第3节 动能和动能定理
[核心素养·明目标]
核心素养
学习目标
物理观念
(1)知道动能的定义、单位、表达式和标矢性。(2)知道动能定理的适用范围。
科学思维
会用动能定理解决动力学问题和变力做功问题。
科学探究
能通过理论推导得出动能定理的内容。
科学态度与责任
通过对动能和动能定理的演绎推理，能用动能定理解释生产生活中的现象。
知识点一 动能
1．概念
物体因运动而具有的能量。
2．表达式
Ek＝mv2。
(1)表达式中的速度是瞬时速度。
(2)动能是标量(选填“标量”或“矢量”)，是状态(选填“过程”或“状态”)量。
3．单位
动能的国际单位是焦耳，简称焦，用符号J表示。
龙卷风具有巨大的能量，可以拔起大树、掀翻汽车、摧毁房屋。龙卷风具有的能量是什么能？这种能与哪些因素有关？
提示：动能 与质量和速度有关
1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)某物体的质量大，动能一定大。
(×)
(2)某物体的动能变化，速度一定变化。
(√)
(3)某物体的速度发生变化，其动能一定变化。
(×)
知识点二 动能定理
1．内容
合外力对物体所做的功等于物体动能的变化量。
2．表达式
W＝Ek2－Ek1。
3．两种情况
(1)合外力对物体做正功，Ek2＞Ek1，物体动能增加。
(2)合外力对物体做负功，Ek2＜Ek1，物体动能减少。
动能的变化量，是末动能减去初动能。ΔEk＝Ek末－Ek初。
2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有外力对物体做功，该物体的动能一定增加。
(×)
(2)物体的动能增加，合外力一定做正功。
(√)
(3)物体受变力作用或做曲线运动时，动能定理不能适用。
(×)
考点1 动能
一个小球从斜面的A处由静止释放，结果停在了C处。如何求出小球在B的速度？它在B处的动能是多大？
提示：设小球质量为m，可用光电计时器测得小球在B点的速度v，由动能表达式Ek＝mv2可得动能。
1．动能是状态量
动能与物体的运动状态(或某一时刻的速度)相对应，物体的运动状态一旦确定，物体的动能就确定了。
2．动能具有相对性
选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系。
3．动能与速度的关系
动能仅与速度大小有关，与速度方向无关，只有速度方向改变时，动能并不变，且恒为正值。
【典例1】 (2020·泰安高一检测)某科技兴趣小组试飞一架自制的无人机，该无人机的质量m＝0.5
kg，由静止开始沿竖直方向匀加速上升，加速度a＝2
m/s2，上升时间t＝3
s，求：该过程中无人机
(1)受到合力的大小F；
(2)上升的高度h；
(3)末动能Ek。
[解析] (1)对无人机由牛顿第二定律可得：F＝ma＝0.5×2
N＝1
N。
(2)由匀加速直线运动的位移公式可得：
h＝at2＝×2×32
m＝9
m。
(3)无人机3
s末的速度为：
v＝at＝2×3
m/s＝6
m/s
末动能为：Ek＝mv2＝×0.5×62
J＝9
J。
[答案] (1)1
N (2)9
m (3)9
J
动能与速度的三种关系
(1)数值关系：Ek＝mv2，质量一定时，速度v越大，动能Ek越大。
(2)瞬时关系：动能和速度均为状态量，二者具有瞬时对应关系。
(3)变化关系：动能是标量，速度是矢量。当动能发生变化时，物体的速度(大小)一定发生了变化，当速度发生变化时，可能仅是速度方向的变化，物体的动能可能不变。
1．(多选)关于动能，下列说法中正确的是( )
