1.2.5 空间中的距离
学习目标 掌握向量长度计算公式，会用向量方法求两点间的距离、点线距离、点到平面的距离、线面距和面面距．
导语
同学们，生活中的距离问题非常常见，比如，任意两个同学之间的距离、每一个同学与黑板之间的距离、体育课上同学们和旗杆之间的距离等等，这些反映到我们数学上，实际上就是空间点、线、面之间的距离问题，今天我们就具体探究解决这些距离问题的方法．
一、空间中两点之间的距离
问题1 求空间两点之间的距离有哪些方法？
提示 方法一：(几何法)通过把空间两点放到三角形中去，然后利用正弦定理或余弦定理求长度．
方法二：(向量法)选取空间向量的一组基底，要求该组基底的模已知，夹角已知，然后用基底表示目标向量，求模即可．
方法三：(坐标法)建系，写出相关点的坐标，利用公式d＝即可．
知识梳理
空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长，可借助向量构造三角形利用三角形法则求向量的模或建立空间直角坐标系求解．
例1 (1)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，有AB＝BC＝1，CD＝2，点E为CD的中点，则AE的长为( )
A.
B. C.2
D.
答案 B
解析 因为＝＋＋，||＝||＝||＝1，且·＝·＝·＝0，
所以2＝(＋＋)2＝3，即AE的长为.
(2)如图，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0
①求MN的长．
②a为何值时，MN的长最小？
解 ①建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，F(1，1，0)，C(0，0，1)．
因为CM＝BN＝a(0且四边形ABCD，ABEF均为正方形，
所以M?，N?.
所以＝，
所以||＝.
②由①知MN＝(0所以当a＝时，MNmin＝.
即M，N分别移动到AC，BF的中点时，MN的长最小，最小值为.
反思感悟 计算两点间的距离的两种方法
(1)利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用AB＝＝求解．
(2)用坐标法求向量的模(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时．
跟踪训练1 (1)在空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与B(x，－1，6)间的距离为，则x＝________.
答案 2或－8
解析 由已知得＝，
解得x＝2或x＝－8.
(2)从点A(2，－1，7)沿向量a＝(8，9，－12)的方向取线段长||＝34，则B点坐标为( )
A.(18，17，－17)
B.(－14，－19，17)
C.
D.
答案 A
解析 设B点坐标为(x，y，z)，则＝λa(λ>0)，
即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8，9，－12)，
由||＝34，即＝34，
得λ＝2，所以x＝18，y＝17，z＝－17.
二、点到直线的距离
问题2 求空间点到直线的距离有哪些？
提示 方法一：(几何法)利用等面积法求点到直线的距离．
方法二：(向量法)如图．
P是直线l外一点，是直线l的一个方向向量，是在上的投影向量，而||＝||cos
θ＝||×＝，由勾股定理得|PD|＝.
知识梳理
给定空间中一条直线l及l外一点A，过A可以作直线l的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到直线l的距离，点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度．
注意点：(1)点到直线的距离公式d＝，其中P为直线外一点，为直线的任一方向向量；(2)空间两平行直线的距离转化为点到直线的距离．
例2 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离．
解 方法一 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图．
令DA＝2，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，＝(1，－2，1)．
设点M满足＝λ且AM⊥EF，
令M(x，y，z)，
∴(x－1，y，z－2)＝λ(1，－2，1)，
∴x＝λ＋1，y＝－2λ，z＝λ＋2，
∴M(λ＋1，－2λ，λ＋2)，∴＝(λ－1，－2λ，λ＋2)，
∵AM⊥EF，
∴·＝λ－1＋4λ＋λ＋2＝0，解得λ＝－.
∴＝，
∴||＝＝，
∴点A到EF的距离为.
方法二 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图．
设DA＝2，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，＝(1，－2，1)，＝(1，0，－2)．
∴||＝＝，
·＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1，
∴在上的投影长度为＝.
∴点A到直线EF的距离d＝＝＝.
反思感悟 用向量法求点到直线的距离的一般步骤
方法一：利用空间向量找垂线段，再求模即可．
方法二：(1)建立空间直角坐标系．
(2)求直线的方向向量．
(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影．
(4)利用勾股定理求点到直线的距离．
另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．
跟踪训练2 如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离．
解 ∵AB＝1，BC＝2，AA′＝3，
∴A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，∴＝(1，2，－3)．
又∵＝(0，2，0)，
∴在上的投影长度为＝.
