函数的最大值为16.
正解：∵－1≤x≤4包含了x＝0，
∴函数y＝x2的最小值为0.
当x＝－1时，y＝1；
当x＝4时，y＝16.
∴当－1≤x≤4时，函数y＝x2的最大值为16，最小值为0.
已知函数y＝(m＋3)xm2＋3m－2是关于x的二次函数．
(1)求m的值．
11
解：根据题意，得m2＋3m－2＝2，且m＋3≠0，
∴m＝－4或m＝1.
(2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？
(3)当m为何值时，该函数有最小值？
解：∵函数图象的开口向下，
∴m＋3＜0.∴m＜－3.∴m＝－4.
∴当m＝－4时，该函数图象的开口向下．
∵函数有最小值，∴m＋3＞0.
∴m＞－3.∴m＝1.
∴当m＝1时，该函数有最小值．
12
根据下列条件分别求a的值或取值范围．
(1)函数y＝(a－2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大．
解：由题意得a－2＜0，解得a＜2.
(2)函数y＝(3a－2)x2有最大值．
(4)函数y＝axa2＋a的图象是开口向上的抛物线．
解：由题意得a2＋a＝2，
解得a1＝－2，a2＝1.
又由题意知a＞0，
∴a＝1.
已知函数y＝ax2(a≠0)的图象与直线y＝2x－3交于点A(1，b)．
(1)求a和b的值．
13
解：把点A(1，b)的坐标代入y＝2x－3得b＝2×1－3＝－1，
把点A(1，－1)的坐标代入y＝ax2得a＝－1.
(2)当x取何值时，二次函数y＝ax2(a≠0)中的y随x的增大而增大？
解：∵a＝－1，∴y＝－x2，
∴二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大．
10
(3)求二次函数y＝ax2(a≠0)的图象与直线y＝2x－3的另一个交点B的坐标．
?
14
如图，抛物线y＝ax2与直线y＝kx在第一象限内交于点A(2，4)．
(1)求抛物线对应的函数表达式．
解：将A(2，4)的坐标代入y＝ax2
得4＝4a，∴a＝1.
∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2.
(2)在x轴上是否存在一点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【点拨】由于等腰三角形的腰不确定，因此要分类讨论，即分OA＝OP，OA＝AP，OP＝AP三种情况讨论．(共27张PPT)
二次函数y＝ax2＋c的图象与性质
3.4.1
鲁教版
九年级上
第三章
二次函数
C
B
1
2
3
4
5
D
D
6
7
8
A
C
答
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9
C
10
11
12
y＝x2＋3
①②④
A
B
13
14
答
案
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15
二次函数y＝x2＋1的图象大致是( )
1
C
在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交点的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
B
2
3
C
【中考·泰安】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝－mx＋n2与二次函数y＝x2＋m的图象可能是( )
4
D
对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是( )
A．最小值为2
B．图象与x轴没有公共点
C．当x<0时，y随x的增大而增大
D．图象的对称轴是y轴
5
C
【中考·绍兴】已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法正确的是( )
A．若y1＝y2，则x1＝x2
B．若x1＝－x2，则y1＝－y2
C．若0y2
D．若x1y2
6
D
点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)都在二次函数y＝(a2＋1)x2＋2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＜y3
B．y1＞y2＞y3
C．y2＞y1＞y3
D．y2＜y1＜y3
A
7
【2020·上海】如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是____________．
8
y＝x2＋3
【2020·南京】下列关于二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1(m为常数)的结论：
①该函数的图象与函数y＝－x2的图象形状相同；
②该函数的图象一定经过点(0，1)；
③当x＞0时，y随x的增大而减小；
④该函数的图象的顶点在函数y＝x2＋1的图象上．其中所有正确结论的序号是________．
9
①②④
【点拨】①∵二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1(m为常数)与函数y＝－x2的二次项系数相同，∴该函数的图象与函数y＝－x2的图象形状相同，故结论①正确；
②∵在函数y＝－(x－m)2＋m2＋1中，令x＝0，则y＝－m2＋m2＋1＝1，∴该函数的图象一定经过点(0，1)，故结论②正确；
③∵y＝－(x－m)2＋m2＋1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，∴当x＞m时，y随x的增大而减小，故结论③错误；
④∵该函数的图象的顶点坐标为(m，m2＋1)，∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2＋1的图象上，故结论④正确．
10
A
已知函数y＝2xm2－4m－3＋(m－5)的图象是一条抛物线，且这个函数的最小值是负数，则m的值为( )
A．5
B．－1
C．－5或1
D．5或－1
11
B
【点拨】由函数的图象是一条抛物线得m2－4m－3＝0，解得m＝5或m＝－1.因为该函数的最小值是负数，所以该抛物线的顶点在x轴的下方，即m－5＜0，所以m＝－1.
