(共68张PPT)
第一章 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
第2课时 空间中两条直线所成的角
学习目标
1.了解空间中两条直线所成的角与两直线方向向量所成的角的关系，会求空间两条直线所成的角.
2.了解空间中两条异面直线的公垂线.
导语
同学们，生活中，我们经常听到换个角度思考问题，尤其是在解决我们数学问题时，对于相同的问题，因对角度的理解不同，会导致不同的结果，从而启发我们，看问题要全面，透过现象看本质，只有从正确的角度出发，让视野开阔，才能得出我们想要的答案.
随堂演练
课时对点练
一、空间中两条直线所成的角与方向向量所成的角的关系
二、空间中两条直线所成的角(向量法、坐标法、几何法)
三、异面直线与空间向量
内容索引
一、空间中两条直线所成的角与方向向量所成的角的关系
问题1 空间中两直线所成的角与它们的方向向量之间的夹角相等吗？
提示 不相等；
知识梳理
空间中两条直线所成的角
v1，v2分别为空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ.
如图，则①θ的范围为
.
②θ＝
或θ＝
.
③sin
θ＝
或cos
θ＝
.
④l1⊥l2?
?
.
〈v1，v2〉
π－〈v1，v2〉
sin〈v1，v2〉
|cos〈v1，v2〉|
v1·v2＝0
例1 若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于
解析 设l1与l2的夹角为θ，
√
跟踪训练1 若异面直线l1，l2的方向向量的夹角为120°，则异面直线l1与l2所成的角等于_____.
60°
二、空间中两条直线所成的角(向量法、坐标法、几何法)
例2 如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，求EF和CD所成的角.
解 方法一 (向量法)
设正方体的棱长为1，
故直线EF与直线CD所成的角是45°.
方法二 (坐标法)
以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系Dxyz如图所示，
设正方体的棱长为1，
∴异面直线EF和CD所成的角是45°.
方法三 (几何法)
设正方体的棱长为1，连接A1D，DC1(图略)，
则F在线段A1D上且是线段A1D的中点，
又因为E为A1C1的中点，
故EF是△A1DC1的中位线，
故有EF∥DC1，则∠CDC1即为直线EF与直线CD所成的角，
即Rt△CDC1为等腰直角三角形，
所以∠CDC1＝45°，
故直线EF与直线CD所成的角是45°.
(2)求空间直线所成角的三种方法
①几何法：把空间中的两条直线平移到一个公共点，再通过解三角形求角.
②基底法：确定一个基底，用基底表示两直线的方向向量.
③坐标法：建立空间直角坐标系，用坐标表示两直线的方向向量.
跟踪训练2 长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是侧面A1B1C1D1与侧面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值.
解 如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，
则A(2，0，0)，B(2，4，0)，C1(0，4，2)，A1(2，0，2)，
∴E(1，2，2)，F(1，4，1)，
三、异面直线与空间向量
问题2 如果空间两直线没有交点，这两条直线一定平行吗？
提示 不一定，根据直线的分类，我们把空间直线分为共面直线和异面直线，共面直线包括平行直线和相交直线，而异面直线说的是这两条直线不同在一个平面内.
知识梳理
异面直线与空间向量
1.异面直线的判定
充要
2.异面直线间的距离
一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，
，________，则称MN为l1与l2的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的
.
MN⊥l1
MN⊥l2
距离
例3 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，棱长都为2，试找出异面直线BA1与CB1的公垂线，并求两条异面直线的距离.
解 如图，以AC中点O为原点，以OA，OB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系Oxyz.
假设MN为BA1与CB1的公垂线，
即?M∈BA1，N∈CB1，使MN⊥BA1，MN⊥CB1，
又MN⊥BA1，MN⊥CB1，
故在BA1与CB1上存在点M，N，
反思感悟 两条异面直线的公垂线有且仅有一条.即一条直线与两异面直线都相交且垂直，利用几何知识很难找到.利用空间直角坐标系，转化成方向向量之间的关系较为简单.求解时要注意先建系，再设出M，N的坐标，利用MN与异面直线都垂直，就能找到M，N.
跟踪训练3 已知三棱锥S－ABC中，SA＝BC＝13，SB＝AC＝14，SC＝AB＝15，求异面直线AS与BC的距离.
解 构造如图所示的长方体，使得长方体中三个相邻矩形的对角线长分别为13，14，15.
设AD＝x，BD＝y，SD＝z，
则x2＋y2＝AB2，y2＋z2＝SB2，x2＋z2＝SA2，
由长方体性质，可知BD⊥平面ADSF，BD⊥平面BGCE，
平面ADSF∥平面BGCE，
则BD为平面ADSF和平面BGCE之间的距离，
又AS?平面ADSF，BC?平面BGCE，
则BD的长度就是异面直线AS与BC的距离，
课堂小结
1.知识清单：
(1)空间中两条直线所成的角与方向向量所成的角的关系.
(2)两异面直线的公垂线.
2.方法归纳：数形结合、转化与化归.
3.常见误区：两条直线所成的角与两直线方向向量所成的角之间的关系易混淆.
随堂演练
1.已知A(0，1，1)，B(2，－1，0)，C(3，5，7)，D(1，2，4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为
√
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2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是
√
解析 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系，
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3.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是
A.平行 B.相交 C.异面垂直 D.异面不垂直
√
解析 建立坐标系，如图所示，
设正方体的棱长为2，
则A(2，0，0)，M(0，0，1)，O(1，1，0)，N(2，1，2)，
则直线NO，AM的位置关系是异面垂直.
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4.已知两条空间直线a，b的夹角为60°，a，b分别为直线a，b的方向向量，则〈a，b〉＝____________.
解析 由空间中两条直线所成的角与其方向向量的夹角的关系可知，
〈a，b〉＝60°或120°.
60°或120°
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课时对点练
基础巩固
1.若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2的夹角为
A.30°
B.150°
C.30°或150° D.以上均不对
√
解析 根据异面直线所成角的定义即知l1，l2所成角为30°.
