1.2.4 二面角
第1课时 二面角及其度量
学习目标 1.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角.2.掌握求二面角的基本方法步骤.
导语
同学们，大家经常听到把门打开、把课本打开等，门所在的平面与墙所在的平面或课本的任意两页之间自然形成一个角，它们都有一个共同点，那就是都有一个“旋转轴”；因疫情的关系，大家洗手时都养成了一个习惯，那就是五指交叉洗手法，此时两只手掌所在的平面自然形成了四个角；这两类角到底有什么样的区别和联系，这就是我们今天要解决的内容.
一、二面角的相关概念
问题1 二面角与两个平面的夹角有何区别？
提示 ①概念的不同．二面角：是由一条直线出发的两个半平面组成的图形；两个平面的夹角：两个平面相交时，形成四个二面角，其中不小于0°且不大于90°的角称为两个平面的夹角．②范围的不同．二面角θ的范围：0≤θ≤π，两个平面的夹角θ的范围：0≤θ≤.
知识梳理
1．二面角的定义：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角．如图所示，其中，直线l叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，如图中的α，β.
2．二面角的平面角
在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小．特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角．
3．二面角的范围：[0，π]．
4．两个平面所成的角
两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小．
例1 已知平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D，E分别是点A在PC，PB上的射影，则( )
A．∠ADE是二面角A－PC－B的平面角
B．∠AED是二面角A－PB－C的平面角
C．∠DAE是二面角B－PA－C的平面角
D．∠ACB是二面角A－PC－B的平面角
答案 B
解析 因为PA⊥BC，AC⊥BC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.
又AD?平面PAC，所以AD⊥BC.
又AD⊥PC，BC∩PC＝C，
所以AD⊥平面PBC，所以AD⊥PB.
又AE⊥PB，AD∩AE＝A，
所以PB⊥平面ADE，所以DE⊥PB，
所以∠AED为二面角A－PB－C的平面角．
反思感悟 构造二面角的平面角，一般在直线上取一点O，然后分别在两个半平面内作直线OA，OB均与该直线垂直，则∠AOB即为二面角的平面角．
跟踪训练1 如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )
A．相等
B．互补
C．相等或互补
D．不能确定
答案 C
解析 当两个平面的开口方向相同时，这两个二面角大小相等，当两个平面的开口方向不同时，这两个二面角大小互补．
二、几何法求二面角
例2 已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝a，则二面角A－BC－D的大小为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
答案 C
解析 如图，取BC的中点为E，连接AE，DE，由题意得AE⊥BC，DE⊥BC，且AE＝DE＝a，
∴∠AED是二面角A－BC－D的平面角．
又∵AD＝a，∴∠AED＝60°，
即二面角A－BC－D的大小为60°.
反思感悟 用定义求二面角的步骤
(1)作(找)出二面角的平面角．
(2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角．
(3)解三角形求角．
跟踪训练2 若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，则二面角P－BC－A的大小为________．
答案 90°
解析 取BC的中点O，连接PO，AO，
则∠POA就是二面角P－BC－A的平面角．
又PO＝AO＝，PA＝，
所以∠POA＝90°.
三、二面角与面积之间的联系
问题2 如图，△ABC在平面α上的射影为△A′BC，二面角A－BC－A′的大小为θ，则cos
θ，S△ABC，S△A′BC之间有什么样的关系？
提示 作AD⊥BC，则A′D为AD在平面α上的射影，由三垂线定理的逆定理可知A′D⊥BC，则∠ADA′＝θ，故有cos
θ＝＝＝.
知识梳理
已知平面β内一个多边形的面积为S，它在平面α内的射影图形的面积为S′，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则cos
θ＝.
例3 已知在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，求二面角B－AP－C的余弦值．
解 方法一 如图，过点B作BE⊥AC于点E，则E为AC的中点，过点E作EF⊥PA于点F，连接BF.
因为PC⊥平面ABC，PC?平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABC.
又因为BE⊥AC，BE?平面ABC，平面ABC∩平面PAC＝AC，所以BE⊥平面PAC.
由三垂线定理有BF⊥PA，
所以∠BFE是二面角B－PA－C的平面角．
设PC＝1，由E是AC的中点，
得BE＝，EF＝sin
45°＝，所以BF＝，
所以cos∠BFE＝＝.
方法二 (利用射影面积公式)
如图，过点B作BE⊥AC于点E，连接PE.
因为PC⊥平面ABC，PC?平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABC，
又因为BE⊥AC，BE?平面ABC，平面ABC∩平面PAC＝AC，
所以BE⊥平面PAC，
所以△PAE是△PAB在平面PAC上的射影．
设PC＝1，则PA＝PB＝，AB＝1，
所以在△PAB中，AB边上的高h＝，
所以S△PAB＝.
又S△PAE＝S△PAC＝.
设二面角B－PA－C的大小为θ，
由射影面积公式有cos
θ＝＝.
反思感悟 对射影面积公式的理解
(1)来源：三垂线定理．
(2)适用范围：当二面角的一个半平面上的封闭图形的面积及它在另一个半平面上的射影的面积已知或者能求出．
(3)优势：不需要作出二面角的平面角．
跟踪训练3 四边形ABCD是边长为2的正方形，MA和PB都与平面ABCD垂直，且PB＝2MA＝2，则平面PMD与平面ABCD所成角的余弦值为________．
答案 或
解析 △MPD在平面ABCD上的射影为△ABD，易得S△ABD＝2，
设平面PMD与平面ABCD所成角的大小为θ，
当M，P在平面ABCD同侧时，S△MPD＝，
∴cos
θ＝＝；
当M，P在平面ABCD异侧时，S△MPD＝，
∴cos
θ＝＝，
则平面PMD与平面ABCD所成角的余弦值为或.
1．知识清单：
(1)二面角及其度量．
(2)几何法求二面角．
(3)二面角与面积之间的联系．
2．方法归纳：数形结合、转化、代入法．
3．常见误区：二面角与两个平面的夹角易混淆．
1．如图所示，点P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM，PN，若∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，则二面角α－AB－β的大小为( )
A．60°
B．70°
C．80°
D．90°
答案 D
解析 过AB上一点Q分别在α，β内作AB的垂线，交PM，PN于点M，N，
则∠MQN即为二面角α－AB－β的平面角，如图所示．
设PQ＝a，∵∠QPN＝∠QPM＝45°，
∴QN＝QM＝a，PN＝PM＝a，
又∵∠MPN＝60°，∴△MPN为等边三角形，
则MN＝a，
∴QN2＋QM2＝MN2，
∴∠MQN＝90°.