A．动能是机械能的一种基本形式，凡是运动的物体都有动能
B．公式Ek＝mv2中，速度v是物体相对于地面的速度，且动能总是正值
C．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化
D．动能不变的物体，一定处于平衡状态
AC [动能是物体由于运动而具有的能量，所以运动的物体都有动能。动能是机械能的一种基本形式，A正确；Ek＝mv2中的速度v与参考系的选取有关，但参考系不一定是地面，B错误；速度是矢量，当其只有方向发生变化时，动能不变化，此时物体并不处于平衡状态，C正确，D错误。]
考点2 动能定理
如图所示，一辆汽车正在上坡路上加速行驶。
(1)汽车上坡过程受哪些力作用？各个力做什么功？
(2)汽车的动能怎样变化？其动能的变化与各个力做功有什么关系？
提示：(1)汽车受重力、支持力、牵引力及路面的摩擦力作用，上坡过程中牵引力做正功，重力、摩擦力做负功，支持力不做功。
(2)由于汽车加速上坡，其动能增大，汽车动能的变化等于重力、牵引力及路面的摩擦力三个力做功的代数和。
1．动能定理
(1)表达式：W＝ΔEk＝Ek2－Ek1，式中的W为外力对物体做的总功。
(2)研究对象及过程：动能定理的研究对象可以是单个物体，也可以是相对静止的系统。动能定理的研究过程既可以是运动过程中的某一阶段，也可以是运动全过程。
(3)普遍性：动能定理虽然可根据牛顿第二定律和匀变速直线运动的公式推出，但动能定理既适用于恒力作用过程，也适用于变力作用过程；既适用于物体做直线运动的情况，也适用于物体做曲线运动的情况。
2．应用动能定理解题的步骤
(1)选取研究对象，明确并分析运动过程，这个过程可以是单一过程，也可以是全过程。
(2)对研究对象进行受力分析。(注意哪些力做功或不做功)
(3)写出该过程中合力做的功，或分别写出各个力做的功(注意功的正负)。如果研究过程中物体受力情况有变化，要分别写出该力在各个阶段做的功。
(4)写出物体的初、末动能。
(5)按照动能定理列式求解。(注意动能增量是末动能减初动能)
【典例2】 如图所示，质量M＝6.0×103
kg的客机，
从静止开始沿平直的跑道匀加速滑行，当滑行距离l＝7.2×102
m时，达到起飞速度v＝60
m/s。求：
(1)起飞时飞机的动能多大；
(2)若不计滑行过程中所受的阻力，则飞机受到的牵引力为多大；
(3)若滑行过程中受到的平均阻力大小为F＝3.0×103
N，牵引力与第(2)问中求得的值相等，则要达到上述起飞速度，飞机的滑行距离应为多大。
[解析] (1)飞机起飞时的动能Ek＝Mv2
代入数值得Ek＝1.08×107
J。
(2)设牵引力为F1，由动能定理得F1l＝Ek－0
代入数值得F1＝1.5×104
N。
(3)设滑行距离为l′，由动能定理得
F1l′－Fl′＝Ek－0
整理得l′＝
代入数值，得l′＝9.0×102
m。
[答案] (1)1.08×107
J (2)1.5×104
N
(3)9.0×102
m
应用动能定理时应注意的四个问题
(1)动能定理中各量是针对同一惯性参考系而言的(一般选取地面为参考系)。
(2)若物体运动的过程包含几个不同的阶段，应用动能定理时，可以分段考虑，也可以将全过程作为一个整体来处理。
(3)在求总功时，若各力不同时对物体做功，W应为各阶段各力做功的代数和。在利用动能定理列方程时，还应注意各力做功的正、负或合力做功的正、负。
(4)对于受力情况复杂的问题要避免把某个力的功当作合力的功，对于多过程问题要防止“漏功”或“添功”。
2．(角度一)关于动能定理的表达式W＝Ek2－Ek1，下列说法正确的是( )