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解析 a·b＝2－λ＋4＝6－λ，
√
√
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3.在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段AA1的中点，F为线段C1D1上靠近D1的三等分点，则异面直线A1B与EF所成角的余弦值为
√
解析 如图，建立空间直角坐标系，
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4.直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为
√
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解析 如图所示，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴建立空间直角坐标系，
设CA＝CB＝1，
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解析 不妨设正四棱锥底面边长为2，底面中心为O，
连接PO，则PO⊥平面ABCD，
取BC的中点E，连接OE，PE，则OE⊥BC，PE⊥BC，
所以∠PEO为侧面PBC与底面ABCD所成的角，
取底面正方形的中心O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
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6.(多选)如图所示是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列命题正确的是
A.GH与EF平行
B.BD与MN为异面直线
C.GH与MN成60°角
D.DE与MN垂直
√
√
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解析 如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH与EF为异面直线，A不正确；
BD与MN为异面直线，B正确；
GH∥AD，MN∥AF，而∠DAF＝60°，
∴∠GHM＝60°，
∴GH与MN成60°角，C正确；
连接AG，FG，AG⊥DE，FG⊥DE，
∴DE⊥平面AFG，∴DE⊥AF，
又MN∥AF，
∴DE与MN垂直，D正确.
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7.已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角为_____.
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8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为_____.
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解析 以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
∵M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，
∴M(1，2，0)，N(0，2，1)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，
设异面直线AC和MN所成的角为θ，
∴θ＝60°，即异面直线AC和MN所成的角为60°.
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9.如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点.
(1)求异面直线AO1与B1E所成角的余弦值；
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由题设，知A(2，0，0)，O1(0，0，2)，B1(2，3，2)，E(1，3，0)，
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(2)作O1D⊥AC于点D，求O1D的长.
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因为C(0，3，0)，
设D(x，y，0)，
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10.已知圆柱的底面半径为3，高为4，A，B两点分别在两底面圆周上，并且AB＝5，求异面直线AB与轴OO′之间的距离.
解 如图，直线AB与轴OO′之间的距离等于轴OO′与平面ABC的距离，
由图形可知，直线AB与轴OO′之间的距离等于O′到BC的距离，
∵AB＝5，AC＝4，且AC⊥BC，
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综合运用
11.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为
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则相关各点坐标为A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，
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因为异面直线所成的角为锐角或直角，
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12.已知四面体O－ABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值为
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A.EF至多与A1D，AC之一垂直
B.EF⊥A1D，EF⊥AC
C.EF与BD1相交
D.EF与BD1异面
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解析 如图，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为3，
则E(1，0，1)，F(2，1，0)，A1(3，0，3)，
A(3，0，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，
B(3，3，0)，D1(0，0，3)，
∴EF⊥AC，EF⊥A1D.
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14.如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，且SA＝AB＝BC＝1，则异面直线SB与AC之间的距离为____.
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解析 构造如图所示的正方体，取AB的中点O，连接OD交AC于点E，连接OM交SB于点F，
由平面几何知识可知，
又因为AC⊥BD，AC⊥BM，
所以AC⊥平面BDM，AC⊥DM，
因为EF∥DM，所以AC⊥EF.
同理可证SB⊥DM，所以SB⊥EF，
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拓广探究
15.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，动点M在线段A1C上(包括A1，C两端点)，E，F分别为DD1，AD的中点.若异面直线EF与BM所成的角为θ，则θ的取值范围为
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设DA＝2，
则F(1，0，0)，E(0，0，1)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，2)，
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16.在长方体ABCD－A1B1C1D1中AD＝AA1＝1，AB＝2，在棱AB上是否存在一点E使得异面直线AD1与EC所成的角为60°？若存在，求出点E的位置；若不存在，说明理由.
解 存在点E.以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
设E(1，t，0)(0则A(1，0，0)，D(0，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)，
所以t＝1，所以E在AB的中点处.
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本课结束§1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
第1课时 空间中的点、直线与空间向量
学习目标 1.理解空间中的点与空间向量的关系以及空间直线的方向向量的意义及求法．2.能利用空间直线的方向向量解决空间中的平行与垂直问题．
导语
同学们，上节课我们建立了空间直角坐标系，有了空间直角坐标系，我们可以确定空间中任意一点的位置，实际上空间直角坐标系在生活中应用广泛，比如我们国家建立的北斗卫星导航系统，它给我们带来的最大的好处就是精确的导航，它能精准的定位每一个点的位置，当然，学好数学才能更好的了解北斗卫星导航系统．
一、空间中的点与空间向量
问题1 在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？
提示 在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量．
知识梳理
用向量表示点的位置
一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定．此时，称为点P的位置向量．
例1 已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3，4，0)，B(2，5，5)，C(0，3，5)．
(1)若＝(－)，求点P的坐标；
(2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求点P的坐标．
解 (1)＝(－1，1，5)，＝(－3，－1，5)，＝(－)＝(2，2，0)＝(1，1，0)，
∴点P的坐标为(1，1，0)．
(2)由P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，
知＝.
设点P的坐标为(x，y，z)，则
＝(x－3，y－4，z)，＝(2－x，5－y，5－z)，
故(x－3，y－4，z)＝(2－x，5－y，5－z)，
即得
因此点P的坐标为.
反思感悟 解决空间点的位置的问题，一般是明确坐标原点，利用空间向量坐标的运算求出目标点的坐标．
跟踪训练1 已知点A(3，3，－5)，B(2，－3，1)，C为线段AB上一点，且＝，则点C的坐标为________．
答案
解析 设C(x，y，z)，
则(x－3，y－3，z＋5)＝(－1，－6，6)，
解得x＝，y＝－1，z＝－1，
所以点C的坐标为.
二、空间中的直线与空间向量
问题2 空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l?
提示 如图1，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t.如图2，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，①
或＝＋t.②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．
知识梳理
直线的方向向量
定义：如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l.
(1)如果A，B为直线l上的两个不同点，则v＝就是直线l的一个方向向量．
(2)若v为直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都平行．
(3)空间中直线l的位置可由方向向量v和l上的一个已知点唯一确定．
(4)v1，v2分别是直线l1，l2的一个方向向量，则v1∥v2?l1∥l2或l1与l2重合．
注意点：(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合．
(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．
例2 (1)(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上不与C1，C重合的任一点，则能作为直线AA1的方向向量的是( )
A.
B. C.
D.
