湖南省湘中部分学校2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案解析

湘中部分学校2020-2021学年高一下学期期末考试
数学试卷
时量：120分钟 分值：150分
一、选择题（本大题共8小题，总分40分）
1．已知集合false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．若false，则下列不等式成立的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．将函数false的图象向左平移false个单位长度后得到曲线false，再将false上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线false，则false的解析式为（ ）
A．false B．false C．false D．false
35947355346704．如图，在中，false，false，false，false是false边上一点，且false，则false的值为（ ）
A．2 B．1
C．-2 D．-1
5．已知复数false，则false（ ）
A．5 B．false
3841750254635C．false D．2
6．如图，已知等腰三角形false，false是一个平面图形的直观图，斜边false，则这个平面图形的面积是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
7．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
8．已知在中，点false在线段false的延长线上，若false，点false在线段false上，若false，则实数false的取值范围（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题满分5分，每小题少选按2分计算，多选或选错按0分计算）
9．下列函数中，在区间false上单调递增的是
A．false B．false C．false D．false
10．如图，函数false的图象由一条射线和抛物线的一部分构成，false的零点为false，则（ ）
3585210278765A．函数false有3个零点
B．false恒成立
C．函数false有4个零点
D．false恒成立
11．下列说法中正确的是
A．若事件false与事件false是互斥事件，则false
B．若事件false与事件false是对立事件：则false
C．某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
D．把红?橙?黄3张纸牌随机分给甲?乙?丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件
12．点false是正方体false中侧面正方形false内的一个动点，则下面结论正确的是（ ）
A．满足false的点false的轨迹为线段
B．点false存在无数个位置满足直线false平面false
C．在线段false上存在点false，使异面直线false与false所成的角是false
D．若正方体的棱长为1，三棱锥false的体积的最大值为false
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．若关于x的不等式false的解集是false，则m等于________．
14．若幂函数false的图象经过点false，则false的值是______.
15．从2个男生、3个女生中随机抽取2人，则抽中的2人不全是女生的概率是____.
16．在中，false，false，false，M是所在平面上的动点，则false的最小值为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，第17题满分10分，其余每题满分12分）
17．已知false.
（1）求false与false的夹角false；
（2）求false.
18．在中，设角false，false，false的对边长分别为false，false，false，已知false.
（1）求角false的值；
（2）若为锐角三角形，且false，求的面积false的取值范围.
19．已知关于false的方程false在复数范围内的两根为false、false．
（1）若p=8，求false、false；
（2）若false，求false的值．
20．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人为了解全校学生本学期开学以来(60天)的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生"按学生的课外阅读时间(单位：小时)各分为5组：false，false，false，false，false，得其频率分布直方图如图所示.
（1）估计全校学生中课外阅读时间在false小时内的总人数是多少；
（2）从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率；
（3）国家规定：初中学生平均每人每天课外阅读时间不小于半小时若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间.根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生课外阅读时间？
21．如图1，在直角梯形false中，false，false，且false.现以false为一边向梯形外作矩形false，然后沿边false将矩形false翻折，使false，如图2.
（1）求证：false平面false；
（2）若多面体false的体积为false，求直线false与平面false所成角的正弦值.
22.已知向量false，设false.
（1）求函数false的增区间；
（2）若false，求false的值.
湘中部分学校2020-2021学年高一下学期期末考试
数学答案
一、选择题（本大题共8小题，共40分）
1．A
【分析】
根据集合的并集运算可得选项．
【详解】
因为false，所以falsefalse，
故选：A．
2．D
【分析】
利用列举法排除A，B；利用作差法排除选项C，进而得出正确选项．
【详解】
取false，false，则false，排除A，B；因为false，则false，false，从而false.又false，即false，则false，所以false，
故选：D.
3．A
【分析】
直接利用函数false的图象平移变换与放缩规律，即可得出结论．
【详解】
将函数false的图象向左平移false个单位长度后得到曲线false的图象；
再将false上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线false的图象，
故选：false．
【点睛】
本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.
4．C
【分析】
利用平面向量的加减法结合平面向量的数量积定义计算即可．
【详解】
false
false
false，
故选：C.
5．C
【分析】
先求出false，再根据复数模的求法即可求得结果
【详解】
由复数false，得false，
所以false.
故选：C.
6．D
【分析】
利用斜二测画法，由直观图作出原图三角形，再利用三角形面积公式即可求解.
【详解】
因为false是等腰直角三角形，false，所以false，
所以原平面图形为：
且false，false，false
所以原平面图形的面积是false，
故选：D
7．A
【分析】
首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.
【详解】
设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，
则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；
新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；
新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；
新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的false，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；
故选A.
点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.
8．A
【分析】
如图设false，false，则false，即可得到false，从而求出参数的取值范围.
