2021-2022学年北师大版数学八上第一章勾股定理单元测试卷（Word版，附答案解析）

第一章
勾股定理
一、选择题（共9小题；共45分）
1.
勾股定理是“人类最伟大的十大科学发明之一”．中国对勾股定理的证明最早出现在对《周髀算经》的注解中，它表示了我国古代入对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，在《周髀算经》的注解中证明勾股定理的是我国古代数学家
A.
夏艳芳
B.
刘学升
C.
李大荟
D.
赵爽
2.
已知
中，，，
边上的高
，则边
的长为
A.
B.
C.
D.
以上答案都不对
3.
如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部
米处，断落的木杆与地面形成
角，则木杆原来的长度是
A.
米
B.
米
C.
米
D.
米
4.
以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是
A.
，，
B.
，，
C.
，，
D.
，，
5.
如图，在
中，，，，将
折叠，使点
与
的中点
重合，折痕交
于点
，交
于点
，则线段
的长为
A.
B.
C.
D.
6.
在
中，若
，则
A.
B.
C.
D.
7.
如图，在
中，，，，将
折叠，使点
与
的中点
重合，折痕为
，则线段
的长度为
A.
B.
C.
D.
8.
以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是
A.
，，
B.
，，
C.
，，
D.
，，
9.
如图，长方体
中，点
是棱
的中点，且
，，一只蚂蚁从盒底的点
沿盒的表面爬到盒顶的点
处，它爬行的最短路程是
A.
B.
C.
D.
二、填空题（共36分）
10.
如图所示的正方形网格中，每个小正方形的面积均为
，正方形
，，
的顶点都在格点上，则正方形
的面积为
?．
11.
如图，在四边形
中，，，，且
，则四边形
的面积为
?（结果保留根号）．
12.
《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”意思是：现有竹子高
尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为
尺，问折处高几尺?即：如图，
尺，
尺，则
?尺．
13.
如图，
是
的中线，，，把
沿
翻折，使点
落在
的位置，则
为
?．
14.
如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为
，底面周长为
，在容器内壁离容器底部
的点
处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿
的点
处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是
?
．
15.
如图，在每个小正方形的边长为
的网格中，
的顶点
，
均落在格点上，点
在网格线上，且
．
（I）线段
的长等于
?；
（II）以
为直径的半圆与边
相交于点
，在圆上有一点
，使得
平分
，请用无刻度的直尺在如图所示的网格中画出点
，并简要说明点
的位置是如何找到的（不要求证明）
?．
三、解答题（共7小题；共70分）
16.
有一块形状为四边形的钢板，量得它的各边长度为
，，，，．求这块钢板的面积．
17.
如图，长方形纸片
的长
，宽
，将其折叠，使点
与点
重合．求：
（1）折叠后
的长；
（2）以折痕
为边的正方形面积．
18.
如图，圆柱底面半径为
，高为
，点
，
分别是圆柱两底面圆周上的点，且
，
在同一母线上，用一棉线从
顺着圆柱侧面绕
圈到
，求棉线最短长度．
19.
如图
，，
于点
．求证：．
20.
自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图①所示的坡路进行改造．如图②所示，改造前的斜坡
米，坡度为
，将斜坡
的高度
降低
米后，斜坡
改造为斜坡
，其坡度为
．求斜坡
的长．（结果保留根号）
21.
如图，
中，已知
．
是
上的一点，，，．
（1）判断
的形状并证明你的结论；
（2）求
的面积．
22.
如图，有一块直角三角形纸片，两直角边
，，现将
沿直线
折叠，使
落在斜边
上，且与
重合，求
的长．
答案
1.
D
【解析】图中的图案是
世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽通过对这种图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国数学史上的骄傲．
2.
D
【解析】在直角三角形
中，根据勾股定理，得
；
在直角三角形
中，根据勾股定理，得
．
当
在三角形的内部时，；
当
在三角形的外部时，．
则
的长是
或
．
3.
B
4.
B
5.
B
【解析】
是
中点，，
，
根据折叠的性质得，，
，
在
中，，
，
，
．
6.
D
【解析】
在
中，若
，
，
，
故选：D．
7.
C
8.
D
9.
A
【解析】如图所示，将长方体展开，使面
和面
在同一个平面内，连接
．
在
中，，．
由勾股定理，得
．
则
．
即蚂蚁需要爬行的最短路程是
．
10.
11.
12.
13.
14.
【解析】
高为
，底面周长为
，在容器内壁离容器底部
的点
处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿
与饭粒相对的点
处，
，，
将容器侧面展开，作
关于
的对称点
，连接
，
则
即为最短距离，．
15.
，如图，取
与格线的交点
，取格点
，，连接
交格线于点
，连接
交半圆于点
，则点
即为所求．
16.
连接
，在
中，，
在
中，，，
则
，
故可得
为直角三角形，
这块钢板的面积
．
17.
（1）
由折叠可知
，
且
，
，
，
，
．
??????（2）
由折叠可知
，，，
又
，
，
．
作
，则
．
，
，
．
18.
圆柱体的展开图如图所示，
用一棉线从
顺着圆柱侧面绕
圈到
的运动最短路线是：，即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成
个小长方形，
沿着
个小长方形的对角线运动到
的路线最短．
圆柱底面半径为
，
长方形的宽即是圆柱体的底面圆的周长为
．
又圆柱高为
，
小长方体的一条边长是
．
根据勾股定理求得
．
．
故棉线的最短长度为
．
19.
如图，连接
．
则
，
．
．
又
，
，
．
20.
，斜坡
的坡度为
，
．
设
米，则
米．
在
中，，即
，
（舍负），
米，
米，
米．
在
中，斜坡
的坡度为
，
，
米，
米，
（米）．
答：斜坡
的长是
米．
21.
（1）
是直角三角形，理由如下：
．
??????（2）
设
，则
．
为直角三角形，
，解得
．
．
22.
由勾股定理，得
．
设
，由折叠知，，
，，
，
．
，
由勾股定理，得
，
即
，解得
．
第10页（共10
页）