(共62张PPT)
第一章 §1.1 空间向量及其运算
1.1.2 空间向量基本定理
学习目标
1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.
2.理解共线向量基本定理和共面向量定理及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.
3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.
导语
同学们，经过前面两节课的学习，我们发现，空间向量实际上就是平面向量向空间的一种推广，由二维空间向三维空间的一种推广，今天我们就将对平面向量基本定理加以推广.
随堂演练
课时对点练
一、共面向量定理
二、空间向量基本定理
三、空间向量基本定理的应用
内容索引
一、共面向量定理
问题1 共线向量基本定理的内容是什么？它适用于空间向量吗？
提示 如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa，它适用于空间向量.
同样对于平面向量基本定理在空间中仍然成立.
知识梳理
共线向量基本定理与共面向量定理
(1)共线向量基本定理：如果a≠0且b∥a，则存在
的实数λ，使
.
(2)平面向量基本定理：如果平面内两个向量a与b
，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝
.
(3)共面向量定理：如果两个向量a，b
，则向量a，b，c共面的充要条件是存在
的实数对(x，y)，使c＝
.
(4)共面向量定理的推论：如果A，B，C三点
，则点P在平面ABC内的充要条件是存在
的实数对(x，y)，使
＝
.
唯一
b＝λa
不共线
xa＋yb
不共线
唯一
xa＋yb
不共线
唯一
反思感悟 证明空间向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面.
(3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行.
二、空间向量基本定理
问题2 如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝
，p
能否用i，j，k表示呢？
问题3 你能证明唯一性吗？
提示 假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，
使得p＝x′i＋y′j＋z′k，
则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk.
不妨设x′≠x，则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k.
由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾.所以有序实数组(x，y，z)是唯一的.
知识梳理
空间向量基本定理
如果空间中的三个向量a，b，c
，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
①若xa＋yb＋zc＝0?x＝y＝z＝0.
②表达式xa＋yb＋zc称为向量a，b，c的
或
.
③如果三个向量a，b，c不共面，则它们的线性组合
能生成所有的空间向量，a，b，c组成的集合
称为空间向量的一组
.此时a，b，c都称为
；如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式.
不共面
线性组合
线性表达式
xa＋yb＋zc
{a，b，c}
基底
基向量
注意点：(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同.
(2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.
(3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量.
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)
＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，
解 如图所示，
反思感悟 用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等的向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.
(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.
三、空间向量基本定理的应用
例3 已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°.
∴{a，b，c}为一组基底.
＝1＋1＋1＋2(cos
60°＋cos
60°＋cos
60°)＝6，
反思感悟 利用空间向量基本定理求空间向量的数量积、长度、夹角的技巧
根据条件确定基底，一般用已知的向量(向量的长度已知，夹角已知等等)作为基底，用基底表示要求的向量，可证平行、垂直.可求两向量的数量积、夹角，可求向量的长度.
跟踪训练3 (1)对空间内任意一点O，都有OA，OB，OC两两垂直，则△ABC是
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
解析 OA，OB，OC两两互相垂直，
√
同理∠ABC，∠BCA均为锐角.
∴|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，a·b＝a·c＝b·c＝0，
∴{a，b，c}能作为一组基底.
课堂小结
1.知识清单：
(1)共线向量基本定理、共面向量定理.
(2)空间向量基本定理.
2.方法归纳：数形结合、转化与化归.
3.常见误区：对基底的概念理解不清，导致出错.
随堂演练
1.对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是
A.共面向量 B.共线向量
C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量
√
解析 ∵2a－b＝2·a＋(－1)·b，
∴2a－b与a，b共面.
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A.A，B，D B.A，B，C
C.B，C，D D.A，C，D
√
所以A，B，D三点共线.
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4.如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点.
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则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
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课时对点练
基础巩固
1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一组基底，则p是q的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底，
当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量.
因此p?q，q?p.
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A.O，A，B，C四点共面 B.P，A，B，C四点共面
C.O，P，B，C四点共面 D.O，P，A，B，C五点共面
√
又它们有公共点P，
∴P，A，B，C四点共面.故选B.