【详解】
解：如图设false，false
false
则false
则false
false
false
false
false
false
false
故选：false
【点睛】
本题考查向量的线性运算及向量相等，属于中档题.
二.多项选择题（本大题共4小题,每小题满分5分,少选按2分计算。多选或选错不能得分）
9．ABC
【分析】
根据基本初等函数的单调性，对选项进行逐一判断即可.
【详解】
选项A，false在false上单调递增，所以A正确.
选项B，false在false上单调递增，所以B正确.
选项C，false在false上单调递增，所以C正确.
选项D，false在false上单调递减，所以D不正确.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查基本初等函数的单调性，属于基础题.
10．BCD
【分析】
对于A，由图像求出false的解析式，则有false，又false，从而可得函数的零点个数，对于B，由图可知false，对于C，由false，可判断结论；对于D，令false，从而可求出方程的根，
【详解】
当false时，设false，因为false，所以false.由此得false，又false，所以false只有1个零点，所以A错误；
由题可知射线经过点false，false，则射线的方程为false.由图可知false，所以B正确；
因为false，所以false有4个零点，所以C正确；
令false，则该方程的解为false，false，false，
false，令false，
则false，故false恒成立，所以D正确，
故选：BCD
【点睛】
关键点点睛：此题考查函数与方程的应用，考查数形结合的思想，解题的关键是利用待定系数法根据函数图像求出函数解析式，考查计算能力，属于中档题
11．ABC
【分析】
由对立事件和互斥事件的定义可依次判断各个选项得到结果.
【详解】
事件false与事件false互斥，则不可能同时发生，false，false正确；
事件false与事件false是对立事件，则事件false即为事件false，false，false正确；
事件“至少两次中靶”与“至多一次中靶”不可能同时发生，且二者必发生其一，故为对立事件，false正确；
“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，即“丙分得的是红牌”，故不是互斥事件，false错误.
故选：false.
【点睛】
本题考查对立事件和互斥事件的辨析，考查对于基础定义的理解，属于基础题.
12．ABD
【分析】
对于A，由正方体的性质和false可得false平面false，从而可得点false在线段false上时，有false；对于B，由正方体的性质可得平面false∥平面false，所以当点false在false上时，均有false平面false，从而可判断；对于C，异面直线false与false所成的角是false，当false在线段false上运动时，点false取false的中点时，false最小，其正切值为false，从而可判断；对于D，由正方体的性质得，false平面false，若正方体的棱长为1，则点false与false重合时，三棱锥false的体积取得最大，从而可求出其体积
【详解】
解：对于A，如图，在正方体false中，false平面false，false平面false，所以false，因为false，false，所以false平面false，所以当点false在线段false上时，有false，所以点false的轨迹为线段，所以A正确；
对于B，在正方体false中，因为false∥false，false平面false，false平面false，所以false∥平面false，同理false∥平面false，而false，所以平面false∥平面false，所以当点false在false上时，均有false平面false，所以点false存在无数个位置满足直线false平面false，所以B正确；
对于C，异面直线false与false所成的角是false，当false在线段false上运动时，点false取false的中点时，false最小，其正切值为false，所以不存在点false，使异面直线false与false所成的角是false，所以C错误；
对于D，由正方体的性质得，false平面false，若正方体的棱长为1，则点false与false重合时，三棱锥false的体积取得最大，其值为false，所以D正确，
故选：ABD
【点睛】
关键点点睛：此题考查以正方体为模型判断线线垂直，线面平行，求异面直线所在的角等，解题的关键是正确利用正方体的性质，属于中档题
三、填空题（本大题共8小题，共40.0分）
13．2
【分析】
利用一元二次不等式与一元二次方程的关系，利用韦达定理关系求false.
【详解】
解：∵false的解集是false，
∴false，
false是相应方程false的两根，
false，解得：false或false（舍）
故答案为：2．
14．false
【分析】
设出幂函数false，（α为常数），把点代入，求出待定系数α的值，得到幂函数的解析式，进而可?求false的值．
【详解】
设幂函数为false，因为幂函数的图象经过点false，
所以false，解得：false，于是所求的幂函数为：false，
故false，
故答案为：false.
【点睛】
本题考查幂函数的定义，用待定系数法求函数的解析式，以及求函数值的方法，属于基础题．
15．false
【分析】
基本事件总数n＝false＝10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件个数m＝false＝7，由此能求出抽中的2人不全是女生的概率．
【详解】
解：从2个男生、3个女生中随机抽取2人，
基本事件总数n＝false＝10，
抽中的2人不全是女生包含的基本事件个数m＝false＝7，
∴抽中的2人不全是女生的概率p＝false．
故答案为false．
【点睛】
本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．false
【分析】
以A为原点，AC所在直线为x轴，建系，如图所示，根据题意，可得A、B、C坐标，设false，可得false的坐标，根据数量积公式，可得false的表达式，即可求得答案.
