第1节 机械功
[核心素养·明目标]
核心素养
学习目标
物理观念
(1)能理解功的概念，掌握做功的两个必要因素。(2)能从特殊到一般，掌握功的一般表达式。(3)正确理解功的标量性，掌握正功和负功的正确含义。
科学思维
能在实际情况中判断力的做功情况，进而分析该力做功给物体带来的相应能量的变化。
科学探究
通过恒力做功，探究变力做功(尝试采用微积分或者图像求解)。
科学态度与责任
在学习、理解功的概念和计算功的数值的过程中，培养科学、严谨的研究态度，了解机械做功对推动人类社会发展的现实意义。
知识点一 机械功
1．功的定义
如果施力于某物体，并使该物体在力的方向上移动一段距离，我们就说力对这个物体做了功。
2．做功的两个必要因素
(1)作用在物体上的力。
(2)物体在力的方向上发生位移。
3．功的定义式：W＝Fs
cos
α。
(1)定义式中的F应为恒力。
(2)s表示物体运动的位移大小。
(3)α是力F与位移s方向之间的夹角。
4．功的单位
(1)功的国际单位是焦耳，简称焦，符号是J。
(2)1
J等于1
N的力使物体在力的方向上发生1
m的位移时所做的功。
不做功的三种情况：有力无位移，有位移无力，力和位移方向垂直。
1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有力作用在物体上，并且物体也发生了位移时，力对物体一定做了功。
(×)
(2)用手提起一桶水后，沿水平方向向前移动一段位移的过程中，手对水桶没有做功。
(√)
(3)用力推汽车，汽车没动，但推车者累得出汗时，可以说推车者对汽车做功了。
(×)
知识点二 机械功的计算
1．正功和负功
α的取值
W的取值
含义
0°≤α＜90°
W＞0
力F对物体做正功
α＝90°
W＝0
力F不做功
90°＜α≤180°
W＜0
力F对物体做负功(或说成物体克服力F做功)
2．总功的计算
(1)方法一：所有外力对物体做的总功，等于各个力分别对物体做功的代数和，即W总＝W1＋W2＋W3…。
(2)方法二：某个物体在多个外力作用下运动时，所有外力对这个物体做的总功，也等于这些外力的合力对该物体做的功。即W总＝F合s
cos
α。
如图所示，推出的铅球在空中运动的过程中，重力对铅球做正功还是负功？
提示：先做负功，再做正功。
2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)功有正、负值，所以功是矢量。
(×)
(2)总功等于所有外力做功的代数和。
(√)
(3)拉力一定做正功，摩擦力一定做负功。
(×)
考点1 机械功的含义
李华同学天天背着书包上学，在爬楼的过程中，书包受几个力？这些力是否都做功。
提示：书包受重力和人对它向上的作用力。这两个力与位移夹角都不是90°，因而都做功。
1．机械功的概念
(1)力对物体是否做了功，只与力和力的方向上物体发生位移这两个因素有关，与其他因素诸如物体运动的快慢、运动的性质、物体质量等无关，与物体是否受其他力无关。
(2)功是一个过程量，总是与一个具体的过程相对应，同时功与具体的某个力或某几个力相对应，通常我们说某个力或某几个力所做的功。
2．对公式W＝Fs
cos
α的理解
(1)公式中的F是恒力，即公式W＝Fs
cos
α并不是普遍适用的。
(2)F与s必须具备同时性，即s必须是力F作用过程中物体的位移。如果力消失后物体继续运动，力所做的功就只跟力作用的那段位移有关，跟其余的位移无关。
(3)表达式W＝F·s
cos
α的物理意义是功等于力F与沿力F方向的位移的乘积；公式也可以表达为W＝F
cos
α·s，表达的物理意义是功等于沿位移方向的力与位移的乘积。
【典例1】 如图所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速传送至高处，在此过程中，下述说法正确的是( )
A．摩擦力对物体P做正功
B．支持力对物体P做正功
C．重力对物体P做正功
D．合外力对物体P做正功
