(共57张PPT)
第一章 1.1.1 空间向量及其运算
第2课时 空间向量的数量积
学习目标
1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.
2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.
3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.
导语
同学们，上节课，我们体会了用类比的思想把平面中向量的加法、减法以及数乘运算推广到了空间中的线性运算，我们知道以上三种运算的结果仍是一个向量，其性质没有变化，而我们平面中还有两个向量的数量积的运算，显然，本节课的关键词仍是“类比”.
随堂演练
课时对点练
一、空间向量的夹角及数量积的概念
二、空间向量的数量积的性质
三、空间向量数量积的综合运算
内容索引
一、空间向量的夹角及数量积的概念
问题 空间中任意两个向量都共面吗？
提示 共面，因为向量可以平移，而平移后的向量与原向量相等.
知识梳理
1.两个向量的夹角
(1)定义：给定两个非零向量a，b，在空间中任意选定一点O，作
＝a，
＝b，则大小在[0，π]内的
称为a与b的夹角，记作〈a，b〉.
(2)如果〈a，b〉＝
，则称向量a与向量b
，记作
.
(3)规定，零向量与任意向量都垂直.
∠AOB
垂直
a⊥b
2.空间向量的数量积
定义：已知两个非零向量a，b，则
称为a，b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
注意点：(1)数量积必须是点乘，其结果是一个实数.
(2)当两个向量的夹角θ为锐角时，a·b>0，但当a·b>0时，夹角θ不一定为锐角，因为θ可能为0.
(3)当两个向量的夹角θ为钝角时，a·b<0，但当a·b<0时，夹角θ不一定为钝角，因为θ可能为π.
|a||b|cos〈a，b〉
例1 (1)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 显然〈a，b〉＝0?a∥b，
但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，
即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，
因此a∥b?〈a，b〉＝0.
故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件.
√
解析 ∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥C1B，
90°
120°
∵△A1BD为等边三角形，
反思感悟 找两向量的夹角关键是把两向量平移到一个公共的起点，找到向量的夹角，再利用解三角形求角，注意向量夹角的范围是[0，π].
A.30° B.60° C.120° D.150°
√
二、空间向量的数量积的性质
知识梳理
1.投影：一般地，给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α)，过a的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线，假设垂足为A，B，则向量
称为a在直线l(或平面α)上的投影.
a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的
.
乘积
2.空间向量数量积的性质
(1)a⊥b?
.
(2)a·a＝
＝a2.
(3)|a·b|≤|a||b|.
(4)(λa)·b＝
.
(5)a·b＝
(交换律).
(6)(a＋b)·c＝
(分配律).
注意点：(1)向量a在向量b方向上的投影是一个向量.
a·b＝0
|a|2
λ(a·b)
b·a
a·c＋b·c
例2 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
＝cos
60°－cos
60°＝0.
反思感悟 (1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算.
(2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算.
跟踪训练2 已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为上底面A1B1C1D1的中心.求：
解 取AB的中点E，∴O1E⊥AB，
三、空间向量数量积的综合运算
例3 (1)已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为
A.－6 B.6 C.3 D.－3
解析 由a⊥b，得a·b＝0，
所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
所以2k－12＝0，所以k＝6.
√
解析 ∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，
又∵〈a，b〉∈[0，π]，
(3)已知空间向量a，b，|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝____.
解析 ∵|a＋b|＝24，
∴(a＋b)2＝576，
则a2＋2a·b＋b2＝576，
∴2a·b＝576－132－192＝46.
又|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝132＋192－46＝484，
∴|a－b|＝22.
22
反思感悟 利用数量积的公式可求空间向量的夹角、模以及解决与垂直有关的问题.
(1)a⊥b?a·b＝0.
