华师一附中2013届高一(新课标)学年教案必修(2)第二章 空间点直线平面之间的位置关系
文档属性
| 名称 | 华师一附中2013届高一(新课标)学年教案必修(2)第二章 空间点直线平面之间的位置关系 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 272.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-08-12 21:21:27 | ||
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文档简介
课 题： 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
教学内容： 2.1.1 平面
教学目的： 正确理解平面的几何概念,掌握平面的基本性质.
教学重点： 熟练掌握三种数学语言的转换,利用三个公理会证明共点、共线、共面问题.
教学难点： 证明共点、共线、共面问题.
教学过程：
一、课前复习
本章主要内容：2.1点、直线、平面之间的位置关系，2.2直线、平面平行的判定及其性质，2.3直线、平面垂直的判定及其性质.2.1节的核心是空间中直线和平面间的位置关系.
在平面基本性质的基础上，由易到难顺序研究直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系.以“平行”和“垂直”的判定及其性质为主线展开，依次讨论直线和平面平行、平面和平面平行的判定和性质；直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定和性质. 注意空间中平行关系之间的转化、空间中垂直关系之间的转化以及空间中垂直与平行关系之间的转化.
二、讲解新课
观察长方体，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？
长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.
有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所
在的直线与面相交；
每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平
面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题.
提出问题
平面是最基本的几何概念,只是加以描述而不定义.
引入新课
知识点1 平面的概念
平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象
指出: 平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度）。平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性
平面的表示：一般用一个希腊字母、、……来表示，还可用平行四边形对角顶点的字母来表示。
平面的画法：在立体几何中，通常画平行四边形来表示平面。一个平面，通常画成水平放置，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的2倍长。
两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画。
点、线、面的基本位置关系如下表所示：
图形 符号语言 文字语言（读法）
点在直线上
点不在直线上
点在平面内
点不在平面内
直线、交于点
直线在平面内
直线与平面无公共点
直线与平面交于点
平面、相交于直线
集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“”和“”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言。
知识点2 公理1
如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
指出：（1）符号语言：．
（2）公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，
（3）应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面。
知识点3 公理2
如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线
指出：（1）符号语言：P∈α,且P∈βα∩β=l,且P∈l.
（2）公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．
今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)
（3）应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上
知识点4 公理3
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
指出：（1）符号语言：与重合
（2）“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不保证唯一，“只有一个”说明图形如果有的话，顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．
在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．
（3）应用：①确定平面。公理3及三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．
② 证明两个平面重合
推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.
已知：直线，点是直线外一点. 求证：过点和直线有且只有一个平面
证：（存在性）：在直线上任取两点、，∵，∴不共线．由公理3，经过不共线的三点可确定一个平面，∵点在平面内，根据公理1，∴，即平面是经过直线和点的平面.
（唯一性）：∵，，，∴点，由公理3，经过不共线的三点的平面只有一个，∴经过和点的平面只有一个
指出：推论1的符号语言：有且只有一个平面，使得，
推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面
已知：直线. 求证：过直线和直线有且只有一个平面
证：（存在性）：在直线上任取两点A，直线上，∵，∴不共线．由公理3，经过不共线的三点可确定一个平面，∵点在平面内，根据公理1，∴，即平面是经过直线和直线的平面.
（唯一性）：∵，，，∴点，由公理3，经过不共线的三点的平面只有一个，∴经过直线和直线的平面只有一个
指出：推论2的符号语言：有且只有一个平面，使得
推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面
已知：直线.求证：过直线和直线有且只有一个平面
证：（存在性）：∵ ∴由平行线的定义，直线和直线在同一个平面内，即平面是经过直线和直线的平面.
（唯一性）：取，，∵ ∴点A,B,C不共线且，由公理3，经过不共线的三点的平面只有一个，∴经过直线和直线的平面只有一个
指出：推论3的符号语言：有且只有一个平面，使得
三、典例解析
例1 用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.
在（2）中，α∩β=l,aα,bβ,a∩l=P,b∩l=P.
