(共52张PPT)
第一章 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
第1课时 空间向量的坐标与运算
学习目标
1.了解空间中向量的坐标的定义.
2.掌握空间向量运算的坐标表示.
3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角.
导语
同学们，之前我们学面向量的坐标与运算，在此基础上，我们再次对它在空间维度上进行推广和拓展，实际上，建立向量的坐标与运算，是沟通了代数与几何的关系，为我们下一步用向量的方法解决立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，让我们在之前学习的基础上进一步完善我们的认知结构吧.
随堂演练
课时对点练
一、空间中向量的坐标
二、空间向量的运算与坐标的关系
三、空间向量坐标运算的综合应用
内容索引
一、空间中向量的坐标
问题1 平面中{e1，e2}是向量p的单位正交基底，你能用{e1，e2}表示向量p吗？
提示 p＝xe1＋ye2；其中有序数组(x，y)是向量p的坐标.实际上，对于平面中任意不共线的向量{a，b}，若p＝xa＋yb，则有序数组(x，y)是基底{a，b}下的坐标.
知识梳理
空间中向量的坐标
一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是
，而且这三个向量
，称这组基底为
；在单位正交基底下向量的分解称为向量的
，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝
，其中x，y，z都称为p的
.
注意点：零向量的坐标为(0，0，0).
单位向量
两两垂直
单位正交基底
单位正交分解
(x，y，z)
坐标分量
例1 已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，a＝3e1＋2e2－e3，b＝－e1＋3e3，试写出a与b的坐标.
解 a＝(3，2，－1)；b＝(－1，0，3).
反思感悟 在空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，且这三个向量两两垂直，若p＝xe1＋ye2＋ze3，则p＝(x，y，z).
跟踪训练1 已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，下列说法正确的是
A.若p＝2e1－e2＋3e3，则p＝(2，1，3)
B.若q＝－e1＋2e2，则q＝(－1，2)
C.若r＝e1＋3e2－e3，则r＝(1，3，－1)
D.若s＝－3e2，则s＝(0，0，－3)
解析 A中，p＝(2，－1，3)；
B中，q＝(－1，2，0)；
C中，r＝(1，3，－1)；
D中，s＝(0，－3，0).
√
二、空间向量的运算与坐标的关系
问题2 在平面中，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你还记得这两个向量的加法、减法、数乘等一系列的运算吗？
提示 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；
a－b＝(x1－x2，y1－y2)；
λa＝(λx1，λy1)；
a·b＝x1x2＋y1y2；
知识梳理
空间向量的坐标运算
若空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则：
向量运算
向量表示
坐标表示
相等
a＝b
_____________________
加法
a＋b
______________________
线性运算
μa＋vb
____________________________
数量积
a·b
_______________
模
___________
夹角
______________________
x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2
(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)
(μx1＋vx2，μy1＋vy2，μz1＋vz2)
x1x2＋y1y2＋z1z2
例2 (1)向量a＝(2，0，5)，b＝(3，1，－2)，c＝(－1，4，0)，则a＋6b－8c＝________________.
(28，－26，－7)
解析 a＋6b－8c＝(2，0，5)＋6(3，1，－2)－8(－1，4，0)
＝(2，0，5)＋(18，6，－12)－(－8，32，0)＝(28，－26，－7).
(2)已知a＝(1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，则b等于
A.(2，－4，2) B.(－2，4，－2)
C.(－2，0，－2) D.(2，1，－3)
解析 依题意，得b＝a－(a－b)＝a－(－1，2，－1)
＝a＋(1，－2，1)＝2(1，－2，1)＝(2，－4，2).
√
反思感悟 空间向量坐标运算问题，一是直接计算，首先将空间向量用坐标表示，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；二是通过解方程组求其坐标.
跟踪训练2 已知a＋b＝(－2，5，4)，a－b＝(4，－1，2)，则a＝_________，b＝____________.
(1，2，3)
(－3，3，1)
三、空间向量坐标运算的综合应用
例3 已知向量a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，2，2).
求：(1)|a＋b－2c|；
解 a＋b－2c＝(2，－3，1)＋(2，0，3)－2(0，2，2)
＝(2，－3，1)＋(2，0，3)－(0，4，4)＝(4，－7，0).
(2)cos〈a－b，b－c〉.
解 a－b＝(0，－3，－2)，b－c＝(2，－2，1)，
(a－b)·(b－c)＝0＋(－3)×(－2)＋(－2)×1＝4.
反思感悟 空间向量的数量积、模、夹角公式的坐标表示a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).
(1)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
跟踪训练3 (1)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝___.
2
解析 由题意，得c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，
由(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，
解得x＝2.
(2)已知a＝(2，－3，0)，b＝(k，0，3)，〈a，b〉＝120°，则k＝______.
解得k2＝39，
课堂小结
1.知识清单：
(1)空间中向量的坐标.
(2)空间向量的坐标运算.
2.方法归纳：公式法.
3.常见误区：正确的用坐标表示空间的向量以及向量的运算.
随堂演练
1.已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于
A.(16，0，4) B.(8，－16，4)
C.(8，16，4) D.(8，0，4)
√
解析 4a＋2b＝4(3，－2，1)＋2(－2，4，0)
＝(12，－8，4)＋(－4，8，0)＝(8，0，4).
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2.已知向量a＝(0，2，1)，b＝(－1，1，－2)，则a与b的夹角为
√
〈a，b〉∈[0，π].
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A.5 B.4 C.3 D.2
√
解析 λa＋b＝λ(0，－1，1)＋(4，1，0)＝(4，1－λ，λ)，
解得λ＝3.
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课时对点练
基础巩固
A.(－1，1，－1) B.(－i，j，－k)
C.(1，－1，－1) D.(1，－1，1)
√
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2.已知向量a＝(2，3，1)，b＝(1，2，0)，则|a＋b|等于
√
解析 a＋b＝(3，5，1)，
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3.已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则实数x的值是
A.3 B.4 C.5 D.6
√
解析 因为a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，
所以a·b＝－3＋2x－5＝2，
解得x＝5.
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4.已知a＝(x，3，1)，b＝(2，y，4)，若a＝zb且c＝(x，y，z)，则c等于
√
解析 由题意可得(x，3，1)＝z(2，y，4)，
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5.已知向量a＝(3，5，－1)，b＝(2，2，3)，c＝(1，－1，2)，则向量a－b＋4c的坐标为
A.(5，－1，4) B.(5，1，－4)
C.(－5，1，4) D.(－5，－1，4)
√
解析 向量a＝(3，5，－1)，b＝(2，2，3)，c＝(1，－1，2)，
则向量a－b＋4c＝(3，5，－1)－(2，2，3)＋4(1，－1，2)＝(5，－1，4).
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6.(多选)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三个向量能构成空间的一个基底，则实数λ的值可为
√
√
√
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解析 ∵a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，
假设a，b，c三个向量不能构成空间的一个基底，
则a，b，c三个向量共面，
又∵a与b不平行，∴存在实数x，y，使得c＝xa＋yb，
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因为a，b的夹角为60°，
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8.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，c＝(x，－1，2)，若a，b，c是共面向量，则x＝_____.
解析 由于a，b不共线，且和c共面，
根据共面向量定理，有c＝ma＋nb，
－2
解得m＝－1，n＝1，x＝－1－1＝－2.
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9.已知a＝4e1＋3e2－e3，b＝5e1－4e2＋2e3，其中{e1，e2，e3}是一组单位正交基底，试求a·b及a，b之间夹角的余弦值.
解 由题意知a＝(4，3，－1)，b＝(5，－4，2)，
所以a·b＝(4，3，－1)·(5，－4，2)＝4×5＋3×(－4)＋(－1)×2＝6.
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10.已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求：
(1)a＋b；
解 a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2，－2，2).
(2)a－b；
解 a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2，0，－6).
(3)a·b；
解 a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7.
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(4)2a·(－b)；
解 因为2a＝(4，－2，－4)，
所以2a·(－b)＝(4，－2，－4)·(0，1，－4)
＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14.
(5)(a＋b)·(a－b).
解 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.
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综合运用
11.已知向量a＝(2，－1，2)，b＝(2，2，1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为
√
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12.已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为
√
解析 由已知，得b－a＝(2，t，t)－(1－t，1－t，t)＝(1＋t，2t－1，0).