∴点B到直线A′C的距离d＝＝＝.
三、点到平面的距离
问题3 求空间点到平面的距离有哪些方法？
提示 方法一：(几何法)利用等体积法求点到平面的距离．
方法二：(向量法)如图，点A为平面α外一点，点B为平面α内任一点，AA′⊥α，n为平面α的一个法向量，容易发现，在法向量n方向上的投影即为点A到平面α的距离，即d＝.
知识梳理
给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到平面α的距离，点到平面的距离也是这个点与平面内点的最短连线的长度．如图，A为平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离d＝.
例3 已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离．
解 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，
则G(0，0，2)，E(4，－2，0)，F(2，－4，0)，B(4，0，0)，
∴＝(4，－2，－2)，＝(2，－4，－2)，＝(0，－2，0)．
设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)．
由得
∴x＝－y，z＝－3y.
取y＝1，则n＝(－1，1，－3)．
∴点B到平面EFG的距离d＝＝＝.
反思感悟 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)求出该平面的一个法向量．
(3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量．
(4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离．
跟踪训练3 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2.
(1)求证：A1C∥平面AB1D；
(2)求点C1到平面AB1D的距离．
(1)证明 如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA所在直线为x轴，y轴，过点D且与AA1平行的直线为z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，C(1，0，0)，B1(－1，0，2)，A1(0，，2)，A(0，，0)，C1(1，0，2)，＝(1，－，－2)，＝(－1，－，2)，＝(0，－，0)．
设平面AB1D的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即
令z＝1，则y＝0，x＝2，
∴n＝(2，0，1)．
∵·n＝1×2＋(－)×0＋(－2)×1＝0，
∴⊥n.
∵A1C?平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D.
(2)解 由(1)知平面AB1D的法向量n＝(2，0，1)，
且＝(－1，，－2)，
∴点C1到平面AB1D的距离d＝＝＝.
四、直线到平面的距离、平面到平面的距离
知识梳理
(1)当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为直线与平面之间的距离．
(2)当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离．
(3)与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线．
公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段．
公垂线段的长即为两个平行平面之间的距离．
(4)直线与平面的距离和平面与平面之间的距离都可以归结成点到平面的距离．
例4 在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离．
解 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，
则A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E(0，，1)，C(0，，0)．
过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝，∴B(1，2，0)，
∴＝(0，2，0)，＝(－1，－，1)．
设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1，0，1)．
∵＝(0，0，2)，∴直线A1B1与平面ABE的距离d＝＝＝.
反思感悟 (1)求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可．
(2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可．
跟踪训练4 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．
解 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
＝(0，1，－1)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，0)．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，得y＝1，x＝－1，
∴n＝(－1，1，1)．
∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.
∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，
∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.
1．知识清单：
(1)空间中两点之间的距离．
(2)点到直线的距离．
(3)点到面的距离．
(4)直线到平面、平面到平面的距离．
2．方法归纳：数形结合、转化法．
3．常见误区：线到平面，平面到平面的距离，前提是线与面平行、平面与平面平行，并不是所有的线面、面面都有距离．
1．已知空间两点A，B的坐标分别为(1，1，1)，(2，2，2)，则A，B两点的距离为( )
A．3
B．3
C.
D.
答案 C
解析 AB＝||＝＝.
2．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为( )
A.
B．2
C.
D.
答案 A
解析 方法一 以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
易知＝(－2，2，0)为平面B1D1DB的一个法向量．
又＝(2，0，0)，
所以A1A到平面B1D1DB的距离为＝.
方法二 由题意可知，A1A∥平面B1D1DB，A1A到平面B1D1DB的距离就是点A1到平面的距离．连接A1C1，交B1D1于O1，A1O1即为所求．
由题意可得A1O1＝A1C1＝.
3．若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)．
可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)，
则d＝＝.
4．已知直线l经过点A(2，3，1)，且向量n＝(1，0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4，3，2)到l的距离为________．
答案
解析 因为＝(－2，0，－1)，又n与l垂直，所以点P到l的距离为＝＝.
课时对点练
1．在空间直角坐标系中，已知点A(2，3，4)，B(－2，1，0)，C(1，1，1)，那么点C到线段AB中点的距离是( )
A.1
B.
C.2
D.