2．正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PBC与平面ABCD的夹角为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
答案 B
解析 如图所示，PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC.
又BC⊥AB，且PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB，
∴∠PBA为平面PBC与平面ABCD所成角的一个平面角，
在Rt△PAB中，PA＝AB，
∴△PAB为等腰直角三角形，∴∠PBA＝45°.
3．如图，在正方体ABCD中，棱长为1，过AB作平面α交棱CC1，DD1分别为E，F.若平面α与底面ABCD所成的角为30°，则截面ABEF的面积为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 截面ABEF在底面的射影为四边形ABCD，
∴cos
30°＝，∴＝?SABEF＝.
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值为________．
答案
解析 连接AC交BD于点O，如图所示，
因为OA1⊥BD，AC⊥BD，
所以∠A1OA即为二面角A1－BD－A的平面角，
在△A1OA中，AA1＝a，AO＝a，
所以二面角A1－BD－A的正切值为.
课时对点练
1．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，二面角D′－AB－D的大小是( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
答案 B
解析 连接AD′(图略)，由正方体的性质易知AB⊥平面ADD′A′，
则AB⊥AD，AB⊥AD′，
则∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角，
四边形ADD′A′为正方形，据此可知∠D′AD＝45°，
即二面角D′－AB－D的大小是45°.
2．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝1，则二面角B－AC－D的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 设菱形对角线AC与BD交于O点，则∠BOD为二面角B－AC－D的平面角，由余弦定理可得cos∠BOD＝.
3．如图，已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1上的点，且截面AEFD1的面积为，则截面AEFD1与底面ABCD所成的角的大小为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
答案 A
解析 ∵截面AEFD1在底面的射影为直角梯形AECD，
∴设截面AEFD1与底面ABCD所成的锐二面角为θ，
∴cos
θ＝＝＝＝.
又0°<θ<90°，故θ＝30°.
4．如图，在正四棱锥P－ABCD中，若△PAC的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为∶8，则侧面与底面所成的二面角为( )
A.
B. C.
D.
答案 D
解析 设正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h，斜高为h′，
则＝，
∴＝，∴sin
θ＝，即θ＝.
5．若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
答案 C
解析 设二面角大小为θ，则其互补角为π－θ，由题意可知
cos
(π－θ)＝＝＝，
所以π－θ＝60°，所以θ＝120°.
6．(多选)如图，在三棱锥C－ABD中，△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，AB＝4，二面角A－BD－C的大小为60°，以下结论正确的是( )
A．AC⊥BD
B．△AOC为正三角形
C．四面体A－BCD外接球的表面积为32π
D．cos∠ADC＝
答案 ABC
解析 因为△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，所以CO⊥BD，AO⊥BD，又CO，AO为平面AOC内两相交直线，因此BD⊥平面AOC，因为AC?平面AOC，所以BD⊥AC，即A正确；因为CO⊥BD，AO⊥BD，所以∠COA为二面角A－BD－C的平面角，即∠COA＝，因为CO＝AO＝2，所以△AOC为正三角形，所以AC＝2，即B正确；因为OA＝OB＝OC＝OD，所以O为四面体A－BCD外接球球心，半径为OA＝2，因此四面体A－BCD外接球的表面积为4π(2)2＝32π，即C正确；因为CD＝AD＝4，AC＝2，所以cos∠ADC＝＝，即D错误．
7．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，则平面C1BD与平面ABCD所成角的大小为________．
答案 30°
解析 S△BCD＝×BC×CD＝6，
易知△BC1D的高为2，
所以＝×2×2＝4，
所以cos
θ＝＝，所以θ＝30°.
8．如图，位于山西省朔州市应县佛宫寺内的释迦塔，俗称应县木塔，是我国现存最高最古老的木结构塔式建筑，木塔顶部可以近似地看成一个正八棱锥，其侧面和底面的夹角大小为30°，则该正八棱锥的高和底面边长之比为________．(参考数据：tan
22.5°＝－1)
答案
解析 如图所示．
点P是正八棱锥的顶点，点O是底面的中心，AB是底面的一条边，M是AB的中点，
根据题意知∠BOM＝22.5°，
因为tan
22.5°＝－1，
设AB＝a，则OM＝＝a，
又因为二面角P－AB－O的大小为30°，
即∠PMO＝30°，
所以OP＝OMtan
30°＝a，
即正八棱锥的高和底面边长之比为.
9．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝，AD＝2，AA1＝2.求：
(1)二面角B1－AC－B的大小；
(2)△AB1C的面积．
解 (1)如图所示，
∵BB1⊥平面ABCD，
过点B作BO⊥AC，O为垂足，连接OB1，由三垂线定理知，AC⊥OB1，
∴∠B1OB为二面角B1－AC－B的一个平面角，
在Rt△ABC中，AB＝，BC＝2，
∴AC＝＝＝3，
∴OB＝＝＝2.
又在Rt△B1BO中，OB＝BB1＝2，
∴∠B1OB＝，
∴二面角B1－AC－B的大小为.
(2)方法一 由(1)知，OB1＝＝＝2，AC⊥OB1，
∴＝×AC×OB1＝×3×2＝6.
方法二 依题意cos∠B1OB＝，
又S△ABC＝××2＝3，
∴＝＝＝6.
10．如图，在底面为菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝1，PB＝PD＝，点E在PD上，且＝2.
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)求二面角E－AC－D的正弦值．
(1)证明 因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
所以AB＝AC＝AD＝1，
在△PAB中，PA＝1，PB＝，
由PA2＋AB2＝PB2，可得PA⊥AB.
同理，PA⊥AD，又AB∩AD＝A，
所以PA⊥平面ABCD.
(2)解 作EG∥PA交AD于点G，
由PA⊥平面ABCD.
则EG⊥平面ABCD，作GH⊥AC于H，连接EH，
则EH⊥AC，∠EHG即为所求二面角的平面角θ.
又＝2，所以EG＝PA＝，AG＝AD＝，GH＝AGsin
60°＝，
从而EH＝＝，
所以sin
θ＝＝.
11．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角B－AC－D的大小为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
答案 D
解析 取AC的中点O，连接BO，DO(图略)，
V＝S△ABCh≤S△ABCOD，
当平面ACD垂直于平面ABC时等号成立．
此时二面角B－AC－D为90°.
12．A，B是二面角α－l－β的棱l上两点，P是平面β上一点，PB⊥l于B，PA与l成45°角，PA与平面α成30°角，则二面角α－l－β的大小是( )
A．30°
B．60°
C．45°
D．75°
答案 C
解析 如图，作PO⊥α于O，连接AO，BO，则∠PAO为PA与平面α所成角，∠PBO为二面角α－l－β的平面角，由∠PAO＝30°，∠PAB＝45°，取PA＝2a，则PO＝a，PB＝a，∴sin∠PBO＝＝，∴∠PBO＝45°.