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解析 连接AE(图略)，
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5.{e1，e2，e3}是空间的一个基底，向量a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3.若d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为
√
解析 xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1＋e2－e3)＋z(e1－e2＋e3)
＝(x＋y＋z)e1＋(x＋y－z)e2＋(x－y＋z)e3＝e1＋2e2＋3e3，
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6.(多选)下列命题中，真命题是
A.向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面
B.三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面
C.若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，
则a，b共线
D.若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则
{a，b，c}构成空间的一个基底
√
√
解析 A不正确.
三个向量共面时，它们所在的直线在平面内，或与平面平行；B正确.
基底必须不共面；C正确；
D不对，a，b不共线.当c＝λa＋μb时，a，b，c共面.故选BC.
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解析 如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG.
3a＋3b－5c
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9.已知点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.
(1)证明：E，F，G，H四点共面；
证明 如图，连接EG，BG.
由向量共面的充要条件知，E，F，G，H四点共面.
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(2)证明：BD∥平面EFGH.
又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，
∴BD∥平面EFGH.
又BD?平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.
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10.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点.
则|a|＝|b|＝1，|c|＝2且a·b＝a·c＝b·c＝0.
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综合运用
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A.3 B.1 C.－1 D.－3
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解析 ∵A，B，C三点共线，
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则λ＝k－1，m＝1，n＝－k，
∴λ＋m＋n＝0.
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拓广探究
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解析 如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC的中点，
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16.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
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则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
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又∵OG∩BD＝O，OG?平面GBD，BD?平面GBD，
∴A1O⊥平面GBD.
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本课结束1.1.2 空间向量基本定理
学习目标 1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.理解共线向量基本定理和共面向量定理及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．
导语
同学们，经过前面两节课的学习，我们发现，空间向量实际上就是平面向量向空间的一种推广，由二维空间向三维空间的一种推广，今天我们就将对平面向量基本定理加以推广．
一、共面向量定理
问题1 共线向量基本定理的内容是什么？它适用于空间向量吗？
提示 如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa，它适用于空间向量．
同样对于平面向量基本定理在空间中仍然成立．
知识梳理
共线向量基本定理与共面向量定理
(1)共线向量基本定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使b＝λa.
(2)平面向量基本定理：如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.
(3)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb.
(4)共面向量定理的推论：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使＝x＋y.
注意点：(1)与共线，则A，B，C，D四点不一定共线．
(2)若P，A，B，C四点共面，对于空间中的任意一点O，有＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝1，反之亦成立．
例1 如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面．
证明 因为M在BD上，且BM＝BD，
所以＝＝＋.
同理＝＋.
所以＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋.
又与不共线，根据共面向量定理可知，，共面．
反思感悟 证明空间向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面．
(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面．
(3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行．
跟踪训练1 已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足＝＋＋，判断，，三个向量是否共面．
解 ，，三个向量共面．
因为＝＋＋，所以3＝＋＋，
化简，得(－)＋(－)＋(－)＝0，
即＋＋＝0，即＝－－，故，，共面．
二、空间向量基本定理
问题2 如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝，p
能否用i，j，k表示呢？
提示 如图，设为在i，j所确定的平面上的投影向量，则＝＋.
又向量，k共线，因此存在唯一的实数z，使得＝zk，从而＝＋zk.
在i，j确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xi＋yj.
从而＝＋zk＝xi＋yj＋zk.
问题3 你能证明唯一性吗？
提示 假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk.
不妨设x′≠x，则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k.
两边同除以(x′－x)，得i＝j＋k.
由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾．所以有序实数组(x，y，z)是唯一的．
知识梳理
空间向量基本定理
如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
①若xa＋yb＋zc＝0?x＝y＝z＝0.
②表达式xa＋yb＋zc称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式．
③如果三个向量a，b，c不共面，则它们的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量，a，b，c组成的集合{a，b，c}称为空间向量的一组基底．此时a，b，c都称为基向量；如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式．
注意点：(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同．
(2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
(3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量．
例2 (1)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．
解 假设，，共面．
则存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，
∴此方程组无解，
∴，，不共面，
∴{，，}可以作为空间的一个基底．
(2)已知空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，F为MN中点．用基底{a，b，c}表示以下向量：
①；②.