例2 求证：两两相交而不通过同一点的四条直线必在同一平面内。
解：a、b、c、d四条直线或者有三条共点或无三条共点，分两种情形证：
（1）若a、b、c三线共点P，但点P直线d。∴直线d和其外一点P可以确定一个平面α，又a∩d=C，∴C∈α且点P∈α，∴直线a 平面α，同理可证：直线b上有两点B、P在平面α上，∴b 面α，∴c 面α，∴a、b、c、d四线共面。
（2）若a、b、c、d两两相交但不过同一点。∵a∩b=Q, ∴a与b可以确定一个平面β，又∵c∩b=E,
E∈b 平面β，∴E∈β，同理c∩a=F，∴F∈a 平面β，∴F∈β，∴直线c上有两点E、F在β上，
∴c平面β，同理可证d平面β，故a、b、c、d四线共面β。
由（1）、（2）可知：两两相交而不通过同一点的四条直线必在同一平面内。
例3 正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C∩平面BDC1=O，AC、BC交于点M，求证：点C1、O、M共线．
证：如图9-1-4，由A1A∥C1C，则A1A、C1C确定平面A1AC．∵AC平面A1AC，
O∈A1C，∴O∈平面BDC1=O，又A1C∩平面BDC1=O，∴O∈平面BDC1．∴O在两平面BDC1与平面A1AC的交线上．
又AC∩BD=M，∴M∈平面BDC1且M∈平面A1AC，∴平面A1AC∩平面BDC1=C1M．∴O∈C1M，即O、C1、M三点共线．
例4 已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.求证：l1、l2、l3相交于一点.
证：如图，α∩β=l1，β∩γ=l2，α∩γ=l3，∵l1β，l2β，且l1、l2不平行,∴l1与l2必相交.设l1∩l2=P，则P∈l1α,P∈l2γ,∴P∈α∩γ=l3.∴l1、l2、l3相交于一点P.
四、课堂练习
1. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1C与面DBC1交于O点，AC、BD交于M，求证：C1、O、M三点共线.
证：∵C1、O、M∈平面BDC1,又C1、O、M∈平面A1ACC1,
由公理2，C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上,
∴C1、O、M三点共线.
2. O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上.
解：如图,连接A1C1、AC，因AA1∥CC1，则AA1与CC1可确定一个平面AC1，
易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1，所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1.又P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1，故P在两平面的交线上，即P∈AO1.
五、备选习题
1. 画图表示下列由集合符号给出的关系：
(1) A∈α,Bα,A∈l,B∈l; (2) aα,bβ,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.
解：
2. 根据下列条件，画出图形.
（1）平面α∩平面β=l，直线ABα，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β=F，Fl;
（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三个顶点满足条件:A∈a，B∈α，Ba，C∈β，Ca.
解：如上右图.
3. 画一个正方体ABCD—A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由.
解：∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′. ∵E∈AC，∴E∈平面ACD′.
∵E∈BD，∴E∈平面BDC′. ∵F∈DC′，∴F∈平面DC′B. ∴EF为所求.
4. 如图15，已知α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC与EF相交，在图中分别画出平面ABC与α、β的交线.
解：如图16所示，连接CB，∵C∈β,B∈β,∴直线CBβ.
∵直线CB平面ABC，∴β∩平面ABC=直线CB.
设直线CB与直线EF交于D, ∵α∩β=EF,∴D∈α,D∈平面ABC.∵A∈α,A∈平面ABC，∴α∩平面ABC=直线AD.
5. 如图17，AD∩平面α=B,AE∩平面α=C，请画出直线DE与平面α的交点P，并指出点P与直线BC的位置关系.
解：AD和AC是相交直线，它们确定一个平面ABC，它与平面α的交线为直线BC，DE平面ABC，∴DE与α的交点P在直线BC上.
6. 如图18，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为8 cm，M、N、P分别是AB、A1D1、BB1的中点，
(1) 画出过M、N、P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线，以及与平面BB1C1C的交线.
(2) 设过M、N、P三点的平面与B1C1交于点Q，求PQ的长.
解：(1) 设M、N、P三点确定的平面为α，则α与平面AA1B1B的交线为直线MP，设MP∩A1B1=R，则RN是α与平面A1B1C1D1的交线，设RN∩B1C1=Q，连接PQ，则PQ是所要画的平面α与平面BB1C1C的交线.如图.
(2) 正方体棱长为8 cm，B1R=BM=4 cm，又A1N=4 cm，B1Q=A1N,
∴B1Q=×4=（cm）.在△PB1Q中，B1P=4 cm，B1Q=cm，
∴PQ=cm.
7. 已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线.
解：如图,∵A、B、C是不在同一直线上的三点, ∴过A、B、C有一个平面β.又∵AB∩α=P，且ABβ,
∴点P既在β内又在α内.设α∩β=l,则P∈l,同理可证：Q∈l,R∈l, ∴P、Q、R三点共线.
8. 点平面，分别是上的点，若与交于（这样的四边形ABCD就叫做空间四边形）求证：在直线上
证：∵，∴，，∵分别属于直线，∴平面，∴平面，同理：平面，
又∵平面平面，∴在直线上
9. 已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，求证：三条直线EF、GH、AC交于一点。
证：∵=1，∴EH平行且等于BD，而，∴，且FG∥BD。
∴四边形EFGH为梯形，从而两腰EF、GH必相交于一点P。∵P∈直线EF，EF平面ABC，∴P∈平面ABC，同理，P∈平面ABC，∴P在平面ABC和平面ADC的交线AC上。故EF、GH、AC三直线交于一点。
六、教学小结
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第二章 空间点,线,面的位置关系（2.1 第1课时）
教学内容： 2.1.1 平面
教学目的： 正确理解平面的几何概念,掌握平面的基本性质.