答案 B
解析 线段AB中点D的坐标为(0，2，2)，||＝＝.
2．已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为( )
A.
B.1
C.
D.
2
答案 A
解析 ∵A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，
＝(1，0，0)，＝(－1，2，－2)，
∴点A到直线BC的距离为d＝＝
＝.
3．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则平面外一点P(－2，1，4)到α的距离为( )
A．10
B．3
C.
D.
答案 D
解析 ＝(1，2，－4)，
则点P到α的距离d＝＝＝.
4．如图，已知直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝2，BO＝6，D为A1B1的中点，且异面直线OD与A1B垂直，则直线A1B1到平面ABO的距离为( )
A．2
B．3
C．4
D．6
答案 C
解析 由直棱柱的性质，知直线A1B1到平面ABO的距离为棱柱的高，不妨设为t(t>0)．
以OA，OB，OO1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，6，0)，A1(2，0，t)，B1(0，6，t)，
则D(1，3，t)，所以＝(－2，6，－t)，＝(1，3，t)，
所以·＝－2＋18－t2＝0，所以t＝4.
5．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝AD＝2AB＝2BC＝2，M，N分别为PD，AD的中点，则平面PAB与平面CMN之间的距离为( )
A．2
B．1
C.
D.
答案 B
解析 ∵在△PAD中，M，N分别为PD，AD的中点，
∴MN∥PA，
∵MN?平面PAB，PA?平面PAB，
∴MN∥平面PAB.
又AN∥BC，且AN＝BC＝1，
∴四边形ABCN为平行四边形，∴CN∥AB.
又CN?平面PAB，AB?平面PAB，
∴CN∥平面PAB，
又CN∩MN＝N，∴平面CMN∥平面PAB，
又AD⊥AB，AD⊥PA，且AB∩PA＝A，
∴AD⊥平面PAB，AD⊥平面CMN，
∴线段AN为平面PAB与平面CMN的公垂线段，且AN＝1，
∴平面PAB与平面CMN之间的距离为1.
6．(多选)如图，在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为体对角线BD1上靠近B点的三等分点，P到正方体顶点的距离可能为( )
A.
B. C．2
D．6
答案 ABC
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正方体的棱长AB＝3，
则A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，A1(3，0，3)，B1(3，3，3)，C1(0，3，3)，D1(0，0，3)，
所以＝(－3，－3，3)，
因为＝＝(－1，－1，1)，
所以＝＋＝(2，2，1)．
所以PA＝PC＝PB1＝＝，
PD＝PA1＝PC1＝＝3，
PB＝，PD1＝＝2.
故P到正方体顶点的距离的不同取值有，3，，2.
7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是________．
答案
解析 建立空间直角坐标系如图所示，＝(0，2，0)，＝(0，1，2)，
∴cos
θ＝＝＝，
∴sin
θ＝＝，
∴点A到直线BE的距离d＝||sin
θ＝2×＝.
8．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________．
答案
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
则A，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，
则＝，
＝(0，1，0)，＝(0，1，－1)．
设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，1)，
则有
解得n＝，
则所求距离为＝＝.
9．正四面体A－BCD，棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，求EF的长．
解 如图所示，＝－＝－(＋)＝(－－)，
∴2＝(－－)2＝(2＋2＋2－2·－2·＋2·)
＝＝×8＝2，
∴||＝，
故EF的长为.
10．已知边长为4的正三角形ABC，E，F分别为BC和AC的中点．PA＝2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点．
(1)求证：AE∥平面PFQ；
(2)求AE与平面PFQ间的距离．
(1)证明 如图所示，以A为坐标原点，平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系．
∵AP＝2，AB＝BC＝AC＝4，又E，F分别是BC，AC的中点，
∴A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，F(0，2，0)，E(，3，0)，Q，P(0，0，2)．
∵＝，＝(，3，0)，∴＝2.
∵与无交点，
∴AE∥FQ.又FQ?平面PFQ，AE?平面PFQ，
∴AE∥平面PFQ.
(2)解 由(1)知，AE∥平面PFQ，
∴点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离．
设平面PFQ的法向量为n＝(x，y，z)，
又＝(0，2，－2)，＝，
∴即
令y＝1，则x＝－，z＝1，
∴平面PFQ的一个法向量为n＝(－，1，1)．
又＝，
∴所求距离d＝＝.