跟踪训练3 (1)已知空间向量a，b，c，若a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则cos〈a，b〉等于
解析 ∵a＋b＋c＝0，
∴a＋b＝－c，平方得(a＋b)2＝c2，
即a2＋b2＋2a·b＝c2，
∴4＋9＋2a·b＝16，
∴2a·b＝3，
√
(2)(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们互不共线，下列选项中正确的是
A.(a·b)·c－(c·a)·b＝0
B.|a|－|b|<|a－b|
C.(b·a)·c－(c·a)·b与c垂直
D.(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
解析 结合向量的数量积运算律，只有BD正确.
√
√
课堂小结
1.知识清单：
(1)空间向量的夹角及数量积的概念.
(2)空间向量的投影.
(3)空间向量数量积的性质.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：求向量夹角时需平移到同一个起点，向量的投影仍是一个向量.
随堂演练
1.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是
√
√
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3
4
2.(多选)对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的假命题是
A.若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B.若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C.若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D.若a·b>0，则〈a，b〉是锐角
√
√
√
解析 对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；
对于C，a2＝b2，只能推出|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；
对于D，当a，b同向时，a·b>0，而〈a，b〉不是锐角.
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课时对点练
基础巩固
1.已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是
A.垂直 B.共线 C.不垂直 D.以上都可能
解析 由题意知|a|＝|b|，
∵(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b).
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2.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于
√
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A.1 B.－1 C.2 D.－2
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√
解析 由正四面体A－BCD的棱长为1，
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5.(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，体对角线AC1与BD1相交于点O，则有
√
√
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6.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题正确的为
√
√
√
解析 易知AB正确；
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解析 由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，
所以a2＋λb2＋(1＋λ)a·b＝0，
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8.已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为______.
解析 ∵a＋b＋c＝0，
∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
－13
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9.已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.
解 由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，
(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，
代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|，
所以〈a，b〉＝60°.
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10.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝2，AD＝4.
解 如图所示，
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又四边形CDD1C1为正方形，
∴DC1⊥CD1，
∴CD1⊥AB1，
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综合运用
11.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是
√
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A.60° B.45° C.120° D.90°
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解析 ∵n⊥(tm＋n)，
∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，
∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，
－4
解得t＝－4.
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拓广探究
A.8 B.4 C.2 D.1
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∵AB⊥平面BP2P8P6，
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16.如图所示，在空间四面体OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离.
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本课结束(共63张PPT)
第一章 1.1.1 空间向量及其运算
第1课时 空间向量的概念及线性运算
学习目标
1.了解空间向量的相关概念.
2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.了解向量加法的交换律和结合律.
3.掌握数乘向量运算的意义及运算律.
导语
同学们，还记得我们之前所学面向量吗？在之前我们就说，向量是我们数学中的一种工具，它帮助我们解决了平面间的距离问题、两角差的余弦问题、余弦定理的推导以及复平面的几何意义，而向量的作用还将有更大的用处，接下来我们将通过类比的方法把平面向量推广到空间向量，让我们一起来发现平面向量与空间向量的区别和联系吧.
随堂演练
课时对点练
一、空间向量的有关概念
二、空间向量的加减法运算
三、空间向量的数乘运算
内容索引
一、空间向量的有关概念
问题1 你还记得平面向量中的哪些概念？
提示 ①向量的概念：在平面内既有大小又有方向的量称为向量；
②画法：用有向线段AB画出来；
③表示方法：
或a(书写时用带箭头的小写字母表示)；
④零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，零向量的方向是不确定的；
⑤单位向量：在平面中模为1的向量称为单位向量；
⑥相等的向量：在平面中方向相同且模相等的向量称为相等的向量；
⑦相反向量：在平面中长度相等，方向相反的两个向量称为相反向量.
知识梳理
1.空间中既有
又有
的量称为空间向量，向量的大小也称为向量的___(或
).空间向量可用有向线段表示，有向线段的
表示向量的模，向量a的始点是A，终点是B，则向量a也可记作
，其模记为
.
