第2课时 三垂线定理及其逆定理
学习目标 1.了解三垂线定理及其逆定理.2.会用三垂线定理及其逆定理解决简单的问题．
一、三垂线定理
问题1 过平面外一点，能做几条直线与平面垂直？
提示 有且只有一条；如图，P是平面α外一点，PO⊥α，O是垂足，A是异于垂足O的任意一点，则PA是平面α的一条斜线，A是斜足，则直线OA是斜线PA在平面α内的射影，若平面α内的一条直线a⊥OA，由线面垂直的判定定理可知，a⊥平面POA，故a⊥PA.
知识梳理
如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．
注意点：(1)三垂线定理描述的是斜线PA，射影OA和直线a之间的垂直关系；(2)直线a可以移动，但只能在平面内移动．因此，直线a和斜线PA可以相交也可以异面；(3)三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理．
例1 如图，已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：PC⊥BC.
证明 因为PA⊥平面ABC，
所以PC是平面ABC的斜线，
所以AC是PC在平面ABC上的射影，
因为BC?平面ABC且AC⊥BC，
所以由三垂线定理得PC⊥BC.
反思感悟 三垂线定理的实质是空间内的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理，关于三垂线定理的应用，关键是找出平面的垂线，至于射影，则是由垂足、斜足来确定的；利用三垂线定理证明两直线a⊥b的步骤：一垂，二射，三证．即第一找平面及平面垂线，第二找射影线，这时a，b便成平面上的一条直线与一条斜线，第三证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直．
跟踪训练1 如图，已知PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：PO⊥BD，PC⊥BD.
证明 ∵PA⊥正方形ABCD所在平面，
则PC，PO在平面ABCD内的射影为AC，AO，
又AC⊥BD，AO⊥BD，由三垂线定理得，PO⊥BD，PC⊥BD.
二、三垂线定理的逆定理
问题2 如图，如果将三垂线定理中的“a⊥OA”，改为“a⊥PA”，你能得到什么样的结论？
提示 a⊥OA，这其实利用的还是线面垂直的判定定理．
知识梳理
如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．
例2 已知α∩β＝AB，PQ⊥α于Q，PO⊥β于O，OR⊥α于点R，求证QR⊥AB.
证明 如图．
∵PQ⊥α于Q，OR⊥α于点R，
∴PO在平面α内的射影为QR，
又PO⊥β于点O，α∩β＝AB，∴PO⊥AB，
∴由三垂线定理的逆定理知，AB⊥QR.
反思感悟 三垂线定理的逆定理的实质是空间内一条斜线的射影与平面内一条直线垂直的判定定理，其应用关键是找出平面的垂线；证明步骤：第一找平面与平面的垂线，第二找该射影线是哪条斜线的射影，第三证明平面内的直线与斜线垂直，从而得出平面内的直线与射影垂直.
跟踪训练2 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥CD，四边形ABCD是平行四边形，且△PAD为等边三角形．求证：四边形ABCD是矩形．
证明 平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，
故点P在平面ABCD内的射影为AD中点O，
所以PO⊥平面ABCD，
直线OA为直线PA在平面ABCD内的射影，
又PA⊥CD，由三垂线定理的逆定理可知AD⊥CD，
又因为四边形ABCD是平行四边形，
所以四边形ABCD是矩形．
三、三垂线定理、逆定理的综合应用
例3 如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD.
证明 如图，取BC的中点O，连接AO交BD于点E，连接PO.
因为PB＝PC，所以PO⊥BC.
又平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，PO?平面PBC，
所以PO⊥平面ABCD，所以AP在平面ABCD内的射影为AO.
在直角梯形ABCD中，由于AB＝BC＝2CD，易知Rt△ABO≌Rt△BCD，
所以∠BEO＝∠OAB＋∠DBA＝∠DBC＋∠DBA＝90°，即AO⊥BD.
由三垂线定理，得PA⊥BD.
反思感悟 利用三垂线定理及其逆定理证明垂直的关键是找到平面的垂线、斜线、射影，要区分三垂线定理与三垂线定理的逆定理．
跟踪训练3 下列命题中正确的是( )
A．如果直线l与平面α外的一条直线l′在平面α内的射影垂直，则l⊥l′
B．如果直线l与平面α外的一条直线l′垂直，则l与l′在平面α内的射影垂直
C．如果向量a和直线l在平面α内的射影垂直，则a⊥l
D．如果非零向量a和平面α平行，且和直线l垂直，直线l不与平面α垂直，则a垂直于l在平面α内的射影
答案 D
解析 由三垂线定理的逆定理，知D正确．
1．知识清单：
(1)三垂线定理．
(2)三垂线定理的逆定理．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：三垂线定理与三垂线定理的逆定理易混淆．
1．两条异面直线在一个平面内的射影是( )
A．两条平行直线
B．两条相交直线
C．两条平行直线或两条相交直线
D．以上都不正确
答案 D
解析 除两直线平行或相交外，还可能是一条直线及其外一点．
2．在平面α内和这个平面的斜线l垂直的直线 ( )
A．只有一条
B．可能一条也没有
C．可能有一条也可能有两条
D．有无数多条
答案 D
3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC
B．BD
C．A1D1
D．AA1
答案 B
解析 (图略)CE?平面ACC1A1，BD⊥平面ACC1A1，故有BD⊥CE.
4．菱形ABCD∥平面α，PA⊥α，则PC与BD的位置关系是________．
答案 垂直
解析 由三垂线定理，可知PC与BD垂直．
课时对点练
1．正方体的体对角线与各个面上与其不共端点的面对角线的位置关系是 ( )
A．异面垂直
B．异面不垂直
C．可能相交可能异面
D．可能相交、平行或异面
答案 A
2．点P在平面ABC内的射影是O，且PA，PB，PC两两垂直，那么点O是△ABC的( )
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心
答案 C
解析 因为PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P，
所以PC⊥平面PAB，所以PC⊥AB.
又点P在平面ABC内的射影为O，连接CO，
则CO是PC在平面ABC内的射影，
由三垂线定理的逆定理可知，AB⊥CO，
同理可证AO⊥BC，即O是△ABC的垂心．
3．已知AB?平面α，AC⊥α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，AB＝m，AC＝BD＝n，则C与D之间的距离是( )
A.
B.