易错警示：本题的易错之处是对题目中“且这个函数的最小值是负数”理解不深刻，由此导致解的范围扩大，因而出现误选D的错误．
12
(2)画出抛物线y＝ax2＋c．
解：抛物线如图所示．
二次函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象经过点A(1，－1)，B(2，5)．
(1)求该函数的表达式．
13
(2)若点C(－2，m)，D(n，7)也在该函数的图象上，求m，n的值．
14
【中考·衡阳】如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x＋1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM，BM.
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)判断△ABM的形状，并说明理由．
15
【2019·安徽】一次函数y＝kx＋4与二次函数y＝ax2＋c的图象的一个交点坐标为(1，2)，另一个交点是该二次函数图象的顶点．
(1)求k，a，c的值；
解：由题意得k＋4＝2，解得k＝－2.
易知y＝ax2＋c图象的顶点为(0，4)，∴c＝4.
把点(1，2)的坐标代入y＝ax2＋4，得a＋4＝2，
解得a＝－2.
(2)过点A(0，m)(0＜m＜4)且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2＋c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2＋BC2，求W关于m的函数表达式，并求W的最小值．(共26张PPT)
利用二次函数的图象解一元二次方程
3.7.2
鲁教版
九年级上
第三章
二次函数
D
B
1
2
3
4
5
6
7
8
C
答
案
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9
10
11
12
C
D
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为( )
A．x1＝1，x2＝－3
B．x1＝x2＝－1
C．x1＝x2＝3
D．x1＝－1，x2＝3
1
D
二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解是x1＝3，另一个解x2是( )
A．1
B．－1
C．－2
D．0
B
2
3
C
4
D
【2020·齐齐哈尔】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点(4，0)，其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①ac＜0；
②4a－2b＋c＞0；
③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．
5
其中正确的结论有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C
【点拨】由题图可知抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；抛物线对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为(4，0)，则另一个交点为(－2，0)，于是有4a－2b＋c＝0，所以②不正确；x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；抛物线与x轴有两个不同的交点，因此关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；综上所述，正确的结论有：①③④.故选C.
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(2，0)．
(1)方程ax2＋bx＋c＝0的解为______________；
(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为____________；
(3)不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为____________．
6
x1＝－1，x2＝2
－1＜x＜2
x≤－1或x≥2
【2019·济宁】如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2＋mx＋c＞n的解集是____________．
x＜－3或x＞1
7
【中考·咸宁】如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是______________．
8
x<－1或x>4
9
【2020·威海】已知，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1的顶点为A，点B的坐标为(3，5)，如图所示．
(1)求抛物线过点B时顶点A的坐标；
10
解：∵抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1过点B(3，5)，
∴把B(3，5)的坐标代入y＝x2－2mx＋m2＋2m－1，整理得m2－4m＋3＝0，解得m1＝1，m2＝3.