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13.设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是
A.(12，14，10) B.(10，12，14)
C.(14，12，10) D.(4，3，2)
解析 依题意，
知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，
故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12，14，10).
√
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解析 a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，
故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，
120°
所以〈a，c〉＝120°.
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拓广探究
15.已知向量a，b，c是空间的一组单位正交基底，向量a＋b，a－b，c是空间的另一组基底，若向量p在基底{a，b，c}下的坐标是(1，3，4)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为
A.(2，1，4) B.(2，－1，4)
C.(－2，－1，4) D.(－2，1，4)
√
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解析 不妨设a＝(1，0，0)，b＝(0，1，0)，c＝(0，0，1).
p＝a＋3b＋4c.
设p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc.
所以向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(2，－1，4).
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16.已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1，1)，且a与b的夹角为钝角，求x的取值范围.
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解 ∵〈a，b〉为钝角，
∴cos〈a，b〉<0且〈a，b〉≠π.
若cos〈a，b〉<0，则a·b<0，
即3×(－1)＋(－2)×(x－1)＋(－3)×1<0，
解得x>－2.
若〈a，b〉＝π，则a与b反向，
则b＝λa(λ<0)，
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∵〈a，b〉≠π，
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本课结束第3课时 空间直角坐标系及空间向量坐标的应用
学习目标 1.了解空间直角坐标系.2.会求空间中的点的坐标，两点间的距离以及两点的中点坐标.3.掌握空间向量坐标的简单应用．
导语
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系……，对于集合，对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法……”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使得空间几何“代数化”，我们引入了坐标及其运算．
一、空间直角坐标系
问题1 我们画空间几何图形用的什么方法？
提示 斜二测画法，它是空间几何直观图的画法基础．它的口诀是：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变；眼见为实遮为虚，空间观感好体现．
知识梳理
1．空间直角坐标系的建立
在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy.然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴，这样建立了空间直角坐标系，记作Oxyz.
(1)x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的，都称为坐标轴．
(2)通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy平面，yOz平面，zOx平面．
(3)在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直．如图(1)(2)所示．
2．在空间直角坐标系中，点M的坐标为(x，y，z)，x，y，z都称为点M的坐标分量，且x称为点M的横坐标(或x坐标)，y称为点M的纵坐标(或y坐标)，z称为点M的竖坐标(或z坐标)．
注意点：(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0.
(2)在水平面xOy中，由x轴逆时针旋转90°到y轴．
(3)建系的要求：使尽可能多的点落在坐标轴或坐标平面上，充分利用几何图形的对称性．
(4)坐标原点选择的不同，会导致点的坐标不同，但不会影响结果．
例1 如图所示，AF，DE分别是圆O，圆O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8，BC是圆O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标．
解 因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，
所以OE⊥平面ABC.
又AF?平面ABC，BC?平面ABC，所以OE⊥AF，OE⊥BC，
又BC是圆O的直径，所以OB＝OC，
又AB＝AC＝6，所以OA⊥BC，BC＝6，所以OA＝OB＝OC＝OF＝3.
如图所示，以O为坐标原点，以OB，OF，OE所在直线分别为x轴、y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，所以A(0，－3，0)，B(3，0，0)，C(－3，0，0)，D(0，－3，8)，E(0，0，8)，F(0，3，0)．(答案不唯一)
反思感悟 确定点的坐标的常用方法
确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与坐标轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与坐标轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号．
跟踪训练1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE＝1，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.试建立适当的空间直角坐标系，写出E，F点的坐标．
解 以A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz，如图所示．
由AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4，得AB＝1，AD＝2，AA1＝4，
则CF＝AB＝1，CE＝AB＝，
所以BE＝BC－CE＝2－＝，
所以点E的坐标为，点F的坐标为(1，2，1)．
(答案不唯一)
二、空间点的对称问题
例2 在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4)．
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
(2)求点P关于Oxy平面对称的点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．
解 (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴上的分量不变，在y轴、z轴上的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4)．
(2)由点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴上的分量不变，在z轴上的分量变为原来的相反数，所以对称点的坐标为P2(－2，1，－4)．
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，
由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3的坐标为(6，－3，－12)．
反思感悟 空间点对称问题的解题策略
(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．
跟踪训练2 已知点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________．
答案 (2，－3，1)
解析 点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3，1)．
三、空间向量的坐标
问题2 在平面直角坐标系下，O为坐标原点，的坐标和P点的坐标是否相同？
提示 相同；若O(0，0)，P(x，y)，则＝(x，y)，也就是说有向线段的向量表示为终点坐标减去起点坐标．
知识梳理
1．空间直角坐标系下向量坐标
在空间直角坐标系下，如果指定单位向量e1，e2，e3的始点都在原点O，且它们的方向分别与x轴、y轴、z轴的正方向相同，则{e1，e2，e3}为单位正交基底，且向量的坐标与P点坐标相同．即＝xe1＋ye2＋ze3＝(x，y，z)?P(x，y，z)．
2．空间向量坐标的应用
在空间直角坐标系中，A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
||＝.
线段AB中点M的坐标为.
注意点：(1)有向线段表示的向量表示为终点坐标减去起点坐标．
(2)区分与a－b的表示方法．
例3 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别为棱DD′，D′C′，BC的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标．
(1)，，；
(2)，，.
解 方法一 (1)＝＋＝＋＝＋＝，
＝＋＝＋＝，
＝＋＋＝＋＋＝.
(2)＝－＝－＝＋＝，
＝－＝－＝－－＝，
＝－＝＋－＝－＝.
(答案不唯一)
方法二 (1)以A为原点，以AB为x轴，AD为y轴，AA′为z轴建立空间直角坐标系Axyz，
∴A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A′(0，0，1)，B′(1，0，1)，C′(1，1，1)，D′(0，1，1)，
由中点坐标公式得E，F，G.
∴＝，＝，＝，
(2)＝－＝，
＝－＝，
＝－＝.
(答案不唯一)
延伸探究
本例中，若以{，，}为基底，试写出，，的坐标．
解 以点D为原点，DA，DC，DD′分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，
∵A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A′(1，0，1)，B′(1，1，1)，C′(0，1，1)，D′(0，0，1)，
∴E，F，G，
∴＝，＝，＝.
反思感悟 用坐标表示空间向量的步骤
跟踪训练3 设正四棱锥S－P1P2P3P4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求，的坐标．
解 如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥y轴，P1P4⊥x轴，SO在z轴上．
∵|P1P2|＝2，而P1，P2，P3，P4均在xOy平面上，
∴P1(1，1，0)，P2(－1，1，0)．
在xOy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称，
∴P3(－1，－1，0)，P4(1，－1，0)．
又|SP1|＝2，|OP1|＝，
∴在Rt△SOP1中，|SO|＝，∴S(0，0，)．
∴＝－＝(1，1，－)，＝－＝(0，－2，0)．
(答案不唯一)
四、利用坐标研究几何问题
例4 棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．
(1)求证：⊥；
(2)求与夹角的余弦值；
(3)求CE的长．
(1)证明 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，F，G.
所以＝，＝，＝，＝.
因为·＝×＋×＋×0＝0，所以⊥.
(2)解 因为·＝×1＋×0＋×＝，
||＝＝，
||＝＝，
所以cos〈，〉＝＝＝.
(3)解 CE＝||＝＝.
反思感悟 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷．建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题．
跟踪训练4 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．
解 如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，E，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，
由题意，可设点P的坐标为(a，a，1)，
因为3＝，
所以3(a－1，a－1，0)＝(－a，－a，0)，
所以3a－3＝－a，解得a＝，
所以点P的坐标为.
由题意可设点Q的坐标为(b，b，0)，
因为·＝0，
所以·＝0，
即－－＝0，
解得b＝，所以点Q的坐标为.
因为＝λ，所以(－1，－1，0)＝λ，
所以＝－1，故λ＝－4.
1．知识清单：
(1)空间直角坐标系．
(2)空间点的对称问题与空间向量的坐标．
(3)空间向量坐标的应用．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：x，y，z轴的选择不是随意的，x轴，y轴需按逆时针方向旋转．
1．点(2，0，3)在空间直角坐标系中的( )
A．y轴上
B．xOy平面上
C．zOx平面上
D．yOz平面上
答案 C
2．在空间直角坐标系中，点P(1，3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是( )
A．(－1，3，－5)
B．(1，3，5)
C．(1，－3，5)
D．(－1，－3，5)
答案 B
3．已知A(3，－2，4)，B(0，5，－1)，若＝，则C的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 ∵＝(－3，7，－5)，
∴＝(－3，7，－5)＝，
∴C.