13．如图，三棱锥D－ABC的三条棱DA，DB，DC两两垂直，A1是DA的中点，M，N是棱AB上的点，BM＝BN＝BA.记二面角D－A1N－C，D－A1M－C，D－A1B－C的平面角分别为α，β，γ，则以下结论中正确的是( )
A．γ>β>α
B．α>β>γ C．α>γ>β
D．γ>α>β
答案 A
解析 设D到A1N，A1M，A1B的距离分别为d1，d2，d3.
因为AD⊥BD，A1是DA的中点，BM＝BN＝BA，
所以d1>d2>d3.
又tan
α＝，tan
β＝，tan
γ＝，所以α<β<γ.
14．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AB＝4，D为AB的中点，沿中线将△ACD折起使得AB＝，则二面角A－CD－B的余弦值为________．
答案 －
解析 如图①，△ABC为等腰直角三角形，D为AB的中点，则CD⊥AB，翻折之后如图②，CD⊥DA，CD⊥DB，
∠ADB即为二面角A－CD－B的一个平面角．
∵AD＝DB＝2，AB＝，
∴cos∠ADB＝＝－.
15．在三棱锥P－ABC中，点P在底面的正投影恰好是等边△ABC的边AB的中点，且点P到底面ABC的距离等于底面边长．设△PAC与底面所成的二面角的大小为α，△PBC与底面所成的二面角的大小为β，则tan(α＋β)的值是( )
A.
B.
C．－
D．－
答案 C
解析 如图，设点P在边AB上的射影为H，作HF⊥BC，HE⊥AC，连接PF，PE.
依题意，∠HEP＝α，∠PFH＝β.
不妨设等边△ABC的边长为2，
则PH＝2，AH＝BH＝1.
∴HE＝，HF＝，则tan
α＝tan
β＝＝，
故tan(α＋β)＝＝＝－.
16．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，M为PC的中点．
(1)求证：MB⊥AC；
(2)若二面角B－MA－C的大小为45°，求PA的长．
(1)证明 如图，取AC的中点N，连接BN，MN，
因为AB＝BC，所以AC⊥BN，
因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，
又MN∥PA，所以AC⊥MN，
因为MN∩BN＝N，所以AC⊥平面BMN，
因为MB?平面BMN，所以MB⊥AC.
(2)解 过点N作NH⊥AM于H，连接BH，
因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BN，
又AC⊥BN，PA∩AC＝A，
所以BN⊥平面PAC，
又AM?平面PAC，从而BN⊥AM，
又NH⊥AM，BN∩NH＝N，所以AM⊥平面BNH，
于是二面角B－MA－C的平面角为∠BHN.
因为AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，∠BHN＝45°，
所以BN＝NH＝1，AN＝.
在Rt△AMN中，AN·MN＝·NH，
即MN＝，
解得MN＝，因此PA＝.第2课时 用空间向量求二面角的大小
学习目标 1.理解平面的法向量的夹角与两平面夹角的关系.2.会用平面的法向量求两个平面的夹角．
一、平面的法向量与平面夹角之间的关系
问题1 如图，两个平面的法向量的夹角与两平面所成的角有什么样的关系？
提示 两个平面的法向量的夹角与两平面所成的角相等或互补；如图(1)，θ＝〈n1，n2〉，此时相等；如图(2)，θ＝π－〈n1，n2〉，此时互补．
知识梳理
设n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，α1与α2所成的角的大小为θ.
θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，
sin
θ＝sin〈n1，n2〉．
注意点：(1)若求两个平面的夹角，直接利用公式cos
θ＝|cos〈n1，n2〉|＝.
(2)若求二面角，需要判断要求的是锐二面角还是钝二面角．
例1 已知二面角α－l－β，其中平面α的一个法向量m＝(1，0，－1)，平面β的一个法向量n＝(0，－1，1)，则二面角α－l－β的大小可能为( )
A．60°
B．120° C．60°或120°
D．30°
答案 C
解析 cos〈m，n〉＝＝＝－，
所以〈m，n〉＝120°，
又因为二面角的大小与法向量夹角相等或互补，
所以二面角的大小可能是60°或120°.
反思感悟 区分二面角与两个平面夹角的概念及其角的取值范围是解决问题的关键．
跟踪训练1 设平面α与平面β的夹角为θ，若平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cos
θ|等于( )
A.
B. C.
D.
答案 B
解析 由题意，得cos〈n1，n2〉＝，而平面α与平面β的夹角θ与〈n1，n2〉相等或互补，所以|cos
θ|＝.
二、用法向量求平面与平面所成的角
例2 在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD所成角的大小．
解 方法一 如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz.
设PA＝AB＝a，AC＝b，连接BD，与AC交于点O，取AD的中点F，连接EF，EO，FO，
则C(b，0，0)，B(0，a，0)．
∵＝，
∴D(b，－a，0)，P(0，0，a)，
∴E，O，＝，＝(b，0，0)．
∵·＝0，∴⊥，即OE⊥AC，
又＝＝，·＝0.
∴⊥，即OF⊥AC.
∴∠EOF为平面EAC与平面ABCD所成角．
cos〈，〉＝＝.
∴平面EAC与平面ABCD所成的角为45°.
方法二 建系如方法一，
∵PA⊥平面ABCD，
∴＝(0，0，a)为平面ABCD的法向量，
＝，＝(b，0，0)．
设平面AEC的法向量为m＝(x，y，z)．
由得
∴x＝0，y＝z.取m＝(0，1，1)，
cos〈m，〉＝＝＝.
又平面EAC与平面ABCD所成角为锐角，
∴平面EAC与平面ABCD所成角为45°.
反思感悟 利用坐标法求二面角的步骤
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的大小，如图．用坐标法解题的步骤如下：
(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．
(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个平面的法向量n1，n2.
(3)计算：设n1与n2所成锐角为θ，cos
θ＝.
(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ.
跟踪训练2 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M为PC的中点，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝.
(1)求证：PQ⊥AB.
(2)求二面角P－QB－M的余弦值．
(1)证明 在△PAD中，PA＝PD，Q为AD的中点，
所以PQ⊥AD.
因为平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD＝AD，PQ?平面PAD，
所以PQ⊥底面ABCD.
又AB?平面ABCD，所以PQ⊥AB.
