数学必修2第二章 点 直线 平面之间的位置关系 学案
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| 名称 | 数学必修2第二章 点 直线 平面之间的位置关系 学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-08-12 21:00:58 | ||
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文档简介
数学必修2学案 第2章 点 直线 平面之间的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平面
编写 ×××
【目标导航】
1、正确理解平面的几何概念,掌握平面的基本性质.；
2、熟练掌握三种数学语言的转换与翻译,结合三个公理的应用会证明共点、共线、共面问题.。
【知识汇总】
①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念）。平面的基本特征是无限延展性。
②平面通常画成平行四边形，平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图1。如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图2.
图1 图2
③平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图3)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD（图4）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC（图5）.
图3 图4
④点与直线、平面的位置关系如下表：
点A在直线a上（或直线a经过点A） A∈a 元素与集合间的关系
点A在直线a外（或直线a不经过点A） Aa
点A在平面α内（或平面α经过点A） A∈α
点A在平面α外（或平面α不经过点A） Aα
公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
用符号语言表示：
若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则aα.
图形语言表示（图5）：
公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
如图（图6）.
公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
用符号语言表示为：P∈α，且P∈βα∩β=l，且P∈l。
图形语言表示（图7）：
典型例题
例1、画图表示下列由集合符号给出的关系：
(1)A∈α,Bα,A∈l,B∈l;
(2)aα,bβ,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.
解：如图8，
图8
例2、如图9，已知α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC与EF相交，
在图中分别画出平面ABC与α、β的交线.
解：如图10所示，连接CB，
∵C∈β,B∈β,∴直线CBβ.
∵直线CB平面ABC，∴β∩平面ABC=直线CB.
设直线CB与直线EF交于D,
∵α∩β=EF,∴D∈α,D∈平面ABC.
∵A∈α,A∈平面ABC，
∴α∩平面ABC=直线AD.
例3 已知直线a和直线b相交于点A。求证：过直线a和直线b有且只有一个平面。
证明：如图11,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B，b上取一点C，
根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面α，
因为A、B在平面α内，根据公理1，直线a在平面α内,
同理直线b在平面α内，即平面α是经过直线a和直线b的平面.
又因为A、B在a上，A、C在b上，所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C.
于是根据公理2，经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个，
所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.
经验小结：
图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：
(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来.
(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来.
课时检测（时间：10分钟 满分：10分）
1.根据下列条件，画出图形.
（1）平面α∩平面β=l，直线ABα，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β=F，Fl;
（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三个顶点满足条件:A∈a，B∈α，Ba，C∈β，Ca.
答案：如图12.
图12
【课后补充作业】
1、已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线.
解：如图13,∵A、B、C是不在同一直线上的三点,
∴过A、B、C有一个平面β.
又∵AB∩α=P，且ABβ,
∴点P既在β内又在α内.设α∩β=l,则P∈l,
同理可证：Q∈l,R∈l,
∴P、Q、R三点共线.
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
编写 ×××
【目标导航】
1、正确理解空间中直线与直线的位置关系，特别是两直线的异面关系；
2、.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用。
【知识汇总】
①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线。
②空间两条直线的位置关系有且只有三种：
③为了表示异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.
④公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表示为：a∥b,b∥ca∥c。
注意：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4是判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用。
⑤等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
⑥异面直线a、b所成的角：在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.
典型例题
例1 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点.
求证：EB1∥DF，ED∥B1F.
证明：如图3，设G是DD1的中点，分别连接EG，GC1.
∵EGA1D1，B1C1A1D1,
∴EGB1C1.四边形EB1C1G是平行四边形,
∴EB1GC1.
同理可证DFGC1，∴EB1DF.
∴四边形EB1FD是平行四边形.
∴ED∥B1F.
例2 如图4，点A是BCD所在平面外一点，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=AD，求异面直线AD和BC所成的角.
解：设G是AC中点，连接EG、FG.
因E、F分别是AB、CD中点，故EG∥BC且EG=，FG∥AD，且FG=.由异面直线所成角定义可知EG与FG所成锐角或直角为异面直线AD、BC所成角，即∠EGF为所求.
由BC=AD知EG=GF=，又EF=AD,由勾股定理可得∠EGF=90°.
点评：本题的平移点是AC中点G，按定义过G分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG中求角.通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系.