C.或
D.或
答案 D
4．已知△ABC三边的长分别为3，4，5，平面ABC外一点P到△ABC三边的距离都等于2，则P点到平面ABC的距离等于( )
A．1
B.
C.
D．4
答案 C
解析 如图，点P在底面上的垂足为O，PE，PF，PD分别是顶点P到三角形各边的距离，由三垂线定理的逆定理可知，OE，OF，OD分别是三角形各边的垂线，
因为三条侧高相等，所以OE＝OF＝OD，
所以O为底面三角形的内心，
设半径为r，则由面积相等得×3×4＝(3＋4＋5)r，
所以r＝1，所以点P到平面ABC的距离是.
5．在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，下列说法正确的是( )
A．A在平面BCD内的投影是△BCD的重心
B．A在平面BCD内的投影一定在△BCD的内部
C．AD⊥BC
D．AD∥BC
答案 C
解析 如图，作AO⊥平面BCD，连接OB，OC，OD，则AO⊥CD，又因为AB⊥CD，由三垂线定理的逆定理可知BO⊥CD，同理CO⊥BD，则O为△BCD的垂心，故A错；若△BCD为钝角三角形，则其垂心在三角形的外部，故B错；所以DO⊥BC，由三垂线定理可知AD⊥BC，故C正确，D错．
6．(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则下列结论正确的有( )
A．直线DD1与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．点C与点G到平面AEF的距离相等
D．平面AEF截正方体所得的截面面积为
答案 BD
解析 对于A，取DD1中点M，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影，
∵AM与DD1不垂直，∴AF与DD1不垂直，故A错误；
对于B，取B1C1中点N，连接A1N，GN，
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1N∥AE，NG∥EF，
A1N?平面AEF，AE?平面AEF，
所以A1N∥平面AEF，同理可证NG∥平面AEF，
A1N∩NG＝N，所以平面A1GN∥平面AEF，
A1G?平面A1GN，所以A1G∥平面AEF，故B正确；
对于C，假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于H，而H不是CG的中点，
则假设不成立，故C错误；
对于D，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD1∥EF，
把截面AEF补形为四边形AEFD1，
由等腰梯形计算其面积S＝，故D正确．
7．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AD1与对角面BB1D1D所成角的大小是______．
答案 30°
解析 取BD的中点H，连接AH，
∵正方体ABCD－A1B1C1D1，
∴BB1⊥平面AC，
∴AH⊥BB1，
∴AH⊥BD且BD∩BB1＝B，
∴AH⊥平面BD1，
∴AH⊥D1H，
∴∠AD1H就是直线AD1与平面BD1所成角．
设AB＝1，在Rt△AHD1中，则AH＝，AD1＝，
∴sin∠AD1H＝＝，
∴∠AD1H＝30°.
8．已知PA垂直于△ABC所在的平面，AB＝AC＝13，BC＝10，PA＝5，则P点到BC的距离为________．
答案 13
解析 取BC的中点E，连接AE，PE，
∵PA⊥平面ABC，
∴AE为PE在平面ABC内的射影，
又AB＝AC，∴AE⊥BC，
由三垂线定理得，PE⊥BC，
又AE＝12，PA＝5，∴PE＝13.
9．已知H是锐角△ABC的垂心，PH⊥平面ABC，∠BPC＝90°.求证：∠BPA＝90°，∠APC＝90°.
证明 利用三垂线定理可证BP⊥AC，
又BP⊥PC，故PB⊥平面APC，得∠APB＝90°，
同理可证∠APC＝90°.
10．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，P为B1C1的中点，A1C1与PD1交于M，B1C与PB交于N.求证：MN⊥A1C1，MN⊥B1C，并求MN的长．
证明 连接BD1(图略)，利用＝＝，得MN∥BD1，MN＝BD1，得MN＝a.由三垂线定理知，BD1⊥A1C1，BD1⊥B1C，所以MN⊥A1C1，MN⊥B1C.
11．PO⊥平面ABC，垂足为O，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，PA＝PB＝PC＝10，则PO的长等于( )
A．5
B．5
C．10
D．10
答案 B
解析 在△ABC中，∠ABC＝90°，
满足PA＝PB＝PC＝10，PO⊥平面ABC，O为垂足，
所以O是AC的中点，
∠BAC＝30°，BC＝5，
解得AC＝10，
所以OA＝CO＝OB，
利用勾股定理得
PO＝＝5.
12．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为( )
A．1∶2
B．1∶1
C．3∶1
D．2∶1
答案 B
解析 方法一 连接AE(图略)，
∵PA⊥平面ABCD，且BF⊥PE，
由三垂线定理的逆定理可知，BF⊥AE，
∴∠EAD＝∠ABF，
∴△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE，即F为中点，
∴AF∶FD＝1∶1.
方法二 建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方形边长为1，PA＝a，
则B(1，0，0)，E，P(0，0，a)．
设点F的坐标为(0，y，0)，
则＝(－1，y，0)，＝.
∵BF⊥PE，∴·＝0，解得y＝，
即点F的坐标为.
∴F为AD的中点，∴AF∶FD＝1∶1.
13．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM的位置关系为( )
A．平行
B．异面 C．垂直
D．以上都不对
答案 C
解析 取CD的中点P′，连接PP′，AP′，MP′(图略)，
易知PP′⊥平面ABCD，
所以MP′为PM在平面ABCD内的射影．
由题意得，AM＝，MP′＝，AP′＝3，
所以AP′2＝AM2＋MP′2，所以AM⊥MP′，
由三垂线定理知AM⊥PM.
14．空间四边形ABCD的四条边及两条对角线的长均为1，则点A到平面BCD的距离为________．
答案
解析 设点A′是点A在平面BCD上的投影，分别连接A′B，A′C，A′D，
因为AB＝AC＝AD，
所以它们在平面BCD上的射影A′B，A′C，A′D也都相等，
所以点A′是△BCD的中心．
因为BC＝1，所以△BCD的高为，
所以A′D＝，
在Rt△AA′D中，|AA′|＝＝，
即点A到平面BCD的距离为.
15．如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ABC＝60°，PA＝AB＝2，PA⊥平面ABCD.若PC⊥BD，则AD＝________，该四棱锥的体积为________．
答案 2
解析 ∵PA⊥平面ABCD，且BD⊥PC，
由三垂线定理的逆定理知，BD⊥AC.