(2)解 在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD，
Q为AD的中点，所以DQ＝BC，DQ∥BC，
所以四边形BCDQ为平行四边形．
因为AD⊥DC，所以AD⊥QB.
由(1)，可知PQ⊥平面ABCD，故以Q为坐标原点，建立空间直角坐标系Qxyz，如图所示，
则Q(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，)，C(－1，，0)，B(0，，0)，
则＝(0，，0)．
因为AQ⊥PQ，AQ⊥BQ，PQ∩BQ＝Q，PQ，BO?平面PQB，所以AQ⊥平面PQB，
即为平面PQB的一个法向量，且＝(1，0，0)．
因为M是棱PC的中点，
所以点M的坐标为，
所以＝.
设平面MQB的法向量为m＝(x，y，z)，
则
即
所以可取m＝(，0，1)，
所以cos〈，m〉＝＝.
由题意，知二面角P－QB－M为锐角，
所以二面角P－QB－M的余弦值为.
1．知识清单：
(1)二面角及其度量．
(2)利用空间向量求二面角的大小．
2．方法归纳：数形结合、转化、代入法．
3．常见误区：二面角的大小与两个平面法向量夹角间的关系易混淆．
1．平面α的一个法向量为n1＝(4，3，0)，平面β的一个法向量为n2＝(0，－3，4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为( )
A.－
B.
C.
D.以上都不对
答案 B
解析 因为向量n1与n2的夹角θ满足cos
θ＝＝＝－，又平面α与平面β的夹角为锐角，故平面α与β夹角的余弦值等于.
2．在三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A－BD－C的大小为( )
A.
B.
C.或
D.或
答案 C
解析 当二面角A－BD－C为锐角时，它就等于〈n1，n2〉＝；当二面角A－BD－C为钝角时，它应等于π－〈n1，n2〉＝π－＝.
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1BD与C1BD所成二面角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B(1，1，0)，
∴＝(－1，1，－1)，＝(－1，1，1)，＝(1，1，0)，＝(0，1，1)，＝(1，0，1)，
∴·＝0，·＝0，·＝0，·＝0，
∴A1C⊥DB，A1C⊥DC1，AC1⊥DA1，AC1⊥DB，
又DB∩DC1＝D，DA1∩DB＝D，
∴A1C⊥平面C1BD，AC1⊥平面A1BD，
∴和分别是平面C1BD和平面A1BD的法向量，
又cos〈，〉＝，结合图形可知平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为.
4．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy所成角的余弦值为________．
答案
解析 由题意知，＝(－1，2，0)，＝(－1，0，3)．
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．
由n·＝0，n·＝0知
令x＝2，则y＝1，z＝.
∴平面ABC的法向量为n＝.平面xOy的法向量为＝(0，0，3)．
所以所求角的余弦值cos
θ＝＝＝.
课时对点练
1．平面α的一个法向量n1＝(1，0，1)，平面β的一个法向量n2＝(－3，1，3)，则α与β所成的角为( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
答案 C
解析 由于n1·n2＝(1，0，1)·(－3，1，3)＝0，
所以n1⊥n2，故α⊥β，α与β所成的角是90°.
2．若二面角α－l－β的大小为120°，则平面α与平面β的法向量的夹角为( )
A．120°
B．60°
C．120°或60°
D．30°或150°
答案 C
解析 二面角为120°时，其法向量的夹角可能是60°，也可能是120°.
3．若二面角α－l－β为，直线m⊥α，则平面β内的所有直线与m所成角的取值范围是( )
A.
B. C.
D.
答案 B
解析 由二面角α－l－β的大小为，直线m⊥α，得m与β所成的角的大小为，于是β所在平面内的直线与m所成的角的最小值为，最大值为.
4．若120°的二面角α－l－β的棱l上有A，B两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于( )
A.
B．2
C.
D.
答案 B
解析 由题意，可得如下示意图，由二面角α－l－β为120°，棱l上有A，B两点，且AC⊥l，BD⊥l，
且AB＝AC＝BD＝1，＝＋＋，
||2＝2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝3＋1＝4，
∴||＝2，CD＝2.
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，
∴＝(0，1，－1)，＝.
设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，
则有即
∴∴n1＝(1，2，2)．
∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，
∴|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，
即平面A1ED与平面ABCD所成角的余弦值为.
6．(多选)一个二面角的两个半平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则这个二面角的大小为( )
A．45°
B．60°
C．90°
D．135°
答案 AD
解析 设二面角的平面角为θ，∵cos〈m，n〉＝＝＝，∴θ＝45°或135°.
7．平面α的法向量n1＝(1，－1，)，平面β的法向量n2＝(－1，0，)，则平面α与平面β所成角的正弦值为________．
答案
解析 平面α与平面β所成的角为θ，
cos〈n1，n2〉＝＝＝，
∴|cos
θ|＝，∴sin
θ＝.
8．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，则二面角B1－A1C－C1的大小为________．
答案
解析 如图所示，建立空间直角坐标系，
则由题意可知B(0，0，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，2)，B1(0，0，2)，
设AC的中点为M，连接BM，
则BM⊥AC，
又由题意知BM⊥CC1，
又AC∩CC1＝C，
所以BM⊥平面A1C1C，
即＝(1，1，0)是平面A1C1C的一个法向量．
设平面A1B1C的法向量是n＝(x，y，z)．
＝(－2，2，－2)，＝(－2，0，0)，
所以
令z＝1，可得n＝(0，1，1)．
设法向量n与的夹角为φ，二面角B1－A1C－C1的大小为θ，显然θ为锐角．
所以cos
θ＝|cos
φ|＝＝，解得θ＝，
所以二面角B1－A1C－C1的大小为.
9．如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．
解 如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
∵∠SDC＝120°，∴∠SDE＝30°，又SD＝2，∴点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为，则有D(0，0，0)，S(－1，，0)，A(0，0，2)，C(2，0，0)，B(2，0，1)，设平面SAD的法向量为m＝(x，y，z)，
∵＝(0，0，－2)，＝(－1，，－2)，
∴即
取x＝，得平面SAD的一个法向量为m＝(，1，0)．
又＝(2，0，－1)，设平面SAB的法向量为n＝(a，b，c)，
则即
令a＝，
得平面SAB的一个法向量为n＝(，5，2)，
∴cos〈m，n〉＝＝＝，
故平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是.
10．如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD，E为棱AD的中点，PA⊥CD.
(1)证明：CD⊥平面PAD；
(2)若二面角P－CD－A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．
(1)证明 ∵∠ADC＝90°，∴CD⊥AD，
又PA⊥CD，PA∩AD＝A，PA，PD?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
(2)解 ∵PA⊥CD，PA⊥AB，AB与CD相交，
∴PA⊥平面ABCD.又PD⊥CD，AD⊥CD，
∴∠PDA为二面角P－CD－A的平面角，
∴∠PDA＝45°.