经验小结：
空间中直线与直线的位置关系是立体几何的基础，本节通过空间模型让学生直观感受两直线的位置关系，进一步培养学生的空间想象能力.两直线的异面关系是本节的重点和难点，求两异面直线所成的角，正是等角正理的一个应用，能找到空间中适当的点O是解决此类问题的关键。
课时检测（时间：10分钟 满分：10分）
1、三个角是直角的四边形（ ）
A.一定是矩形 B.一定是空间四边形
C.是四个角为直角的空间四边形 D.不能确定
2、一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ）
A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交
3、若a和b异面，b和c异面，则（ ）
A.a∥c B.a和c异面
C.a和c相交 D.a与c或平行或相交或异面
4、设空间四边形ABCD，E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点，若AB=，CD=，且HG·HE·sin∠EHG=，求AB和CD所成的角.
解：如图5，由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，
∴∠EHG就是异面直线AB和CD所成的角.
由题意可知EFGH是平行四边形，HG=，HE=，
∴HG·HE·sin∠EHG=sin∠EHG.
∴sin∠EHG=.
∴sin∠EHG=.故∠EHG=45°.
∴AB和CD所成的角为45°.
【课后补充作业】
如图6，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：
（1）AB与CC1；
（2）A1B1与DC；
（3）A1C与D1B；
（4）DC与BD1；
（5）D1E与CF.
解：（1）∵C∈平面ABCD，AB平面ABCD，又CAB，C1平面ABCD,
∴AB与CC1异面.
（2）∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC.
（3）∵A1D1∥B1C1，B1C1∥BC，∴A1D1∥BC，则A1、B、C、D1在同一平面内.
∴A1C与D1B相交.
（4）∵B∈平面ABCD，DC平面ABCD，又BDC，D1平面ABCD,∴DC与BD1异面.
（5）如图10，CF与DA的延长线交于G，连接D1G，
∵AF∥DC，F为AB中点，∴A为DG的中点.
又AE∥DD1，
∴GD1过AA1的中点E.∴直线D1E与CF相交.
点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或重合）.两条直线相交，总可以找到它们的交点.作图时用实点标出.两条直线异面，有时看上去像平行（如图中的EB与A1C），有时看上去像相交（如图中的DC与D1B）.所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条直线异面判定的方法.
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
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【目标导航】
1、结合图形正确理解空间中直线与平面之间的位置关系；
2、进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换。
【知识汇总】
用三种语言描述直线与平面之间的位置关系。
文字语言 符号语言 图形语言
直线在平面内 aα
直线与平面相交 a∩α=A
直线与平面平行 a∥α
典型例题
例1 若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系。并用符号语言表示出来。
解：如图1,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.
用符号语言表示为：若a∩b=A,bα,则aα或a∩α=A.
例2 已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.
已知直线a∥b∥c，直线l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C.
求证：l与a、b、c共面.
证明：如图2,∵a∥b,
∴a、b确定一个平面，设为α.
∵l∩a=A，l∩b=B,∴A∈α，B∈α.
又∵A∈l，B∈l,∴ABα，即lα.
同理b、c确定一个平面β，lβ,
∴平面α与β都过两相交直线b与l.
∵两条相交直线确定一个平面,
∴α与β重合.故l与a、b、c共面.
经验小结：
直线与平面的位置关系是立体几何的重要位置关系，虽没有严格推理和证明，却正好发挥我们空间想象能力和发散思维能力。解决立体几何题，我善于观察图形，灵活运用公理。
课时检测（时间：10分钟 满分：10分）
1、 若直线a不平行于平面α,且aα,则下列结论成立的是( )
A.α内的所有直线与a异面 B.α内的直线与a都相交
C.α内存在唯一的直线与a平行 D.α内不存在与a平行的直线
分析：如图3,若直线a不平行于平面α,且aα,则a与平面α相交.
例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A′B相交，直线CD与直线A′B异面，所以A、B都不正确；平面ABCD内不存在与a平行的直线，所以应选D.
2、若直线aα,则下列结论中成立的个数是( )
(1)α内的所有直线与a异面 (2)α内的直线与a都相交 (3)α内存在唯一的直线与a平行 (4)α内不存在与a平行的直线
A.0 B.1 C.2 D.3
分析：∵直线aα,∴a∥α或a∩α=A.
如图4,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.
答案：A
3、若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.
分析：如图5，另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.