11．已知棱长为1的正方体ABCD－EFGH，若点P在正方体内部且满足＝＋＋，则点P到AB的距离为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 以A为原点，AB，AD，AE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，
则＝(1，0，0)＋(0，1，0)＋(0，0，1)＝.
又＝(1，0，0)，
所以在上的投影的长度为＝.
所以点P到AB的距离为＝.
12．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是( )
A.
B. C.
D.
答案 C
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，2)．
根据题意，可设点P的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0，1]，
点Q的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0，1]，
则PQ＝＝＝，
当且仅当λ＝，μ＝时，线段PQ的长度取得最小值.
13．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为( )
A．2
B.
C.
D.
答案 D
解析 以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则G(2，λ，2)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，
所以＝(－2，0，1)，＝(0，2，0)，＝(0，λ，1)．
设平面D1EF的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝1，得n＝(1，0，2)为平面D1EF的一个法向量，
∴点G到平面D1EF的距离为d＝＝＝.
14．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC，底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点，则平面AB1O1与平面BC1O间的距离为________．
答案
解析 如图，连接OO1，根据题意，OO1⊥底面ABC，则以O为坐标原点，分别以OB，OC，OO1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
∵AO1∥OC1，OB∥O1B1，AO1∩O1B1＝O1，OC1∩OB＝O，
∴平面AB1O1∥平面BC1O，
∴平面AB1O1与平面BC1O间的距离即为点O1到平面BC1O的距离．
∵O(0，0，0)，B(，0，0)，C1(0，1，2)，O1(0，0，2)，
∴＝(，0，0)，＝(0，1，2)，＝(0，0，2)，
设n＝(x，y，z)为平面BC1O的法向量，
则即
∴可取n＝(0，2，－1)．
点O1到平面BC1O的距离记为d，
则d＝＝＝，
∴平面AB1O1与平面BC1O间的距离为.
15．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是1，则直线DA1与AC间的距离为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 建立空间直角坐标系，如图所示，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，1，0)，
所以＝(－1，1，0)，＝(1，0，1)．
设n＝(x，y，z)，令则
令x＝1，则n＝(1，1，－1)．
又＝(1，0，0)，
所以DA1与AC间的距离d＝＝.
16．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ABC＝90°，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，问：在线段PA上是否存在一点M，使其到平面PCD的距离为？若存在，试确定M点的位置；若不存在，请说明理由．
解 如图所示，以点A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，＝(1，1，－2)，＝(0，2，－2).
设直线PA上有一点M(0，0，z0)，
平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，得所以n＝(1，1，1)，
又＝(0，0，2－z0)，
故点M到平面PCD的距离为d＝＝|2－z0|.
令d＝，可解得z0＝3或z0＝1.
当z0＝3时，M(0，0，3)在线段AP的延长线上，故舍去；
当z0＝1时，M(0，0，1)是线段AP的中点．
综上可知，线段AP的中点到平面PCD的距离为.(共84张PPT)
第一章 §1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.5 空间中的距离
学习目标
掌握向量长度计算公式，会用向量方法求两点间的距离、点线距离、点到平面的距离、线面距和面面距.
导语
同学们，生活中的距离问题非常常见，比如，任意两个同学之间的距离、每一个同学与黑板之间的距离、体育课上同学们和旗杆之间的距离等等，这些反映到我们数学上，实际上就是空间点、线、面之间的距离问题，今天我们就具体探究解决这些距离问题的方法.
随堂演练
课时对点练
一、空间中两点之间的距离
二、点到直线的距离
三、点到平面的距离
内容索引
四、直线到平面的距离、平面到平面的距离
一、空间中两点之间的距离
问题1 求空间两点之间的距离有哪些方法？
提示 方法一：(几何法)通过把空间两点放到三角形中去，然后利用正弦定理或余弦定理求长度.
方法二：(向量法)选取空间向量的一组基底，要求该组基底的模已知，夹角已知，然后用基底表示目标向量，求模即可.
方法三：(坐标法)建系，写出相关点的坐标，
知识梳理
空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的
，可借助向量构造三角形利用三角形法则求向量的模或建立空间直角坐标系求解.
线段长
例1 (1)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，有AB＝BC＝1，CD＝2，点E为CD的中点，则AE的长为
√
①求MN的长.
解 建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，F(1，1，0)，C(0，0，1).