当m＝1时，y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
其顶点A的坐标为(1，1)；
当m＝3时，y＝x2－6x＋14＝(x－3)2＋5，
其顶点A的坐标为(3，5)；
综上，顶点A的坐标为(1，1)或(3，5)．
(2)点A的坐标记为(x，y)，求y与x的函数表达式；
解：∵y＝x2－2mx＋m2＋2m－1＝(x－m)2＋2m－1，
∴顶点A的坐标为(m，2m－1)．
∵点A的坐标记为(x，y)，∴x＝m.
∴y＝2x－1.
(3)已知C点的坐标为(0，2)，当m取何值时，抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1与线段BC只有一个交点？
解：由(2)可知，抛物线的顶点在直线y＝2x－1上运动，且形状不变，
由(1)知，当m＝1或3时，抛物线过B(3，5)，
把C(0，2)的坐标代入y＝x2－2mx＋m2＋2m－1，整理得m2＋2m－1＝2，
解得m＝1或－3，
∴当m＝1或－3时，抛物线经过点C(0，2)．
如图，当m＝－3或3时，抛物线与线段BC只有一个交点(即线段CB的端点)，
当m＝1时，抛物线同时过点B，C，不合题意，
综上可得，m的取值范围是－3≤m≤3且m≠1.
11
【2019·云南】已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
(1)求k的值；
解：∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，
∴k2＋k－6＝0，解得k1＝－3，k2＝2.
又∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k与x轴有两个交点，
∴Δ＝0－4×1×3k＝－12k＞0，即k＜0.
∴k＝－3.
(2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标．
解：由(1)得抛物线的表达式为y＝x2－9.
∵点P在抛物线y＝x2－9上，且P到y轴的距离是2，
∴点P的横坐标为2或－2.
当x＝2时，y＝－5；当x＝－2时，y＝－5.
∴点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5)．
12
【2020·江西】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
(1)根据以上信息，可知抛物线开口向________，对称轴为________；
上
直线x＝1
(2)求抛物线的表达式及m，n的值；
(3)请在图中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？
解：如图所示，该曲线是一条抛物线．
(4)设直线y＝m(m＞－2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系：________________．
A3A4－A1A2＝1(共30张PPT)
用二次函数解实际应用问题的六种常见类型
阶段核心归类
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第三章
二次函数
1
2
3
4
5
6
7
答
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如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16
m，AE＝8
m，抛物线的顶点C到ED的距离是11
m，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
(1)抛物线对应的函数表达式是
_________________________________．
1
2
为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80
m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度是x
m，矩形区域ABCD的面积为y
m2.
(1)求y与x之间的函数表达式，并注明自变
量x的取值范围．
(2)当x取何值时，y有最大值？最大值是多少？
为备战奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光．如图，已知排球场的长度OD为18
m，位于球场中线处球网的高度AB为2.43
m，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8
m的C点向正前方飞出，排球的飞行路线是一条抛物线．当排球运行至离点O的水平距离OE为7
m时，到达最高点G，建立如图所示的平面直角坐标系．
3
(1)当排球上升的最大高度为3.2
m时，求排球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)的函数表达式(不要求写自变量x的取值范围)．
(2)在(1)的条件下，对方距球网0.5
m的点F处有一队员，她起跳后的最大高度为3.1
m，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．
(3)若队员发球既要过球网，又要不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少(排球压线属于没出界)？
4
(2)若以生产该产品2小时获得利润1
800元的速度进行生产，则1天(按8小时计算)可生产该产品多少千克．
(3)要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
5
解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°.
∵∠E＝30°，
∴∠EQC＝∠AQM＝60°，
∴△AMQ为等边三角形．如图，过点M作MN⊥AQ，垂足为点N.
(2)计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？
6
(2)该商家分别以1
760元/台和1
700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在(1)的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求出最大利润．
解：设总利润为W元，y2＝－10x2＋1
300＝－10(20－x1)＋
1
300＝10x1＋1
100，则W＝(1
760－y1)x1＋(1
700－y2)x2＝
1
760x1－(－20x1＋1
500)x1＋(1
700－10x1－1
100)(20－x1)＝1
760x1＋20x21－1
500x1＋10x21－800x1＋12
000＝30x21－540x1＋12
000＝30(x1－9)2＋9
570.