4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为________．
答案
解析 以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则E(1，1，)，F，
所以||＝＝.
课时对点练
1．在空间直角坐标系Oxyz中，点(1，－2，4)关于y轴对称的点为( )
A．(－1，－2，－4)
B．(－1，－2，4)
C．(1，2，－4)
D．(1，2，4)
答案 A
解析 关于y
轴对称，则y值不变，x和z的值变为原来的相反数，
故所求的点的坐标为(－1，－2，－4)．
2．已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则与的夹角为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
答案 C
解析 设与的夹角为θ.
由题意，得＝(－1，1，0)，＝(0，3，3)，
∴cos
θ＝＝＝，
又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
3．已知A(1，－2，0)和向量a＝(－3，4，12)，且＝2a，则点B的坐标为( )
A．(－7，10，24)
B．(7，－10，－24)
C．(－6，8，24)
D．(－5，6，24)
答案 D
解析 ∵a＝(－3，4，12)，＝2a，
∴＝(－6，8，24)．
设B(x，y，z)，则＝(x－1，y＋2，z)，
∴
解得
即点B的坐标为(－5，6，24)．
4．在空间直角坐标系中，O为坐标原点，向量＝(x2＋4，4－y，1＋2z)，＝(－4x，9，7－z)且A，B两点关于y轴对称，则x，y，z的值依次是( )
A．1，－4，9
B．2，－5，－8
C．2，5，8
D．－2，－5，8
答案 B
解析 由A，B两点关于y轴对称，
得
解得x＝2，y＝－5，z＝－8.
5．(多选)已知点A(－1，2，0)，B(－3，4，2)，点P在直线AB上，且||＝||，则点P的坐标为( )
A．(－2，3，1)
B．(2，－3，－1)
C．(0，－1，1)
D．(0，1，－1)
答案 AD
解析 设P(x，y，z)，
∵＝(x＋1，y－2，z)，＝(－2，2，2)，
∵||＝||，∴＝或＝－.
当＝时，(x＋1，y－2，z)＝(－2，2，2)，
∴解得x＝－2，y＝3，z＝1，
∴点P(－2，3，1)；
当＝－时，(x＋1，y－2，z)＝－(－2，2，2)，
∴解得x＝0，y＝1，z＝－1，
∴点P(0，1，－1)．
6．(多选)在△ABC中，A(1，2，－3k)，B(－2，1，0)，C(2，－3，1)，若△ABC为直角三角形，则k的值为( )
A.
B.
C．－1
D．－
答案 BD
解析 ＝(－3，－1，3k)，＝(1，－5，1＋3k)，＝(4，－4，1)．
若A＝90°，则·＝0，则－3＋5＋3k(1＋3k)＝0，即9k2＋3k＋2＝0，方程无解；
若B＝90°，则·＝0，
则－12＋4＋3k＝0，解得k＝；
若C＝90°，则·＝0，
则4＋20＋1＋3k＝0，解得k＝－.
7．若A(m＋1，n－1，3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3，9)三点共线，则m＋n＝____.
答案 0
解析 因为＝(m－1，1，m－2n－3)，＝(2，－2，6)，
由题意得∥，所以＝＝，
所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0.
8．如图是一个正方体截下的一角P－ABC，其中PA＝a，PB＝b，PC＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是________．
答案
解析 由题意知A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)．
由重心坐标公式得点G的坐标为.
9．已知A(3，3，1)，B(1，0，5)，C，D为AB的中点．
(1)求D的坐标；
(2)证明：⊥，且||＝||.
(1)解 设O是坐标原点，则＝(＋)＝[(3，3，1)＋(1，0，5)]＝.
所以点D的坐标为.
(2)证明 ＝－＝－＝，
＝－＝(1，0，5)－(3，3，1)＝(－2，－3，4)，
所以·＝·(－2，－3，4)＝×(－2)＋×(－3)＋1×4＝－－＋4＝0.
所以⊥，
||＝||＝＝＝，
||＝||＝＝＝.
所以||＝||.
10．已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求三棱柱的侧棱长；
(2)若M为BC1的中点，试用基底{，，}表示向量；
(3)求与夹角的余弦值．
解 (1)设侧棱长为b，则A(0，－1，0)，B1(，0，b)，B(，0，0)，C1(0，1，b)，
所以＝(，1，b)，＝(－，1，b)．
因为AB1⊥BC1，
所以·＝(，1，b)·(－，1，b)＝－()2＋12＋b2＝0，解得b＝.
(2)因为M为BC1的中点，
所以＝(＋)＝(＋＋)．
(3)由(1)知＝(，1，)，＝(－，1，0)，
因为||＝＝，||＝＝2，
·＝(，1，)·(－，1，0)＝－()2＋1×1＝－2，
所以cos〈，〉＝＝＝－.
所以与夹角的余弦值为－.
11．在空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z轴的距离为( )
A.
B．3
C.
D.
答案 A
解析 空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z轴的距离为＝.
12．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，若＋λ与(O为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为( )
A.
B．－
C．±
D．±
答案 B
解析 ＋λ＝(1，－λ，λ)，＝(0，－1，1)，
cos
120°＝＝＝－，
可得λ<0，解得λ＝－.
13．已知点A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
答案 C
解析 ＝(3，4，－8)，＝(5，1，－7)，＝(2，－3，1)，
所以||＝＝，
||＝＝，
||＝＝，
所以||2＋||2＝75＋14＝89＝||2.
所以△ABC为直角三角形．
14．已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，则满足DB∥AC，DC∥AB的点D的坐标为________．
答案 (－1，1，2)
解析 设点D(x，y，z)，
则＝(－x，1－y，－z)，＝(－1，0，2)，＝(－x，－y，2－z)，＝(－1，1，0)，
因为DB∥AC，DC∥AB，
所以∥，∥，
则解得
所以D(－1，1，2)．
15．已知空间四点A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，D(x，－1，3)共面，则x的值为( )
A．4
B．1
C．10
D．11
答案 D
解析 ＝(－2，2，－2)，＝(－1，6，－8)，＝(x－4，－2，0)，
因为A，B，C，D共面，所以，，共面，
所以存在λ，v，使＝λ＋v，
即(x－4，－2，0)＝(－2λ－v，2λ＋6v，－2λ－8v)，
所以
所以
16．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
证明 (1)∵平面ABCD⊥平面ACEF，
平面ABCD∩平面ACEF＝AC，EC⊥AC，
∴EC⊥平面ABCD，又BC⊥DC，
如图，建立空间直角坐标系，
设AC∩BD＝N，连接NE，
则点N，E的坐标分别为，(0，0，1)．
∴＝.
又点A，M的坐标分别是(，，0)，，
∴＝.
∴＝.
又NE与AM不共线，∴NE∥AM.
又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)知＝.
∵D(，0，0)，F(，，1)，
∴＝(0，，1)，∴·＝0，
∴⊥.
同理，⊥.
又DF∩BF＝F，且DF?平面BDF，BF?平面BDF，
∴AM⊥平面BDF.(共78张PPT)
第一章 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
第3课时 空间直角坐标系及空间向量坐标的应用
学习目标
1.了解空间直角坐标系.
2.会求空间中的点的坐标，两点间的距离以及两点的中点坐标.
3.掌握空间向量坐标的简单应用.
导语
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系……，对于集合，对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法……”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使得空间几何“代数化”，我们引入了坐标及其运算.
随堂演练
课时对点练
一、空间直角坐标系
二、空间点的对称问题
三、空间向量的坐标
内容索引
四、利用坐标研究几何问题
一、空间直角坐标系
问题1 我们画空间几何图形用的什么方法？
提示 斜二测画法，它是空间几何直观图的画法基础.它的口诀是：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变；眼见为实遮为虚，空间观感好体现.
知识梳理
1.空间直角坐标系的建立
在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系
.然后过O作一条与
的数轴z轴，这样建立了空间直角坐标系，记作
.
(1)x轴、y轴、z轴是两两互相
的，都称为
.