用符号语言表示为：若a与b异面,aα,则b∥α或b∩α=A.
点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面.
【课后补充作业】
1、过空间一点，能否作一个平面与两条异面直线都平行？
解：(1)如图11,
C′D′与BD是异面直线，可以过P点作一个平面与两异面直线C′D′、BD都平行.
如图12,
图11 图12 图13
显然，平面PQ是符合要求的平面.
(2)如图13,当点P与直线C′D′确定的平面和直线BD平行时，不存在过P点的平面与两异面直线C′D′、BD都平行.
点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考虑问题要全面即注意发散思维.
2、已知α∩β=l,aα且aβ,bβ且bα,又a∩b=P.
求证：a与β相交,b与α相交.
证明：如图14,∵a∩b=P,
∴P∈a,P∈b.
又bβ,∴P∈β.
∴a与β有公共点P,即a与β相交.
同理可证,b与α相交.
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
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【目标导航】
1、结合图形正确理解空间中平面与平面之间的位置关系；
2、进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换。
【知识汇总】
①两个平面平行——没有公共点.
②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，如图1.
图1 图2
③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图2，用符号语言表示为：P∈α且P∈βα∩β=l,且P∈l.
④两个平面相交——有一条公共直线.
⑤如果两个平面没有公共点，则两平面平行若α∩β=,则α∥β.
如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交若α∩β=AB,则α与β相交.
两平面平行与相交的图形表示如图3.
图3
典型例题
例1 已知平面α,β,直线a,b,且α∥β,aα,bβ,则直线a与直线b具有怎样的位置关系
活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价.
解：如图4,直线a与直线b的位置关系为平行或异面.
图4
例2 如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.
解：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条,如图5.
图5
例3 α∩β=l,aα,bβ,试判断直线a、b的位置关系,并画图表示.
解：如图6,直线a、b的位置关系是平行、相交、异面.
图6
经验小结：
平面与平面的位置关系和直线与平面的位置关系一样是立体几何的重要位置关系，虽没有严格推理和证明，却正好发挥我们的空间想象能力和发散思维能力。
课时检测（时间：10分钟 满分：10分）
1、如图7，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、D1C1的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l，
（1）画出l的位置；
（2）设l∩A1B1=P，求PB1的长.
解：（1）平面DMN与平面AD1的交线为DM，
则平面DMN与平面A1C1的交线为QN.
QN即为所求作的直线l.如图10.
（2）设QN∩A1B1=P,
∵△MA1Q≌△MAD，∴A1Q=AD=a=A1D1,
∴A1是QD1的中点.又A1P∥D1N,
∴A1P=D1N=C1D1=a.
∴PB1=A1B1－A1P=.
2、画出四面体ABCD中过E、F、G三点的截面与四面体各面的交线.
解：如图8,分别连接并延长线段EF、BD，
∵线段EF、BD共面且不平行，∴线段EF、BD相交于一点P.
∴连接GP交线段CD于H,分别连接EG、GH、FH即为所作交线.
【课后补充作业】
1、α∩β=l,aα,bβ,b∩β=P,试判断直线a、b的位置关系,并画图表示.
解：如图9,直线a、b的位置关系是相交、异面.
图9
2、画出四面体ABCD中过E、F、G三点的截面与四面体各面的交线.
解：如图10,分别连接并延长线段EF、BD，
∵线段EF、BD共面且不平行，∴线段EF、BD相交于一点P.
∴连接GP交线段CD于H,分别连接EG、GH、FH即为所作交线.
3、三棱柱的各面把空间分成几部分
解：分为21部分.
4、已知平面α∩平面β=a,bα,b∩a=A,cβ且c∥a,
求证：b、c是异面直线.
证明：反证法：若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交.
(1)若b∥c.∵a∥c,∴a∥b.这与a∩b=A矛盾.
(2)若b、c相交于B,则B∈β.又a∩b=A,∴A∈β.
∴ABβ,即bβ.这与b∩β=A矛盾.
∴b,c是异面直线.
2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
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【目标导航】
1、探究并掌握直线与平面平行的判定定理；
2、会用直线与平面平行的判定定理的。
【知识汇总】
直线与平面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
符号语言为：.
图形语言为：如图1.
证明：∵a∥b，∴a、b确定一个平面，设为β.
∴aβ，bβ.
∵aα，aβ，∴α和β是两个不同平面.