A [摩擦力方向平行皮带向上，与物体P运动方向相同，故摩擦力对物体P做正功，A对；支持力始终垂直于物体P的速度方向，支持力对物体P不做功，B错；重力与物体P运动方向的夹角大于90°，重力对物体P做负功，C错；物体P做匀速运动，则合外力为零，对物体P不做功，D错。]
对做功正负的两点提醒
(1)摩擦力可能做正功，也可能做负功，要具体分析，不能认为摩擦力一定做负功。
(2)做功的正、负与力的性质无关，关键要看力和物体位移的方向关系。
1．如图所示，人站在电动扶梯的水平台阶上，假若人与扶梯一起匀加速向上运动，在这个过程中人脚所受的静摩擦力( )
A．等于零，对人不做功
B．水平向左，对人不做功
C．水平向右，对人做正功
D．沿斜面向上，对人做正功
C [人与扶梯一起匀加速向上运动，人的脚所受的静摩擦力水平向右，与位移方向成锐角，静摩擦力对人做正功，故C正确。]
考点2 机械功的计算
如图所示，马拉着小车(包括人)沿水平面匀速前进了一段距离。
(1)如何求出拉力和摩擦力对小车做的功？
(2)如何求出外力对小车做的总功？
提示：(1)由W＝Fs
cos
α可求出拉力、摩擦力做的功。(假设马拉车的力F与水平夹角为α)
(2)法一：可求出WF、Wf、WG、WFN，再求它们的代数和。
法二：可求出合力F合，再用W合＝F合s
cos
α求得总功。
1．正功、负功的物理意义
功的正、负由力和位移之间的夹角决定，所以功的正、负不表示方向，而只能说明做功的力对物体来说是动力还是阻力。
2．几个力的总功的求法
由合力与分力的等效替代关系知，合力与分力做功也是可以等效替代的，因此计算总功的方法有两种：
(1)先求物体所受的合力，再根据公式W总＝F合s
cos
α求合力的功。
(2)先根据W＝Fs
cos
α，求每个分力做的功W1、W2、…、Wn，再根据W总＝W1＋W2＋…＋Wn，求合力的功。即合力做的功等于各个力做功的代数和。
【典例2】 如图所示，一质量为m的物体在与水平方向成α角斜向上的拉力F作用下，沿水平地面向右移动位移s，物体与水平地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则：
(1)物体受到的各个力做的功是多少？各个力对物体所做功的代数和是多少？
(2)物体所受的合力是多少？合力所做的功是多少？
思路点拨：(1)物体运动过程中所受拉力F、重力、支持力、摩擦力皆为恒力。
(2)重力、支持力的方向与物体位移方向垂直，不做功。
[解析] (1)因重力、支持力与位移夹角为90°，故WG＝0，WN＝0，拉力F所做的功W1＝Fs
cos
α
滑动摩擦力的大小f＝μN，又N＋F
sin
α＝mg
故滑动摩擦力所做的功
W2＝μNs
cos
180°＝μ(F
sin
α－mg)s
各个力对物体所做功的代数和
W＝W1＋W2＝(F
cos
α＋μF
sin
α－μmg)s。
(2)根据正交分解法求得物体所受的合力F合＝F
cos
α－f，
则F合＝F
cos
α＋μF
sin
α－μmg，合力方向向右，与位移同向。
合力所做的功W＝F合s＝(F
cos
α＋μF
sin
α－μmg)s。
可见，各个力对物体所做功的代数和与物体所受合力做的功是相等的。
[答案] 见解析
[母题变式] 只把“典例2”中的F方向改为斜向下，与水平方向夹角仍为α，其他不变，则：
(1)物体受到的各个力做的功是多少？各个力对物体所做功的代数和是多少？
(2)物体所受的合力是多少？合力所做的功是多少？
[解析] (1)WG＝0，WN＝0，拉力F做功W1＝Fs
cos
α
滑动摩擦力f＝μN，对N＝mg＋F
sin
α
故滑动摩擦力所做的功
W2＝μNs
cos
180°＝－μ(mg＋F
sin
α)s
各个力所做功的代数和
W＝W1＋W2＝Fs
cos
α－μ(mg＋F
sin
α)s
(2)根据正交分解求得物体所受的合力F合＝F
cos
α－f
则F合＝F
cos
α－μ(mg＋F
sin
α)。合力方向向右，与位移方向相同
合力所做的功W＝F合s＝Fs
cos
α－μ(mg＋F
sin
α)s