且四边形ABCD，ABEF均为正方形，
②a为何值时，MN的长最小？
即M，N分别移动到AC，BF的中点时，MN的长最小，
反思感悟 计算两点间的距离的两种方法
(2)用坐标法求向量的模(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时.
2或－8
解得x＝2或x＝－8.
解析 设B点坐标为(x，y，z)，
√
即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8，9，－12)，
得λ＝2，所以x＝18，y＝17，z＝－17.
二、点到直线的距离
问题2 求空间点到直线的距离有哪些？
提示 方法一：(几何法)利用等面积法求点到直线的距离.
方法二：(向量法)如图.
知识梳理
给定空间中一条直线l及l外一点A，过A可以作直线l的一条
，这条垂线段的
称为点A到直线l的距离，点到直线的距离也是这个点与直线上点的
连线的长度.
垂线段
长
最短
例2 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离.
解 方法一 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图.
令DA＝2，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，
令M(x，y，z)，
∴(x－1，y，z－2)＝λ(1，－2，1)，
∴x＝λ＋1，y＝－2λ，z＝λ＋2，
∴M(λ＋1，－2λ，λ＋2)，
∵AM⊥EF，
方法二 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图.
设DA＝2，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，
反思感悟 用向量法求点到直线的距离的一般步骤
方法一：利用空间向量找垂线段，再求模即可.
方法二：(1)建立空间直角坐标系.
(2)求直线的方向向量.
(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影.
(4)利用勾股定理求点到直线的距离.
另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.
跟踪训练2 如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离.
解 ∵AB＝1，BC＝2，AA′＝3，
∴A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，
三、点到平面的距离
问题3 求空间点到平面的距离有哪些方法？
提示 方法一：(几何法)利用等体积法求点到平面的距离.
知识梳理
给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条
，这条垂线段的
称为点A到平面α的距离，点到平面的距离也是这个点与平面内点的
连线的长度.如图，A为平面α外一点，B是平面α内一点，
n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离d＝
.
垂线段
长
最短
例3 已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离.
解 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，
则G(0，0，2)，E(4，－2，0)，F(2，－4，0)，B(4，0，0)，
设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z).
∴x＝－y，z＝－3y.
取y＝1，则n＝(－1，1，－3).
反思感悟 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)求出该平面的一个法向量.
(3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量.
(4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离.
跟踪训练3 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2.
(1)求证：A1C∥平面AB1D；
证明 如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA所在直线为x轴，y轴，过点D且与AA1平行的直线为z轴建立空间直角坐标系Dxyz，
设平面AB1D的法向量为n＝(x，y，z)，
令z＝1，则y＝0，x＝2，
∴n＝(2，0，1).
∵A1C?平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D.
(2)求点C1到平面AB1D的距离.
解 由(1)知平面AB1D的法向量n＝(2，0，1)，
四、直线到平面的距离、平面到平面的距离
知识梳理
(1)当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的
称为直线与平面之间的
.
(2)当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离.
(3)与两个平行平面同时
的直线，称为这两个平面的
.
夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的
.
的长即为两个平行平面之间的距离.
(4)直线与平面的距离和平面与平面之间的距离都可以归结成点到平面的距离.
距离
距离
垂直
公垂线
公垂线
公垂线段
公垂线段
解 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，
设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，
∴y＝0，x＝z，
不妨取n＝(1，0，1).
反思感悟 (1)求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可.
(2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可.
跟踪训练4 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
解 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
令z＝1，得y＝1，x＝－1，
∴n＝(－1，1，1).
∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，
课堂小结
1.知识清单：
(1)空间中两点之间的距离.
(2)点到直线的距离.
(3)点到面的距离.
(4)直线到平面、平面到平面的距离.
2.方法归纳：数形结合、转化法.
3.常见误区：线到平面，平面到平面的距离，前提是线与面平行、平面与平面平行，并不是所有的线面、面面都有距离.
随堂演练
1.已知空间两点A，B的坐标分别为(1，1，1)，(2，2，2)，则A，B两点的距离为
√
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2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为
√
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2
3
4
解析 方法一 以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
方法二 由题意可知，A1A∥平面B1D1DB，A1A到平面B1D1DB的距离就是点A1到平面的距离.
连接A1C1，交B1D1于O1，A1O1即为所求.
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4
3.若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是
√
解析 分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1).