当x1＞9时，W随x1的增大而增大，∵11≤x1≤15，
∴当x1＝15时，W最大＝30×(15－9)2＋9
570＝10
650.
答：采购空调15台时总利润最大，最大利润为10
650元．
7
某水果店将标价为10元/千克的某种水果，经过两次降价后，价格为8.1元/千克，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该水果每次降价的百分率．
解：设该水果每次降价的百分率为x，10(1－x)2＝8.1，
解得x1＝0.1，x2＝1.9(舍去)．
答：该水果每次降价的百分率是10%.
解：由题意可得，y＝(8.1－4.1)×(120－x)－(3x2－64x＋400)＝－3x2＋60x＋80＝－3(x－10)2＋380，
∵1≤x＜10，
∴当x＝9时，y取得最大值，此时y＝377，
由上可得，y与x(1≤x＜10)之间的函数解析式是y＝－3x2＋60x＋80，第9天时销售利润最大，最大利润是377元．(共33张PPT)
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
3.4.4
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第三章
二次函数
B
D
1
2
3
4
5
C
D
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D
4
答
案
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9
D
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12
C
B
A
13
14
答
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【中考·山西】用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为( )
A．y＝(x－4)2＋7
B．y＝(x－4)2－25
C．y＝(x＋4)2＋7
D．y＝(x＋4)2－25
1
B
【2019·济宁】将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线的表达式是( )
A．y＝(x－4)2－6
B．y＝(x－1)2－3
C．y＝(x－2)2－2
D．y＝(x－4)2－2
D
2
【2020·包头】在平面直角坐标系中，已知A(－1，m)和B(5，m)是抛物线y＝x2＋bx＋1上的两点，将抛物线y＝x2＋bx＋1的图象向上平移n(n是正整数)个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为________．
3
4
【2019·重庆】抛物线y＝－3x2＋6x＋2的对称轴是( )
A．直线x＝2
B．直线x＝－2
C．直线x＝1
D．直线x＝－1
4
C
【2019·重庆】抛物线y＝－3x2＋6x＋2的对称轴是( )
A．直线x＝2
B．直线x＝－2
C．直线x＝1
D．直线x＝－1
5
D
已知二次函数y＝－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是( )
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1
D．b≤1
6
D
【2020·凉山州】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有如下结论：
①abc＞0；②2a＋b＝0；③3b－2c＜0；
④am2＋bm≥a＋b(m为实数)．
其中正确结论的个数是( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D
7
④根据图象知，当x＝1时，y有最小值；
当m为实数时，有am2＋bm＋c≥a＋b＋c，
∴am2＋bm≥a＋b(m为实数)．故④正确．
本题正确的结论有①②③④，共4个．
故选D.
8
C
【2020·菏泽】一次函数y＝acx＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
9
B
【点拨】A.由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项错误；B.由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项正确；C.由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项错误；D.由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项错误．故选B.
10
A
11
12
【2019·宁波】如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P(－2，3)．
(1)求a的值和图象的顶点坐标．
解：把点P(－2，3)的坐标代入y＝x2＋ax＋3，
得3＝(－2)2－2a＋3，解得a＝2.
∴y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2.
∴图象的顶点坐标为(－1，2)．
(2)点Q(m，n)在该二次函数图象上．
①当m＝2时，求n的值；
解：当m＝2时，n＝32＋2＝11.
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．
解：2≤n＜11.
13
【中考·黄冈】已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x.
(1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点．
(2)设直线l与该抛物线的两个交点为A，B，O为原点，
当k＝－2时，求△OAB的面积．
解：当k＝－2时，y＝－2x＋1.
不妨设点A在点B左边，如图，
过点A作AF⊥x轴于F，
过点B作BE⊥x轴于E，
14
【2019·台州】已知函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(－2，4)．
(1)求b，c满足的关系式；
解：将点(－2，4)的坐标代入y＝x2＋bx＋c，得4－2b＋c＝4，∴c＝2b.