教学重点： 熟练掌握三种数学语言的转换,利用三个公理会证明共点、共线、共面问题.
教学难点： 证明共点、共线、共面问题.
教学过程：
一、课前复习
本章主要内容：2.1点、直线、平面之间的位置关系，2.2直线、平面平行的判定及其性质，2.3直线、平面垂直的判定及其性质.2.1节的核心是空间中直线和平面间的位置关系.
在平面基本性质的基础上，由易到难顺序研究直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系.以“平行”和“垂直”的判定及其性质为主线展开，依次讨论直线和平面平行、平面和平面平行的判定和性质；直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定和性质. 注意空间中平行关系之间的转化、空间中垂直关系之间的转化以及空间中垂直与平行关系之间的转化.
二、讲解新课
观察长方体，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？
长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.
有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所
在的直线与面相交；
每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平
面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题.
提出问题
平面是最基本的几何概念,只是加以描述而不定义.
引入新课
知识点1 平面的概念
平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象
指出: 平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度）。平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性
平面的表示：一般用一个希腊字母、、……来表示，还可用平行四边形对角顶点的字母来表示。
平面的画法：在立体几何中，通常画平行四边形来表示平面。一个平面，通常画成水平放置，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的2倍长。
两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画。
点、线、面的基本位置关系如下表所示：
图形 符号语言 文字语言（读法）
点在直线上
点不在直线上
点在平面内
点不在平面内
直线、交于点
直线在平面内
直线与平面无公共点
直线与平面交于点
平面、相交于直线
集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“”和“”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言。
知识点2 公理1
如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
指出：（1）符号语言：．
（2）公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，
（3）应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面。
知识点3 公理2
如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线
指出：（1）符号语言：P∈α,且P∈βα∩β=l,且P∈l.
（2）公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．
今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)
（3）应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上
知识点4 公理3
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
指出：（1）符号语言：与重合
（2）“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不保证唯一，“只有一个”说明图形如果有的话，顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．
在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．
（3）应用：①确定平面。公理3及三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．
② 证明两个平面重合
推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.
已知：直线，点是直线外一点. 求证：过点和直线有且只有一个平面
证：（存在性）：在直线上任取两点、，∵，∴不共线．由公理3，经过不共线的三点可确定一个平面，∵点在平面内，根据公理1，∴，即平面是经过直线和点的平面.
（唯一性）：∵，，，∴点，由公理3，经过不共线的三点的平面只有一个，∴经过和点的平面只有一个
指出：推论1的符号语言：有且只有一个平面，使得，
推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面
已知：直线. 求证：过直线和直线有且只有一个平面
证：（存在性）：在直线上任取两点A，直线上，∵，∴不共线．由公理3，经过不共线的三点可确定一个平面，∵点在平面内，根据公理1，∴，即平面是经过直线和直线的平面.
（唯一性）：∵，，，∴点，由公理3，经过不共线的三点的平面只有一个，∴经过直线和直线的平面只有一个
指出：推论2的符号语言：有且只有一个平面，使得
推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面
已知：直线.求证：过直线和直线有且只有一个平面
证：（存在性）：∵ ∴由平行线的定义，直线和直线在同一个平面内，即平面是经过直线和直线的平面.
（唯一性）：取，，∵ ∴点A,B,C不共线且，由公理3，经过不共线的三点的平面只有一个，∴经过直线和直线的平面只有一个
指出：推论3的符号语言：有且只有一个平面，使得
三、典例解析
例1 用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.
在（2）中，α∩β=l,aα,bβ,a∩l=P,b∩l=P.
例2 求证：两两相交而不通过同一点的四条直线必在同一平面内。
解：a、b、c、d四条直线或者有三条共点或无三条共点，分两种情形证：
（1）若a、b、c三线共点P，但点P直线d。∴直线d和其外一点P可以确定一个平面α，又a∩d=C，∴C∈α且点P∈α，∴直线a 平面α，同理可证：直线b上有两点B、P在平面α上，∴b 面α，∴c 面α，∴a、b、c、d四线共面。
（2）若a、b、c、d两两相交但不过同一点。∵a∩b=Q, ∴a与b可以确定一个平面β，又∵c∩b=E,
E∈b 平面β，∴E∈β，同理c∩a=F，∴F∈a 平面β，∴F∈β，∴直线c上有两点E、F在β上，
∴c平面β，同理可证d平面β，故a、b、c、d四线共面β。
由（1）、（2）可知：两两相交而不通过同一点的四条直线必在同一平面内。
例3 正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C∩平面BDC1=O，AC、BC交于点M，求证：点C1、O、M共线．
证：如图9-1-4，由A1A∥C1C，则A1A、C1C确定平面A1AC．∵AC平面A1AC，
O∈A1C，∴O∈平面BDC1=O，又A1C∩平面BDC1=O，∴O∈平面BDC1．∴O在两平面BDC1与平面A1AC的交线上．
又AC∩BD=M，∴M∈平面BDC1且M∈平面A1AC，∴平面A1AC∩平面BDC1=C1M．∴O∈C1M，即O、C1、M三点共线．
例4 已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.求证：l1、l2、l3相交于一点.