答案 ABD
解析 由定义知，一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或重合，则这个向量就称为直线AA1的一个方向向量．
(2)若点A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1，2，3)
B．(1，3，2) C．(2，1，3)
D．(3，2，1)
答案 A
解析 由题意，可得直线l的一个方向向量＝(2，4，6)，
又＝(1，2，3)，所以向量(1，2，3)是直线l的一个方向向量．
反思感悟 对直线方向向量的两点说明
(1)方向向量的选取：在直线上任取两点P，Q，可得到直线的一个方向向量.
(2)方向向量的不唯一性：直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．
跟踪训练2 已知直线l的方向向量v＝(2，1，3)，且l过A(0，y，3)和B(－1，－2，z)，则y＝________，z＝________.
答案 －
解析 ∵直线l的方向向量v＝(2，1，3)，且l过A(0，y，3)和B(－1，－2，z)，
∴＝(－1，－2－y，z－3)＝λ(2，1，3)，
∴λ＝－，－2－y＝λ，z－3＝3λ，
解得y＝－，z＝.
三、用直线的方向向量处理直线的平行、垂直问题
例3 (1)若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，则( )
A．l1∥l2
B．l1⊥l2
C．l1，l2相交但不垂直
D．不能确定
答案 B
解析 ∵a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为CC1的中点，M为CD的中点．
证明：①BF∥D1E；
②BE不与D1M平行；
③BE⊥C1M.
证明 如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系．
则B(1，0，0)，D1(0，1，1)，E，F，M?，C1(1，1，1)．
①∵＝，＝，
∵＝－，
∴∥，
∴BF∥D1E.
②＝，＝，
∵≠，
∴不与平行，
∴直线BE不与直线D1M平行．
③＝，＝.
∴·＝(－1)×＋0×0＋×(－1)＝－＝0，
∴⊥，
∴BE⊥C1M.
反思感悟 判定直线平行、垂直的向量法
v1，v2分别为l1与l2的一个方向向量．
(1)v1∥v2?l1∥l2或l1与l2重合．
(2)v1与v2不平行?l1与l2不平行．
(3)v1·v2＝0?v1⊥v2?l1⊥l2.
(4)v1·v2≠0?v1与v2不垂直?l1与l2不垂直．
跟踪训练3 (1)已知直线l1的方向向量a＝(－1，2，m)，直线l2的方向向量b＝(2，n，－12)，且l1∥l2，则m＋3n的值是( )
A．－6
B．6
C．14
D．－14
答案 A
解析 ∵l1∥l2，∴a∥b，
则＝＝，解得n＝－4，m＝6，
∴m＋3n＝6－12＝－6.
(2)如图，F是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CD的中点，E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有( )
A．B1E＝EB
B．B1E＝2EB
C．B1E＝EB
D．E与B重合
答案 A
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，
设E(2，2，t)．则＝(0，1，－2)，＝(2，2，t)．
由D1F⊥DE，得(0，1，－2)·(2，2，t)＝0，
即2－2t＝0.
所以t＝1，即E为BB1的中点．
1．知识清单：
(1)空间点的表示．
(2)直线的方向向量．
(3)会利用直线的方向向量解决线线平行、垂直问题．
2．方法归纳：数形结合、转化与化归．
3．常见误区：两直线的方向向量共线时要注意两直线是否重合．
1．已知两不重合的直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1，0，－1)，v2＝(－2，0，2)，则l1与l2的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．垂直
D．不确定
答案 A
解析 因为v2＝－2v1，所以v1∥v2.
2．下面各组向量为直线l1与l2的方向向量，则l1与l2一定不平行的是( )
A．a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4)
B．a＝(1，0，0)，b＝(－3，0，0)
C．a＝(2，3，0)，b＝(4，6，0)
D．a＝(－2，3，5)，b＝(－4，6，8)
答案 D
解析 l1与l2不平行，则其方向向量一定不共线，
A中b＝－2a，B中b＝－3a，C中b＝2a.
3．已知a＝(4，－1，0)，b＝(1，4，5)，c＝(－3，12，－9)分别为直线l1，l2，l3的方向向量，则( )
A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直
B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直
C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直
D．l1，l2，l3两两互相垂直
答案 A
解析 因为a·b＝(4，－1，0)·(1，4，5)＝4－4＋0＝0，
a·c＝(4，－1，0)·(－3，12，－9)＝－12－12＋0＝－24≠0，
b·c＝(1，4，5)·(－3，12，－9)＝－3＋48－45＝0，
所以a⊥b，a与c不垂直，b⊥c，
即l1⊥l2，l2⊥l3，但l1与l3不垂直．
4．已知空间三点A(0，0，1)，B(－1，1，1)，C(1，2，－3)，若直线AB上一点M满足CM⊥AB，则点M的坐标为________．
答案
解析 设M(x，y，z)，
又＝(－1，1，0)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y－2，z＋3)，
由题意得∴
∴点M的坐标为.
课时对点练
1．若A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( )
A．(2，2，6)
B．(－1，1，3)
C．(3，1，1)
D．(－3，0，1)
答案 A
解析 ＝(1，1，3)，故A满足题意．
2．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，3，－7)，b＝(2，4，2)，则( )
A．l1∥l2
B．l1⊥l2
C．l1，l2相交但不垂直
D．不能确定
答案 B
解析 ∵a·b＝1×2＋3×4＋(－7)×2＝0，
∴a⊥b，∴l1⊥l2.
3．已知A(3，0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2，4，－2)，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．以上都不对
答案 C
解析 ∵＝(－3，－2，－5)，＝(2，6，4)，＝(－1，4，－1)．
∴·＝－3×(－1)＋(－2)×4＋(－5)×(－1)＝0，
∴AB⊥AC.且||≠||，
∴△ABC是直角三角形．
故选C.
4．已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15
B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15
D．x＝6，y＝
答案 D
解析 由题意得，＝＝，∴x＝6，y＝.
5．设l1的一个方向向量为a＝(1，3，－2)，l2的一个方向向量为b＝(－4，3，m)，若l1⊥l2，则m等于( )
A．1
B.
C.
D．3
答案 B
解析 因为l1⊥l2，所以a·b＝0，
即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m＝0，
所以2m＝9－4＝5，即m＝.