如图，以A为原点，AD，AP所在直线分别为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
设BC＝1，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，E(1，0，0)，C(2，1，0)，
∴＝(1，0，－2)，＝(1，1，0)，＝(0，0，2)．
设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)，
则取x＝2，
则n＝(2，－2，1)为平面PCE的一个法向量．
设直线PA与平面PCE所成的角为α，
则sin
α＝|cos〈n，〉|＝＝＝，
∴直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.
11．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2，若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为( )
A.
B. C.2
D.
答案 A
解析 如图，以C为原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)，
设AD＝a(a>0)，则点D的坐标为(1，0，a)，
∴＝(1，0，a)，＝(0，2，2)．
设平面B1CD的法向量为n＝(x，y，z)，
则
得令z＝－1，
得n＝(a，1，－1)．
又平面C1DC的一个法向量为m＝(0，1，0)，
∴cos
60°＝，即＝，
∴a＝，即AD＝.
12．已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝5，AC＝3，BD＝4，CD＝5，则这个二面角的度数为( )
A．30°
B．45°
C．90°
D．150°
答案 C
解析 设这个二面角的度数为α，
由题意得＝＋＋，
∴2＝2＋2＋2＋2||·||cos
(π－α)，
∴(5)2＝9＋25＋16－2×3×4×cos
α，
解得cos
α＝0，∴α＝90°，
∴这个二面角的度数为90°.
13．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF.当A1，E，F，C1共面时，平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(6，0，6)，D(0，0，0)，C1(0，6，6)，
由题意知，当E(6，3，0)，F(3，6，0)时，A1，E，F，C1共面，
设平面A1DE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，＝(6，0，6)，＝(6，3，0)，
则
取x1＝1，解得n1＝(1，－2，－1)，
设平面C1DF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，＝(0，6，6)，＝(3，6，0)，
则
取x2＝2，解得n2＝(2，－1，1)，
设平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角为θ，
则cos
θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，
∴平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的余弦值为.
14．已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的角的正切值为________．
答案
解析 方法一 延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示．
设正方体的棱长为3，
则GB＝BC＝3，
作BH⊥AG于点H，连接EH，
则∠EHB为所求锐二面角的平面角．
∵BH＝，EB＝1，
∴tan∠EHB＝＝.
方法二 如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
设DA＝1，由已知条件得A(1，0，0)，E，F，
＝，＝，
设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，
平面AEF与平面ABC所成的锐二面角为θ，
由得
令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1，1，－3)，
取平面ABC的法向量为m＝(0，0，－1)，
则cos
θ＝|cos〈n，m〉|＝＝，
tan
θ＝.
15．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA＝AB＝BC＝1，则二面角A－PC－B的大小是( )
A．30°
B．45° C．60°
D．90°
答案 C
解析 如图，建立空间直角坐标系，因为PA＝AB＝BC＝1，
所以A(0，0，0)，C(0，，0)，B，P(0，0，1)，
＝(0，－，1)，＝，
显然平面APC的一个法向量可以为n＝(1，0，0)，
设平面BPC的法向量为m＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，则z＝，x＝1，所以m＝(1，1，)，
设二面角A－PC－B为θ，
则cos
θ＝＝＝，所以θ＝60°.
16．如图，已知长方形ABCD中，AB＝2，AD＝，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM.
(1)求证：AD⊥BM；
(2)若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E－AM－D的余弦值为.
(1)证明 ∵在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝，M为DC的中点，
∴AM＝BM＝2，∴BM⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，BM?平面ABCM，
∴BM⊥平面ADM，
∵AD?平面ADM，∴AD⊥BM.
(2)解 取AM的中点O，则OD⊥AM，
又平面ADM⊥平面ABCM，所以OD⊥平面ABCM，
以O为原点，OA，ON，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，M(－1，0，0)，D(0，0，1)，B(－1，2，0)，
＝(1，0，1)，＝(－1，2，－1)，＝(－2，0，0)，
设＝λ(0<λ<1)，
＝＋λ＝(1－λ，2λ，1－λ)，
设平面AME的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则即
取y＝1，得x＝0，y＝1，z＝，
所以m＝，
平面AMD的一个法向量为n＝(0，1，0)，
因为cos〈m，n〉＝＝，解得λ＝，
所以E为BD的中点．(共60张PPT)
第一章 1.2.4 二面角
第1课时 二面角及其度量
学习目标
1.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角.
2.掌握求二面角的基本方法步骤.
导语
同学们，大家经常听到把门打开、把课本打开等，门所在的平面与墙所在的平面或课本的任意两页之间自然形成一个角，它们都有一个共同点，那就是都有一个“旋转轴”；因疫情的关系，大家洗手时都养成了一个习惯，那就是五指交叉洗手法，此时两只手掌所在的平面自然形成了四个角；这两类角到底有什么样的区别和联系，这就是我们今天要解决的内容.
随堂演练
课时对点练
一、二面角的相关概念
二、几何法求二面角
三、二面角与面积之间的联系
内容索引
一、二面角的相关概念
问题1 二面角与两个平面的夹角有何区别？
提示 ①概念的不同.二面角：是由一条直线出发的两个半平面组成的图形；两个平面的夹角：两个平面相交时，形成四个二面角，其中不小于0°且不大于90°的角称为两个平面的夹角.
②范围的不同.二面角θ的范围：0≤θ≤π，两个平面的夹角θ的范围：0≤θ≤
.
知识梳理
1.二面角的定义：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发的
所组成的图形称为二面角.如图所示，其中，直线l叫做二面角的
，这两个半平面叫做二面角的
，如图中的α，β.
两个半平面
棱
面
2.二面角的平面角
在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以O为垂足，
分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，
则射线OA和OB所成的角称为二面角的
.
二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的_______
.特别地，平面角是直角的二面角称为
.
3.二面角的范围：[0，π].
4.两个平面所成的角
两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小.
平面角
平面角
大小
直二面角
例1 已知平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D，E分别是点A在PC，PB上的射影，则
A.∠ADE是二面角A－PC－B的平面角
B.∠AED是二面角A－PB－C的平面角
C.∠DAE是二面角B－PA－C的平面角
D.∠ACB是二面角A－PC－B的平面角
√
解析 因为PA⊥BC，AC⊥BC，PA∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC.
又AD?平面PAC，
所以AD⊥BC.
又AD⊥PC，BC∩PC＝C，
所以AD⊥平面PBC，所以AD⊥PB.