又四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝2，
∴S四边形ABCD＝2S△ABC＝2，
∴VP－ABCD＝×2×2＝.
16．如图，四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.
(1)求证：AO⊥平面BCD；
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
(3)求点E到平面ACD的距离．
(1)证明 连接OC，
∵BO＝DO，AB＝AD，
∴AO⊥BD.
∵BO＝DO，BC＝CD，
∴CO⊥BD.
在△AOC中，由题设知AO＝1，CO＝，AC＝2，
∴AO2＋CO2＝AC2，
∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC.
∵AO⊥BD，BD∩OC＝O，
∴AO⊥平面BCD.
(2)解 取AC的中点M，连接OM，ME，OE，
由E为BC的中点，知ME∥AB，OE∥DC，
∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角，
在△OME中，EM＝AB＝，OE＝DC＝1，
∵OM是直角△AOC斜边AC上的中线，
∴OM＝AC＝1，
∴cos∠OEM＝＝，
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为.
(3)解 设点E到平面ACD的距离为h.
∵VE－ACD＝VA－CDE，
∴h·S△ACD＝·AO·S△CDE.
在△ACD中，CA＝CD＝2，AD＝，
∴S△ACD＝××＝，
∵AO＝1，S△CDE＝××22＝，
∴h＝＝＝，
∴点E到平面ACD的距离为.(共63张PPT)
第一章 1.2.2 空间中的平面与空间向量
第1课时 平面的法向量
学习目标
1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量.
2.会利用直线的方向向量及平面的法向量证明直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直.
导语
同学们，前面我们学习直线的方向向量，我们发现，有了直线的方向向量，极大地方便了我们判断与证明空间直线的位置关系以及求两直线的夹角，但空间还有很多和平面有关的位置关系，还记得我们当初用几何法求二面角的时候，我们需要费尽九牛二虎之力构造二面角的平面角，如果说能用空间向量来表示空间平面，这个问题是不是更容易一些，让我们先来看一下如何用空间向量表示空间平面.
随堂演练
课时对点练
一、平面法向量的概念及性质
二、利用法向量证明线面平行与垂直
三、求平面的法向量
内容索引
一、平面法向量的概念及性质
提示 如图.
知识梳理
平面的法向量
定义：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个
向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α
，则称n为平面α的一个
，也称n与平面α垂直，记作
.
性质：①如果直线l垂直平面α，则直线l的任意一个
都是平面α的一个
.
②如果n是平面α的一个法向量，则对任意实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都
.
非零
垂直
法向量
n⊥α
方向向量
法向量
平行
注意点：
(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量.
(2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行.
0
例1 下列说法中不正确的是
A.平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量
B.一个平面的所有法向量互相平行
C.如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D.如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量
解析 选项A，B，C显然是正确的.
只有当a，b不共线且a∥α，b∥α时，D才正确.
√
反思感悟 明确平面的法向量与平面垂直这一重要特征，平面的法向量不唯一且非零.
A.圆 B.直线 C.平面 D.线段
√
∴M构成的图形是经过点A，且以n为法向量的平面.
二、利用法向量证明线面平行与垂直
问题2 请同学们写出线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理.
提示 线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行；
线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直；
面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
知识梳理
1.直线与平面平行、垂直的判定
v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则
n∥v?
；
n⊥v?
，或
.
l⊥α
l∥α
l?α
2.两平面平行、垂直的判定
n1，n2分别是平面α1，α2的法向量，则
n1⊥n2?
；
n1∥n2?
，或
.
α1⊥α2
α1∥α2
α1与α2重合
例2 (1)若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝
(－2，1，1)，则
A.l∥α
B.l⊥α
C.l?α或l∥α D.l与α斜交
解析 ∵a＝(1，0，2)，n＝(－2，1，1)，
∴a·n＝1×(－2)＋0×1＋2×1＝0，
即l?α或l∥α.
√
(2)若直线l的方向向量为a＝(－1，0，－2)，平面α的法向量为u＝
(4，0，8)，则
A.l∥α B.l⊥α C.l?α D.l与α斜交
解析 由a＝(－1，0，－2)，u＝(4，0，8)，
则u＝－4a，
所以u∥a，
则l⊥α.
√
反思感悟 用向量证明线面平行需检验该直线是否是平面内的直线，若不在平面内，则线面平行，若在平面内，则不能判断为平行；若直线与平面垂直，则直线的方向向量可以作为平面的法向量.
跟踪训练2 (1)若平面α，β的法向量分别为a＝(－1，2，4)，b＝(x，－1，－2)，并且α∥β，则x的值为
解析 因为α∥β，a，b共线，
√
√
解析 ∵平面α⊥β，
∴平面α的一个法向量与平面β的法向量垂直，即它们的数量积为0.
三、求平面的法向量
问题3 如何求平面的法向量？
提示 一般地，如果题目中有已知的线面垂直关系，则该直线的方向向量即为平面的法向量；否则要利用待定系数法求平面的法向量.
知识梳理
利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z).
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1).
(6)得结论：得到平面的一个法向量.
注意点：赋值时应尽可能保证法向量的三个坐标都为整数，若含有根式，则尽可能不出现在分母.
(1)求平面ABCD的一个法向量；
解 以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，
∵SA⊥平面ABCD，
(2)求平面SAB的一个法向量；
解 ∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA?平面ABS，
∴AD⊥平面SAB，
(3)求平面SCD的一个法向量.
设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，
令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1，1).
∴n＝(2，－1，1)是平面SCD的一个法向量(答案不唯一).
反思感悟 求平面的一个法向量的方法
(1)平面垂线的方向向量法，证明一条直线为一个平面的垂线，则这条直线的一个方向向量即为所求.
(2)待定系数法求平面的法向量.
解 因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直.
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，
设n＝(x，y，z)为平面ACE的一个法向量，
(答案不唯一).
课堂小结
1.知识清单：
(1)平面法向量的概念及性质.
(2)利用法向量判断线面、面面平行与垂直的关系.
(3)求平面的法向量.
2.方法归纳：数形结合、转化与化归.
3.常见误区：正确的赋值求平面的法向量是解决问题的关键.
随堂演练
1.已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，它的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是
√
1
2
3
4
同理可排除C，D.