(2)设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当b的值变化时，求n关于m的函数表达式；
(3)若该函数的图象不经过第三象限，当－5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
【点拨】将b的值分成几段进行分段讨论．(共26张PPT)
对函数的再认识
3.1
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二次函数
A
B
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D
A
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C
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B
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C
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B
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1
A
B
2
下列曲线中不能表示y是x的函数的是( )
3
C
4
D
【点拨】由题意得x－2≥0且x－5≠0，解得x≥2且x≠5.故选D.
下列关系式中，当自变量x＝－1时，函数值y＝6的是( )
A．y＝3x＋3
B．y＝－3x＋3
C．y＝3x－3
D．y＝－3x－3
5
B
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A
D
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D
9
【2020·青海】将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h(cm)与注水时间t(min)的函数图象大致为图中的( )
B
10
【点拨】将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小水杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判定A和D一定错误．用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小水杯内，因而这段时间h不变，当大圆柱形容器中的水面与小水杯的高度相等时，水开始向小水杯中流，h随t的增大而增大，当水注满小水杯后，小水杯内水面的高度h不再变化．故选B.
10
B
等腰三角形的周长是40
cm，底边长y(cm)是腰长x(cm)的函数，此函数关系式和自变量的取值范围正确的是( )
A．y＝－2x＋40(0＜x＜20)
B．y＝－0.5x＋20(10＜x＜20)
C．y＝－2x＋40(10＜x＜20)
D．y＝－0.5x＋20(0＜x＜20)
11
C
【点拨】因为等腰三角形的周长为40
cm，根据等腰三角形的周长公式可求出底边长y
(cm)与腰长x
(cm)的函数关系式为y＝40－2x.又由三角形两边之和大于第三边的关系可知y＜2x，2x＜40，故10＜x＜20.故选C.
在国内投寄本埠平信应付邮资如下表：
(1)y是x的函数吗？为什么？
12
解：y是x的函数，理由：当x取定一个值时，y都有唯一确定的值与其对应．
10
(2)分别求当x＝5，10，30，50时y的值．
解：当x＝5时，y＝0.80；
当x＝10时，y＝0.80；
当x＝30时，y＝1.60；
当x＝50时，y＝2.40.
某学校组织学生去离校6
km的光明科技馆参观，学生小明因事没能乘上学校的包车，于是准备在学校门口改乘出租车去光明科技馆，出租车的收费标准如下表：
13
10
(1)写出出租车行驶的路程x(km)(x≥3)与收费y(元)之间的函数关系式．
(2)小明身上仅有14元钱，乘出租车到光明科技馆，车费够不够？请说明理由．
解：y＝8＋(x－3)×1.8＝1.8x＋2.6(x≥3)．
车费够．因为当x＝6时，
y＝13.4＜14，所以车费够．
14
木材加工厂堆放木料的方式如图所示，随着层数的增加，木料总数不断变化．
(1)根据变化规律填写下表：
1
3
6
10
(2)求出y与n的函数关系式；
10
(3)当木料堆放的层数为10时，木料总数为多少？
如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝7，点P是BC边上与点B不重合的动点，过点P的直线交CD的延长线于点R，交AD于点Q(点Q与点D不重合)，且∠RPC＝45°.设BP＝x，梯形ABPQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
15
解：如图，过点D作DP′∥PQ，交BC于点P′，
则∠DP′C＝∠RPC＝45°，∴P′C＝CD＝4，∴BP′＝3.