【详解】
以A为原点，AC所在直线为x轴，建立坐标系，如图所示：
因为false，false，false，
所以false，设false，
则false，
所以falsefalse
=false，
当false时，false有最小值，且为false，
故答案为：false
【点睛】
解题的关键是建立适当的坐标系，求得点坐标，利用数量积公式的坐标公式求解，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，第17题满分10分，其余每题满分12分）
17．（1）false；（2）false.
【分析】
（1）由已知可以求出false的值，进而根据数量积的夹角公式，求出false，进而得到向量false与false的夹角false；
（2）要求false，我们可以根据（1）中结论，先求出false的值，然后开方求出答案．
【详解】
（1）false，false，
false，
falsefalse，
∴false，∴false，
∴向量false与false的夹角false.
（2）false，
false.
【点睛】
掌握平面向量数量积运算定律及定义是解题的关键．
18．（1）false；（2）false.
【分析】
（1）利用已知和正弦定理化简，结合余弦定理可得角false的值；
（2）由于false，false，利用正弦定理，可得false，以及false的面积false，利用false为锐角三角形，可得面积的取值范围．
【详解】
（1）由已知及正弦定理，得false，即false，即false，即false.
由余弦定理，得false，因为false，所以false.
（2）因为false，false，由正弦定理，得
false.
所以false.
因为false为锐角三角形，则false，从而false，所以false.
19．（1）false，false；（2）false．
【分析】
（1）利用求根公式即可求解.
（2）将false代入方程即可求解.
【详解】
（1）由题意得，false，
∴false，
∴false，false．
（2）已知关于x的方程false的一根为false，
所以false，
所以false，解得false．
20．（1）false人；（2）false；（3）该校需要增加初中学生课外阅读时间.
【分析】
（1）先利用分层抽样确定初中生和高中生的人数，再利用频率分布直方图求解初中生和高中生阅读时间在false小时内频率，即可得出结果；（2）先求出阅读时间不足10个小时的初中生和高中生的人数，再利用列举法求出总的事件个数和满足题意的事件个数，利用古典概率模型求解即可；（3）利用频率分布直方图求解出平均数，判断即可得出结论.
【详解】
解：（1）由分层抽样知，抽取的初中生有false名，
高中生有false名，
初中生中，阅读时间在false小时内的频率为
false，
∴所有的初中生中，阅读时间在false小时内的学生约有false人；
同理，高中生中，阅读时间在false小时内的频率为
false，
学生人数约有false人，
该校所有学生中，阅读时间在false小时内的学生人数约有false人.
（2）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，至少抽到2名初中生”为事件A，
初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为false，
样本人数为false人；
高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为false，
样本人数为false人
记这3名初中生为A?B?C，这2名高中生为d?e，
则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，所有可能结果共10种，
即：false，false，false，false，false，false，false，false，false，false；
而事件A的结果有7种，
它们是：false，false，false，false，false，false，false；
∴至少抽到2名初中生的概率为false；
（3）初中生平均每阅读时间false(小时)，
false(小时)，
因为false，该校需要增加初中学生课外阅读时间.
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概率模型概率的求法，考查了利用频率分布直方图求解平均数的问题，考查了运算求解能力.属于中档题.
21．（1）证明见解析；（2）false；
【分析】
（1）根据线面垂直的判定有false面false，由线面垂直的性质得false，结合勾股定理，线面垂直的判定可证false平面false；
（2）由题设可求false，过D作false于G，连接CG，则直线false与平面false所成角的平面角为false，利用勾股定理、直角三角形的面积求false、false，再由余弦定理求false，进而可得其正弦值.
【详解】
（1）由题设，false，false，知：false，即false，又false，false，
∴false面false，false面false，则false，
∵直角梯形false中，false，
∴false，false，有false，
∴false，而false，
∴false平面false.
（2）若false，由多面体false的体积为false，而false，
∴false，即false，则false，
过D作false于G，连接CG，则直线false与平面false所成角的平面角为false，
由（1）知：false，false且false，而false，
∴false，则false，又false，
∴在△false中，false，则false.
【点睛】
关键点点睛：
（1）根据勾股定理、线面垂直的判定及性质证明线面垂直；
（2）利用线面角的定义构造其平面角，综合应用勾股定理、三角形面积、余弦定理及同角三角函数关系求其正弦值.
22．（1）增区间为false（2）false
【分析】
（1）由向量的数量积的运算公式和三角函数恒等变换，得到false，再结合三角函数的性质，即可求解.
（2）由（1）知false，根据因为false，求得false，进而求得false的值.
【详解】
（1）由题意，函数falsefalse
令false，解得false
所以函数false的增区间为false.
（2）由（1）可知false，
因为false，
可得falsefalse，
解得false，因为false，所以false，
所以falsefalse.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角函数的化简求值，其中解答中涉及到向量的数量积的运算，以三角恒等变换的应用，同时熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.