1
2
3
4
A.－4 B.－6 C.－8 D.8
√
∴m＝－8.
1
2
3
4
3.已知平面α，β的法向量分别为a＝(－1，y，4)，b＝(x，－1，－2)且α⊥β，则x＋y的值为
A.－8 B.－4 C.4 D.8
√
解析 因为平面α，β的法向量分别为a＝(－1，y，4)，b＝(x，－1，－2)且α⊥β，
所以a·b＝0，即－x－y－8＝0，
则x＋y＝－8.
1
2
3
4
4.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝2，CC1＝3，E，F分别是BC，CD的中点，以D为原点，分别以DA，DC，DD1为坐标轴建立空间直角坐标系，则平面D1EF的一个法向量是____________.
(－6，3，2)
1
2
3
4
解析 ∵长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝2，CC1＝3，E，F分别是BC，CD的中点，
则D1(0，0，3)，E(1，4，0)，F(0，2，0)，
设平面D1EF的一个法向量是n＝(x，y，z)，
取y＝3，得n＝(－6，3，2)，
则平面D1EF的一个法向量是(－6，3，2).
1
2
3
4
课时对点练
基础巩固
1.已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则下列点P中，在平面α内的是
A.P(2，3，3) B.P(－2，0，1)
C.P(－4，4，0) D.P(3，－3，4)
√
解析 设平面α内一点P(x，y，z)，
把各选项的坐标数据代入上式验证可知A适合.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A.α∥β B.α⊥β
C.α与β相交但不垂直 D.α∥β或α与β重合
解析 因为n＝－3m，
所以m∥n，
所以α∥β或α与β重合.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.已知平面α的一个法向量是n＝(1，1，1)，A(2，3，1)，B(1，3，2)，则直线AB与平面α的关系是
A.AB∥α B.AB⊥α
C.AB?α
D.AB∥α或AB?α
√
∴AB∥α或AB?α.
1
2
3
4
5
6
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A.平行 B.垂直
C.在平面内 D.相交但不垂直
√
所以AP⊥AD，AP⊥AB，
又因为AB∩AD＝A，
所以PA⊥平面ABCD.
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因为平面α的法向量为a＝(x，y，z)，
取y＝3，则x＝2，z＝－4.
所以x∶y∶z＝2∶3∶(－4).
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6.(多选)若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是
C.(4，－6，2)
D.(－2，3，－1)
√
√
√
解析 ∵n为平面α的法向量，
∴λn(λ≠0)也是平面α的法向量，
即与n共线的非零向量都是α的法向量.
由共线定理知，A，C，D中的向量都与n共线，
故能作为法向量.
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解析 由已知l⊥α，得a∥n，
所以m＝4.
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9.如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，BC＝1，AD＝AA1＝3，AB＝
.
试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACD1的一个法向量.
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解 易知，AB，AD，AA1两两垂直.
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量.
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证明 由题意，以点D为原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，E(2，2，1)，
D1(0，0，2)，F(0，1，0)，
所以D1F⊥DE，D1F⊥DA，且DE?平面ADE，DA?平面ADE，DE∩DA＝D，
所以D1F⊥平面ADE，
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综合运用
A.AB⊥α B.AB?α
C.AB与α相交但不垂直 D.AB∥α
√
又点A不在平面α内，n为平面α的一个法向量，所以AB∥α.
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12.若平面α∥β，则下面可以是这两个平面的法向量的是
A.n1＝(1，2，3)，n2＝(－3，2，1)
B.n1＝(1，2，2)，n2＝(－2，2，1)
C.n1＝(1，1，1)，n2＝(－2，2，1)
D.n1＝(1，1，1)，n2＝(－2，－2，－2)
√
解析 因为平面α∥β，
所以两个平面的法向量应该平行，
只有D项符合.
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13.设平面α与向量a＝(－1，2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2，3，1)垂直，则平面α与β的位置关系是______.
垂直
解析 因为a＝(－1，2，－4)，b＝(2，3，1)，
所以a·b＝－2＋6－4＝0，
所以a⊥b，
因为平面α与向量a＝(－1，2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2，3，1)垂直，
所以α⊥β.
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(－2，4，1)或(2，－4，－1)
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设n＝(x，y，z)，
∵n与平面ABC垂直，
解得y＝4或y＝－4.
当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝2，z＝－1.
∴n的坐标为(－2，4，1)或(2，－4，－1).
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拓广探究
15.已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则“m·n＝0”是“l∥α”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
解析 ∵m·n＝0，即m⊥n，不一定有l∥α，也可能l?α，
∴“m·n＝0”是“l∥α”的不充分条件.
∵l∥α，可以推出m⊥n，
∴“m·n＝0”是“l∥α”的必要条件，
综上所述，“m·n＝0”是“l∥α”的必要不充分条件.
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16.已知A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5).
(1)求平面ABC的一个法向量；
解 因为A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，
设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，
所以x＝y＝z，不妨令x＝1，则n＝(1，1，1)，
所以平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1).
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(2)证明：向量a＝(3，－4，1)与平面ABC平行.
即(3，－4，1)＝m(－2，－1，3)＋n(1，－3，2)，
即向量a＝(3，－4，1)与平面ABC平行.
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本课结束(共52张PPT)
第一章 1.2.2 空间中的平面与空间向量
第2课时 三垂线定理及其逆定理
学习目标
1.了解三垂线定理及其逆定理.
2.会用三垂线定理及其逆定理解决简单的问题.
随堂演练
课时对点练
一、三垂线定理
二、三垂线定理的逆定理
三、三垂线定理、逆定理的综合应用
内容索引
一、三垂线定理
问题1 过平面外一点，能做几条直线与平面垂直？
提示 有且只有一条；
如图，P是平面α外一点，PO⊥α，O是垂足，A是异于垂足O的任意一点，则PA是平面α的一条斜线，A是斜足，则直线OA是斜线PA在平面α内的射影，若平面α内的一条直线a⊥OA，由线面垂直的判定定理可知，a⊥平面POA，故a⊥PA.
知识梳理
如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的
垂直，则它也和这条
垂直.
注意点：(1)三垂线定理描述的是斜线PA，射影OA和直线a之间的垂直关系；(2)直线a可以移动，但只能在平面内移动.因此，直线a和斜线PA可以相交也可以异面；(3)三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理.