(2)通过每两个坐标轴的平面都称为
，分别记为
，
，________.
xOy
xOy平面垂直
Oxyz
垂直
坐标轴
坐标平面
xOy平面
yOz平面
zOx平面
(3)在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为
，z轴与y轴(或x轴)
.如图(1)(2)所示.
135°(或45°)
垂直
2.在空间直角坐标系中，点M的坐标为(x，y，z)，x，y，z都称为点M的_________，且x称为点M的
(或
)，y称为点M的
(或y坐标)，z称为点M的
(或
).
注意点：(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0.
(2)在水平面xOy中，由x轴逆时针旋转90°到y轴.
(3)建系的要求：使尽可能多的点落在坐标轴或坐标平面上，充分利用几何图形的对称性.
(4)坐标原点选择的不同，会导致点的坐标不同，但不会影响结果.
坐标分量
横坐标
x坐标
纵坐标
竖坐标
z坐标
例1 如图所示，AF，DE分别是圆O，圆O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8，BC是圆O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标.
解 因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，
所以OE⊥平面ABC.
又AF?平面ABC，BC?平面ABC，
所以OE⊥AF，OE⊥BC，
又BC是圆O的直径，
所以OB＝OC，
又AB＝AC＝6，
如图所示，以O为坐标原点，以OB，OF，OE所在直线分别为x轴、y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，
反思感悟 确定点的坐标的常用方法
确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与坐标轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与坐标轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号.
跟踪训练1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE＝1，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.试建立适当的空间直角坐标系，写出E，F点的坐标.
解 以A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz，如图所示.
由AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4，
得AB＝1，AD＝2，AA1＝4，
二、空间点的对称问题
例2 在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4).
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
解 由于点P关于x轴对称后，它在x轴上的分量不变，在y轴、z轴上的分量变为原来的相反数，
所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4).
(2)求点P关于Oxy平面对称的点的坐标；
解 由点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴上的分量不变，在z轴上的分量变为原来的相反数，
所以对称点的坐标为P2(－2，1，－4).
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标.
解 设对称点为P3(x，y，z)，
则点M为线段PP3的中点，
由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3的坐标为(6，－3，－12).
反思感悟 空间点对称问题的解题策略
(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.
跟踪训练2 已知点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为____________.
(2，－3，1)
解析 点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2，3，1)，
点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2，3，1)，
点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3，1).
三、空间向量的坐标
也就是说有向线段的向量表示为终点坐标减去起点坐标.
知识梳理
1.空间直角坐标系下向量坐标
在空间直角坐标系下，如果指定单位向量e1，e2，e3的始点都在原点O，且它们的方向分别与x轴、y轴、z轴的正方向相同，则{e1，e2，e3}为_____
，且向量
的坐标与P点坐标
.即
＝xe1＋ye2＋ze3＝_________?P
.
单位
正交基底
相同
(x，y，z)
(x，y，z)
2.空间向量坐标的应用
在空间直角坐标系中，A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则
＝
.
＝
.
线段AB中点M的坐标为
.
注意点：(1)有向线段表示的向量表示为终点坐标减去起点坐标.
(2)区分
与a－b的表示方法.
(x2－x1，y2－y1，z2－z1)
方法二 以A为原点，以AB为x轴，AD为y轴，AA′为z轴建立空间直角坐标系Axyz，
∴A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A′(0，0，1)，B′(1，0，1)，C′(1，1，1)，D′(0，1，1)，
延伸探究
解 以点D为原点，DA，DC，DD′分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，
∵A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A′(1，0，1)，B′(1，1，1)，C′(0，1，1)，D′(0，0，1)，
反思感悟 用坐标表示空间向量的步骤
解 如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥y轴，P1P4⊥x轴，SO在z轴上.
∵|P1P2|＝2，而P1，P2，P3，P4均在xOy平面上，
∴P1(1，1，0)，P2(－1，1，0).
在xOy平面内，P3与P1关于原点O对称，
P4与P2关于原点O对称，
∴P3(－1，－1，0)，P4(1，－1，0).
四、利用坐标研究几何问题
例4 棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.
证明 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
(3)求CE的长.
反思感悟 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.
解 如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
设正方体的棱长为1，
由题意，可设点P的坐标为(a，a，1)，
所以3(a－1，a－1，0)＝(－a，－a，0)，
由题意可设点Q的坐标为(b，b，0)，
课堂小结
1.知识清单：
(1)空间直角坐标系.
(2)空间点的对称问题与空间向量的坐标.
(3)空间向量坐标的应用.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：x，y，z轴的选择不是随意的，x轴，y轴需按逆时针方向旋转.
随堂演练
1.点(2，0，3)在空间直角坐标系中的
A.y轴上 B.xOy平面上
C.zOx平面上 D.yOz平面上
√
1
2
3
4
2.在空间直角坐标系中，点P(1，3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是
A.(－1，3，－5) B.(1，3，5)
C.(1，－3，5) D.(－1，－3，5)
√
1
2
3
4
√
1
2
3
4
解析 以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
1
2
3
4
课时对点练
基础巩固
1.在空间直角坐标系Oxyz中，点(1，－2，4)关于y轴对称的点为
A.(－1，－2，－4) B.(－1，－2，4)
C.(1，2，－4) D.(1，2，4)
√
解析 关于y
轴对称，则y值不变，x和z的值变为原来的相反数，
故所求的点的坐标为(－1，－2，－4).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A.30° B.45° C.60° D.90°
√
又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A.(－7，10，24) B.(7，－10，－24)
C.(－6，8，24)
D.(－5，6，24)
√
即点B的坐标为(－5，6，24).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A.1，－4，9 B.2，－5，－8
C.2，5，8 D.－2，－5，8
√
解析 由A，B两点关于y轴对称，
解得x＝2，y＝－5，z＝－8.
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A.(－2，3，1) B.(2，－3，－1)
C.(0，－1，1) D.(0，1，－1)
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解析 设P(x，y，z)，
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∴点P(－2，3，1)；
∴点P(0，1，－1).
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6.(多选)在△ABC中，A(1，2，－3k)，B(－2，1，0)，C(2，－3，1)，若△ABC为直角三角形，则k的值为
√
√
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即9k2＋3k＋2＝0，方程无解；
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7.若A(m＋1，n－1，3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3，9)三点共线，则m＋n＝____.
0
所以m＝0，n＝0，
所以m＋n＝0.
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8.如图是一个正方体截下的一角P－ABC，其中PA＝a，PB＝b，PC＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是_________.
解析 由题意知A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c).
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(1)求D的坐标；
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10.已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求三棱柱的侧棱长；
解 设侧棱长为b，
因为AB1⊥BC1，
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解 因为M为BC1的中点，
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综合运用
11.在空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z轴的距离为
√
解析 空间直角坐标系中，
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13.已知点A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
√
所以△ABC为直角三角形.
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14.已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，则满足DB∥AC，DC∥AB的点D的坐标为____________.
(－1，1，2)
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解析 设点D(x，y，z)，
因为DB∥AC，DC∥AB，
所以D(－1，1，2).
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拓广探究
15.已知空间四点A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，D(x，－1，3)共面，则x的值为
A.4 B.1 C.10 D.11
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即(x－4，－2，0)＝(－2λ－v，2λ＋6v，－2λ－8v)，
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求证：(1)AM∥平面BDE；
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证明 ∵平面ABCD⊥平面ACEF，
平面ABCD∩平面ACEF＝AC，EC⊥AC，
∴EC⊥平面ABCD，又BC⊥DC，
如图，建立空间直角坐标系，
设AC∩BD＝N，连接NE，
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又NE与AM不共线，
∴NE∥AM.
又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
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(2)AM⊥平面BDF.
又DF∩BF＝F，且DF?平面BDF，BF?平面BDF，
∴AM⊥平面BDF.
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本课结束(共52张PPT)
第一章 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
第2课时 空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
学习目标
1.能利用坐标表示空间向量的平行与垂直关系.
2.能根据空间向量的平行与垂直关系解决简单的问题.
导语
同学们，生活中，有非常多的平行与垂直的关系，比如十字路口的斑马线、马路上的两根电线杆、教室里的灯管，阳光下，你和你的影子，任何直棱柱与上、下底面的棱之间的关系等等，而我们今天要研究的是在用平面向量解决平行与垂直的基础上，继续采用类比的方法来研究空间向量的平行与垂直关系.