大小
方向
模
长度
长度
2.几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
零向量
始点和终点相同的向量称为
，记为0
单位向量
的向量称为单位向量
相反向量
与向量a大小
、方向
的向量，称为a的相反向量，记为____
向量共线
如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行，两个向量平行也称为两个向量共线
相等的向量
大小相等、方向相同的向量称为相等的向量
零向量
模等于1
相等
相反
－a
3.共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在
内，则称这些向量
；否则称这些向量
.
注意点：(1)向量的模可以比较大小，任意两个向量可以相等，但不能比较大小.
(2)共线向量不一定具有传递性，比如0.
(3)向量必须加“→”.
同一平面
共面
不共面
例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是
A.单位向量都相等
B.若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
D.相等向量其方向必相同
解析 A中，单位向量长度相等，方向不确定；
B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；
C中，向量不能比较大小.
√
(2)(多选)下列命题为真命题的是
A.若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
D.空间中，a∥b，b∥c，则a∥c
解析 A为假命题，根据相等的向量的定义知，两向量为相等的向量，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；
√
√
C为真命题，向量的相等满足传递性；
D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行.
反思感悟 空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等的向量、向量共线、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.
跟踪训练1 如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中：
二、空间向量的加减法运算
问题2 同学们，你还记得平面向量的运算法则吗？
提示 ①平面向量的加法法则：向量加法的三角形法则或向量加法的平行四边形法则，记为a＋b；几何意义：(图略)a＋b表示以a与b首尾相连的三角形的第三边或以a与b为邻边的平行四边形所夹的对角线；口诀为：首尾相连，第一个向量的起点指向最后一个向量的终点或相同起点对角线.
②向量减法的三角形法则：记为a－b，几何意义：(图略)a－b表示以a与b为邻边的平行四边形的另一条对角线，口诀：共起点的两个向量相减，其差为减向量的终点指向被减向量的终点.
知识梳理
加法
运算
三角形
法则
语言叙述
首尾顺次相接，首指向尾为和
图形叙述
平行
四边形
法则
语言叙述
共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和
图形叙述
减法
运算
三角形法则
语言叙述
共起点，连终点，方向指向被减向量
图形叙述
加法
运算
交换律
a＋b＝_____
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
注意点：(1)两个向量的减法运算可以看成是一个向量加上另一个向量的相反向量.
(2)共起点的两个向量相减，其差为减向量的终点指向被减向量的终点.
(3)向量的加法和减法运算结果仍是向量.
b＋a
√
√
解析 方法一(转化为加法运算)
0
方法二(转化为减法运算)
反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
跟踪训练2 如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果.
三、空间向量的数乘运算
问题3 平面中是如何表示a＋a＋a的？
提示 在平面中a＋a＋a＝3a，我们称为向量的数乘运算，其结果仍是一个向量.
知识梳理
定义
实数λ与空间向量a相乘的运算简称为数乘运算
几何
意义
λ>0
λa与向量a的方向_____
λa的长度是a的长度的
倍
λ<0
λa与向量a的方向_____
λ＝0
λa＝0，其方向是任意的
运算律
结合律
λ(μa)＝_____
分配律
(λ＋μ)a＝_______，λ(a＋b)＝_______
相同
相反
|λ|
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
注意点：(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.
(2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度.
(3)向量λa与向量a一定共线.
解 ∵P是C1D1的中点，
解 ∵N是BC的中点，
解 ∵M是AA1的中点，
延伸探究
解 因为P，N分别是D1C1，BC的中点，
反思感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
跟踪训练3 已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值.
∴x＝2，y＝－2.
课堂小结
1.知识清单：
(1)向量的相关概念.
(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘).
(3)向量线性运算的运算律.
2.方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想.
3.常见误区：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数.
随堂演练
1.(多选)下列命题中，真命题是
A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C.只有零向量的模等于0
D.共线的单位向量都相等
解析 容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等的向量或相反向量.
