2021-2022学年北师大版八上数学第一章勾股定理单元测试试卷（Word版，附答案解析）

第1章
勾股定理
单元测试试卷
一、选择题（共7小题；共35分）
1.
在
中，，，，则该三角形为
A.
锐角三角形
B.
直角三角形
C.
钝角三角形
D.
等腰直角三角形
2.
如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的
倍，那么斜边长扩大到原来的
A.
倍
B.
倍
C.
倍
D.
倍
3.
下列说法中正确的是
A.
已知
，，
是三角形的三边，则
B.
在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
C.
在
中，，所以
D.
在
中，，所以
4.
如图，已知正方形
的面积为
，正方形
的面积为
时，那么正方形
的面积为
A.
B.
C.
D.
5.
如图，在
中，，，，则其斜边上的高为
A.
B.
C.
D.
6.
下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是
A.
三内角之比为
B.
三边长的平方之比为
C.
三边长之比为
D.
三内角之比为
7.
如果一个三角形的三边长
，，
满足
，则这个三角形一定是
A.
锐角三角形
B.
直角三角形
C.
钝角三角形
D.
等腰三角形
二、填空题（共6小题；共24分）
8.
已知两条线段的长分别为
，，当第三条线段长为
?时，这三条线段可以构成一个直角三角形．
9.
在
中，，，
于点
，则
?．
10.
如图，在
中，，
平分
，交
于点
，且
，，则点
到
的距离是
?．
11.
有一组勾股数，知道其中的两个数分别是
和
，则第三个数是
?．
12.
若一个直角三角形的一条直角边长是
，另一条直角边长比斜边长短
，则该直角三角形的斜边长为
?．
13.
如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为
，则正方形
，，，
的面积之和为
?
．
三、解答题（共7小题；共91分）
14.
若
三边长满足下列条件，判断
是不是直角三角形，若是，请说明哪个角是直角．
（1），，；
（2），，（）．
15.
如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部
米处，已知旗杆原长
米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗?
16.
若三角形的三个内角的比是
，最短边长为
，最长边长为
．求：
（1）这个三角形各内角的度数．
（2）另外一条边长的平方．
17.
观察下表：
请你结合该表格及相关知识，求出
，
的值．
18.
如图，折叠长方形的一边
，使点
落在
边上的点
处，，，求：
（1）
的长；
（2）
的长.
19.
如图，长方体
中，，，一只蚂蚁从
点出发，沿长方体表面爬到
点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少?
20.
在
中，，，．若
，如图①，根据勾股定理，则
．若
不是直角三角形，如图②和图③，请你类比勾股定理，试猜想
与
的关系，并证明你的结论．
答案
1.
B
【解析】在
中，由
，，，可推出
．
由勾股定理的逆定理知此三角形是直角三角形，故选B．
2.
B
【解析】设原直角三角形的三边长分别是
，，，且
，则扩大后的三角形的斜边长为
，即斜边长扩大到原来的
倍，故选B．
3.
C
【解析】A.不确定三角形是不是直角三角形，故A选项错误；
B.不确定第三边是否为斜边，故B选项错误；
C.
，所以其对边为斜边，故C选项正确；
D.
，所以
，故D选项错误．
4.
D
【解析】设三个正方形的边长依次为
，，，
由于三个正方形的三边组成一个直角三角形，
所以
，
故
，
即
．
5.
C
【解析】由勾股定理可知
，
再由三角形的面积公式，有
，得
．
6.
D
【解析】在A选项中，求出三角形的三个内角分别是
，，；在B，C选项中，都符合勾股定理的条件，所以A，B，C选项中都是直角三角形．在D选项中，求出三角形的三个角分别是
，，，所以不是直角三角形，故选D．
7.
B
【解析】由
，
整理，得
，
即
，
所以
，，，符合
，
所以这个三角形一定是直角三角形．
8.
或
【解析】根据勾股定理，当
为直角边长时，第三条线段长为
；
当
为斜边长时，第三条线段长为
．
9.
【解析】如图，
等腰三角形底边上的高、中线以及顶角的平分线三线合一，
．
，
．
，
．
10.
【解析】如图，过点
作
于点
.
因为
，，，
所以
．
因为
平分
，，
所以点
到
的距离
．
11.
【解析】设第三个数是
，
①若
为最长边，则
，不是整数，不符合题意；
②若
为最长边，则
，三边是整数，能构成勾股数，符合题意，
故答案为：．
12.
【解析】设直角三角形的斜边长是
，则另一条直角边长是
．根据勾股定理，得
，解得
，则斜边长是
．
13.
【解析】正方形
，，，
的面积之和是最大的正方形的面积，即
．
14.
（1）
因为
，
根据三边长满足的条件，
可以判断
是直角三角形，其中
为直角．
??????（2）
因为
，，，
所以
，
根据三边长满足的条件，可以判断
是直角三角形，其中
为直角．
15.
设旗杆在离底部
米的位置断裂，在给定图形上标上字母如图所示．
（米），（米），
（米）．
在
中，（米），（米），（米），
，即
，
解得：．
故旗杆在离底部
米的位置断裂．
16.
（1）
因为三个内角的比是
，
所以设三个内角的度数分别为
，，．
由
，得
，
所以三个内角的度数分别为
，，．
??????（2）
由（）知三角形为直角三角形，则一条直角边长为
，斜边长为
．
设另外一条直角边长为
，则
，即
．
所以另外一条边长的平方为
．
17.
由
，，：，；
，，：，；
，，：，．
故
，，
解得
，，即
．
18.
（1）
由题意，得
，
在
中，
，
，
．
??????（2）
由题意，得
，设
的长为
，则
，
在
中，由勾股定理，得
，
解得
，即
的长为
．
19.
如图1所示：
由题意得：，，
在
中，由勾股定理得
，
如图2所示：
由题意得：，，
在
中，由勾股定理得：，
．
第一种方法蚂蚁爬行的路程最短，最短路程是
．
20.
如图①，
若
是锐角三角形，则有
．
证明如下：
过点
作
，垂足为
，
设
为
，则有
．
在
中，
根据勾股定理，得
，即
．
在
中，
根据勾股定理，得
，即
，即
，
．
，，
，
．
如图②，若
是钝角三角形，
为钝角，则有
．
证明如下：
过点
作
，交
的延长线于点
．
设
为
，在
中，
根据勾股定理，得
，
在
中，
根据勾股定理，得
，即
．
即
．
，，
，
．
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