6．(多选)已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，点D满足条件DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标为( )
A．(1，1，1)
B．(－1，－1，－1)
C．
D．
答案 AD
解析 设D(x，y，z)，
则＝(x，y－1，z)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y，z)，＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0)，＝(0，－1，1)．
又DB⊥AC，∴·＝0，
∴－x＋z＝0.①
DC⊥AB，∴·＝0，∴－x＋y＝0.②
AD＝BC，∴||＝||，∴(x－1)2＋y2＋z2＝2.③
由①②③，解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－.
7．若直线l1的方向向量为v1＝(1，3，2)，直线l2上有两点A(1，0，1)，B(2，－1，2)，则两直线的位置关系是________．
答案 垂直
解析 因为＝(1，－1，1)，
又v1·＝(1，3，2)·(1，－1，1)＝0，
故两直线的位置关系为垂直．
8．已知点A(3，5，4)，B(3，0，4)，＝2(O为坐标原点)，则点C的坐标为______．
答案 (9，10，12)
解析 设点C的坐标为(x，y，z)，
∵＝(x－3，y，z－4)，＝(3，5，4)，
∴(x－3，y，z－4)＝(6，10，8)，
∴解得
∴点C的坐标为(9，10，12)．
9．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS.
证明 方法一 如图所示，建立空间直角坐标系，
根据题意得M?，N(0，2，2)，R(3，2，0)，S.
则，分别为直线MN，RS的方向向量，
所以＝，＝，
所以＝，所以∥，
因为M?RS，所以MN∥RS.
方法二 设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＋＝c－a＋b，＝＋＋＝b－a＋c.
所以＝，所以∥.
又R?MN，所以MN∥RS.
10．如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.
(1)写出点E，F的坐标；
(2)求证：A1F⊥C1E；
(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：＝＋.
(1)解 E(a，x，0)，F(a－x，a，0)．
(2)证明 因为A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，
所以＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)，
所以·＝－ax＋a(x－a)＋(－a)2＝0，
所以⊥，所以A1F⊥C1E.
(3)证明 因为A1，E，F，C1四点共面，
所以，，共面．
选与为一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使＝λ1＋λ2，
即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a，0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，
所以解得λ1＝，λ2＝1.
于是＝＋.
11．已知向量a＝(4，4，5)，b＝(－7，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1⊥l2，则下列几组解中可能正确的是( )
A．x＝2，y＝4
B．x＝4，y＝3
C．x＝1，y＝3
D．x＝6，y＝2
答案 A
解析 由题意a·b＝－28＋4x＋5y＝0，即4x＋5y＝28，代入各选项中的值计算，只有A满足2×4＋4×5＝28.
12．一质点从(1，1，1)出发，做匀速直线运动，每秒的速度为v＝(1，2，3)，2秒后质点所处的位置为( )
A．(3，5，7)
B．(2，4，6)
C．(3，5，8)
D．(5，3，7)
答案 A
解析 2秒后质点所处的位置为(1，1，1)＋2v＝(1，1，1)＋2(1，2，3)＝(3，5，7)．
13．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中与AB1垂直的直线有( )
A．A1C
B．BD1
C．AD1
D．CD1
答案 ABD
解析 如图所示，以A为原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，令正方体棱长为1，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，D1(0，1，1)，
∴＝(1，0，1)，＝(1，1，－1)，＝(－1，1，1)，＝(0，1，1)，＝(－1，0，1)，
∵·＝0，·＝0，·＝1≠0，·＝0，∴AB1⊥A1C，AB1⊥BD1，AB1⊥CD1.
14．已知O为坐标原点，四面体OABC中，A(0，3，5)，B(1，2，0)，C(0，5，0)，直线AD∥BC，并且AD交坐标平面zOx于点D，则点D的坐标为________．
答案 (1，0，5)
解析 ∵D∈平面zOx，∴设D(x，0，z)，
则＝(x，－3，z－5)，＝(－1，3，0)．
∵直线AD∥BC，∴∥，
∴存在λ∈R，使得＝λ，
∴(x，－3，z－5)＝λ(－1，3，0)，
∴即∴点D的坐标为(1，0，5)．
15．已知空间中两条不同的直线m，n，其方向向量分别为a，b，则“?λ∈R，a≠λb”是“直线m，n相交”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由?λ∈R，a≠λb可知，a与b不共线，所以两条不同的直线m，n不平行，可能相交，也可能异面，所以“?λ∈R，a≠λb”不是“直线m，n相交”的充分条件；由两条不同的直线m，n相交可知，a与b不共线，所以?λ∈R，a≠λb，所以“?λ∈R，a≠λb”是“直线m，n相交”的必要条件，综上所述，“?λ∈R，a≠λb”是“直线m，n相交”的必要不充分条件．
16．已知空间四边形OABC中，点M为BC的中点，点N为AC的中点，点P为OA的中点，点Q为OB的中点，若AB＝OC.求证：PM⊥QN.
证明 设＝a，＝b，＝c.
因为＝(＋)＝(b＋c)，＝(＋)＝(a＋c)，
所以＝＋＝－a＋(b＋c)＝(b＋c－a)，
＝＋＝－b＋(a＋c)＝(a＋c－b)．
所以·＝[c－(a－b)]·[c＋(a－b)]＝[c2－(a－b)2]＝(||2－||2)．
因为||＝||，所以·＝0，
即⊥.所以PM⊥QN.第2课时 空间中两条直线所成的角
学习目标 1.了解空间中两条直线所成的角与两直线方向向量所成的角的关系，会求空间两条直线所成的角.2.了解空间中两条异面直线的公垂线．
导语
同学们，生活中，我们经常听到换个角度思考问题，尤其是在解决我们数学问题时，对于相同的问题，因对角度的理解不同，会导致不同的结果，从而启发我们，看问题要全面，透过现象看本质，只有从正确的角度出发，让视野开阔，才能得出我们想要的答案．
一、空间中两条直线所成的角与方向向量所成的角的关系
问题1 空间中两直线所成的角与它们的方向向量之间的夹角相等吗？
提示 不相等；两向量夹角的范围是[0，π]，而两直线所成的角的范围是.
知识梳理
空间中两条直线所成的角
v1，v2分别为空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ.
如图，则①θ的范围为.
②θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉．
③sin
θ＝sin〈v1，v2〉或cos
θ＝|cos〈v1，v2〉|.
④l1⊥l2?〈v1，v2〉＝?v1·v2＝0.
例1 若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于( )
A．－
B.
C．－
D.
答案 B
解析 设l1与l2的夹角为θ，则cos
θ＝|cos〈a，b〉|＝＝＝.
反思感悟 一般地，设两直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为a，b，则有cos
θ＝|cos〈a，b〉|＝.若求正弦值，则利用平方关系即可，sin
θ＝.
跟踪训练1 若异面直线l1，l2的方向向量的夹角为120°，则异面直线l1与l2所成的角等于________．
答案 60°
二、空间中两条直线所成的角(向量法、坐标法、几何法)
例2 如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，求EF和CD所成的角．
解 方法一 (向量法)
设正方体的棱长为1，取{，，}为空间向量的一组基底，
则＝－＝(＋)－(＋)＝－－，
所以·＝·＝－，
||＝＝，||＝1，
所以cos〈，〉＝＝－，
因为两直线夹角的范围是，
故直线EF与直线CD所成的角是45°.
方法二 (坐标法)
以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系Dxyz如图所示，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，E，F，＝，＝(0，1，0)，
∴cos〈，〉＝＝－，
∴〈，〉＝135°，
∴异面直线EF和CD所成的角是45°.
方法三 (几何法)
设正方体的棱长为1，连接A1D，DC1(图略)，
则F在线段A1D上且是线段A1D的中点，
又因为E为A1C1的中点，
故EF是△A1DC1的中位线，
故有EF∥DC1，则∠CDC1即为直线EF与直线CD所成的角，
在Rt△CDC1中，CD＝CC1＝1，DC1＝，
即Rt△CDC1为等腰直角三角形，
所以∠CDC1＝45°，
故直线EF与直线CD所成的角是45°.
反思感悟 (1)向量所成角与空间直线所成角的差异：向量所成角的范围是[0，π]，而空间直线所成角的范围是，故空间直线所成角的余弦值一定大于或等于0.
(2)求空间直线所成角的三种方法
①几何法：把空间中的两条直线平移到一个公共点，再通过解三角形求角．
②基底法：确定一个基底，用基底表示两直线的方向向量．
③坐标法：建立空间直角坐标系，用坐标表示两直线的方向向量．
跟踪训练2 长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是侧面A1B1C1D1与侧面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值．
解 如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，
则A(2，0，0)，B(2，4，0)，C1(0，4，2)，A1(2，0，2)，
∴E(1，2，2)，F(1，4，1)，＝(－1，4，1)，＝(－1，－2，2)，
∴||＝＝3，||＝＝3，·＝1－8＋2＝－5，
∴cos〈，〉＝＝－.
∵异面直线所成角的范围是，
设AF与BE所成角为θ，
则cos
θ＝|cos〈，〉|＝.
即异面直线AF与BE所成角的余弦值为.
三、异面直线与空间向量
问题2 如果空间两直线没有交点，这两条直线一定平行吗？
提示 不一定，根据直线的分类，我们把空间直线分为共面直线和异面直线，共面直线包括平行直线和相交直线，而异面直线说的是这两条直线不同在一个平面内．
知识梳理
异面直线与空间向量
1．异面直线的判定
如图(1)(2)所示，如果A∈l1，B∈l2，则l1与l2异面时，可知v1，v2，是不共面的；反之，如果v1，v2，不共面，则l1与l2是异面的．也就是说，此时“v1，v2，不共面”是“l1与l2异面”的充要条件．
2．异面直线间的距离
一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2，则称MN为l1与l2的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离．
例3 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，棱长都为2，试找出异面直线BA1与CB1的公垂线，并求两条异面直线的距离．
解 如图，以AC中点O为原点，以OA，OB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系Oxyz.
B(0，，0)，C(－1，0，0)，A1(1，0，2)，B1(0，，2)．
假设MN为BA1与CB1的公垂线，
即?M∈BA1，N∈CB1，使MN⊥BA1，MN⊥CB1，
令＝λ，＝v，＝(1，－，2)，＝(1，，2)．
设M(x1，y1，z1)，∴＝(x1，y1－，z1)，
∴(x1，y1－，z1)＝λ(1，－，2)，
∴x1＝λ，y1＝－λ＋，z1＝2λ，
即点M(λ，－λ＋，2λ)，
同理可求得点N(v－1，v，2v)，
∴＝(v－λ－1，v＋λ－，2v－2λ)．
又MN⊥BA1，MN⊥CB1，∴⊥，⊥，
∴
解得∴＝，
∴||＝＝.
故在BA1与CB1上存在点M，N，当BM＝BA1，CN＝CB1时，MN为BA1与CB1的公垂线且两条异面直线BA1与CB1之间的距离为.
反思感悟 两条异面直线的公垂线有且仅有一条．即一条直线与两异面直线都相交且垂直，利用几何知识很难找到．利用空间直角坐标系，转化成方向向量之间的关系较为简单．求解时要注意先建系，再设出M，N的坐标，利用MN与异面直线都垂直，就能找到M，N.
跟踪训练3 已知三棱锥S－ABC中，SA＝BC＝13，SB＝AC＝14，SC＝AB＝15，求异面直线AS与BC的距离．
解 构造如图所示的长方体，使得长方体中三个相邻矩形的对角线长分别为13，14，15.
设AD＝x，BD＝y，SD＝z，
则x2＋y2＝AB2，y2＋z2＝SB2，x2＋z2＝SA2，
即
因为x>0，y>0，z>0，故解得
即AD＝3，BD＝3，SD＝.
由长方体性质，可知BD⊥平面ADSF，BD⊥平面BGCE，平面ADSF∥平面BGCE，
则BD为平面ADSF和平面BGCE之间的距离，
又AS?平面ADSF，BC?平面BGCE，
则BD的长度就是异面直线AS与BC的距离，
即异面直线AS与BC的距离为3.
1．知识清单：
(1)空间中两条直线所成的角与方向向量所成的角的关系．
(2)两异面直线的公垂线．
2．方法归纳：数形结合、转化与化归．
3．常见误区：两条直线所成的角与两直线方向向量所成的角之间的关系易混淆．
1．已知A(0，1，1)，B(2，－1，0)，C(3，5，7)，D(1，2，4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为( )
A.