解 如图所示，
①＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c.
②＝(＋)＝＋＝×＋×(＋)
＝＋＋＝a＋b＋c.
反思感悟 用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等的向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
跟踪训练2 如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，＝－，＝.设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，.
解 连接AN(图略)，则＝＋.
由ABCD是平行四边形，得＝＋＝a＋b，
则＝－＝－(a＋b)．
又＝－＝b－c，
故＝＋＝－＝－＝b－(b－c)．
故＝＋＝－(a＋b)＋b－(b－c)＝(－a＋b＋c)．
连接(图略)，则＝＋.
＝－＝－(a＋b)，＝＋＝b＋c，
故＝＋＝－(a＋b)＋b＋c＝－a＋b＋c.
三、空间向量基本定理的应用
例3 已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°.
(1)求·；
(2)求的模．
解 如图，令＝a，＝b，＝c，
∴{a，b，c}为一组基底．
(1)∵＝b＋c，
＝－＝a－c，
∴·＝(b＋c)·(a－c)＝a·b＋a·c－b·c－c2
＝1×1×cos
60°＋1×1×cos
60°－1×1×cos
60°－1
＝－1＝－.
(2)∵＝＋＋，
∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝1＋1＋1＋2(cos
60°＋cos
60°＋cos
60°)＝6，
∴||＝.
反思感悟 利用空间向量基本定理求空间向量的数量积、长度、夹角的技巧
根据条件确定基底，一般用已知的向量(向量的长度已知，夹角已知等等)作为基底，用基底表示要求的向量，可证平行、垂直．可求两向量的数量积、夹角，可求向量的长度．
跟踪训练3 (1)对空间内任意一点O，都有OA，OB，OC两两垂直，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
答案 A
解析 OA，OB，OC两两互相垂直，所以·＝(－)·(－)＝·＝||2>0，
所以〈，〉为锐角，
同理∠ABC，∠BCA均为锐角．
(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，E为CC1上的点，且CE＝1，则与夹角的余弦值为________．
答案
解析 令＝a，＝b，＝c，
∴|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，a·b＝a·c＝b·c＝0，
∴{a，b，c}能作为一组基底．
∵＝a＋c，＝＋＝b＋c，
∴·＝(a＋c)·＝a·b＋a·c＋b·c＋c2＝3.
又||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
1．知识清单：
(1)共线向量基本定理、共面向量定理．
(2)空间向量基本定理．
2．方法归纳：数形结合、转化与化归．
3．常见误区：对基底的概念理解不清，导致出错．
1．对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是( )
A．共面向量
B．共线向量
C．不共面向量
D．既不共线也不共面的向量
答案 A
解析 ∵2a－b＝2·a＋(－1)·b，∴2a－b与a，b共面．
2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D
B．A，B，C
C．B，C，D
D．A，C，D
答案 A
解析 因为＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，故∥，又与有公共点A，
所以A，B，D三点共线．
3．如图，已知三棱锥O－ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于( )
A.(b＋c－a)
B.(a＋b－c)
C.(a－b＋c)
D.(c－a－b)
答案 D
解析 由题意知＝－＝－(＋)．因为＝a，＝b，＝c，所以＝(c－b－a)．
4．如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．
则：(1)·＝________；(2)·＝________.
答案 (1)16 (2)0
解析 设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·＝·(＋)＝b·＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝(＋)·(＋)＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
课时对点练
1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一组基底，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此p?q，q?p.
2．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的是( )
A.
B. C.
D.或
答案 C
解析 ∵＝(a－b)，∴与a，b共面，
∴a，b，不能构成空间基底．
3．对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有6＝＋2＋3，则( )
A．O，A，B，C四点共面
B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C四点共面
D．O，P，A，B，C五点共面
答案 B
解析 由6＝＋2＋3，
得－＝2(－)＋3(－)，
即＝2＋3，∴，，共面，
又它们有公共点P，∴P，A，B，C四点共面．故选B.
4．如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a－b＋c
B．－a＋b＋c
C．a－b＋c
D．－a＋b＋c
答案 B
解析 连接AE(图略)，
∵E是CD的中点，＝b，＝c，
∴＝(＋)＝(b＋c)．
＝＋＝－＋，
又＝a，∴＝－a＋(b＋c)＝－a＋b＋c.