A．公式中的W为不包含重力的其他力做的总功
B．动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，但不适用于变力做功
C．运动物体所受合外力不为零，则该物体一定做变速运动，其动能要变化
D．公式中的Ek2－Ek1为动能的增量，当W>0时动能增加，当W<0时动能减少
D [动能定理的表达式W＝Ek2－Ek1，W指的是合外力所做的功，包含重力做功，故A错误；动能定理适用于任何运动，既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于恒力做功，也适用于变力做功，故B错误；运动物体所受合外力不为零，则该物体一定做变速运动，若合外力方向始终与物体运动方向垂直，合外力不做功，动能不变，故C错误；公式中的Ek2－Ek1为动能的增量，当W>0时，即Ek2－Ek1>0，动能增加，当W<0时，即Ek2－Ek1＜0，动能减少，故D正确。]
3．(角度二)如图所示，水平轨道与竖直平面内的圆弧轨道平滑连接后固定在水平地面上，圆弧轨道B端的切线沿水平方向。质量m＝1
kg的滑块(可视为质点)在水平恒力F＝10
N的作用下，从A点由静止开始运动，当滑块运动的位移s＝0.5
m时撤去力F。已知A、B之间的距离s0＝1
m，滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.1，滑块上升的最大高度h＝0.2
m，g取10
m/s2。求：
(1)在撤去力F时，滑块的速度大小；
(2)滑块从B到C过程中克服摩擦力做的功。
[解析] (1)滑块在力F的作用下由A点运动到撤去力F的过程中，依据动能定理有：
Fs－μmgs＝mv2，
解得v＝3
m/s。
(2)滑块由A到C的整个过程中，依据动能定理有：
Fs－μmgs0－mgh－Wf＝0
解得：Wf＝Fs－μmgs0－mgh＝2
J。
[答案] (1)3
m/s (2)2
J
1．改变物体的质量和速度都可改变物体的动能，在下列情况下，物体的动能变化最大的是( )
A．物体的质量不变，运动速度增大到原来的2倍
B．物体的速度不变，质量增大到原来的2倍
C．物体的质量变为原来的3倍，运动速度减为原来的一半
D．物体的质量变为原来的一半，速度增加为原来的4倍
D [由动能的计算式Ek＝mv2可知，D正确。]
2．关于动能定理，下列说法中正确的是( )
A．在某过程中，外力做的总功等于各个力单独做功的绝对值之和
B．只要有力对物体做功，物体的动能就一定改变
C．动能定理只适用于直线运动，不适用于曲线运动
D．动能定理既适用于恒力做功的情况，又适用于变力做功的情况
D [外力做的总功等于各个力单独做功的代数和，A错误；根据动能定理，决定动能是否改变的是总功，而不是某一个力做的功，B错误；动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于恒力做功的情况，又适用于变力做功的情况，C错误，D正确。]
3．两个物体A、B的质量之比为mA∶mB＝2∶1，二者初动能相同，它们和水平桌面间的动摩擦因数相同，则二者在桌面上滑行到停止经过的距离之比为( )
A．sA∶sB＝2∶1
B．sA∶sB＝1∶2
C．sA∶sB＝4∶1
D．sA∶sB＝1∶4
B [物体滑行过程中只有摩擦力做功，根据动能定理，对A：－μmAgsA＝0－Ek；对B：－μmBgsB＝0－Ek。故＝＝，B对。]