∴0∵BP＝x，则PC＝7－x.(共32张PPT)
利用二次函数求实际中应用问题
3.6.2
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第三章
二次函数
B
D
1
2
3
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5
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C
答
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9
1
B
心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x(min)之间是二次函数关系，当提出概念13
min时，学生对概念的接受能力最大，为59.9；当提出概念30
min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为( )
A．y＝－(x－13)2＋59.9
B．y＝－0.1x2＋2.6x＋31
C．y＝0.1x2－2.6x＋76.8
D．y＝－0.1x2＋2.6x＋43
D
2
【2020·长沙】“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸时间t(单位：分)近似满足的函数关系为：p＝at2＋bt＋c(a≠0，a，b，c是常数)，如图记
录了三次实验的数据．
3
根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )
A．3.50分
B．4.05分
C．3.75分
D．4.25分
C
某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，假设每个降价x(元)，每天销售y(个)，每天获得利润W(元)．
(1)写出y与x的函数关系式：____________．
(2)写出W与x的函数关系式：_______________________
(不必写出x的取值范围)．
4
y＝300＋20x
W＝－20x2＋100x＋6
000
【2020·丹东】某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
(1)求出y与x之间的函数表达式(不需要求自变量x的取值范围)．
5
(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24
000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
解：(x－50)(－20x＋2
600)＝24
000，
解得x1＝70，x2＝110，
∵尽量给客户实惠，
∴这种衬衫定价为70元；
(3)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w(元)，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
解：由题意可得，w＝(x－50)(－20x＋2
600)＝－20(x－90)2＋32
000，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，每件售价不低于进货价，∴x≥50，x－50≤50×30%，解得50≤x≤65，∴当x＝65时，w取得最大值，此时w＝19
500.
答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19
500元．
【中考·毕节】某商店销售一款进价为每件40元的护肤品，调查发现，销售单价不低于40元且不高于80元时，该商品的日销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系．当销售单价为44元时，日销售量为72件；当销售单价为48元时，日销售量为64件．
(1)求y与x之间的函数关系式．
6
(2)设该护肤品的日销售利润为W(元)，当销售单价为多少时，日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
【点拨】本题易将销售额当销售利润，错得W＝x(－2x＋160)．
解：由题意得，W与x的函数关系式为
W＝(x－40)(－2x＋160)＝－2x2＋240x－6
400＝－2(x－60)2＋800，
当x＝60时，W最大，是800，
所以当销售单价为60元时，日销售利润最大，最大日销售利润是800元．
【2020·黄冈】网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2
000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y(kg)与销售单价x(元/kg)满足关系式：y＝－100x＋5
000.经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg.当每日销售量不低于4
000
kg时，每千克成本价格将降低1元，设板栗公司销售该板栗的日获利为W(元)．
7
(1)请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式．
(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
(3)当W≥40
000时，网络平台将向板栗公司收取a元/kg(a＜4)的相关费用，若此时日获利的最大值为42
100元，求a的值．
解：∵40
000＞18
000，∴10＜x≤30，
∴W＝－100x2＋5
600x－32
000，
当W＝40
000时，40
000＝－100x2＋5
600x－32
000，
解得x1＝20，x2＝36，∴当20≤x≤36时，W≥40
000，
【2020·十堰】某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完成．这种设备的出厂价为1
200元/台，该企业第一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产2台．若干天后，每台设备的生产成本将会增加，设第x天(x为整数)的生产成本为m(元/台)，m与x的关系如图所示．
(1)若第x天可以生产这种设备y台，则y与x的函
数关系式为__________，x的取值范围为
________．
8
y＝2x＋20
1≤x≤12
(2)第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？
∴m与x的关系式为m＝50x＋500，
∴w＝[1200－(50x＋500)]×(2x＋20)＝－100x2＋400x＋14
000＝－100(x－2)2＋14
400.
∵此时图象开口向下，在对称轴右侧，w随x的增大而减小，天数x为整数，∴当x＝7时，W最大＝11
900.
∵12
800＞11
900，∴当x＝6时，w最大，且w最大＝12
800.
答：第6天时，该企业当天的销售利润最大，最大利润是12
800元．
(3)求当天销售利润低于10
800元的天数．
解：由(2)可得，1≤x≤6时，800x＋8
000＜10
800，
解得x＜3.5.