∵bα且bβ，
∴α∩β=b.假设a与α有公共点P,
则P∈α∩β=b，即点P是a与b的公共点，这与已知a∥b矛盾.
∴假设错误.故a∥α.
典型例题
例1、设P、Q是边长为a的正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心,如图2,
（1）证明PQ∥平面AA1B1B；
（2）求线段PQ的长.
(1)证法一：取AA1,A1B1的中点M,N,连接MN,NQ,MP,
∵MP∥AD,MP=,NQ∥A1D1,NQ=,
∴MP∥ND且MP=ND.
∴四边形PQNM为平行四边形.
∴PQ∥MN.
∵MN面AA1B1B,PQ面AA1B1B,
∴PQ∥面AA1B1B.
证法二：连接AD1,AB1,在△AB1D1中,显然P,Q分别是AD1,D1B1的中点,
∴PQ∥AB1,且PQ=.
∵PQ面AA1B1B,AB1面AA1B1B,
∴PQ∥面AA1B1B.
(2)解:方法一:PQ=MN=.
方法二：PQ=.
例2、如图3，已知AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别为AB、BC、CD的中点.
求证：AC∥平面EFG，BD∥平面EFG.
证明：连接AC、BD、EF、FG、EG.
在△ABC中，
∵E、F分别是AB、BC的中点,∴AC∥EF.
又EF面EFG，AC面EFG,
∴AC∥面EFG.
同理可证BD∥面EFG.
经验小结：
线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，线面平行的判定是高考考查的重点，多年来，高考立体几何第一问往往考查线面平行的判定。利用平面几何中的平行线截比例线段定理，三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.
课时检测（时间：10分钟 满分：10分）
1、如图4,在△ABC所在平面外有一点P，M、N分别是PC和AC上的点，过MN作平面平行于BC，画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法.
画法：过点N在面ABC内作NE∥BC交AB于E，过点M在面PBC内作MF∥BC交PB于F，连接EF，则平面MNEF为所求，其中MN、NE、EF、MF分别为平面MNEF与各面的交线.
证明：如图5,
.
所以,BC∥平面MNEF.
点评：“见中点，找中点”是证明线线平行常用方法，而证明线面平行往往转化为证明线线平行.
2、如图6，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E=BF.
求证：EF∥平面BB1C1C.
证明：连接AF并延长交BC于M，连接B1M.
∵AD∥BC,∴△AFD∽△MFB.
∴.
又∵BD=B1A，B1E=BF,∴DF=AE.
∴.
∴EF∥B1M，B1M平面BB1C1C.
∴EF∥平面BB1C1C.
【课后补充作业】
1、已知M、N分别是△ADB和△ADC的重心，A点不在平面α内，B、D、C在平面α内，求证：MN∥α.
证明：如图7,连接AM、AN并延长分别交BD、CD于P、Q，连接PQ.
∵M、N分别是△ADB、△ADC的重心，
∴=2.∴MN∥PQ.
又PQα，MNα,∴MN∥α.
2、已知四棱锥P—ABCD的底面为平行四边形,M为PC的中点,求证:PA∥平面MBD.
证明：如图8,连接AC、BD交于O点,连接MO,
∵O为AC的中点,M为PC的中点,
∴MO为△PAC的中位线.
∴PA∥MO.
∵PA平面MBD,MO平面MBD,
∴PA∥平面MBD.
3、如图9，已知平行四边形ABCD和平行四边形ACEF所在的平面相交于AC,M是线段EF的中点.
求证:AM∥平面BDE.
证明：设AC∩BD=O，连接OE，
∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是平行四边形，
∴四边形AOEM是平行四边形.
∴AM∥OE.
∵OE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.
2.2.1平面与平面平行的判定
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1、理解并掌握两平面平行的判定定理；
2、会用这个定理证明两个平面的平行。
【知识汇总】
定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
由定理可知，平面与平面平行的问题可转化为直线与平面平行的问题来解决。
平面与平面平行的判定定理可用符号来表示：
aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥αβ∥α
典型例题
1.如图1，P是△ABC所在平面外的一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心。求证：平面ABC∥平面A′B′C′；
证明：（1）连接PA′、PB′、PC′并延长交BC、AC、AB于D、E、F，连接DE、EF、DF.
∵A′、C′分别是△PBC、△PAB的重心,
∴PA′=，PC′=.