射影
斜线
例1 如图，已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：PC⊥BC.
证明 因为PA⊥平面ABC，
所以PC是平面ABC的斜线，
所以AC是PC在平面ABC上的射影，
因为BC?平面ABC且AC⊥BC，
所以由三垂线定理得PC⊥BC.
反思感悟 三垂线定理的实质是空间内的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理，关于三垂线定理的应用，关键是找出平面的垂线，至于射影，则是由垂足、斜足来确定的；利用三垂线定理证明两直线a⊥b的步骤：一垂，二射，三证.即第一找平面及平面垂线，第二找射影线，这时a，b便成平面上的一条直线与一条斜线，第三证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直.
跟踪训练1 如图，已知PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：PO⊥BD，PC⊥BD.
证明 ∵PA⊥正方形ABCD所在平面，
则PC，PO在平面ABCD内的射影为AC，AO，
又AC⊥BD，AO⊥BD，
由三垂线定理得，PO⊥BD，PC⊥BD.
二、三垂线定理的逆定理
问题2 如图，如果将三垂线定理中的“a⊥OA”，改为“a⊥PA”，你能得到什么样的结论？
提示 a⊥OA，这其实利用的还是线面垂直的判定定理.
知识梳理
如果平面内的一条直线和这个平面的一条
垂直，则它也和这条斜线在该平面内的
垂直.
斜线
射影
例2 已知α∩β＝AB，PQ⊥α于Q，PO⊥β于O，OR⊥α于点R，求证QR⊥AB.
证明 如图.
∵PQ⊥α于Q，OR⊥α于点R，
∴PO在平面α内的射影为QR，
又PO⊥β于点O，α∩β＝AB，
∴PO⊥AB，
∴由三垂线定理的逆定理知，AB⊥QR.
反思感悟 三垂线定理的逆定理的实质是空间内一条斜线的射影与平面内一条直线垂直的判定定理，其应用关键是找出平面的垂线；证明步骤：第一找平面与平面的垂线，第二找该射影线是哪条斜线的射影，第三证明平面内的直线与斜线垂直，从而得出平面内的直线与射影垂直.
跟踪训练2 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥CD，四边形ABCD是平行四边形，且△PAD为等边三角形.求证：四边形ABCD是矩形.
证明 平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，
故点P在平面ABCD内的射影为AD中点O，
所以PO⊥平面ABCD，
直线OA为直线PA在平面ABCD内的射影，
又PA⊥CD，由三垂线定理的逆定理可知AD⊥CD，
又因为四边形ABCD是平行四边形，
所以四边形ABCD是矩形.
三、三垂线定理、逆定理的综合应用
例3 如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD.
证明 如图，取BC的中点O，连接AO交BD于点E，连接PO.
因为PB＝PC，所以PO⊥BC.
又平面PBC⊥平面ABCD，
平面PBC∩平面ABCD＝BC，
PO?平面PBC，
所以PO⊥平面ABCD，
所以AP在平面ABCD内的射影为AO.
在直角梯形ABCD中，由于AB＝BC＝2CD，
易知Rt△ABO≌Rt△BCD，
所以∠BEO＝∠OAB＋∠DBA＝∠DBC＋∠DBA＝90°，即AO⊥BD.
由三垂线定理，得PA⊥BD.
反思感悟 利用三垂线定理及其逆定理证明垂直的关键是找到平面的垂线、斜线、射影，要区分三垂线定理与三垂线定理的逆定理.
跟踪训练3 下列命题中正确的是
A.如果直线l与平面α外的一条直线l′在平面α内的射影垂直，则l⊥l′
B.如果直线l与平面α外的一条直线l′垂直，则l与l′在平面α内的射影垂直
C.如果向量a和直线l在平面α内的射影垂直，则a⊥l
D.如果非零向量a和平面α平行，且和直线l垂直，直线l不与平面α垂直，
则a垂直于l在平面α内的射影
解析 由三垂线定理的逆定理，知D正确.
√
课堂小结
1.知识清单：
(1)三垂线定理.
(2)三垂线定理的逆定理.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：三垂线定理与三垂线定理的逆定理易混淆.
随堂演练
1.两条异面直线在一个平面内的射影是
A.两条平行直线
B.两条相交直线
C.两条平行直线或两条相交直线
D.以上都不正确
√
解析 除两直线平行或相交外，还可能是一条直线及其外一点.
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2.在平面α内和这个平面的斜线l垂直的直线
A.只有一条
B.可能一条也没有
C.可能有一条也可能有两条
D.有无数多条
√
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3.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则直线CE垂直于
A.AC B.BD C.A1D1 D.AA1
√
解析 (图略)CE?平面ACC1A1，BD⊥平面ACC1A1，
故有BD⊥CE.
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4.菱形ABCD∥平面α，PA⊥α，则PC与BD的位置关系是______.
垂直
解析 由三垂线定理，可知PC与BD垂直.
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课时对点练
基础巩固
1.正方体的体对角线与各个面上与其不共端点的面对角线的位置关系是
A.异面垂直
B.异面不垂直
C.可能相交可能异面
D.可能相交、平行或异面
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2.点P在平面ABC内的射影是O，且PA，PB，PC两两垂直，那么点O是△ABC的
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
解析 因为PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P，
所以PC⊥平面PAB，所以PC⊥AB.
又点P在平面ABC内的射影为O，连接CO，
则CO是PC在平面ABC内的射影，
由三垂线定理的逆定理可知，AB⊥CO，
同理可证AO⊥BC，即O是△ABC的垂心.
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3.已知AB?平面α，AC⊥α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，AB＝m，AC＝BD＝n，则C与D之间的距离是
√
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4.已知△ABC三边的长分别为3，4，5，平面ABC外一点P到△ABC三边的距离都等于2，则P点到平面ABC的距离等于
√
解析 如图，点P在底面上的垂足为O，PE，PF，PD分别是顶点P到三角形各边的距离，由三垂线定理的逆定理可知，OE，OF，OD分别是三角形各边的垂线，
因为三条侧高相等，所以OE＝OF＝OD，
所以O为底面三角形的内心，
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5.在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，下列说法正确的是
A.A在平面BCD内的投影是△BCD的重心
B.A在平面BCD内的投影一定在△BCD的内部
C.AD⊥BC
D.AD∥BC
解析 如图，作AO⊥平面BCD，连接OB，OC，OD，则AO⊥CD，又因为AB⊥CD，由三垂线定理的逆定理可知BO⊥CD，同理CO⊥BD，则O为△BCD的垂心，故A错；
若△BCD为钝角三角形，则其垂心在三角形的外部，故B错；
所以DO⊥BC，由三垂线定理可知AD⊥BC，故C正确，D错.