随堂演练
课时对点练
一、空间向量平行的坐标表示
二、空间向量垂直的坐标表示
三、空间向量平行、垂直的坐标表示的综合问题
内容索引
一、空间向量平行的坐标表示
问题1 已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，且a∥b，你还记得如何用坐标表示它们的平行关系吗？
即x1y2－x2y1＝0，而此时x1，y1，x2，y2可以是任意实数.
知识梳理
空间向量的平行
a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，y2)(a≠0).
当a的每一个坐标分量都不为零时，
a∥b?
.
λx1
λy1
λz1
注意点：(1)空间向量的平行不一定有传递性，比如a∥b，a∥c，其中a＝0.
(2)若两个向量平行，其中一个向量的分量有的为0时，则相应的另一个向量的分量也一定为0.
例1 已知a＝(2x，1，0)，b＝(－2，3，1－z)，若a与b为共线向量，则x＝_____，z＝___.
解析 ∵a＝(2x，1，0)与b＝(－2，3，1－z)共线，
1
反思感悟 空间向量的平行常见的有：平行的判断；利用平行求参数或解其他问题.
解空间向量平行应注意的问题：适当引入参数，建立关于参数的方程；最好选择坐标的形式，以达到简化运算的目的.
跟踪训练1 (多选)下列每组中两个向量满足平行的是
A.(5，0，5)，(0，5，0)
B.(0，0，1)，(0，0，3)
C.(2，3，－1)，(2，3，1)
D.(1，－1，2)，(－2，2，－4)
解析 逐个检验每组中是否满足b＝λa即可.
√
√
二、空间向量垂直的坐标表示
问题2 已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，且a⊥b，你还记得如何用坐标表示它们的垂直关系吗？
知识梳理
空间向量的垂直
a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)(a≠0).
垂直：a⊥b?a·b＝0?
.
x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
例2 已知向量a＝(－2，x，2)，b＝(2，1，2)，c＝(4，－2，1).若
a⊥(b－c)，则x的值为
A.－2 B.2 C.3 D.－3
解析 ∵b－c＝(－2，3，1)，
∴a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，
解得x＝－2.
√
反思感悟 空间向量的垂直常见的有：垂直的判断；利用垂直求参数或解其他问题.
解空间向量垂直应注意的问题：适当引入参数，建立关于参数的方程；最好选择坐标的形式，以达到简化运算的目的.
跟踪训练2 已知向量a＝(－1，0，1)，b＝(1，2，3)，若ka－b与b垂直，k∈R，则k＝___.
7
解析 因为(ka－b)⊥b，
所以(ka－b)·b＝0，
所以ka·b－|b|2＝0，
所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－(12＋22＋32)＝0，
解得k＝7.
三、空间向量平行、垂直的坐标表示的综合问题
例3 已知a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2).
(1)若|c|＝3，且c∥(a－b)，求c；
解 a－b＝(2，1，－2).
∵c∥(a－b)，设c＝λ(a－b)，
即c＝λ(2，1，－2)＝(2λ，λ，－2λ)，
∴λ＝±1，
∴c＝(2，1，－2)或c＝(－2，－1，2).
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
解 ∵ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4).
又∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，
∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0.
即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.
反思感悟 平行与垂直的应用
(1)适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程.
(2)选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
跟踪训练3 已知a＝(1，－2，4)，b＝(2，1，－3)，c＝(2，x，y).
(1)若a∥c，求x，y的值；
解 因为a＝(1，－2，4)的每一个坐标分量均不为零，
(2)是否存在x，y∈R，使得c⊥a且c⊥b，如果存在，求出c的坐标，如果不存在，说明理由.
即存在x＝11，y＝5，
使得c⊥a且c⊥b，
此时c＝(2，11，5).
课堂小结
1.知识清单：
(1)空间向量平行的坐标表示.
(2)空间向量垂直的坐标表示.
2.方法归纳：公式法.
3.常见误区：两向量共线时，两向量的坐标比例相同的前提是坐标分量均不为0.
随堂演练
1.与向量m＝(0，1，－2)共线的向量坐标是
A.(2，0，－4) B.(3，6，－12)
√
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2.已知向量a＝(1，2，－1)，则下列向量与a垂直的是
A.(0，0，1) B.(－2，1，0)
C.(1，1，2) D.(4，－1，1)
√
解析 (1，2，－1)·(0，0，1)＝－1≠0，
(1，2，－1)·(－2，1，0)＝－2＋2＋0＝0，
(1，2，－1)·(1，1，2)＝1＋2－2＝1≠0，
(1，2，－1)·(4，－1，1)＝4－2－1＝1≠0，
只有B满足垂直.
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3.向量a＝(2，4，x)，b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为
A.－3 B.1 C.3或1 D.－3或1
√
解析 因为a·b＝2x＋4y＋4＝0，
所以x＋y＝1或x＋y＝－3.
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4.已知a＝(λ＋1，0，2λ)，b＝(6，2μ－1，2)，且a∥b，则λ＋μ＝____.
解析 ∵a∥b，∴a＝tb，
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课时对点练
基础巩固
1.已知a＝(2，－3，1)，则下列向量中与a平行的是
A.(1，1，1) B.(－2，－3，5)
C.(2，－3，5) D.(－4，6，－2)
√
解析 设b＝(－4，6，－2)，
又a＝(2，－3，1)，
所以b＝－2(2，－3，1)＝－2a，
所以a∥b.
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2.已知两个非零向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，它们平行的充要条件是
B.a1·b1＝a2·b2＝a3·b3
C.a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
D.存在非零实数k，使a＝kb
√
解析 根据空间向量平行的充要条件，易知选D.
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3.已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，c＝(1，－x，2)，若
(a＋b)⊥c，则x等于
√
解析 由已知，得a＋b＝(－2，1，3＋x).
又(a＋b)⊥c，
所以－2－x＋2(3＋x)＝0，
解得x＝－4.
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A.－2 B.2 C.－1 D.1
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∴x＋y＝－1.
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5.已知向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是
A.a∥b，a∥c B.a∥b，a⊥c
C.a⊥b，a∥c D.a⊥b，a⊥c
√
解析 因为c＝(－4，－6，2)＝2(－2，－3，1)＝2a，
所以a∥c.
又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，
所以a⊥b.
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6.(多选)同时垂直于a＝(2，2，1)和b＝(4，5，3)的单位向量是
√
√
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解析 设同时垂直于a＝(2，2，1)，b＝(4，5，3)的单位向量为e＝(x，y，z)，
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7.设向量a＝(2，2m－3，n＋2)，b＝(4，2m＋1，3n－2)，且a∥b，则a·b的值为_____.
解析 因为a∥b，不妨设a＝λb，
又因为a＝(2，2m－3，n＋2)，b＝(4，2m＋1，3n－2)，
所以(2，2m－3，n＋2)＝λ(4，2m＋1，3n－2)，
所以a＝(2，4，8)，b＝(4，8，16)，
所以a·b＝2×4＋4×8＋8×16＝168.
168
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8.已知a＝(cos
α，1，sin
α)，b＝(sin
α，1，cos
α)，则向量a＋b与a－b的夹角是_____.
解析 因为a＋b＝(cos
α＋sin
α，2，sin
α＋cos
α)，
a－b＝(cos
α－sin
α，0，sin
α－cos
α)，
所以(a＋b)·(a－b)＝0，
所以〈a＋b，a－b〉＝90°.
90°
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9.已知向量a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
解得x＝2，y＝－4，
此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1).
又由b⊥c得b·c＝0，
故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0，得z＝2，
此时c＝(3，－2，2).
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(2)求向量a＋c与向量b＋c夹角的余弦值.
解 由(1)得，a＋c＝(5，2，3)，b＋c＝(1，－6，1)，
因此向量a＋c与向量b＋c夹角θ的余弦值为
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10.已知a＝(1，2，3)，b＝(2，1，2)，c＝(1，1，2)，且向量p∥c，求(p－a)·(p－b)的最小值，并求此时向量p的坐标.
解 因为向量p∥c，所以设p＝λc，
则p－a＝λc－a＝(λ－1，λ－2，2λ－3)，
p－b＝λc－b＝(λ－2，λ－1，2λ－2)，
所以(p－a)·(p－b)＝(λ－1，λ－2，2λ－3)·(λ－2，λ－1，2λ－2)
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综合运用
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所以sin
θcos
θ＋cos
θsin
θ＋1＝0，
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13.已知向量a＝(1，2，3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x＋y的值为____.