B．－
C.
D．－
答案 A
解析 ∵＝(2，－2，－1)，＝(－2，－3，－3)，
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴直线AB，CD所成角的余弦值为.
2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是( )
A.
B. C.
D.
答案 D
解析 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系，
则＝，＝，
cos〈，〉＝＝0.
∴〈，〉＝.
3．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是( )
A．平行
B．相交 C．异面垂直
D．异面不垂直
答案 C
解析 建立坐标系，如图所示，
设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，M(0，0，1)，O(1，1，0)，N(2，1，2)，
＝(－1，0，－2)，＝(－2，0，1)，·＝0，
则直线NO，AM的位置关系是异面垂直．
4．已知两条空间直线a，b的夹角为60°，a，b分别为直线a，b的方向向量，则〈a，b〉＝________.
答案 60°或120°
解析 由空间中两条直线所成的角与其方向向量的夹角的关系可知，〈a，b〉＝60°或120°.
课时对点练
1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2的夹角为( )
A．30°
B．150° C．30°或150°
D．以上均不对
答案 A
解析 根据异面直线所成角的定义即知l1，l2所成角为30°.
2．(多选)若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b夹角的余弦值为，则λ等于( )
A．2
B．－2
C.
D．－
答案 BC
解析 a·b＝2－λ＋4＝6－λ，
|a|＝，|b|＝3，
cos〈a，b〉＝＝＝.
55λ2＋108λ－4＝0，解得λ＝－2或λ＝.
3．在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段AA1的中点，F为线段C1D1上靠近D1的三等分点，则异面直线A1B与EF所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 如图，建立空间直角坐标系，
则A1(3，0，0)，B(3，3，3)，E，F(0，1，0)，
所以＝(0，3，3)，＝，
所以|cos〈，〉|＝＝＝.
4．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 如图所示，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴建立空间直角坐标系，设CA＝CB＝1，则B(0，1，0)，M?，A(1，0，0)，N?.故＝，＝，
所以cos〈，〉＝＝＝.
5．在正四棱锥P－ABCD中，M，N分别为PA，PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为，则异面直线DM与AN所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 不妨设正四棱锥底面边长为2，底面中心为O，
连接PO，则PO⊥平面ABCD，
取BC的中点E，连接OE，PE，则OE⊥BC，PE⊥BC，
所以∠PEO为侧面PBC与底面ABCD所成的角，
即tan∠PEO＝，OE＝1，所以PO＝，
取底面正方形的中心O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，－1，0)，B(1，1，0)，C(－1，1，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，)，
则M?，N?，
所以＝，＝.
设DM与AN所成的角为θ，则cos
θ＝＝.
6．(多选)如图所示是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列命题正确的是( )
A．GH与EF平行
B．BD与MN为异面直线
C．GH与MN成60°角
D．DE与MN垂直
答案 BCD
解析 如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH与EF为异面直线，A不正确；
BD与MN为异面直线，B正确；
GH∥AD，MN∥AF，而∠DAF＝60°，∴∠GHM＝60°，∴GH与MN成60°角，C正确；
连接AG，FG，AG⊥DE，FG⊥DE，
∴DE⊥平面AFG，∴DE⊥AF，
又MN∥AF，∴DE与MN垂直，D正确．
7．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角为________．
答案 60°
解析 由题意，知，分别为直线a，b的方向向量，
因为＝＋＋，
所以·＝·＋2＋·，
即2×1×cos〈，〉＝1，所以cos〈，〉＝，
即〈，〉＝60°，得a与b所成的角是60°.
8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为________．
答案 60°
解析 以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
∵M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，
∴M(1，2，0)，N(0，2，1)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，
∴＝(－1，0，1)，＝(－2，2，0)．
设异面直线AC和MN所成的角为θ，
则cos
θ＝＝＝，
∴θ＝60°，即异面直线AC和MN所成的角为60°.
9．如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点．
(1)求异面直线AO1与B1E所成角的余弦值；
(2)作O1D⊥AC于点D，求O1D的长．
解 (1)如图，以O为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系．
由题设，知A(2，0，0)，O1(0，0，2)，B1(2，3，2)，E(1，3，0)，
所以＝(－2，0，2)，＝(－1，0，－2)，
因此cos〈，〉＝＝＝－.
故异面直线AO1与B1E所成角的余弦值为.
(2)由题意得⊥，∥.
因为C(0，3，0)，设D(x，y，0)，
所以＝(x，y，－2)，＝(x－2，y，0)，＝(－2，3，0)，
于是解得
所以＝.
故||＝＝.
10．已知圆柱的底面半径为3，高为4，A，B两点分别在两底面圆周上，并且AB＝5，求异面直线AB与轴OO′之间的距离．
解 如图，直线AB与轴OO′之间的距离等于轴OO′与平面ABC的距离，
由图形可知，直线AB与轴OO′之间的距离等于O′到BC的距离，∵AB＝5，AC＝4，且AC⊥BC，∴BC＝＝3，∴异面直线AB与轴OO′之间的距离为.
11．如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为( )
A.
B.－ C.－
D.
答案 A
解析 不妨设SA＝SB＝SC＝1，以S为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Sxyz，则相关各点坐标为A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，S(0，0，0)，M?，N?.
因为＝，＝，
所以||＝，||＝，·＝－，
cos〈，〉＝＝－，
因为异面直线所成的角为锐角或直角，
所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为.
12．已知四面体O－ABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 ＝－＝－，＝－，
∴||＝，||＝1，且·＝·(－)＝－，
∴cos〈，〉＝＝＝－，
故异面直线BD与AC所成角的余弦值为.
13．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则( )
A．EF至多与A1D，AC之一垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
答案 B
解析 如图，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为3，
则E(1，0，1)，F(2，1，0)，A1(3，0，3)，A(3，0，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，B(3，3，0)，D1(0，0，3)，
∴＝(1，1，－1)，＝(－3，3，0)，＝(－3，0，－3)，
∴·＝0，·＝0，
∴EF⊥AC，EF⊥A1D.
＝(－3，－3，3)，
∴＝－3，
∴BD1∥EF.