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6.(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则下列结论正确的有
A.直线DD1与直线AF垂直
B.直线A1G与平面AEF平行
C.点C与点G到平面AEF的距离相等
D.平面AEF截正方体所得的截面面积为
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√
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解析 对于A，取DD1中点M，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影，
∵AM与DD1不垂直，
∴AF与DD1不垂直，故A错误；
对于B，取B1C1中点N，连接A1N，GN，
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1N∥AE，NG∥EF，
A1N?平面AEF，AE?平面AEF，
所以A1N∥平面AEF，同理可证NG∥平面AEF，
A1N∩NG＝N，所以平面A1GN∥平面AEF，
A1G?平面A1GN，所以A1G∥平面AEF，故B正确；
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对于C，假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于H，而H不是CG的中点，
则假设不成立，故C错误；
对于D，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD1∥EF，
把截面AEF补形为四边形AEFD1，
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7.正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AD1与对角面BB1D1D所成角的大小是____.
30°
解析 取BD的中点H，连接AH，
∵正方体ABCD－A1B1C1D1，∴BB1⊥平面AC，
∴AH⊥BB1，∴AH⊥BD且BD∩BB1＝B，
∴AH⊥平面BD1，∴AH⊥D1H，
∴∠AD1H就是直线AD1与平面BD1所成角.
∴∠AD1H＝30°.
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8.已知PA垂直于△ABC所在的平面，AB＝AC＝13，BC＝10，PA＝5，则P点到BC的距离为____.
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解析 取BC的中点E，连接AE，PE，
∵PA⊥平面ABC，
∴AE为PE在平面ABC内的射影，
又AB＝AC，∴AE⊥BC，
由三垂线定理得，PE⊥BC，
又AE＝12，PA＝5，∴PE＝13.
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9.已知H是锐角△ABC的垂心，PH⊥平面ABC，∠BPC＝90°.求证：∠BPA＝90°，∠APC＝90°.
证明 利用三垂线定理可证BP⊥AC，
又BP⊥PC，故PB⊥平面APC，得∠APB＝90°，
同理可证∠APC＝90°.
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10.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，P为B1C1的中点，A1C1与PD1交于M，B1C与PB交于N.求证：MN⊥A1C1，MN⊥B1C，并求MN的长.
由三垂线定理知，BD1⊥A1C1，BD1⊥B1C，
所以MN⊥A1C1，MN⊥B1C.
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综合运用
11.PO⊥平面ABC，垂足为O，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，PA＝PB＝PC＝10，则PO的长等于
√
解析 在△ABC中，∠ABC＝90°，
满足PA＝PB＝PC＝10，PO⊥平面ABC，O为垂足，
所以O是AC的中点，∠BAC＝30°，BC＝5，
解得AC＝10，所以OA＝CO＝OB，
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12.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为
A.1∶2 B.1∶1
C.3∶1 D.2∶1
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解析 方法一 连接AE(图略)，
∵PA⊥平面ABCD，且BF⊥PE，
由三垂线定理的逆定理可知，BF⊥AE，
∴∠EAD＝∠ABF，
∴△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE，即F为中点，
∴AF∶FD＝1∶1.
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方法二 建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方形边长为1，PA＝a，
设点F的坐标为(0，y，0)，
∴F为AD的中点，∴AF∶FD＝1∶1.
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A.平行 B.异面
C.垂直 D.以上都不对
解析 取CD的中点P′，连接PP′，AP′，MP′(图略)，
易知PP′⊥平面ABCD，
所以MP′为PM在平面ABCD内的射影.
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所以AP′2＝AM2＋MP′2，所以AM⊥MP′，
由三垂线定理知AM⊥PM.
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14.空间四边形ABCD的四条边及两条对角线的长均为1，则点A到平面BCD的距离为____.
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解析 设点A′是点A在平面BCD上的投影，分别连接A′B，A′C，A′D，
因为AB＝AC＝AD，
所以它们在平面BCD上的射影A′B，A′C，A′D也都相等，
所以点A′是△BCD的中心.
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拓广探究
15.如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ABC＝60°，PA＝AB＝2，PA⊥平面ABCD.若PC⊥BD，则AD＝___，该四棱锥
的体积为______.
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解析 ∵PA⊥平面ABCD，且BD⊥PC，
由三垂线定理的逆定理知，BD⊥AC.
又四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝2，
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(1)求证：AO⊥平面BCD；
证明 连接OC，
∵BO＝DO，AB＝AD，∴AO⊥BD.
∵BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD.
∴AO2＋CO2＝AC2，
∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC.
∵AO⊥BD，BD∩OC＝O，∴AO⊥平面BCD.
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(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
解 取AC的中点M，连接OM，ME，OE，
由E为BC的中点，知ME∥AB，OE∥DC，
∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角，
∵OM是直角△AOC斜边AC上的中线，
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(3)求点E到平面ACD的距离.
解 设点E到平面ACD的距离为h.
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本课结束1.2.2 空间中的平面与空间向量
第1课时 平面的法向量
学习目标 1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量.2.会利用直线的方向向量及平面的法向量证明直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直.
导语
同学们，前面我们学习直线的方向向量，我们发现，有了直线的方向向量，极大地方便了我们判断与证明空间直线的位置关系以及求两直线的夹角，但空间还有很多和平面有关的位置关系，还记得我们当初用几何法求二面角的时候，我们需要费尽九牛二虎之力构造二面角的平面角，如果说能用空间向量来表示空间平面，这个问题是不是更容易一些，让我们先来看一下如何用空间向量表示空间平面．
一、平面法向量的概念及性质
问题1 设A是空间任一点，n为空间任一非零向量，则适合条件·n＝0的点M的集合构成什么图形？
提示 如图．
容易看出，如果任取两点M1，M2(M1，M2和A三点不共线)，且·n＝0，·n＝0，则n⊥α，由直线与平面垂直的判定定理可知，在平面α内的任一点都满足·n＝0，又知满足条件·n＝0的所有点M都在平面α内，这就说明，我们可以用·n＝0表述通过空间内任一点并且与一个向量垂直的平面，我们把·n＝0通常称为一个平面的向量表示式，其中把非零向量n称为平面α的法向量．
知识梳理
平面的法向量
定义：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，也称n与平面α垂直，记作n⊥α.