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解析 由题意知a∥b，
向量a，b反向，不符合题意，所以舍去.
a与b同向，此时x＋y＝4.
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14.已知向量a＝(1，x2，－1)，b＝(y2－1，2，1)，若向量a⊥b，则xy的最大值为____.
解析 由题意，知1×(y2－1)＋2x2－1×1＝0，
即2＝2x2＋y2.
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拓广探究
15.已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则x＝___，y＝_____.
－4
解析 因为a＋2b＝(1＋2x，4，4－y)，
2a－b＝(2－x，3，－2y－2)，
且(a＋2b)∥(2a－b)，
所以3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，
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16.已知a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5).
(1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值；
解 λa＋b＝(λ－2，5λ＋3，－λ＋5)，a－3b＝(7，－4，－16)，
当(λa＋b)∥(a－3b)时，存在实数t使得(λa＋b)＝t(a－3b)，
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(2)当(λa＋b)⊥(a－3b)时，求实数λ的值.
解 当(λa＋b)⊥(a－3b)时，(λa＋b)·(a－3b)＝0，
所以7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，
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本课结束第2课时 空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
学习目标 1.能利用坐标表示空间向量的平行与垂直关系.2.能根据空间向量的平行与垂直关系解决简单的问题.
导语
同学们，生活中，有非常多的平行与垂直的关系，比如十字路口的斑马线、马路上的两根电线杆、教室里的灯管，阳光下，你和你的影子，任何直棱柱与上、下底面的棱之间的关系等等，而我们今天要研究的是在用平面向量解决平行与垂直的基础上，继续采用类比的方法来研究空间向量的平行与垂直关系.
一、空间向量平行的坐标表示
问题1 已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，且a∥b，你还记得如何用坐标表示它们的平行关系吗？
提示 a∥b?b＝λa?若x1，y1都不为0时，有＝＝λ，即x1y2－x2y1＝0，而此时x1，y1，x2，y2可以是任意实数．
知识梳理
空间向量的平行
a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，y2)(a≠0)．
平行：a∥b?b＝λa?
当a的每一个坐标分量都不为零时，
a∥b?＝＝.
注意点：(1)空间向量的平行不一定有传递性，比如a∥b，a∥c，其中a＝0．
(2)若两个向量平行，其中一个向量的分量有的为0时，则相应的另一个向量的分量也一定为0.
例1 已知a＝(2x，1，0)，b＝(－2，3，1－z)，若a与b为共线向量，则x＝____，z＝____.
答案 － 1
解析 ∵a＝(2x，1，0)与b＝(－2，3，1－z)共线，
∴解得x＝－，z＝1.
反思感悟 空间向量的平行常见的有：平行的判断；利用平行求参数或解其他问题．
解空间向量平行应注意的问题：适当引入参数，建立关于参数的方程；最好选择坐标的形式，以达到简化运算的目的．
跟踪训练1 (多选)下列每组中两个向量满足平行的是( )
A．(5，0，5)，(0，5，0)
B．(0，0，1)，(0，0，3)
C．(2，3，－1)，(2，3，1)
D．(1，－1，2)，(－2，2，－4)
答案 BD
解析 逐个检验每组中是否满足b＝λa即可．
二、空间向量垂直的坐标表示
问题2 已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，且a⊥b，你还记得如何用坐标表示它们的垂直关系吗？
提示 a⊥b?〈a，b〉＝90°?cos
90°＝＝0?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
知识梳理
空间向量的垂直
a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)(a≠0)．
垂直：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
例2 已知向量a＝(－2，x，2)，b＝(2，1，2)，c＝(4，－2，1)．若a⊥(b－c)，则x的值为( )
A．－2
B．2
C．3
D．－3
答案 A
解析 ∵b－c＝(－2，3，1)，
∴a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，解得x＝－2.
反思感悟 空间向量的垂直常见的有：垂直的判断；利用垂直求参数或解其他问题．
解空间向量垂直应注意的问题：适当引入参数，建立关于参数的方程；最好选择坐标的形式，以达到简化运算的目的．
跟踪训练2 已知向量a＝(－1，0，1)，b＝(1，2，3)，若ka－b与b垂直，k∈R，则k＝____.
答案 7
解析 因为(ka－b)⊥b，所以(ka－b)·b＝0，
所以ka·b－|b|2＝0，
所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－(12＋22＋32)＝0，
解得k＝7.
三、空间向量平行、垂直的坐标表示的综合问题
例3 已知a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)．
(1)若|c|＝3，且c∥(a－b)，求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
解 (1)a－b＝(2，1，－2)．
∵c∥(a－b)，设c＝λ(a－b)，
即c＝λ(2，1，－2)＝(2λ，λ，－2λ)，
∴|c|＝＝3|λ|＝3，∴λ＝±1，
∴c＝(2，1，－2)或c＝(－2，－1，2)．
(2)∵ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
又∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0.
即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.
解得k＝2或k＝－，故所求k的值为2或－.
反思感悟 平行与垂直的应用
(1)适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程．
(2)选择坐标形式，以达到简化运算的目的．
跟踪训练3 已知a＝(1，－2，4)，b＝(2，1，－3)，c＝(2，x，y)．
(1)若a∥c，求x，y的值；
(2)是否存在x，y∈R，使得c⊥a且c⊥b，如果存在，求出c的坐标，如果不存在，说明理由．
解 (1)因为a＝(1，－2，4)的每一个坐标分量均不为零，
所以a∥c?＝＝?x＝－4，y＝8.
(2)因为c⊥a且c⊥b，所以
所以所以
即存在x＝11，y＝5，使得c⊥a且c⊥b，此时c＝(2，11，5)．
1．知识清单：
(1)空间向量平行的坐标表示．
(2)空间向量垂直的坐标表示．
2．方法归纳：公式法．
3．常见误区：两向量共线时，两向量的坐标比例相同的前提是坐标分量均不为0.
1．与向量m＝(0，1，－2)共线的向量坐标是( )
A．(2，0，－4)
B．(3，6，－12)
C．(1，1，－2)
D．
答案 D
解析 ∵＝m，∴与m共线的向量是.
2．已知向量a＝(1，2，－1)，则下列向量与a垂直的是( )
A．(0，0，1)
B．(－2，1，0)
C．(1，1，2)
D．(4，－1，1)
答案 B
解析 (1，2，－1)·(0，0，1)＝－1≠0，(1，2，－1)·(－2，1，0)＝－2＋2＋0＝0，
(1，2，－1)·(1，1，2)＝1＋2－2＝1≠0，(1，2，－1)·(4，－1，1)＝4－2－1＝1≠0，
只有B满足垂直．
3．向量a＝(2，4，x)，b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为( )
A．－3
B．1
C．3或1
D．－3或1
答案 D
解析 因为a·b＝2x＋4y＋4＝0，
又|a|＝＝＝6，
所以联立解得或
所以x＋y＝1或x＋y＝－3.
4．已知a＝(λ＋1，0，2λ)，b＝(6，2μ－1，2)，且a∥b，则λ＋μ＝________.
答案
解析 ∵a∥b，
∴a＝tb，
∴∴
∴λ＋μ＝＋＝.
课时对点练
1．已知a＝(2，－3，1)，则下列向量中与a平行的是( )
A．(1，1，1)
B．(－2，－3，5)
C．(2，－3，5)
D．(－4，6，－2)
答案 D
解析 设b＝(－4，6，－2)，又a＝(2，－3，1)，
所以b＝－2(2，－3，1)＝－2a，所以a∥b.
2．已知两个非零向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，它们平行的充要条件是( )
A．a＝b
B．a1·b1＝a2·b2＝a3·b3
C．a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
D．存在非零实数k，使a＝kb
答案 D
解析 根据空间向量平行的充要条件，易知选D.
3．已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，c＝(1，－x，2)，若(a＋b)⊥c，则x等于( )
A．4
B．－4
C．
D．－6
答案 B
解析 由已知，得a＋b＝(－2，1，3＋x)．
又(a＋b)⊥c，所以－2－x＋2(3＋x)＝0，
解得x＝－4.
4．向量a＝(1，2，x)，b＝(2，y，－1)，若|a|＝，且a⊥b，则x＋y的值为( )
A．－2
B．2
C．－1
D．1
答案 C
解析 由题意得
即∴x＋y＝－1.