又AE⊥PB，AD∩AE＝A，
所以PB⊥平面ADE，所以DE⊥PB，
所以∠AED为二面角A－PB－C的平面角.
反思感悟 构造二面角的平面角，一般在直线上取一点O，然后分别在两个半平面内作直线OA，OB均与该直线垂直，则∠AOB即为二面角的平面角.
跟踪训练1 如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是
A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.不能确定
√
解析 当两个平面的开口方向相同时，这两个二面角大小相等，当两个平面的开口方向不同时，这两个二面角大小互补.
二、几何法求二面角
A.30° B.45° C.60° D.90°
√
解析 如图，取BC的中点为E，连接AE，DE，
∴∠AED是二面角A－BC－D的平面角.
即二面角A－BC－D的大小为60°.
反思感悟 用定义求二面角的步骤
(1)作(找)出二面角的平面角.
(2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角.
(3)解三角形求角.
90°
解析 取BC的中点O，连接PO，AO，
则∠POA就是二面角P－BC－A的平面角.
所以∠POA＝90°.
三、二面角与面积之间的联系
问题2 如图，△ABC在平面α上的射影为△A′BC，二面角A－BC－A′的大小为θ，则cos
θ，S△ABC，S△A′BC之间有什么样的关系？
提示 作AD⊥BC，则A′D为AD在平面α上的射影，
由三垂线定理的逆定理可知A′D⊥BC，则∠ADA′＝θ，
知识梳理
例3 已知在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，求二面角B－AP－C的余弦值.
解 方法一 如图，过点B作BE⊥AC于点E，
则E为AC的中点，过点E作EF⊥PA于点F，连接BF.
因为PC⊥平面ABC，PC?平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABC.
又因为BE⊥AC，BE?平面ABC，平面ABC∩平面PAC＝AC，
所以BE⊥平面PAC.
由三垂线定理有BF⊥PA，所以∠BFE是二面角B－PA－C的平面角.
设PC＝1，由E是AC的中点，
方法二 (利用射影面积公式)
如图，过点B作BE⊥AC于点E，连接PE.
因为PC⊥平面ABC，PC?平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABC，
又因为BE⊥AC，BE?平面ABC，平面ABC∩平面PAC＝AC，
所以BE⊥平面PAC，
所以△PAE是△PAB在平面PAC上的射影.
设二面角B－PA－C的大小为θ，
反思感悟 对射影面积公式的理解
(1)来源：三垂线定理.
(2)适用范围：当二面角的一个半平面上的封闭图形的面积及它在另一个半平面上的射影的面积已知或者能求出.
(3)优势：不需要作出二面角的平面角.
跟踪训练3 四边形ABCD是边长为2的正方形，MA和PB都与平面ABCD垂直，且PB＝2MA＝2，则平面PMD与平面ABCD所成角的余弦值为_________.
解析 △MPD在平面ABCD上的射影为△ABD，易得S△ABD＝2，
设平面PMD与平面ABCD所成角的大小为θ，
课堂小结
1.知识清单：
(1)二面角及其度量.
(2)几何法求二面角.
(3)二面角与面积之间的联系.
2.方法归纳：数形结合、转化、代入法.
3.常见误区：二面角与两个平面的夹角易混淆.
随堂演练
1.如图所示，点P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM，PN，若∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，则二面角α－AB－β的大小为
A.60° B.70°
C.80° D.90°
√
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2
3
4
解析 过AB上一点Q分别在α，β内作AB的垂线，交PM，PN于点M，N，
则∠MQN即为二面角α－AB－β的平面角，如图所示.
设PQ＝a，
∵∠QPN＝∠QPM＝45°，
又∵∠MPN＝60°，
∴△MPN为等边三角形，
∴QN2＋QM
2＝MN2，
∴∠MQN＝90°.
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2
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4
2.正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PBC与平面ABCD的夹角为
A.30° B.45° C.60° D.90°
√
解析 如图所示，PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC.
又BC⊥AB，且PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB，
∴∠PBA为平面PBC与平面ABCD所成角的一个平面角，
在Rt△PAB中，PA＝AB，
∴△PAB为等腰直角三角形，∴∠PBA＝45°.
1
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3.如图，在正方体ABCD中，棱长为1，过AB作平面α交棱CC1，DD1分别为E，F.若平面α与底面ABCD所成的角为30°，则截面ABEF的面积为
√
解析 截面ABEF在底面的射影为四边形ABCD，
1
2
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4
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值为_____.
解析 连接AC交BD于点O，如图所示，
因为OA1⊥BD，AC⊥BD，
所以∠A1OA即为二面角A1－BD－A的平面角，
1
2
3
4
课时对点练
基础巩固
1.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，二面角D′－AB－D的大小是
A.30° B.45° C.60° D.90°
√
解析 连接AD′(图略)，由正方体的性质易知AB⊥平面ADD′A′，
则AB⊥AD，AB⊥AD′，
则∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角，
四边形ADD′A′为正方形，据此可知∠D′AD＝45°，
即二面角D′－AB－D的大小是45°.
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2.在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝1，则二面角B－AC－D的余弦值为
解析 设菱形对角线AC与BD交于O点，
则∠BOD为二面角B－AC－D的平面角，
√
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A.30° B.45° C.60° D.90°
√
解析 ∵截面AEFD1在底面的射影为直角梯形AECD，
∴设截面AEFD1与底面ABCD所成的锐二面角为θ，
又0°<θ<90°，故θ＝30°.
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√
解析 设正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h，斜高为h′，
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5.若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是
A.30° B.60° C.120° D.150°
√
解析 设二面角大小为θ，则其互补角为π－θ，
所以π－θ＝60°，
所以θ＝120°.
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6.(多选)如图，在三棱锥C－ABD中，△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，AB＝4，二面角A－BD－C的大小为60°，以下结论正确的是
A.AC⊥BD
B.△AOC为正三角形
C.四面体A－BCD外接球的表面积为32π
√
√
√
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解析 因为△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，
所以CO⊥BD，AO⊥BD，
又CO，AO为平面AOC内两相交直线，
因此BD⊥平面AOC，
因为AC?平面AOC，所以BD⊥AC，即A正确；
因为CO⊥BD，AO⊥BD，
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因为OA＝OB＝OC＝OD，
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8.如图，位于山西省朔州市应县佛宫寺内的释迦塔，俗称应县木塔，是我国现存最高最古老的木结构塔式建筑，木塔顶部可以近似地看成一个正八棱锥，其侧面和底面的夹角大小为30°，则该正八棱锥的高和底面
边长之比为_________.(参考数据：tan
22.5°＝
－1)
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解析 如图所示.