√
√
√
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2
3
4
√
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2
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4
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又ABCD是正方形，G是它的中心，
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课时对点练
基础巩固
1.下列说法中正确的是
A.空间中共线的向量必在同一条直线上
C.数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向
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解析 对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误；
对于C，λ既决定大小又决定方向，所以C正确；
综上可知，正确的为C.
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2.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是
A.a＝b B.a＋b为实数0
C.a与b方向相同 D.|a|＝3
解析 向量a，b互为相反向量，则a，b模相等，方向相反，故选D.
√
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4.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量一定共面的组数为
A.1 B.2 C.3 D.4
√
解析 如图所示，由向量共面的定义知①②中的向量一定共面；
故三向量共面；
④中三向量不能平移到同一个平面内，故不共面.
故共有3组共面.
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7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.(多选)已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，则下列四式中正确的有
√
√
√
解析 作出平行六面体ABCD－A′B′C′D′的图像如图，
C显然正确；
综上，正确的有ABC.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
又∵M是AA1的中点，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解 因为M是BB1的中点，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
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14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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15
16
综合运用
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列选项中化简后为零向量的是
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 如图所示，
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓广探究
15.已知正方体ABCD－A′B′C′D′的中心为O，则在下列各结论中正确的共有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
③同①，也是正确的；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
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16.如图，已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面体.
解 如图，取AA′的中点E，在D′C′上取一点F，使D′F＝2FC′，
连接EF，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
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本课结束第2课时 空间向量的数量积
学习目标 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直．
导语
同学们，上节课，我们体会了用类比的思想把平面中向量的加法、减法以及数乘运算推广到了空间中的线性运算，我们知道以上三种运算的结果仍是一个向量，其性质没有变化，而我们平面中还有两个向量的数量积的运算，显然，本节课的关键词仍是“类比”．
一、空间向量的夹角及数量积的概念
问题 空间中任意两个向量都共面吗？
提示 共面，因为向量可以平移，而平移后的向量与原向量相等．
知识梳理
1．两个向量的夹角
(1)定义：给定两个非零向量a，b，在空间中任意选定一点O，作＝a，＝b，则大小在[0，π]内的∠AOB称为a与b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)如果〈a，b〉＝，则称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.
(3)规定，零向量与任意向量都垂直．
2．空间向量的数量积
定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉称为a，b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
注意点：(1)数量积必须是点乘，其结果是一个实数．
(2)当两个向量的夹角θ为锐角时，a·b>0，但当a·b>0时，夹角θ不一定为锐角，因为θ可能为0.
(3)当两个向量的夹角θ为钝角时，a·b<0，但当a·b<0时，夹角θ不一定为钝角，因为θ可能为π.
例1 (1)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案
B
解析 显然〈a，b〉＝0?a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b?〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件．
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与的夹角〈，〉＝_______；向量与的夹角〈，〉＝________.
答案 90° 120°
解析 ∵AB⊥平面BCC1B1，
∴AB⊥C1B，
故〈，〉＝90°，
∵∥，
∴〈，〉＝〈，〉＝180°－∠A1BD，
∵△A1BD为等边三角形，
∴∠A1BD＝60°，∴〈，〉＝120°.
反思感悟 找两向量的夹角关键是把两向量平移到一个公共的起点，找到向量的夹角，再利用解三角形求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．
跟踪训练1 在正四面体A－BCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
答案 C
解析 由题意，可得＝，
所以〈，〉＝〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°.
二、空间向量的数量积的性质
知识梳理
1．投影：一般地，给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α)，过a的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线，假设垂足为A，B，则向量称为a在直线l(或平面α)上的投影．
a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积．
2．空间向量数量积的性质
(1)a⊥b?a·b＝0.
(2)a·a＝|a|2＝a2.
(3)|a·b|≤|a||b|.
(4)(λa)·b＝λ(a·b)．
(5)a·b＝b·a(交换律)．
(6)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
注意点：(1)向量a在向量b方向上的投影是一个向量．
(2)投影向量a′＝|a|cos
θ.