证：如图，α∩β=l1，β∩γ=l2，α∩γ=l3，∵l1β，l2β，且l1、l2不平行,∴l1与l2必相交.设l1∩l2=P，则P∈l1α,P∈l2γ,∴P∈α∩γ=l3.∴l1、l2、l3相交于一点P.
四、课堂练习
1. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1C与面DBC1交于O点，AC、BD交于M，求证：C1、O、M三点共线.
证：∵C1、O、M∈平面BDC1,又C1、O、M∈平面A1ACC1,
由公理2，C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上,
∴C1、O、M三点共线.
2. O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上.
解：如图,连接A1C1、AC，因AA1∥CC1，则AA1与CC1可确定一个平面AC1，
易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1，所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1.又P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1，故P在两平面的交线上，即P∈AO1.
五、备选习题
1. 画图表示下列由集合符号给出的关系：
(1) A∈α,Bα,A∈l,B∈l; (2) aα,bβ,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.
解：
2. 根据下列条件，画出图形.
（1）平面α∩平面β=l，直线ABα，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β=F，Fl;
（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三个顶点满足条件:A∈a，B∈α，Ba，C∈β，Ca.
解：如上右图.
3. 画一个正方体ABCD—A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由.
解：∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′. ∵E∈AC，∴E∈平面ACD′.
∵E∈BD，∴E∈平面BDC′. ∵F∈DC′，∴F∈平面DC′B. ∴EF为所求.
4. 如图15，已知α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC与EF相交，在图中分别画出平面ABC与α、β的交线.
解：如图16所示，连接CB，∵C∈β,B∈β,∴直线CBβ.
∵直线CB平面ABC，∴β∩平面ABC=直线CB.
设直线CB与直线EF交于D, ∵α∩β=EF,∴D∈α,D∈平面ABC.∵A∈α,A∈平面ABC，∴α∩平面ABC=直线AD.
5. 如图17，AD∩平面α=B,AE∩平面α=C，请画出直线DE与平面α的交点P，并指出点P与直线BC的位置关系.
解：AD和AC是相交直线，它们确定一个平面ABC，它与平面α的交线为直线BC，DE平面ABC，∴DE与α的交点P在直线BC上.
6. 如图18，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为8 cm，M、N、P分别是AB、A1D1、BB1的中点，
(1) 画出过M、N、P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线，以及与平面BB1C1C的交线.
(2) 设过M、N、P三点的平面与B1C1交于点Q，求PQ的长.
解：(1) 设M、N、P三点确定的平面为α，则α与平面AA1B1B的交线为直线MP，设MP∩A1B1=R，则RN是α与平面A1B1C1D1的交线，设RN∩B1C1=Q，连接PQ，则PQ是所要画的平面α与平面BB1C1C的交线.如图.
(2) 正方体棱长为8 cm，B1R=BM=4 cm，又A1N=4 cm，B1Q=A1N,
∴B1Q=×4=（cm）.在△PB1Q中，B1P=4 cm，B1Q=cm，
∴PQ=cm.
7. 已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线.
解：如图,∵A、B、C是不在同一直线上的三点, ∴过A、B、C有一个平面β.又∵AB∩α=P，且ABβ,
∴点P既在β内又在α内.设α∩β=l,则P∈l,同理可证：Q∈l,R∈l, ∴P、Q、R三点共线.
8. 点平面，分别是上的点，若与交于（这样的四边形ABCD就叫做空间四边形）求证：在直线上
证：∵，∴，，∵分别属于直线，∴平面，∴平面，同理：平面，
又∵平面平面，∴在直线上
9. 已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，求证：三条直线EF、GH、AC交于一点。
证：∵=1，∴EH平行且等于BD，而，∴，且FG∥BD。
∴四边形EFGH为梯形，从而两腰EF、GH必相交于一点P。∵P∈直线EF，EF平面ABC，∴P∈平面ABC，同理，P∈平面ABC，∴P在平面ABC和平面ADC的交线AC上。故EF、GH、AC三直线交于一点。
六、教学小结
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第二章 空间点,线,面的位置关系（2.1 第1课时）