点P是正八棱锥的顶点，点O是底面的中心，AB是底面的一条边，M是AB的中点，
根据题意知∠BOM＝22.5°，
又因为二面角P－AB－O的大小为30°，即∠PMO＝30°，
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(1)二面角B1－AC－B的大小；
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解 如图所示，
∵BB1⊥平面ABCD，过点B作BO⊥AC，O为垂足，连接OB1，
由三垂线定理知，AC⊥OB1，
∴∠B1OB为二面角B1－AC－B的一个平面角，
又在Rt△B1BO中，OB＝BB1＝2，
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(2)△AB1C的面积.
方法二 依题意cos∠B1OB＝
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(1)求证：PA⊥平面ABCD；
证明 因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
所以AB＝AC＝AD＝1，
由PA2＋AB2＝PB2，可得PA⊥AB.
同理，PA⊥AD，又AB∩AD＝A，
所以PA⊥平面ABCD.
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(2)求二面角E－AC－D的正弦值.
解 作EG∥PA交AD于点G，
由PA⊥平面ABCD.
则EG⊥平面ABCD，作GH⊥AC于H，连接EH，
则EH⊥AC，∠EHG即为所求二面角的平面角θ.
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综合运用
11.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角B－AC－D的大小为
A.30° B.45° C.60° D.90°
√
解析 取AC的中点O，连接BO，DO(图略)，
当平面ACD垂直于平面ABC时等号成立.
此时二面角B－AC－D为90°.
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12.A，B是二面角α－l－β的棱l上两点，P是平面β上一点，PB⊥l于B，PA与l成45°角，PA与平面α成30°角，则二面角α－l－β的大小是
A.30° B.60° C.45° D.75°
√
解析 如图，作PO⊥α于O，连接AO，BO，
则∠PAO为PA与平面α所成角，
∠PBO为二面角α－l－β的平面角，
由∠PAO＝30°，∠PAB＝45°，
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A.γ>β>α B.α>β>γ C.α>γ>β D.γ>α>β
解析 设D到A1N，A1M，A1B的距离分别为d1，d2，d3.
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解析 如图①，△ABC为等腰直角三角形，D为AB的中点，
则CD⊥AB，
翻折之后如图②，CD⊥DA，CD⊥DB，
∠ADB即为二面角A－CD－B的一个平面角.
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拓广探究
15.在三棱锥P－ABC中，点P在底面的正投影恰好是等边△ABC的边AB的中点，且点P到底面ABC的距离等于底面边长.设△PAC与底面所成的二面角的大小为α，△PBC与底面所成的二面角的大小为β，则tan(α＋β)的值是
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解析 如图，设点P在边AB上的射影为H，作HF⊥BC，HE⊥AC，连接PF，PE.
依题意，∠HEP＝α，∠PFH＝β.
不妨设等边△ABC的边长为2，
则PH＝2，AH＝BH＝1.
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16.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，M为PC的中点.
(1)求证：MB⊥AC；
证明 如图，取AC的中点N，连接BN，MN，
因为AB＝BC，所以AC⊥BN，
因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，
又MN∥PA，所以AC⊥MN，
因为MN∩BN＝N，所以AC⊥平面BMN，
因为MB?平面BMN，所以MB⊥AC.
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(2)若二面角B－MA－C的大小为45°，求PA的长.
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解 过点N作NH⊥AM于H，连接BH，
因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BN，
又AC⊥BN，PA∩AC＝A，
所以BN⊥平面PAC，
又AM?平面PAC，从而BN⊥AM，
又NH⊥AM，BN∩NH＝N，
所以AM⊥平面BNH，
于是二面角B－MA－C的平面角为∠BHN.
因为AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，∠BHN＝45°，
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本课结束(共67张PPT)
第一章 1.2.4 二面角
第2课时 用空间向量求二面角的大小
学习目标
1.理解平面的法向量的夹角与两平面夹角的关系.
2.会用平面的法向量求两个平面的夹角.
随堂演练
课时对点练
一、平面的法向量与平面夹角之间的关系
二、用法向量求平面与平面所成的角
内容索引
一、平面的法向量与平面夹角之间的关系
问题1 如图，两个平面的法向量的夹角与两平面所成的角有什么样的关系？
提示 两个平面的法向量的夹角与两平面所成的角相等或互补；
如图(1)，θ＝〈n1，n2〉，此时相等；
如图(2)，θ＝π－〈n1，n2〉，此时互补.
知识梳理
设n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，α1与α2所成的角的大小为θ.
θ＝
或θ＝
，
sin
θ＝sin〈n1，n2〉.
〈n1，n2〉
π－〈n1，n2〉
(2)若求二面角，需要判断要求的是锐二面角还是钝二面角.
例1 已知二面角α－l－β，其中平面α的一个法向量m＝(1，0，－1)，平面β的一个法向量n＝(0，－1，1)，则二面角α－l－β的大小可能为
A.60°
B.120°
C.60°或120° D.30°
√
所以〈m，n〉＝120°，
又因为二面角的大小与法向量夹角相等或互补，
所以二面角的大小可能是60°或120°.
反思感悟 区分二面角与两个平面夹角的概念及其角的取值范围是解决问题的关键.
跟踪训练1 设平面α与平面β的夹角为θ，若平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cos
θ|等于
√
而平面α与平面β的夹角θ与〈n1，n2〉相等或互补，
二、用法向量求平面与平面所成的角
例2 在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD所成角的大小.
解 方法一 如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz.
设PA＝AB＝a，AC＝b，连接BD，与AC交于点O，
取AD的中点F，连接EF，EO，FO，
则C(b，0，0)，B(0，a，0).
∴D(b，－a，0)，P(0，0，a)，
∴∠EOF为平面EAC与平面ABCD所成角.
∴平面EAC与平面ABCD所成的角为45°.
方法二 建系如方法一，
∵PA⊥平面ABCD，
设平面AEC的法向量为m＝(x，y，z).
∴x＝0，y＝z.取m＝(0，1，1)，
又平面EAC与平面ABCD所成角为锐角，
∴平面EAC与平面ABCD所成角为45°.
反思感悟 利用坐标法求二面角的步骤
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的
夹角(或其补角)就是二面角的大小，如图.用坐标法解
题的步骤如下：
(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系.
(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个平面的法向量n1，n2.
(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ.
(1)求证：PQ⊥AB.
证明 在△PAD中，PA＝PD，Q为AD的中点，
所以PQ⊥AD.
因为平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD＝AD，PQ?平面PAD，
所以PQ⊥底面ABCD.