4．(新情境题，以冰壶比赛为背景，考查动能定理)如图甲所示，冰壶比赛是在水平冰面上进行的体育项目，比赛场地示意图如图乙所示。比赛时，运动员从起滑架处推着冰壶出发，在投掷线AB处放手让冰壶以一定的速度滑出，使冰壶的停止位置尽量靠近圆心O，为使冰壶滑行得更远，运动员可以用毛刷擦冰壶运行前方的冰面，使冰壶与冰面间的动摩擦因数减小。设冰壶与冰面间的动摩擦因数为μ1＝0.008，用毛刷擦冰面后动摩擦因数减小至μ2＝0.004。在某次比赛中，运动员使冰壶C在投掷线中点处以2
m/s的速度沿虚线滑出，投掷线到圆心O的直线距离为30
m。
探究：(1)冰壶滑行中受到哪些力的作用？哪些力做功？
(2)为使冰壶C能够沿虚线恰好到达圆心O点，运动员用毛刷擦冰面的长度应为多少？(g取10
m/s2)
甲 乙
[解析] (1)冰壶受重力、支持力、摩擦力，摩擦力做负功。
(2)设投掷线到圆心O的距离为s，冰壶在未被毛刷擦过的冰面上滑行的距离为s1，所受摩擦力的大小为f1，在被毛刷擦过的冰面上滑行的距离为s2，所受摩擦力的大小为f2。则有s1＋s2＝s，f1＝μ1mg，f2＝μ2mg
设冰壶的初速度为v0，由动能定理得
－f1s1－f2s2＝0－mv
联立以上各式并代入数据解得
s2＝
eq
\f(2μ1gs－v,2g（μ1－μ2）)＝10
m。
[答案] (1)见解析 (2)10
m
回归本节知识，自我完成以下问题：
(1)动能是矢量还是标量？其大小与什么因素有关？
提示：标量，其大小与物体的质量和速度大小有关。
(2)动能定理内容是什么？表达式如何？
提示：合外力对物体所做的功等于物体动能的变化量，表达式为：W＝Ek2－Ek1。
15课后素养落实(三) 动能和动能定理
(建议用时：40分钟)
?考点一 动能
1．对于质量一定的物体，下列说法中正确的是( )
A．物体的运动方向不变时，其动能一定不变
B．物体的速度发生变化时，其动能可能不变
C．物体的速率发生变化时，其动能可能不变
D．物体的动能不变时，其速度一定不变
B [物体的运动方向不变时，其速度的大小可能变化，其动能可能变化，故A错误；物体速度大小不变，而方向改变时，其动能不变，故B正确，D错误；物体的速率发生变化时，其动能一定变化，故C错误。]
2．在水平路面上，有一辆以36
km/h行驶的客车，在车厢后座有一位乘客甲，把一个质量为4
kg的行李以相对客车5
m/s的速度抛给前方座位的另一位乘客乙，则行李的动能是( )
A．500
J
B．200
J
C．450
J
D．900
J
C [行李相对地面的速度v＝v车＋v相对＝15
m/s，所以行李的动能Ek＝mv2＝450
J，选项C正确。]
?考点二 动能定理
3．一质量为m的滑块，以速度v在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起，在滑块上作用一向右的水平力，经过一段时间后，滑块的速度变为－2v，在这段时间内，水平力所做的功为( )
A．mv2
B．－mv2
C．mv2
D．－mv2
A [由动能定理得W＝m(2v)2－mv2＝mv2，故A正确。]
4．如图所示，左端固定的轻质弹簧被物块压缩，物块被释放后，由静止开始从A点沿粗糙水平面向右运动。离开弹簧后，经过B点的动能为Ek，该过程中，弹簧对物块做的功为W，则物块所受摩擦力做的功Wf为( )
A．Wf＝Ek
B．Wf＝Ek＋W
C．Wf＝Ek－W
D．Wf＝W－Ek
C [对物块从A到B应用动能定理有：W＋Wf＝Ek，解得：Wf＝Ek－W。故C正确。]
5．某消防队员从一平台上跳下，下落2
m后双脚触地，接着他用双腿弯曲的方法缓冲，使自身的重心又下降了0.5
m，在着地过程中地面对他双脚的平均作用力估计为( )
A．自身所受重力的2倍
B．自身所受重力的5倍
C．自身所受重力的8倍