性质：①如果直线l垂直平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量．
②如果n是平面α的一个法向量，则对任意实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行．
③如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即·n＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定．
注意点：
(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．
(2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行．
例1 下列说法中不正确的是( )
A．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量
B．一个平面的所有法向量互相平行
C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D．如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量
答案 D
解析 选项A，B，C显然是正确的．只有当a，b不共线且a∥α，b∥α时，D才正确．
反思感悟 明确平面的法向量与平面垂直这一重要特征，平面的法向量不唯一且非零．
跟踪训练1 设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件·n＝0的点M构成的图形是( )
A．圆
B．直线
C．平面
D．线段
答案 C
解析 ∵A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件·n＝0，∴M构成的图形是经过点A，且以n为法向量的平面．
二、利用法向量证明线面平行与垂直
问题2 请同学们写出线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理．
提示 线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行；线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直；面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
知识梳理
1．直线与平面平行、垂直的判定
v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则
n∥v?l⊥α；
n⊥v?l∥α，或l?α.
2．两平面平行、垂直的判定
n1，n2分别是平面α1，α2的法向量，则
n1⊥n2?α1⊥α2；
n1∥n2?α1∥α2，或α1与α2重合.
例2 (1)若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，1，1)，则( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．l?α或l∥α
D．l与α斜交
答案 C
解析 ∵a＝(1，0，2)，n＝(－2，1，1)，∴a·n＝1×(－2)＋0×1＋2×1＝0，即l?α或l∥α.
(2)若直线l的方向向量为a＝(－1，0，－2)，平面α的法向量为u＝(4，0，8)，则( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．l?α
D．l与α斜交
答案 B
解析 由a＝(－1，0，－2)，u＝(4，0，8)，则u＝－4a，所以u∥a，则l⊥α.
反思感悟 用向量证明线面平行需检验该直线是否是平面内的直线，若不在平面内，则线面平行，若在平面内，则不能判断为平行；若直线与平面垂直，则直线的方向向量可以作为平面的法向量．
跟踪训练2 (1)若平面α，β的法向量分别为a＝(－1，2，4)，b＝(x，－1，－2)，并且α∥β，则x的值为( )
A．10
B．－10
C.
D．－
答案 C
解析 因为α∥β，a，b共线，故＝＝，故x＝.
(2)若平面α⊥β，且平面α的一个法向量为n＝，则平面β的法向量可以是( )
A.
B．(2，－1，0)
C．(1，2，0)
D.
答案 C
解析 ∵平面α⊥β，∴平面α的一个法向量与平面β的法向量垂直，即它们的数量积为0.对于A，·＝2＋＋≠0，故A错误；对于B，(2，－1，0)·＝－4－1＋0＝－5≠0，故B错误；对于C，(1，2，0)·＝－2＋2＋0＝0，故C正确；对于D，·＝－1＋1＋1＝1≠0，故D错误．
三、求平面的法向量
问题3 如何求平面的法向量？
提示 一般地，如果题目中有已知的线面垂直关系，则该直线的方向向量即为平面的法向量；否则要利用待定系数法求平面的法向量．
知识梳理
利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)．
(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，.
(3)列方程组：由列出方程组．
(4)解方程组：
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)．
(6)得结论：得到平面的一个法向量．
注意点：赋值时应尽可能保证法向量的三个坐标都为整数，若含有根式，则尽可能不出现在分母．
例3 如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系．
(1)求平面ABCD的一个法向量；
(2)求平面SAB的一个法向量；
(3)求平面SCD的一个法向量．
解 以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，S(0，0，1)．
(1)∵SA⊥平面ABCD，
∴＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量．
(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA?平面ABS，∴AD⊥平面SAB，
∴＝是平面SAB的一个法向量．
(3)在平面SCD中，＝，＝(1，1，－1)．
设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，
则n⊥，n⊥，∴
得方程组∴
令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1，1)．
∴n＝(2，－1，1)是平面SCD的一个法向量(答案不唯一)．
反思感悟 求平面的一个法向量的方法
(1)平面垂线的方向向量法，证明一条直线为一个平面的垂线，则这条直线的一个方向向量即为所求．
(2)待定系数法求平面的法向量．
跟踪训练3 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
解 因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，
则D(0，，0)，E，B(1，0，0)，C(1，，0)，
于是＝，＝(1，，0)．
设n＝(x，y，z)为平面ACE的一个法向量，
则即
所以
令y＝－1，则x＝z＝.
所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)．
(答案不唯一)．
1．知识清单：
(1)平面法向量的概念及性质．
(2)利用法向量判断线面、面面平行与垂直的关系．
(3)求平面的法向量．
2．方法归纳：数形结合、转化与化归．
3．常见误区：正确的赋值求平面的法向量是解决问题的关键．
1．已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，它的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．(1，－1，1)
B.
C.
D.
答案 B
解析 要判断点P是否在平面α内，只需判断向量与平面α的法向量n是否垂直，
即·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验．
对于选项A，＝(1，0，1)，
则·n＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A；
对于选项B，＝，
则·n＝·(3，1，2)＝0，故B正确；
同理可排除C，D.
2．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为，则m等于( )
A．－4
B．－6
C．－8
D．8
答案 C
解析 ∵l∥α，平面α的法向量为，
∴(2，m，1)·＝0，即2＋m＋2＝0，∴m＝－8.
3．已知平面α，β的法向量分别为a＝(－1，y，4)，b＝(x，－1，－2)且α⊥β，则x＋y的值为( )
A．－8
B．－4
C．4
D．8
答案 A
解析 因为平面α，β的法向量分别为a＝(－1，y，4)，b＝(x，－1，－2)且α⊥β，
所以a·b＝0，即－x－y－8＝0，
则x＋y＝－8.