5．已知向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是( )
A．a∥b，a∥c
B．a∥b，a⊥c
C．a⊥b，a∥c
D．a⊥b，a⊥c
答案 C
解析 因为c＝(－4，－6，2)＝2(－2，－3，1)＝2a，所以a∥c.
又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a⊥b.
6．(多选)同时垂直于a＝(2，2，1)和b＝(4，5，3)的单位向量是( )
A.
B.
C.
D.
答案 AC
解析 设同时垂直于a＝(2，2，1)，b＝(4，5，3)的单位向量为e＝(x，y，z)，
则即
解得或
故e＝或e＝.
7．设向量a＝(2，2m－3，n＋2)，b＝(4，2m＋1，3n－2)，且a∥b，则a·b的值为_____．
答案 168
解析 因为a∥b，不妨设a＝λb，
又因为a＝(2，2m－3，n＋2)，b＝(4，2m＋1，3n－2)，
所以(2，2m－3，n＋2)＝λ(4，2m＋1，3n－2)，
所以解得
所以a＝(2，4，8)，b＝(4，8，16)，
所以a·b＝2×4＋4×8＋8×16＝168.
8．已知a＝(cos
α，1，sin
α)，b＝(sin
α，1，cos
α)，则向量a＋b与a－b的夹角是_____．
答案 90°
解析 因为a＋b＝(cos
α＋sin
α，2，sin
α＋cos
α)，a－b＝(cos
α－sin
α，0，sin
α－cos
α)，
所以(a＋b)·(a－b)＝0，所以〈a＋b，a－b〉＝90°.
9．已知向量a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
(2)求向量a＋c与向量b＋c夹角的余弦值．
解 (1)因为a∥b，所以＝＝，且y≠0，
解得x＝2，y＝－4，
此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1)．
又由b⊥c得b·c＝0，
故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0，得z＝2，此时c＝(3，－2，2)．
(2)由(1)得，a＋c＝(5，2，3)，b＋c＝(1，－6，1)，
因此向量a＋c与向量b＋c夹角θ的余弦值为cos
θ＝＝＝－.
10．已知a＝(1，2，3)，b＝(2，1，2)，c＝(1，1，2)，且向量p∥c，求(p－a)·(p－b)的最小值，并求此时向量p的坐标．
解 因为向量p∥c，所以设p＝λc，
则p－a＝λc－a＝(λ－1，λ－2，2λ－3)，p－b＝λc－b＝(λ－2，λ－1，2λ－2)，
所以(p－a)·(p－b)＝(λ－1，λ－2，2λ－3)·(λ－2，λ－1，2λ－2)＝2(3λ2－8λ＋5)＝62－.
当λ＝时，(p－a)·(p－b)取得最小值，最小值为－，
此时p＝c＝.
11．已知a＝(sin
θ，cos
θ，tan
θ)，b＝，且a⊥b，则θ为( )
A．－
B．
C．2kπ－(k∈Z)
D．kπ－(k∈Z)
答案 D
解析 因为a⊥b，a＝(sin
θ，cos
θ，tan
θ)，b＝，
所以sin
θcos
θ＋cos
θsin
θ＋1＝0，
即sin
2θ＝－1，
所以2θ＝－＋2kπ，k∈Z，
即θ＝－＋kπ，k∈Z.
12．(多选)已知点P是△ABC所在的平面外一点，若＝(－2，1，4)，＝(1，－2，1)，＝(4，2，0)，则( )
A．PA⊥AB
B．AP⊥BP
C．BC＝
D．AP∥BC
答案 AC
解析 因为·＝0，故A正确；＝(3，－3，－3)，·＝3＋6－3＝6≠0，故B不正确；＝(6，1，－4)，||＝＝，故C正确；＝(1，－2，1)，＝(6，1，－4)，各个对应分量的比例不同，故D不正确．
13．已知向量a＝(1，2，3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x＋y的值为_____．
答案 4
解析 由题意知a∥b，
所以＝＝，即
解得或
当时，b＝(－2，－4，－6)＝－2a，
向量a，b反向，不符合题意，所以舍去．
当时，b＝(1，2，3)＝a，
a与b同向，此时x＋y＝4.
14．已知向量a＝(1，x2，－1)，b＝(y2－1，2，1)，若向量a⊥b，则xy的最大值为_____．
答案
解析 由题意，知1×(y2－1)＋2x2－1×1＝0，即2＝2x2＋y2.
又2x2＋y2≥2xy(当且仅当y＝x时等号成立)，
所以2xy≤2，
所以xy≤，即xy的最大值为.
15．已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则x＝______，y＝______.
答案 －4
解析 因为a＋2b＝(1＋2x，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，
所以3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，
所以x＝，y＝－4.
16．已知a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)．
(1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值；
(2)当(λa＋b)⊥(a－3b)时，求实数λ的值．
解 (1)λa＋b＝(λ－2，5λ＋3，－λ＋5)，a－3b＝(7，－4，－16)，
当(λa＋b)∥(a－3b)时，存在实数t使得(λa＋b)＝t(a－3b)，
所以解得λ＝－.
(2)当(λa＋b)⊥(a－3b)时，(λa＋b)·(a－3b)＝0，
所以7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，
解得λ＝.1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
第1课时 空间向量的坐标与运算
学习目标 1.了解空间中向量的坐标的定义.2.掌握空间向量运算的坐标表示.3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角.
导语
同学们，之前我们学面向量的坐标与运算，在此基础上，我们再次对它在空间维度上进行推广和拓展，实际上，建立向量的坐标与运算，是沟通了代数与几何的关系，为我们下一步用向量的方法解决立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，让我们在之前学习的基础上进一步完善我们的认知结构吧．
一、空间中向量的坐标
问题1 平面中{e1，e2}是向量p的单位正交基底，你能用{e1，e2}表示向量p吗？
提示 p＝xe1＋ye2；其中有序数组(x，y)是向量p的坐标．实际上，对于平面中任意不共线的向量{a，b}，若p＝xa＋yb，则有序数组(x，y)是基底{a，b}下的坐标．
知识梳理
空间中向量的坐标
一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量．
注意点：零向量的坐标为(0，0，0)．
例1 已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，a＝3e1＋2e2－e3，b＝－e1＋3e3，试写出a与b的坐标．
解 a＝(3，2，－1)；b＝(－1，0，3)．
反思感悟 在空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，且这三个向量两两垂直，若p＝xe1＋ye2＋ze3，则p＝(x，y，z)．
跟踪训练1 已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，下列说法正确的是( )
A．若p＝2e1－e2＋3e3，则p＝(2，1，3)
B．若q＝－e1＋2e2，则q＝(－1，2)
C．若r＝e1＋3e2－e3，则r＝(1，3，－1)
D．若s＝－3e2，则s＝(0，0，－3)
答案 C
解析 A中，p＝(2，－1，3)；B中，q＝(－1，2，0)；C中，r＝(1，3，－1)；D中，s＝(0，－3，0)．
二、空间向量的运算与坐标的关系
问题2 在平面中，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你还记得这两个向量的加法、减法、数乘等一系列的运算吗？
提示 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；a－b＝(x1－x2，y1－y2)；λa＝(λx1，λy1)；a·b＝x1x2＋y1y2；|a|＝等．
知识梳理
空间向量的坐标运算
若空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则：
向量运算
向量表示
坐标表示
相等
a＝b
x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2
加法
a＋b
(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)
线性运算
μa＋vb
(μx1＋vx2，μy1＋vy2，μz1＋vz2)
数量积
a·b
x1x2＋y1y2＋z1z2
模
|a|＝
夹角
cos〈a，b〉＝
例2 (1)向量a＝(2，0，5)，b＝(3，1，－2)，c＝(－1，4，0)，则a＋6b－8c＝_____.
答案 (28，－26，－7)
解析 a＋6b－8c＝(2，0，5)＋6(3，1，－2)－8(－1，4，0)
＝(2，0，5)＋(18，6，－12)－(－8，32，0)＝(28，－26，－7)．
(2)已知a＝(1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，则b等于( )
A．(2，－4，2)
B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2)
D．(2，1，－3)
答案 A
解析 依题意，得b＝a－(a－b)＝a－(－1，2，－1)＝a＋(1，－2，1)＝2(1，－2，1)＝(2，－4，2)．
反思感悟 空间向量坐标运算问题，一是直接计算，首先将空间向量用坐标表示，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；二是通过解方程组求其坐标．
跟踪训练2 已知a＋b＝(－2，5，4)，a－b＝(4，－1，2)，则a＝______，b＝______.