又AB?平面ABCD，所以PQ⊥AB.
(2)求二面角P－QB－M的余弦值.
Q为AD的中点，所以DQ＝BC，DQ∥BC，
所以四边形BCDQ为平行四边形.
因为AD⊥DC，所以AD⊥QB.
由(1)，可知PQ⊥平面ABCD，
故以Q为坐标原点，建立空间直角坐标系Qxyz，如图所示，
因为AQ⊥PQ，AQ⊥BQ，PQ∩BQ＝Q，PQ，BO?平面PQB，
所以AQ⊥平面PQB，
因为M是棱PC的中点，
设平面MQB的法向量为m＝(x，y，z)，
由题意，知二面角P－QB－M为锐角，
课堂小结
1.知识清单：
(1)二面角及其度量.
(2)利用空间向量求二面角的大小.
2.方法归纳：数形结合、转化、代入法.
3.常见误区：二面角的大小与两个平面法向量夹角间的关系易混淆.
随堂演练
1.平面α的一个法向量为n1＝(4，3，0)，平面β的一个法向量为n2＝
(0，－3，4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为
又平面α与平面β的夹角为锐角，
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3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1BD与C1BD所成二面角的余弦值为
√
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解析 以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设正方体的棱长为1，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，
C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B(1，1，0)，
∴A1C⊥DB，A1C⊥DC1，AC1⊥DA1，AC1⊥DB，
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又DB∩DC1＝D，DA1∩DB＝D，
∴A1C⊥平面C1BD，AC1⊥平面A1BD，
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4.已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy所成角的余弦值为___.
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设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z).
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课时对点练
基础巩固
1.平面α的一个法向量n1＝(1，0，1)，平面β的一个法向量n2＝(－3，1，3)，则α与β所成的角为
A.30° B.60° C.90° D.120°
√
解析 由于n1·n2＝(1，0，1)·(－3，1，3)＝0，
所以n1⊥n2，
故α⊥β，α与β所成的角是90°.
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2.若二面角α－l－β的大小为120°，则平面α与平面β的法向量的夹角为
A.120° B.60°
C.120°或60° D.30°或150°
解析 二面角为120°时，其法向量的夹角可能是60°，也可能是120°.
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4.若120°的二面角α－l－β的棱l上有A，B两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于
√
解析 由题意，可得如右示意图，
由二面角α－l－β为120°，棱l上有A，B两点，
且AC⊥l，BD⊥l，
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5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成角的余弦值为
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解析 以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，
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∴n1＝(1，2，2).
∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，
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6.(多选)一个二面角的两个半平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝
(0，1，1)，则这个二面角的大小为
A.45° B.60° C.90° D.135°
√
√
解析 设二面角的平面角为θ，
∴θ＝45°或135°.
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解析 平面α与平面β所成的角为θ，
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8.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，则二面角B1－A1C－C1的大小为___.
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解析 如图所示，建立空间直角坐标系，
则由题意可知B(0，0，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，2)，B1(0，0，2)，
设AC的中点为M，连接BM，
则BM⊥AC，
又由题意知BM⊥CC1，
又AC∩CC1＝C，
所以BM⊥平面A1C1C，
设平面A1B1C的法向量是n＝(x，y，z).
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令z＝1，可得n＝(0，1，1).
二面角B1－A1C－C1的大小为θ，显然θ为锐角.
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9.如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值.
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解 如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
∵∠SDC＝120°，
∴∠SDE＝30°，
又SD＝2，
设平面SAD的法向量为m＝(x，y，z)，
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(1)证明：CD⊥平面PAD；
证明 ∵∠ADC＝90°，
∴CD⊥AD，
又PA⊥CD，PA∩AD＝A，PA，PD?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
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(2)若二面角P－CD－A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
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解 ∵PA⊥CD，PA⊥AB，AB与CD相交，
∴PA⊥平面ABCD.
又PD⊥CD，AD⊥CD，
∴∠PDA为二面角P－CD－A的平面角，
∴∠PDA＝45°.
如图，以A为原点，AD，AP所在直线分别为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
设BC＝1，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，E(1，0，0)，C(2，1，0)，
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设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)，
则n＝(2，－2，1)为平面PCE的一个法向量.
设直线PA与平面PCE所成的角为α，
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综合运用
11.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2，若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为
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解析 如图，以C为原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)，
设AD＝a(a>0)，则点D的坐标为(1，0，a)，
设平面B1CD的法向量为n＝(x，y，z)，
令z＝－1，得n＝(a，1，－1).
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又平面C1DC的一个法向量为m＝(0，1，0)，
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A.30° B.45° C.90° D.150°
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解析 设这个二面角的度数为α，
解得cos
α＝0，∴α＝90°，
∴这个二面角的度数为90°.
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13.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF.当A1，E，F，C1共面时，平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的余弦值为
√
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解析 以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(6，0，6)，D(0，0，0)，C1(0，6，6)，
由题意知，
当E(6，3，0)，F(3，6，0)时，A1，E，F，C1共面，
设平面A1DE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
取x1＝1，解得n1＝(1，－2，－1)，
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设平面C1DF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
取x2＝2，解得n2＝(2，－1，1)，
设平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角为θ，
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14.已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的角的正切值为____.
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解析 方法一 延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示.
设正方体的棱长为3，则GB＝BC＝3，
作BH⊥AG于点H，连接EH，
则∠EHB为所求锐二面角的平面角.
方法二 如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
设DA＝1，
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设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，
平面AEF与平面ABC所成的锐二面角为θ，
令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1，1，－3)，
取平面ABC的法向量为m＝(0，0，－1)，
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拓广探究
15.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA＝AB＝BC＝1，则二面角A－PC－B的大小是
A.30° B.45° C.60° D.90°
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解析 如图，建立空间直角坐标系，
因为PA＝AB＝BC＝1，
显然平面APC的一个法向量可以为n＝(1，0，0)，
设平面BPC的法向量为m＝(x，y，z)，
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设二面角A－PC－B为θ，
所以θ＝60°.
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(1)求证：AD⊥BM；
∴AM＝BM＝2，∴BM⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，BM?平面ABCM，
∴BM⊥平面ADM，
∵AD?平面ADM，∴AD⊥BM.
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解 取AM的中点O，则OD⊥AM，
又平面ADM⊥平面ABCM，所以OD⊥平面ABCM，
以O为原点，OA，ON，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，M(－1，0，0)，D(0，0，1)，B(－1，2，0)，
设平面AME的一个法向量为m＝(x，y，z)，
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平面AMD的一个法向量为n＝(0，1，0)，
所以E为BD的中点.
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本课结束