可见，各个力所做功的代数和与物体所受合力做的功是相等的。
[答案] 见解析
计算功的三点技巧
(1)计算功时，一定要明确哪个力对物体做了功。
(2)做功的数值与物体的运动状态是匀速还是变速无关，只取决于F、s及两者方向的夹角α。
(3)计算总功两种方法的选取
①物体处于平衡状态，或某一方向平衡，或做匀变速直线运动时，用W总＝F合s
cos
α更简捷。
②物体运动过程中受力变化或有些力不做功，应选取W总＝W1＋W2＋…＋Wn。
2．质量m＝50
kg的滑雪运动员从高度h＝30
m的坡顶由静止下滑，斜坡的倾角θ＝37°，滑雪板与雪面之间的动摩擦因数μ＝0.1。则运动员滑至坡底的过程中(g取10
m/s2，sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8，装备质量不计)，求：
(1)滑雪运动员所受的重力对他做的功；
(2)各力对运动员做的总功。
[解析] (1)重力做的功
WG＝mgh＝50×10×30
J＝1.5×104
J。
(2)运动员所受合力：
F合＝mg
sin
37°－μmg
cos
37°＝260
N
方向沿斜坡向下，沿合力方向位移l＝＝50
m，合力做的功W合＝F合l＝260×50
J＝1.3×104
J。
[答案] (1)1.5×104
J (2)1.3×104
J
1．下列关于做功的说法中，正确的是( )
A．凡是受力作用的物体，一定有力对物体做功
B．凡是发生了位移的物体，一定有力对物体做功
C．只要物体受力的同时又有位移发生，则一定有力对物体做功
D．只要物体受力，又在力的方向上发生了位移，则一定有力对物体做功
D [做功的两个不可缺少的因素是：力和在力的方向上的位移，也就是说，只有力或只有位移，是不符合做功条件的，故选项A、B错误；若物体发生位移的同时也受力的作用，当力与位移垂直时，此力并不做功，故选项C错误，D正确。]
2．(多选)下列说法正确的是( )
A．－10
J的功大于5
J的功
B．功是标量，正、负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功
C．一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动
D．功是矢量，正、负表示方向
ABC [功是标量，功的正、负既不表示方向，也不表示功的大小，而是表示力对物体起动力作用(即力对物体做功)，还是力对物体起阻力作用(即物体克服外力做功)。选项A、B、C正确，D错误。]
3．如图甲所示为一女士站立在台阶式自动扶梯上正在匀速上楼，如图乙所示为一男士站立在履带式自动人行道上正在匀速上楼。下列关于两人受到的力做功判断正确的是( )
甲 乙
A．甲图中支持力对人做正功
B．乙图中支持力对人做正功
C．甲图中摩擦力对人做负功
D．乙图中摩擦力对人做负功
A [甲图中，人匀速上楼，不受静摩擦力，摩擦力不做功，支持力向上，与速度方向的夹角为锐角，即W＝Fs
cos
α＞0，所以支持力做正功，故A正确，C错误；乙图中，支持力与速度方向垂直，支持力不做功，摩擦力沿斜面向上，即与速度方向相同，做正功，故B、D错误。]
4．(新情境题，以“黑板擦”擦黑板为背景，考查功的理解与计算)
如图所示，黑板擦在黑板上滑动。
问题：
(1)黑板是否受到滑动摩擦力的作用，若有滑动摩擦力，该力对黑板做功了吗？
(2)若黑板擦受到的滑动摩擦力是10
N，移动的位移是0.2
m，该摩擦力对黑板擦做的功是多少？
[解析] (1)黑板受到滑动摩擦力，由于黑板未动，则该力对黑板不做功。
(2)Wf＝－fs＝－10×0.2
J＝－2
J。
[答案] (1)见解析 (2)－2
J
回归本节知识，自我完成以下问题：
(1)力对物体做功的两个必要因素是什么？
提示：①作用在物体上的力，②物体在力的方向上发生位移。
(2)力对物体做正功或负功的物理意义是什么？
提示：力对物体做正功，说明该力推动物体运动，是动力；力对物体做负功，说明该力阻碍物体运动，是阻力。
(3)合力的功如何计算？