5．{e1，e2，e3}是空间的一个基底，向量a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3.若d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为( )
A.，－1，－
B.，1，
C.－，1，－
D.，1，－
答案 A
解析 xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1＋e2－e3)＋z(e1－e2＋e3)＝(x＋y＋z)e1＋(x＋y－z)e2＋(x－y＋z)e3＝e1＋2e2＋3e3，
由空间向量基本定理，得
解得
6．(多选)下列命题中，真命题是( )
A．向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面
B．三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面
C．若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线
D．若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底
答案 BC
解析 A不正确．三个向量共面时，它们所在的直线在平面内，或与平面平行；B正确．基底必须不共面；C正确；D不对，a，b不共线．当c＝λa＋μb时，a，b，c共面．故选BC.
7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，用，，作为基向量，则＝______.
答案 (＋＋)
解析 ∵2＝2＋2＋2＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋，
∴＝(＋＋)．
8．已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________.
答案 3a＋3b－5c
解析 如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG.
＝－＝－＝＋＝(5a＋6b－8c)＋(a－2c)＝3a＋3b－5c.
9．已知点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)证明：E，F，G，H四点共面；
(2)证明：BD∥平面EFGH.
证明 如图，连接EG，BG.
(1)＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，
由向量共面的充要条件知，E，F，G，H四点共面．
(2)方法一 ∵＝－＝－＝，
∴EH∥BD.
又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.
方法二 ∵＝＋＝2＋2＝2＝2(＋)＝2＋2，
又，不共线，∴与，共面．
又BD?平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.
10．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．
(1)求的长；
(2)求cos〈，〉的值．
解 令＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝1，|c|＝2且a·b＝a·c＝b·c＝0.
(1)＝－＝＋－＝a＋c－b，
∴||＝＝＝＝.
(2)＝－＝＋－＝a＋c－b，
＝＋＝b＋c，
所以||＝＝＝.
||＝，
·＝(a＋c－b)·(b＋c)＝a·b＋a·c＋b·c＋c2－b2－b·c＝4－1＝3.
所以cos〈，〉＝＝＝.
11．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x的值为( )
A．1
B．0
C．3
D．
答案 D
解析 ∵＝x＋＋，且M，A，B，C四点共面，
∴x＋＋＝1，∴x＝.故选D.
12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若G点是△BA1D的重心，且＝x＋y＋z，则x＋y＋z的值为( )
A．3
B．1
C．－1
D．－3
答案 B
解析 2＝＋，
＝，
＝＋，
所以＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＝＋＋，
因为＝x＋y＋z，
所以x＋y＋z＝＋＋＝1.
13．(多选)若向量，，的始点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则不能使向量，，成为空间一组基底的关系的是( )
A.＝＋＋
B.＝＋
C.＝＋＋
D.＝2－
答案 ABD
解析
对于A，由结论＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四点共面知，，，共面；对于B，D，易知，，共面，故只有C中，，不共面，只要，，共面，就不能作为一组基底，故选ABD.
14．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为________．
答案 0
解析 ∵A，B，C三点共线，
∴存在唯一实数k使＝k，
即－＝k(－)，
∴(k－1)＋－k＝0.
又λ＋m＋n＝0，
则λ＝k－1，m＝1，n＝－k，∴λ＋m＋n＝0.
15．已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC的中点，＝(＋)＝(－2＋)，＝＝(－2＋)，
∵＝3，
∴＝＝(＋)＝＝＋＋.
∴x＝，y＝，z＝.
16．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
证明 设＝a，＝b，＝c，
则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
∵＝＋＝＋(＋)＝c＋a＋b，
＝－＝b－a，
＝＋＝(＋)＋＝a＋b－c，
∴·＝·(b－a)
＝c·b－c·a＋a·b－a2＋b2－b·a
＝(b2－a2)＝(|b|2－|a|2)＝0.
于是⊥，即A1O⊥BD.
同理可证⊥，即A1O⊥OG.
又∵OG∩BD＝O，OG?平面GBD，BD?平面GBD，
∴A1O⊥平面GBD.