14．如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，且SA＝AB＝BC＝1，则异面直线SB与AC之间的距离为________．
答案
解析 构造如图所示的正方体，取AB的中点O，连接OD交AC于点E，连接OM交SB于点F，
由平面几何知识可知，
OF＝OM，OE＝OD，所以EF∥DM.
又因为AC⊥BD，AC⊥BM，
所以AC⊥平面BDM，AC⊥DM，
因为EF∥DM，所以AC⊥EF.
同理可证SB⊥DM，所以SB⊥EF，
所以EF是异面直线AC和SB的公垂线段，
所以EF＝DM＝.
15．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，动点M在线段A1C上(包括A1，C两端点)，E，F分别为DD1，AD的中点．若异面直线EF与BM所成的角为θ，则θ的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，
设DA＝2，
则F(1，0，0)，E(0，0，1)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，2)，
所以＝(1，0，－1)，＝(－2，0，0)，＝(2，－2，2)．
设＝λ(0≤λ≤1)，
则＝(2λ，－2λ，2λ)，＝＋＝(2λ－2，－2λ，2λ)，
则cos
θ＝|cos〈，〉|，
即cos
θ＝＝＝(0≤λ≤1)，
当λ＝时，cos
θ取到最大值，
当λ＝1时，cos
θ取到最小值，
又θ∈，所以θ的取值范围为.
16．在长方体ABCD－A1B1C1D1中AD＝AA1＝1，AB＝2，在棱AB上是否存在一点E使得异面直线AD1与EC所成的角为60°？若存在，求出点E的位置；若不存在，说明理由．
解 存在点E.以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
设E(1，t，0)(0则A(1，0，0)，D(0，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)，
＝(1，0，－1)，＝(1，t－2，0)，
根据数量积的定义及已知得1＋0×(t－2)＋0＝×·cos
60°，
所以t＝1，所以E在AB的中点处．(共62张PPT)
第一章 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
第1课时 空间中的点、直线与空间向量
学习目标
1.理解空间中的点与空间向量的关系以及空间直线的方向向量的意义及求法.
2.能利用空间直线的方向向量解决空间中的平行与垂直问题.
导语
同学们，上节课我们建立了空间直角坐标系，有了空间直角坐标系，我们可以确定空间中任意一点的位置，实际上空间直角坐标系在生活中应用广泛，比如我们国家建立的北斗卫星导航系统，它给我们带来的最大的好处就是精确的导航，它能精准的定位每一个点的位置，当然，学好数学才能更好的了解北斗卫星导航系统.
随堂演练
课时对点练
一、空间中的点与空间向量
二、空间中的直线与空间向量
三、用直线的方向向量处理直线的平行、垂直问题
内容索引
一、空间中的点与空间向量
问题1 在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？
知识梳理
用向量表示点的位置
一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由
唯一确定.此时，
称为点P的
.
位置向量
例1 已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3，4，0)，
B(2，5，5)，C(0，3，5).
∴点P的坐标为(1，1，0).
(2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求点P的坐标.
设点P的坐标为(x，y，z)，
反思感悟 解决空间点的位置的问题，一般是明确坐标原点，利用空间向量坐标的运算求出目标点的坐标.
解析 设C(x，y，z)，
二、空间中的直线与空间向量
问题2 空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l?
设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，
如图2，取定空间中的任意一点O，
可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.
由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
知识梳理
直线的方向向量
定义：如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量.此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l.
(1)如果A，B为直线l上的两个不同点，则v＝
就是直线l的一个方向向量.
(2)若v为直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都平行.
(3)空间中直线l的位置可由方向向量v和l上的一个已知点唯一确定.
(4)v1，v2分别是直线l1，l2的一个方向向量，则v1∥v2?l1∥l2或l1与l2重合.
注意点：(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合.
(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个.
例2 (1)(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上不与C1，C重合的任一点，则能作为直线AA1的方向向量的是
解析 由定义知，一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或重合，则这个向量就称为直线AA1的一个方向向量.
√
√
√
(2)若点A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为
A.(1，2，3) B.(1，3，2)
C.(2，1，3) D.(3，2，1)
√
所以向量(1，2，3)是直线l的一个方向向量.
反思感悟 对直线方向向量的两点说明
(1)方向向量的选取：在直线上任取两点P，Q，可得到直线的一个方向向量
.
(2)方向向量的不唯一性：直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量.解题时，可以选取坐标最简的方向向量.
跟踪训练2 已知直线l的方向向量v＝(2，1，3)，且l过A(0，y，3)和B(－1，－2，z)，则y＝_____，z＝____.
解析 ∵直线l的方向向量v＝(2，1，3)，且l过A(0，y，3)和B(－1，－2，z)，
三、用直线的方向向量处理直线的平行、垂直问题
例3 (1)若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，则
A.l1∥l2 B.l1⊥l2
C.l1，l2相交但不垂直 D.不能确定
解析 ∵a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝－2＋6－4＝0，
∴a⊥b，
∴l1⊥l2.
√
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为CC1的中点，M为CD的中点.
证明：①BF∥D1E；
②BE不与D1M平行；
∴直线BE不与直线D1M平行.
③BE⊥C1M.
∴BE⊥C1M.
反思感悟 判定直线平行、垂直的向量法
v1，v2分别为l1与l2的一个方向向量.
(1)v1∥v2?l1∥l2或l1与l2重合.
(2)v1与v2不平行?l1与l2不平行.
(3)v1·v2＝0?v1⊥v2?l1⊥l2.
(4)v1·v2≠0?v1与v2不垂直?l1与l2不垂直.
跟踪训练3 (1)已知直线l1的方向向量a＝(－1，2，m)，直线l2的方向向量b＝(2，n，－12)，且l1∥l2，则m＋3n的值是
A.－6 B.6 C.14 D.－14
解析 ∵l1∥l2，
∴a∥b，
√
解得n＝－4，m＝6，
∴m＋3n＝6－12＝－6.
(2)如图，F是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CD的中点，E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有
A.B1E＝EB
B.B1E＝2EB
C.B1E＝
EB
D.E与B重合
√
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，
设E(2，2，t).
由D1F⊥DE，
得(0，1，－2)·(2，2，t)＝0，
即2－2t＝0.
所以t＝1，
即E为BB1的中点.