提示：合力的功的计算方法有两种：
①先求合力，再应用W合＝F合s
cos
α求合力的功。
②先求各力的功W1、W2、W3…，再由W合＝W1＋W2＋W3…求合力的功。
14课后素养落实(一) 机械功
(建议用时：40分钟)
?考点一 机械功的含义
1．关于功，下列说法正确的是( )
A．因为功有正、负，所以功是矢量
B．因为力是矢量，所以功也是矢量
C．若某一个力对物体不做功，说明该物体一定没有位移
D．一个恒力对物体做的功等于这个力的大小、物体位移的大小及力和位移间夹角的余弦这三者的乘积
D [功是标量，故A、B选项错误；根据W＝Fs
cos
α可判断C错误，D正确。]
2.如图所示，小朋友在弹性较好的蹦床上跳跃翻腾，尽情玩耍。在小朋友接触床面向下运动的过程中，床面对小朋友的弹力做功情况是( )
A．先做负功，再做正功
B．先做正功，再做负功
C．一直做正功
D．一直做负功
D [在小朋友接触床面向下运动的过程中，床面对小朋友的弹力方向竖直向上，力的方向与小朋友运动方向相反，床面对小朋友的弹力一直做负功。故D项正确，A、B、C三项错误。]
3．有一根轻绳拴了一个物体，如图所示，若整体以加速度a向下做减速运动，则作用在物体上的各力做功的情况是( )
A．重力做正功，拉力做负功，合外力做负功
B．重力做正功，拉力做负功，合外力做正功
C．重力做正功，拉力做正功，合外力做正功
D．重力做负功，拉力做负功，合外力做正功
A [重力与位移同向，做正功，拉力与位移反向，做负功，由于做减速运动，所以物体所受合力向上，与位移反向，做负功，A选项正确。]
4．(多选)如图所示，质量为M的物体，受水平力F的作用，在粗糙的水平面上运动，下列说法中正确的是( )
A．如果物体做加速直线运动，F一定对物体做正功
B．如果物体做减速直线运动，F一定对物体做负功
C．如果物体做匀速直线运动，F一定对物体做正功
D．如果物体做减速直线运动，F可能对物体做负功
AC [判断一个力做正功还是负功，关键看力的方向和物体运动的方向是否相同，题目中不论物体加速、减速还是匀速运动，力的方向始终和运动方向相同，因此力F一定做正功，A、C正确。]
?考点二 机械功的计算
5．用水平恒力F作用于质量为m的物体，使之在光滑的水平面上沿力的方向移动距离s，恒力F做功为W1；再用该恒力作用在质量为2m的物体上，使之在粗糙的水平面上移动同样的距离s，恒力F做功为W2，则两次恒力做功的关系是( )
A．W1>W2
B．W1C．W1＝W2
D．无法判断
C [物体沿力的方向运动，恒力做功就是指力F做的功，根据W＝Fs
cos
α，两次做功中的F、s、α均相同，所以两次F做功相同，即W1＝W2，故C正确。]
6．某同学将一本高中物理教科书从教室的地面捡起放到课桌上，该同学对物理教科书做功的大小最接近于( )
A．0.1
J
B．2.0
J
C．50
J
D．1
000
J
B [课桌的高度约为0.7
m，物理教科书的质量约为m＝0.3
kg，该同学对物理教科书所做的功的大小为：W＝mgh＝0.3×10×0.7
J＝2.1
J。故B正确，A、C、D错误。故选B。]
7．(2020·济宁高一检测)在足球比赛中，某足球运动员用20
N的力，把重为5
N的足球踢出10
m远，在这一过程中运动员对足球做的功为( )
A．200
J
B．50
J
C．98
J
D．无法确定
D [足球运动员用20
N的力作用在足球上，一瞬间就能把足球踢出去，足球在这个力的作用下的位移不知道，所以无法计算运动员对足球所做的功，则D正确，A、B、C错误。]
8.(多选)如图所示，质量为m的飞机在水平甲板上，在与竖直方向成θ角的斜向下的恒定拉力F作用下，沿水平方向移动了距离s，飞机与水平甲板之间的摩擦力大小恒为f，则在此过程中( )
A．摩擦力做的功为－fs
B．力F做的功为Fs
cos
θ
C．重力做的功为mgs
D．力F做的功为Fs
sin
θ
AD [摩擦力大小为f，且摩擦力方向与位移方向相反，则摩擦力所做的功Wf＝－fs，A正确；由题意可知，拉力的方向与位移方向的夹角为90°－θ，则根据功的公式可得WF＝Fs