4．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝2，CC1＝3，E，F分别是BC，CD的中点，以D为原点，分别以DA，DC，DD1为坐标轴建立空间直角坐标系，则平面D1EF的一个法向量是________．
答案 (－6，3，2)
解析 ∵长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝2，CC1＝3，E，F分别是BC，CD的中点，
则D1(0，0，3)，E(1，4，0)，F(0，2，0)，
＝(1，4，－3)，＝(0，2，－3)，
设平面D1EF的一个法向量是n＝(x，y，z)，
则
取y＝3，得n＝(－6，3，2)，
则平面D1EF的一个法向量是(－6，3，2)．
课时对点练
1．已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．P(2，3，3)
B．P(－2，0，1)
C．P(－4，4，0)
D．P(3，－3，4)
答案 A
解析 设平面α内一点P(x，y，z)，
则＝(x－1，y＋1，z－2)，∴n⊥，
由n·＝0得6x－3y＋6z－21＝0，
∴2x－y＋2z＝7.
把各选项的坐标数据代入上式验证可知A适合．
2．若平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝，则( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直
D．α∥β或α与β重合
答案 D
解析 因为n＝－3m，所以m∥n，所以α∥β或α与β重合．
3．已知平面α的一个法向量是n＝(1，1，1)，A(2，3，1)，B(1，3，2)，则直线AB与平面α的关系是( )
A．AB∥α
B．AB⊥α
C．AB?α
D．AB∥α或AB?α
答案 D
解析 ＝(－1，0，1)，∴·n＝(－1)×1＋0×1＋1×1＝0，
∵⊥n，∴AB∥α或AB?α.
4．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则直线PA与底面ABCD的关系是( )
A．平行
B．垂直
C．在平面内
D．相交但不垂直
答案 B
解析 因为·＝0，·＝0，
所以AP⊥AD，AP⊥AB，
又因为AB∩AD＝A，
所以PA⊥平面ABCD.
5．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z等于( )
A．2∶3∶(－4)
B．1∶1∶1
C．∶1∶1
D．3∶2∶4
答案 A
解析 ＝，＝(－3，2，0)，
因为平面α的法向量为a＝(x，y，z)，
所以
取y＝3，则x＝2，z＝－4.
所以x∶y∶z＝2∶3∶(－4)．
6．(多选)若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A．
B．(－2，－3，1)
C．(4，－6，2)
D．(－2，3，－1)
答案 ACD
解析 ∵n为平面α的法向量，
∴λn(λ≠0)也是平面α的法向量，
即与n共线的非零向量都是α的法向量．
由共线定理知，A，C，D中的向量都与n共线，
故能作为法向量．
7．若直线l的方向向量为a＝(2，1，m)，平面α的法向量为n＝，且l⊥α，则m的值为________．
答案 4
解析 由已知l⊥α，得a∥n，所以m＝4.
8．若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1，2，1)，c＝均与平面α平行，则向量a＝________.
答案
解析 由题意，知
即
解得
所以a＝.
9．如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，BC＝1，AD＝AA1＝3，AB＝.
试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACD1的一个法向量．
解 易知，AB，AD，AA1两两垂直．
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
则A(0，0，0)，C(，1，0)，D1(0，3，3)．
＝(0，3，3)，＝(，1，0)，
设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量．
则即
令x＝1，则n＝(1，－，)．
所以平面ACD1的一个法向量为(1，－，)．
10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BB1，CD的中点．求证：为平面ADE的一个法向量．
证明 由题意，以点D为原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，E(2，2，1)，D1(0，0，2)，F(0，1，0)，
可得＝(2，2，1)，＝(2，0，0)，＝(0，1，－2)，
所以·＝2－2＝0，·＝0，
所以D1F⊥DE，D1F⊥DA，且DE?平面ADE，DA?平面ADE，DE∩DA＝D，所以D1F⊥平面ADE，
所以为平面ADE的一个法向量．
11．已知＝(－3，1，2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－2，4)，点A不在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系为( )
A．AB⊥α
B．AB?α
C．AB与α相交但不垂直
D．AB∥α
答案 D
解析 因为n·＝2×(－3)＋(－2)×1＋4×2＝0，所以n⊥.
又点A不在平面α内，n为平面α的一个法向量，
所以AB∥α.
12．若平面α∥β，则下面可以是这两个平面的法向量的是( )
A．n1＝(1，2，3)，n2＝(－3，2，1)
B．n1＝(1，2，2)，n2＝(－2，2，1)
C．n1＝(1，1，1)，n2＝(－2，2，1)
D．n1＝(1，1，1)，n2＝(－2，－2，－2)
答案 D
解析 因为平面α∥β，
所以两个平面的法向量应该平行，
只有D项符合．
13．设平面α与向量a＝(－1，2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2，3，1)垂直，则平面α与β的位置关系是________．
答案 垂直
解析 因为a＝(－1，2，－4)，b＝(2，3，1)，
所以a·b＝－2＋6－4＝0，所以a⊥b，
因为平面α与向量a＝(－1，2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2，3，1)垂直，
所以α⊥β.
14．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3，1)，C(2，－2，1)．若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，则n的坐标为________________．
答案 (－2，4，1)或(2，－4，－1)
解析 据题意，得＝(－1，－1，2)，＝(1，0，2)．
设n＝(x，y，z)，
∵n与平面ABC垂直，
∴即可得
∵|n|＝，
∴＝，
解得y＝4或y＝－4.
当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝2，z＝－1.
∴n的坐标为(－2，4，1)或(2，－4，－1)．
15．已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则“m·n＝0”是“l∥α”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 ∵m·n＝0，
即m⊥n，不一定有l∥α，也可能l?α，
∴“m·n＝0”是“l∥α”的不充分条件．
∵l∥α，可以推出m⊥n，
∴“m·n＝0”是“l∥α”的必要条件，
综上所述，“m·n＝0”是“l∥α”的必要不充分条件．
16．已知A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．
(1)求平面ABC的一个法向量；
(2)证明：向量a＝(3，－4，1)与平面ABC平行．
(1)解 因为A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，
所以＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，
设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，
则有
所以x＝y＝z，不妨令x＝1，
则n＝(1，1，1)，
所以平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)．
(2)证明 若存在实数m，n，使a＝m＋n，
即(3，－4，1)＝m(－2，－1，3)＋n(1，－3，2)，
则解得
所以a＝－＋，
即向量a＝(3，－4，1)与平面ABC平行．