课堂小结
1.知识清单：
(1)空间点的表示.
(2)直线的方向向量.
(3)会利用直线的方向向量解决线线平行、垂直问题.
2.方法归纳：数形结合、转化与化归.
3.常见误区：两直线的方向向量共线时要注意两直线是否重合.
随堂演练
1.已知两不重合的直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1，0，－1)，v2＝(－2，0，2)，则l1与l2的位置关系是
A.平行 B.相交 C.垂直 D.不确定
√
解析 因为v2＝－2v1，
所以v1∥v2.
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2.下面各组向量为直线l1与l2的方向向量，则l1与l2一定不平行的是
A.a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4)
B.a＝(1，0，0)，b＝(－3，0，0)
C.a＝(2，3，0)，b＝(4，6，0)
D.a＝(－2，3，5)，b＝(－4，6，8)
√
解析 l1与l2不平行，则其方向向量一定不共线，
A中b＝－2a，
B中b＝－3a，
C中b＝2a.
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3.已知a＝(4，－1，0)，b＝(1，4，5)，c＝(－3，12，－9)分别为直线l1，l2，l3的方向向量，则
A.l1⊥l2，但l1与l3不垂直 B.l1⊥l3，但l1与l2不垂直
C.l2⊥l3，但l2与l1不垂直 D.l1，l2，l3两两互相垂直
√
解析 因为a·b＝(4，－1，0)·(1，4，5)＝4－4＋0＝0，
a·c＝(4，－1，0)·(－3，12，－9)＝－12－12＋0＝－24≠0，
b·c＝(1，4，5)·(－3，12，－9)＝－3＋48－45＝0，
所以a⊥b，a与c不垂直，b⊥c，
即l1⊥l2，l2⊥l3，但l1与l3不垂直.
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4.已知空间三点A(0，0，1)，B(－1，1，1)，C(1，2，－3)，若直线AB上一点M满足CM⊥AB，则点M的坐标为____________.
解析 设M(x，y，z)，
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课时对点练
基础巩固
1.若A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是
A.(2，2，6) B.(－1，1，3)
C.(3，1，1) D.(－3，0，1)
√
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2.若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，3，－7)，b＝(2，4，2)，则
A.l1∥l2 B.l1⊥l2
C.l1，l2相交但不垂直 D.不能确定
√
解析 ∵a·b＝1×2＋3×4＋(－7)×2＝0，
∴a⊥b，
∴l1⊥l2.
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3.已知A(3，0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2，4，－2)，则△ABC是
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.以上都不对
√
∴△ABC是直角三角形.故选C.
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4.已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则
√
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5.设l1的一个方向向量为a＝(1，3，－2)，l2的一个方向向量为b＝(－4，3，m)，若l1⊥l2，则m等于
√
解析 因为l1⊥l2，
所以a·b＝0，
即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m＝0，
所以2m＝9－4＝5，
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6.(多选)已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，点D满足条件DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标为
A.(1，1，1)
B.(－1，－1，－1)
√
√
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解析 设D(x，y，z)，
∴－x＋z＝0. ①
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7.若直线l1的方向向量为v1＝(1，3，2)，直线l2上有两点A(1，0，1)，
B(2，－1，2)，则两直线的位置关系是_____.
垂直
故两直线的位置关系为垂直.
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解析 设点C的坐标为(x，y，z)，
(9，10，12)
∴(x－3，y，z－4)＝(6，10，8)，
∴点C的坐标为(9，10，12).
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9.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点.求证：MN∥RS.
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证明 方法一 如图所示，建立空间直角坐标系，
因为M?RS，
所以MN∥RS.
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又R?MN，
所以MN∥RS.
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10.如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.
(1)写出点E，F的坐标；
解 E(a，x，0)，F(a－x，a，0).
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(2)求证：A1F⊥C1E；
证明 因为A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，
所以A1F⊥C1E.
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证明 因为A1，E，F，C1四点共面，
即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a，0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，
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综合运用
11.已知向量a＝(4，4，5)，b＝(－7，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1⊥l2，则下列几组解中可能正确的是
A.x＝2，y＝4 B.x＝4，y＝3
C.x＝1，y＝3 D.x＝6，y＝2
√
解析 由题意a·b＝－28＋4x＋5y＝0，即4x＋5y＝28，
代入各选项中的值计算，只有A满足2×4＋4×5＝28.
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12.一质点从(1，1，1)出发，做匀速直线运动，每秒的速度为v＝(1，2，3)，2秒后质点所处的位置为
A.(3，5，7) B.(2，4，6)
C.(3，5，8) D.(5，3，7)
√
解析 2秒后质点所处的位置为(1，1，1)＋2v＝(1，1，1)＋2(1，2，3)＝(3，5，7).
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13.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中与AB1垂直的直线有
A.A1C B.BD1 C.AD1 D.CD1
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√
√
√
令正方体棱长为1，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，
A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，D1(0，1，1)，
∴AB1⊥A1C，AB1⊥BD1，AB1⊥CD1.
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14.已知O为坐标原点，四面体OABC中，A(0，3，5)，B(1，2，0)，C(0，5，0)，直线AD∥BC，并且AD交坐标平面zOx于点D，则点D的坐标为__________.
(1，0，5)
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解析 ∵D∈平面zOx，∴设D(x，0，z)，
∴(x，－3，z－5)＝λ(－1，3，0)，
∴点D的坐标为(1，0，5).
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拓广探究
15.已知空间中两条不同的直线m，n，其方向向量分别为a，b，则“?λ∈R，a≠λb”是“直线m，n相交”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由?λ∈R，a≠λb可知，a与b不共线，所以两条不同的直线m，n不平行，可能相交，也可能异面，所以“?λ∈R，a≠λb”不是“直线m，n相交”的充分条件；
由两条不同的直线m，n相交可知，a与b不共线，所以?λ∈R，a≠λb，所以“?λ∈R，a≠λb”是“直线m，n相交”的必要条件，
综上所述，“?λ∈R，a≠λb”是“直线m，n相交”的必要不充分条件.
√
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16.已知空间四边形OABC中，点M为BC的中点，点N为AC的中点，点P为OA的中点，点Q为OB的中点，若AB＝OC.求证：PM⊥QN.
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本课结束