cos
(90°－θ)＝Fs
sin
θ，B错误，D正确；由于飞机在竖直方向上没有位移，故重力不做功，C错误。]
9．(2020·福州高一检测)如图所示，用F＝5.0
N的水平拉力，使质量m＝5.0
kg的物体由静止开始沿光滑水平面做匀加速直线运动。求：
(1)物体开始运动后t＝2.0
s内通过的距离x；
(2)这段时间内，力F对物体做的功W。
[解析] (1)由牛顿第二定律F＝ma得
物体的加速度a＝＝
m/s2＝1
m/s2
2.0
s内通过的距离
x＝at2＝×1×22m＝2
m。
(2)力F对物体做的功
W＝Fx＝5.0×2
J＝10
J。
[答案] (1)2
m (2)10
J
10.(多选)如图所示，一同学穿着旱冰鞋处于静止状态，推一下竖直墙壁后有了向后的速度。关于该同学推墙的过程中，下列说法正确的是( )
A．墙壁对该同学做正功
B．墙壁对该同学没有做功
C．该同学对墙壁做正功
D．该同学对墙壁没有做功
BD [墙壁受推力作用但没有位移，所以该同学对墙壁不做功，故C错误，D正确；墙壁对人的作用力是作用在手上的，人的手在力的作用下没有位移，所以墙壁对人不做功，故A错误，B正确，故选B、D。]
11.每年春节前浙江农村都有打年糕的习俗，借此来寓意“年年发财、步步高升”。如图所示，打年糕时，一人将“石杵”一起一落挥动，另一人在“石杵”挥动的间隙迅速翻动米粉团，直到米粉团柔软而有弹性。已知“石杵”质量为20
kg，每分钟上下挥动20下，每次重心上升的高度约为90
cm，则人挥动“石杵”1分钟做的功约为
( )
A．60
J
B．180
J
C．3
600
J
D．10
800
J
C [挥动“石杵”一次所做的功W＝mgh＝20×10×0.9
J＝180
J；1
min内做的总功W总＝nW＝20×180
J＝3
600
J，故C正确。]
12．质量为M的长木板放在光滑的水平面上(如图所示)，一个质量为m的滑块以某一速度沿木板上表面从A点滑至B点，在木板上前进了L，而木板前进了s，若滑块与木板间的动摩擦因数为μ，求：
(1)摩擦力对滑块所做的功；
(2)摩擦力对木板所做的功；
(3)这一对摩擦力做功的代数和为多大？
[解析] (1)滑块受力情况如图甲所示，摩擦力对滑块所做的功为Wm＝f(s＋L)cos
180°＝－μN1(s＋L)＝－μmg(s＋L)。
甲 乙
(2)木板受力情况如图乙所示，摩擦力对木板所做的功为WM＝f′s＝fs＝μmgs。
(3)W＝Wm＋WM＝－μmgL。
[答案] (1)－μmg(s＋L) (2)μmgs (3)－μmgL
13．如图(a)所示，一名质量为60
kg的消防员从一根固定的竖直金属杆上由静止滑下，经2.5
s落地。该消防员下滑过程中的速度随时间的变化如图(b)所示。取g＝10
m/s2，求：
(1)该消防员在加速下滑和减速下滑时受到的摩擦力f1和f2的大小；
(2)该消防员下滑的高度H；
(3)该消防员克服摩擦力做的总功W。
(a) (b)
[解析] (1)根据题图(b)可知，该消防员加速下滑时的加速度大小a1＝4
m/s2，减速下滑时加速度大小a2＝2
m/s2
设消防员加速下滑时受到的摩擦力为f1，减速下滑时受到的摩擦力为f2
根据牛顿第二定律有ma1＝mg－f1，－ma2＝mg－f2
解得f1＝360
N，f2＝720
N。
(2)设消防员加速下滑的高度为h1，减速下滑的高度为h2，根据匀变速运动规律有
h1＝a1t＝×4×12m＝2
m
h2＝a1t1t2－a2t＝m＝3.75
m
所以消防员下滑的高度H＝h1＋h2＝5.75
m。
(3)消防员加速下滑过程中，克服摩擦力做功
W1＝f1h1＝360×2
J＝720
J
减速下滑过程中，克服摩擦力做功W2＝f2h2＝720×3.75
J＝2
700
J
在整个下滑过程中消防员克服摩擦力做的总功
W＝W1＋W2＝3
420
J。
[答案] (1)360
N 720
N (2)5.75
m (3)3
420
J
6