D．自身所受重力的10倍
B [设地面对双脚的平均作用力为F，在全过程中，由动能定理得mg(H＋h)－Fh＝0
F＝＝mg＝5mg，B正确。]
6．长L＝1
m、质量M＝1
kg的平板车在粗糙水平地面上以初速度v＝5
m/s向右运动，同时将一个质量m＝2
kg的小物块轻轻地放在平板车的最前端，小物块和平板车之间的动摩擦因数μ＝0.5，由于摩擦力的作用，小物块相对平板车向后滑行距离s＝0.4
m后与平板车相对静止，平板车最终因为地面摩擦而静止，如图所示，小物块从放到平板车上到与平板车一起停止运动，摩擦力对小物块所做的功为( )
A．0
J
B．4
J
C．6
J
D．10
J
A [将小物块轻轻地放在平板车上时，由于摩擦力做正功，使小物块加速，小物块与平板车速度相等时摩擦力转化为静摩擦力，由于地面对平板车的阻力而使平板车和小物块都减速，静摩擦力对小物块做负功，因为小物块初速度为零，最终与平板车一起减速到零，故小物块动能的变化量为零，在整个过程中摩擦力对小物块所做的功为零，故A正确。]
7.如图所示，运动员把质量为m的足球从水平地面踢出，足球在空中达到的最高点的高度为h，在最高点时的速度为v，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法中正确的是( )
A．运动员踢球时对足球做功mv2
B．足球上升过程重力做功mgh
C．运动员踢球时对足球做功mv2＋mgh
D．足球上升过程克服重力做功mv2＋mgh
C [足球上升过程中足球重力做负功，WG＝－mgh，B、D错误；从运动员踢球至上升至最高点的过程中，W－mgh＝mv2，故运动员踢球时对足球做的功W＝mv2＋mgh，C项正确。]
8.如图所示，物体沿曲面从A点无初速度滑下，滑至曲面的最低点B时，下滑的高度为5
m，速度为6
m/s，若物体的质量为1
kg。则下滑过程中物体克服阻力所做的功为(g取10
m/s2)( )
A．50
J
B．18
J
C．32
J
D．0
C [由动能定理得mgh－Wf＝mv2，故Wf＝mgh－mv2＝1×10×5
J－×1×62
J＝32
J，C正确。]
9.把质量为1
kg的石块从10
m高处以30°角斜向上方抛出，初速度为8
m/s。不计空气阻力，取g＝10
m/s2。求：
(1)人对石块做的功；
(2)石块落地时的速度大小。
[解析] (1)根据动能定理得，小球抛出过程中人的手对小球做功为：W＝mv＝×1×64
J＝32
J。
(2)过程中只有重力做功，根据动能定理得：mgh＝mv2－mv，代入数据解得：v＝2
m/s。
[答案] (1)32
J (2)2
m/s
10．子弹射出枪口时的动能与子弹横截面积的比值称为“枪口比动能”。我国公安部规定：枪口比动能大于等于1.8
J/cm2的认定为枪支；枪口比动能小于1.8
J/cm2而大于0.16
J/cm2的认定为仿真枪；枪口比动能小于等于0.16
J/cm2的认定为玩具枪。有些同学小时候玩过的“BB枪”发射的“塑料BB弹”质量0.12
g、直径6
mm、射出枪口时速度约107
m/s。则关于“BB枪”，你的新认识是( )
A．是枪支
B．是仿真枪
C．是玩具枪
D．条件不足，不好确定
A [“塑料BB弹”的质量m＝0.12
g＝1.2×10－4kg，射出枪口时速度v＝107
m/s，则“塑料BB弹”射出枪口时的动能Ek＝mv2＝×1.2×10－4×1072
J＝0.686
94
J，“塑料BB弹”的直径d＝6
mm＝0.6
cm，横截面积S＝πd2＝×3.14×0.62cm2＝0.282
6
cm2，则“枪口比动能”为＝
J/cm2≈2.4