答案 (1，2，3) (－3，3，1)
解析 a＝＝＝(2，4，6)＝(1，2，3)．
b＝＝＝(－6，6，2)＝(－3，3，1)．
三、空间向量坐标运算的综合应用
例3 已知向量a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，2，2)．
求：(1)|a＋b－2c|；
(2)cos〈a－b，b－c〉．
解 (1)a＋b－2c＝(2，－3，1)＋(2，0，3)－2(0，2，2)
＝(2，－3，1)＋(2，0，3)－(0，4，4)＝(4，－7，0)．
∴|a＋b－2c|＝＝.
(2)a－b＝(0，－3，－2)，b－c＝(2，－2，1)，
∴|a－b|＝，|b－c|＝＝3，(a－b)·(b－c)＝0＋(－3)×(－2)＋(－2)×1＝4.
∴cos〈a－b，b－c〉＝＝＝.
反思感悟 空间向量的数量积、模、夹角公式的坐标表示a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)．
(1)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
(2)|a|＝＝.
(3)cos〈a，b〉＝＝.
跟踪训练3 (1)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.
答案 2
解析 由题意，得c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，
由(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.
(2)已知a＝(2，－3，0)，b＝(k，0，3)，〈a，b〉＝120°，则k＝________.
答案 －
解析 ∵a·b＝2k，|a|＝，|b|＝，
∴cos〈a，b〉＝＝－，
∴k<0，且＝，
解得k2＝39，∴k＝－(正值舍去)．
1．知识清单：
(1)空间中向量的坐标．
(2)空间向量的坐标运算．
2．方法归纳：公式法．
3．常见误区：正确的用坐标表示空间的向量以及向量的运算．
1．已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于( )
A．(16，0，4)
B．(8，－16，4)
C．(8，16，4)
D．(8，0，4)
答案 D
解析 4a＋2b＝4(3，－2，1)＋2(－2，4，0)＝(12，－8，4)＋(－4，8，0)＝(8，0，4)．
2．已知向量a＝(0，2，1)，b＝(－1，1，－2)，则a与b的夹角为( )
A．0
B．
C．
D．π
答案 C
解析 ∵cos〈a，b〉＝＝＝0，
〈a，b〉∈[0，π]．∴〈a，b〉＝.
3．已知向量a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ等于( )
A．5
B．4
C．3
D．2
答案 C
解析 λa＋b＝λ(0，－1，1)＋(4，1，0)＝(4，1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝＝，且λ>0，解得λ＝3.
4．设＝(cos
α＋sin
α，0，－sin
α)，＝(0，cos
α，0)，则||的最大值为_______．
答案
解析 ∵＝＋＝(cos
α＋sin
α，cos
α，－sin
α)，
∴||2＝(cos
α＋sin
α)2＋cos2α＋(－sin
α)2＝2＋sin
2α≤3，
∴||的最大值为.
课时对点练
1．已知{i，j，k}是单位正交基底，且＝－i＋j－k，则的坐标为( )
A．(－1，1，－1)
B．(－i，j，－k)
C．(1，－1，－1)
D．(1，－1，1)
答案 A
解析 根据空间向量坐标的定义，知＝(－1，1，－1)．
2．已知向量a＝(2，3，1)，b＝(1，2，0)，则|a＋b|等于( )
A．
B．3
C．
D．9
答案 C
解析 a＋b＝(3，5，1)，故|a＋b|＝＝.
3．已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则实数x的值是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
答案 C
解析 因为a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，所以a·b＝－3＋2x－5＝2，解得x＝5.
4．已知a＝(x，3，1)，b＝(2，y，4)，若a＝zb且c＝(x，y，z)，则c等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由题意可得(x，3，1)＝z(2，y，4)，
即解得x＝，y＝12，z＝，
所以c＝.
5．已知向量a＝(3，5，－1)，b＝(2，2，3)，c＝(1，－1，2)，则向量a－b＋4c的坐标为( )
A．(5，－1，4)
B．(5，1，－4)
C．(－5，1，4)
D．(－5，－1，4)
答案 A
解析 向量a＝(3，5，－1)，b＝(2，2，3)，c＝(1，－1，2)，
则向量a－b＋4c＝(3，5，－1)－(2，2，3)＋4(1，－1，2)＝(5，－1，4)．
6．(多选)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三个向量能构成空间的一个基底，则实数λ的值可为( )
A．0
B．
C．9
D．
答案 ABC
解析 ∵a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，
假设a，b，c三个向量不能构成空间的一个基底，
则a，b，c三个向量共面，
又∵a与b不平行，
∴存在实数x，y，使得c＝xa＋yb，
即得λ＝，
∴当λ＝时，a，b，c三向量共面，当λ≠时，a，b，c三向量不共面.即能作为一组基底.
7．已知a＝(，－1，0)，b＝(k，0，1)，a，b的夹角为60°，则k＝________.
答案
解析 由题意，知|a|＝2，|b|＝，a·b＝k.因为a，b的夹角为60°，所以cos
60°＝＝＝，得k＝.
8．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，c＝(x，－1，2)，若a，b，c是共面向量，则x＝________.
答案 －2
解析 由于a，b不共线，且和c共面，根据共面向量定理，有c＝ma＋nb，即(x，－1，2)＝(m－n，m，2n)，即解得m＝－1，n＝1，x＝－1－1＝－2.
9．已知a＝4e1＋3e2－e3，b＝5e1－4e2＋2e3，其中{e1，e2，e3}是一组单位正交基底，试求a·b及a，b之间夹角的余弦值．
解 由题意知a＝(4，3，－1)，b＝(5，－4，2)，
所以a·b＝(4，3，－1)·(5，－4，2)＝4×5＋3×(－4)＋(－1)×2＝6.
又因为|a|＝＝，|b|＝＝＝3，
所以cos〈a，b〉＝＝＝，所以a·b＝6，a与b夹角的余弦值为.
10．已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求：
(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b)．
解 (1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2，－2，2)．
(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2，0，－6)．
(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7.
(4)因为2a＝(4，－2，－4)，
所以2a·(－b)＝(4，－2，－4)·(0，1，－4)＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14.
(5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.
11．已知向量a＝(2，－1，2)，b＝(2，2，1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为( )
A．
B．
C．4
D．8
答案 B
解析 ∵|a|＝＝3，|b|＝＝3，
∴cos〈a，b〉＝＝＝，∴sin〈a，b〉＝，
∴S＝|a|·|b|·sin〈a，b〉＝.
12．已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为( )
A.
B. C.
D.1
答案 B
解析 由已知，得b－a＝(2，t，t)－(1－t，1－t，t)＝(1＋t，2t－1，0)．
所以|b－a|＝＝＝.
所以当t＝时，|b－a|的最小值为.
13．设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(12，14，10)
B．(10，12，14) C．(14，12，10)
D．(4，3，2)
答案 A
解析 依题意，知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12，14，10)．
14．已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为________．
答案 120°
解析 a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，
故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，
而|a|＝＝，
所以cos〈a，c〉＝＝－，所以〈a，c〉＝120°.
15．已知向量a，b，c是空间的一组单位正交基底，向量a＋b，a－b，c是空间的另一组基底，若向量p在基底{a，b，c}下的坐标是(1，3，4)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为( )
A．(2，1，4)
B．(2，－1，4) C．(－2，－1，4)
D．(－2，1，4)
答案 B
解析 不妨设a＝(1，0，0)，b＝(0，1，0)，c＝(0，0，1)．p＝a＋3b＋4c.
设p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc.
所以解得x＝2，y＝－1，z＝4.
所以向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(2，－1，4)．
16．已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1，1)，且a与b的夹角为钝角，求x的取值范围．
解 ∵〈a，b〉为钝角，
∴cos〈a，b〉<0且〈a，b〉≠π.
若cos〈a，b〉<0，则a·b<0，
即3×(－1)＋(－2)×(x－1)＋(－3)×1<0，
解得x>－2.
若〈a，b〉＝π，则a与b反向，
则b＝λa(λ<0)，
∴解得λ＝－3，x＝.
∵〈a，b〉≠π，∴x≠，
即x>－2且x≠，
故x的取值范围是∪.