可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)，
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4.已知直线l经过点A(2，3，1)，且向量n＝(1，0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4，3，2)到l的距离为____.
又n与l垂直，
1
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课时对点练
基础巩固
1.在空间直角坐标系中，已知点A(2，3，4)，B(－2，1，0)，C(1，1，1)，那么点C到线段AB中点的距离是
解析 线段AB中点D的坐标为(0，2，2)，
√
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2.已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为
√
解析 ∵A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，
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3.已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则平面外一点P(－2，1，4)到α的距离为
√
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4.如图，已知直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝
，AO＝2，BO＝6，D为A1B1的中点，且异面直线OD与A1B垂直，则直线A1B1到平面ABO的距离为
A.2 B.3 C.4 D.6
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解析 由直棱柱的性质，知直线A1B1到平面ABO的距离为棱柱的高，不妨设为t(t>0).
以OA，OB，OO1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立
如图所示的空间直角坐标系，
则O(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，6，0)，A1(2，0，t)，B1(0，6，t)，
则D(1，3，t)，
所以t＝4.
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5.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝AD＝2AB＝2BC＝2，M，N分别为PD，AD的中点，则平面PAB与平面CMN之间的距离为
√
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解析 ∵在△PAD中，M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA，
∵MN?平面PAB，PA?平面PAB，∴MN∥平面PAB.
又AN∥BC，且AN＝BC＝1，
∴四边形ABCN为平行四边形，∴CN∥AB.
又CN?平面PAB，AB?平面PAB，∴CN∥平面PAB，
又CN∩MN＝N，∴平面CMN∥平面PAB，
又AD⊥AB，AD⊥PA，且AB∩PA＝A，
∴AD⊥平面PAB，AD⊥平面CMN，
∴线段AN为平面PAB与平面CMN的公垂线段，且AN＝1，
∴平面PAB与平面CMN之间的距离为1.
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6.(多选)如图，在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为体对角线BD1上靠近B点的三等分点，P到正方体顶点的距离可能为
√
√
√
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解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正方体的棱长AB＝3，
则A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，A1(3，0，3)，B1(3，3，3)，C1(0，3，3)，D1(0，0，3)，
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7.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是______.
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8.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为_____.
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解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，1)，
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9.正四面体A－BCD，棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，求EF的长.
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10.已知边长为4的正三角形ABC，E，F分别为BC和AC的中点.PA＝2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点.
(1)求证：AE∥平面PFQ；
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证明 如图所示，以A为坐标原点，平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系.
∵AP＝2，AB＝BC＝AC＝4，
又E，F分别是BC，AC的中点，
又FQ?平面PFQ，AE?平面PFQ，∴AE∥平面PFQ.
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(2)求AE与平面PFQ间的距离.
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解 由(1)知，AE∥平面PFQ，
∴点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离.
设平面PFQ的法向量为n＝(x，y，z)，
令y＝1，
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综合运用
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解析 以A为原点，AB，AD，AE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，
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12.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是
√
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解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，2).
根据题意，可设点P的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0，1]，
点Q的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0，1]，
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13.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为
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解析 以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则G(2，λ，2)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，
设平面D1EF的法向量为n＝(x，y，z)，
取x＝1，得n＝(1，0，2)为平面D1EF的一个法向量，
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14.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC，底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点，
则平面AB1O1与平面BC1O间的距离为_____.
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解析 如图，连接OO1，根据题意，OO1⊥底面ABC，则以O为坐标原点，分别以OB，OC，OO1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
∵AO1∥OC1，OB∥O1B1，AO1∩O1B1＝O1，OC1∩OB＝O，
∴平面AB1O1∥平面BC1O，
∴平面AB1O1与平面BC1O间的距离即为点O1到平面BC1O的距离.
设n＝(x，y，z)为平面BC1O的法向量，
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∴可取n＝(0，2，－1).
点O1到平面BC1O的距离记为d，
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拓广探究
15.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是1，则直线DA1与AC间的距离为
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解析 建立空间直角坐标系，如图所示，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，1，0)，
设n＝(x，y，z)，
令x＝1，则n＝(1，1，－1).
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解 如图所示，以点A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，
设直线PA上有一点M(0，0，z0)，
平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
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所以n＝(1，1，1)，
当z0＝3时，M(0，0，3)在线段AP的延长线上，故舍去；
当z0＝1时，M(0，0，1)是线段AP的中点.
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本课结束