＞1.8
，则“BB枪”是枪支，故A正确，B、C、D错误。]
11．(多选)(2020·天津高考)复兴号动车在世界上首次实现速度350
km/h自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列质量为m的动车，初速度为v0，以恒定功率P在平直轨道上运动，经时间t达到该功率下的最大速度vm，设动车行驶过程所受到的阻力F保持不变。动车在时间t内( )
A．做匀加速直线运动
B．加速度逐渐减小
C．牵引力的功率P＝Fvm
D．牵引力做功W＝mv－mv
BC [动车的功率恒定，根据P＝F牵v可知动车的牵引力减小，根据牛顿第二定律得F牵－F＝ma，可知动车的加速度减小，所以动车做加速度减小的加速运动，A项错误，B项正确；当加速度为0时，牵引力等于阻力，则额定功率为P＝Fvm，C项正确；动车功率恒定，在t时间内，牵引力做的功为W＝Pt，根据动能定理得Pt－Fs＝mv－mv，D项错误。故选B、C。]
12.2019年9月16号上海向3家企业颁发首批智能网联汽车示范应用牌照，接着19号我国《交通强国建设纲要》发布，然后22日上午，国家智能网联汽车(武汉)测试示范区正式揭牌，武汉发出全国首张无人驾驶汽车试运营牌照，百度、海梁科技、深兰科技拿到全球首张自动驾驶商用牌照，这标志着自动驾驶可以商用运作，逐渐驶入生活。有关资料检测表明，当无人驾驶汽车正以20
m/s的速度在平直公路上行驶时，遇到紧急情况需立即刹车(忽略无人驾驶汽车反应时间)。设该车刹车时产生的加速度大小为8
m/s2。将上述运动简化为匀减速直线运动，直到汽车停下。已知无人驾驶汽车质量为1.8
t。
在此过程中该无人驾驶汽车：
(1)动能如何变化？
(2)前进的距离x是多少？
[解析] (1)无人驾驶汽车做匀减速直线运动，其速度不断减小，质量不变，由Ek＝mv2得汽车的动能不断减小。
(2)由牛顿第二定律知受到阻力的大小：f＝ma
解得：f＝1.44×104
N
初动能：Ek＝mv2
解得：Ek＝3.6×105
J
减速过程由动能定理得：－fx＝0－Ek
解得：x＝25
m。
[答案] (1)减小 (2)25
m
13.如图所示，在地面上竖直固定了刻度尺和轻质弹簧，弹簧原长时上端与刻度尺上的A点等高。质量m＝0.5
kg的篮球静止在弹簧正上方，其底端距A点高度h1＝1.10
m。篮球静止释放，测得第一次撞击弹簧时，弹簧的最大形变量x1＝0.15
m，第一次反弹至最高点，篮球底端距A点的高度h2＝0.873
m，篮球多次反弹后静止在弹簧的上端，此时弹簧的形变量x2＝0.01
m，弹性势能为Ep＝0.025
J。若篮球运动时受到的空气阻力大小恒定，忽略篮球与弹簧碰撞时的能量损失和篮球的形变，弹簧形变在弹性限度范围内。求：(g取10
m/s2)
(1)弹簧的劲度系数；
(2)篮球在运动过程中受到的空气阻力；
(3)篮球在整个运动过程中通过的路程；
(4)篮球在整个运动过程中速度最大的位置。
[解析] (1)球静止在弹簧上，根据共点力平衡条件可得mg－kx2＝0，k＝＝500
N/m。
(2)球从开始运动到第一次上升到最高点，动能定理mg(h1－h2)－f(h1＋h2＋2x1)＝0，解得f＝0.5
N。
(3)球在整个运动过程中总路程s：mg(h1＋x2)＝fs＋Ep，解得s＝11.05
m。
(4)球在首次下落过程中，合力为零处速度最大，速度最大时弹簧形变量为x3。则mg－f－kx3＝0，
在A点下方，离A点x3＝0.009
m。
[答案] (1)500
N/m (2)0.5
N (3)11.05
m
(4)0.009
m
1