例2 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1)·；(2)·；(3)·；(4)·.
解 (1)·＝·＝||||·cos〈，〉＝cos
60°＝.
(2)·＝·＝||2＝.
(3)·＝·＝||·||cos〈，〉＝cos
120°＝－.
(4)·＝·(－)＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉
＝cos
60°－cos
60°＝0.
反思感悟 (1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算．
(2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．
跟踪训练2 已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为上底面A1B1C1D1的中心．求：
(1)·；(2)·；(3)·.
解 (1)如图所示，||＝a，在上的投影为，
∵||＝a，
∴·＝||·||＝a×a＝a2.
(2)取AB的中点E，∴O1E⊥AB，
∴在上的投影为，
又||＝a，||＝a，
∴·＝||·||＝a×a＝a2.
(3)〈，〉＝〈，〉＝60°，
又||＝||＝a，
∴·＝||||cos〈，〉＝a×a×cos
60°＝a2.
三、空间向量数量积的综合运算
例3 (1)已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )
A．－6
B．6
C．3
D．－3
答案 B
解析 由a⊥b，得a·b＝0，
所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
所以2k－12＝0，所以k＝6.
(2)已知空间向量a，b，|a|＝2，|b|＝，a·b＝－2，则〈a，b〉＝________.
答案
解析 ∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
又∵〈a，b〉∈[0，π]，
∴〈a，b〉＝.
(3)已知空间向量a，b，|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________.
答案 22
解析 ∵|a＋b|＝24，∴(a＋b)2＝576，
则a2＋2a·b＋b2＝576，
∴2a·b＝576－132－192＝46.
又|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝132＋192－46＝484，
∴|a－b|＝22.
反思感悟 利用数量积的公式可求空间向量的夹角、模以及解决与垂直有关的问题．
(1)a⊥b?a·b＝0.
(2)cos〈a，b〉＝.
(3)|a|＝＝.
跟踪训练3 (1)已知空间向量a，b，c，若a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则cos〈a，b〉等于( )
A.
B.
C.－
D.
答案 D
解析 ∵a＋b＋c＝0，
∴a＋b＝－c，平方得(a＋b)2＝c2，
即a2＋b2＋2a·b＝c2，
∴4＋9＋2a·b＝16，
∴2a·b＝3，
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
(2)(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们互不共线，下列选项中正确的是( )
A．(a·b)·c－(c·a)·b＝0
B．|a|－|b|<|a－b|
C．(b·a)·c－(c·a)·b与c垂直
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
答案 BD
解析 结合向量的数量积运算律，只有BD正确．
1．知识清单：
(1)空间向量的夹角及数量积的概念．
(2)空间向量的投影．
(3)空间向量数量积的性质．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：求向量夹角时需平移到同一个起点，向量的投影仍是一个向量．
1．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是( )
A.与
B.与 C.与
D.与
答案 AD
2．(多选)对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的假命题是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b>0，则〈a，b〉是锐角
答案 ACD
解析 对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；
对于C，a2＝b2，只能推出|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；
对于D，当a，b同向时，a·b>0，而〈a，b〉不是锐角．
3．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝3，AB＝4，AA1＝5，则·的值为( )
A．5
B．25
C．25
D．5
答案 B
解析 方法一 ＝，∴〈，〉＝〈，〉＝∠AC1C.
又Rt△ACC1中，AC＝＝5，CC1＝5，
∴AC1＝5，∠AC1C＝45°，
∴·＝||·||·cos∠AC1C＝5×5×＝25.
方法二 在上的投影为，
∴·＝·＝||·||＝25.
4．已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则〈a，b〉＝____.
答案
解析 ∵cos〈a，b〉＝＝－，∴〈a，b〉＝.
课时对点练
1．已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是( )
A．垂直
B．共线 C．不垂直
D．以上都可能
答案 A
解析 由题意知|a|＝|b|，
∵(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
2．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于( )
A．12
B．8＋ C．4
D．13
答案 D
解析 (2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos
120°＝2×4－2×5×＝13.