则第1～3天当天销售利润低于10
800元，
当6＜x≤12时，－100(x－2)2＋14
400＜10
800，
解得x＜－4(舍去)或x＞8，
∴第9～12天当天销售利润低于10
800元，
故当天销售利润低于10
800元的天数有7天．
9
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？(销售额＝销售量×销售价格)(共28张PPT)
二次函数
3.2
鲁教版
九年级上
第三章
二次函数
C
B
1
2
3
4
5
B
D
6
7
8
C
C
B
答
案
呈
现
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9
D
10
11
12
A
C
C
B
13
14
15
答
案
呈
现
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16
17
1
C
B
2
若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数，则( )
A．m≠－2
B．m≠2
C．m≠3
D．m≠－3
3
B
4
B
若y＝(m－1)xm2＋1是二次函数，则m的值是( )
A．1
B．－1
C．1或－1
D．2
对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是( )
A．y＝mx2＋3x－1
B．y＝(m－1)x2
C．y＝(m－1)2x2
D．y＝(－m2－1)x2
5
D
已知二次函数y＝1－3x＋5x2，则它的二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是( )
A．a＝1，b＝－3，c＝5
B．a＝1，b＝3，c＝5
C．a＝5，b＝3，c＝1
D．a＝5，b＝－3，c＝1
6
D
关于函数y＝(500－10x)(40＋x)，下列说法不正确的是( )
A．y是x的二次函数
B．二次项系数是－10
C．一次项是100
D．常数项是20
000
C
7
若二次函数y＝ax2＋(2a＋b)x＋3b的二次项系数比一次项系数小8，一次项系数比常数项大4，则这个二次函数的表达式为( )
A．y＝5x2＋3x＋8
B．y＝5x2－13x＋9
C．y＝5x2＋13x＋9
D．y＝5x2＋13x－9
8
C
9
C
【2020·杭州】设函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是实数，a≠0)，当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，可知( )
A．若h＝4，则a＜0
B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0
D．若h＝7，则a＞0
10
C
一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，那么y与x之间的函数表达式为( )
A．y＝60(1－x)2
B．y＝60(1－x)
C．y＝60－x2
D．y＝60(1＋x)2
11
A
如图，在Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t(0＜t＜3)截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数表达式为( )
12
B
若函数y＝(3－m)xm2－7－x＋1是关于x的二次函数，则m的值为( )
A．3
B．－3
C．±3
D．9
13
B
10
易错总结：求二次函数中字母的值时，要根据二次函数的定义，在保证函数中含自变量的式子是整式的前提下，满足自变量的最高次数是2和二次项系数不为0.在解题过程中，往往容易忽略二次项系数不为0这个条件，只是从自变量的最高次数是2入手列方程求m的值，从而得出错解．
14
某广告公司设计一块周长为12
m的矩形广告牌，设计费为每平方米1
000元，设矩形一边的长为x
m，面积为S
m2.
(1)求S与x之间的函数表达式，并确定自变量x的取值范围；
(2)若要求设计的广告牌的边长为整数，请你填写下表，并探究当x取何值时，广告牌的设计费最多．
10
解：由表格可得，当x＝3时，广告牌的设计费最多．
观察如图所示图形的构成规律．
(1)如果第n个图中有S个圆，试写出S与n的函数表达式；
15
解：S＝n2＋1.
(2)这个函数是不是二次函数？
解：是二次函数．
16
(2)想一想：写一个二次函数的表达式应注意哪些问题？
解：写一个二次函数的表达式应注意的问题：①自变量只有一个；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0；④含自变量的代数式必须是整式．
17
如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形ABCD的边上．设AE＝x，正方形EFGH的面积为y.
(1)求y与x之间的函数关系式；
解：y＝2x2－4x＋4.
(2)若正方形EFGH的面积为2，求AE的长．
解：令y＝2，则2x2－4x＋4＝2，
整理得x2－2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1，
即AE的长为1.