3．已知空间向量a，b，|b|＝4，|a|＝2，〈a，b〉＝，则b在a上的投影的数量为( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
答案 D
解析 b在a上的投影的数量为|b|cos〈a，b〉＝4×cos
＝－2.
4．已知正四面体A－BCD的棱长为1，且＝2，＝2，则·等于( )
A．
B．
C．－
D．－
答案 D
解析 由正四面体A－BCD的棱长为1，且＝2，＝2，得＝，则·＝·＝×1×1×cos
120°＝－.
5．(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，体对角线AC1与BD1相交于点O，则有( )
A.·＝2a2
B.·＝a2
C.·＝a2
D.·＝a2
答案 BC
解析 ·＝·(＋)＝2＝a2；
·＝·(＋＋)＝2＝a2；
·＝·＝·(＋＋)＝2＝a2；
·＝·(＋)＝－2＝－a2.
6．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题正确的为( )
A.(＋＋)2＝32
B.·(－)＝0
C.与的夹角为60°
D.在上的投影为
答案 ABD
解析 易知AB正确；
与的夹角为120°，∴C不正确．
∵＝，且在上的投影为，
∴在上的投影为，故D正确．
7．已知空间向量a，b，|a|＝3，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为________．
答案 －
解析 由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，
所以a2＋λb2＋(1＋λ)a·b＝0，
即18＋25λ＋(1＋λ)×3×5×cos
135°＝0，
所以λ＝－.
8．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
答案 －13
解析 ∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.
9．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
解 由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，
(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝|b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|，
所以cos〈a，b〉＝＝＝，
所以〈a，b〉＝60°.
10．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝2，AD＝4.
求：(1)·；(2)·；(3)·.
解 如图所示，
||＝2，||＝＝2.
(1)＝，∴〈，〉＝〈，〉＝180°－∠C1DC＝135°，
·＝||×||×cos
135°＝2×2×＝－4.
(2)＝.
又四边形CDD1C1为正方形，
∴DC1⊥CD1，
∴CD1⊥AB1，
∴·＝0.
(3)方法一 ∵＝，
∴〈，〉＝〈，〉＝∠D1BC，
Rt△D1BC中，cos∠D1BC＝＝＝，
∴·＝||·||cos∠D1BC＝2×4×＝16.
方法二 ＝，∴·＝·.
又在上的投影为，
∴·＝||·||＝16.
11．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( )
A．2· B．2· C．2· D．2·
答案 C
解析 2·＝－a2，故A错；2·＝－a2，故B错；2·＝－a2，故D错，只有C正确．
12．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则〈，〉等于( )
A．60°
B．45°
C．120°
D．90°
答案 D
解析 ∵·＝·(－)＝·－·＝||·||cos
－||·||cos
＝0，
∴〈，〉＝90°.
13．已知空间中有AB⊥BC，CD⊥BC，且AB＝1，BC＝2，CD＝3，〈，〉＝60°，则A，D两点间的距离为( )
A.
B.
C.
D．2
答案 B
解析 ＝＋＋，
所以||＝＝＝＝.
14．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为________．
答案 －4
解析 ∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，由已知得t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4.
15．如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1，2，…，8)是上底面上其余的八个点，则·(i＝1，2，…，8)的不同值的个数为( )
A．8
B．4
C．2
D．1
答案 D
解析 ·＝·(＋)＝2＋·，
∵AB⊥平面BP2P8P6，∴⊥，
∴·＝0，∴·＝||2＝1，
则·(i＝1，2，…，8)的不同值的个数为1.
16．如图所示，在空间四面体OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离．
解 ＝＋＝＋(＋)
＝＋[(－)＋(－)]＝－＋＋，
所以2＝2＋2＋2＋2××·＋2××·＋2××·＝2.
所以||＝，即E，F间的距离为.