∴A′C′∥DF.∵A′C′平面ABC，DF平面ABC,
∴A′C′∥平面ABC.同理,A′B′∥平面ABC.
又A′C′∩A′B′=A′，A′C′、A′B′平面A′B′C′,
∴平面ABC∥平面A′B′C′.
例2、如图2,在正方体ABCD—EFGH中，M、N、P、Q、R分别是EH、EF、BC、CD、AD的中点，求证：平面MNA∥平面PQG.
证明：∵M、N、P、Q、R分别是EH、EF、BC、CD、AD的中点，
∴MN∥HF,PQ∥BD.∵BD∥HF,
∴MN∥PQ.
∵PR∥GH,PR=GH;MH∥AR,MH=AR,
∴四边形RPGH为平行四边形，四边形ARHM为平行四边形.
∴AM∥RH,RH∥PG.∴AM∥PG.
∵MN∥PQ,MN平面PQG,PQ平面PQG,
∴MN∥平面PQG.
同理可证，AM∥平面PQG.又直线AM与直线MN相交，
∴平面MNA∥平面PQG.
点评：证面面平行，通常转化为证线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，所以关键是证线线平行.
经验小结：
根据两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。要使用判定定理证明两个平面平行关键是：如何构造一个平面内的两相交直线都平行于另一个平面。证明的步骤，第一，先在一个平面找个两个直线利用线面平行，证明它们分别平行于另一个平面，第二，证（说）明这两条直线相交。
课时检测（时间：10分钟 满分：10分）
1、两个平面平行的条件是（D）
A.一个平面内一条直线平行于另一个平面
B.一个平面内两条直线平行于另一个平面
C.一个平面内的无数条直线平行于另一个平面
D.一个平面内的任一条直线平行于另一个平面
2、a b是两条异面直线，求证：过a和b分别存在平面α和β，使α∥β；
【课后补充作业】
1．a、b为异面直线，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β．求证：α∥β．
2.2.3 直线与平面平行的性质
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【目标导航】
1、理解直线与平面平行的性质定理；
2、体会直线与平面平行的性质定理的应用。
【知识汇总】
1、直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
这个定理用符号语言可表示为：
这个定理用图形语言可表示为：如图1.
2、直线与平面平行的性质定理的证明。
已知a∥α，aβ，α∩β=b.求证：a∥b.
证明：
典型例题
例1 求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行。如图2.
已知a∥b,aα，bβ，α∩β=c.
求证：c∥a∥b.
证明：
例2 如图3，平行四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，求证：BD∥面EFGH，AC∥面EFGH.
证明：∵EFGH是平行四边形
经验小结：
应用直线与平面平行的性质定理需要过已知直线作一个平面，是最难应用的定理之一；一般做法是：“过直线作平面，把线面平行转化为线线平行”。
课时检测（时间：10分钟 满分：10分）
1、 求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行。
已知：如图10,a∥α,a∥β,α∩β=b，
求证：a∥b.
证明：如图4，过a作平面γ、δ，使得γ∩α=c，δ∩β=d，那么有
点评：本题证明过程，实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程.这是证明线线平行的一种典型的思路.
2、已知：a∥α，A∈α，A∈b，且b∥a.求证：bα.
证明：假设bα，如图5，
设经过点A和直线a的平面为β，α∩β=b′,
∵a∥α，∴a∥b′(线面平行则线线平行).
又∵a∥b，∴b∥b′,这与b∩b′=A矛盾.
∴假设错误.故bα.
【课后补充作业】
1、如图6，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB.
（1）求证：EFGH是矩形；
（2）设DE=m,EB=n,求矩形EFGH的面积.
(1)证明：∵CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD=EF,
∴CD∥EF.同理HG∥CD,∴EF∥HG.
同理HE∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形.
由CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF为CD和AB所成的角.
又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.
∴四边形EFGH为矩形.
（2）解：由（1）可知在△BCD中EF∥CD，DE=m，EB=n,
∴.又CD=a,∴EF=.
由HE∥AB,∴.
又∵AB=b,∴HE=.
又∵四边形EFGH为矩形,
∴S矩形EFGH=HE·EF=.
点评：线面平行问题是平行问题的重点，有着广泛应用.
2.2.4 平面与平面平行的性质
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【目标导航】
1、理解并掌握两平面平行的性质定理；
2、会用两平面平行的性质定理。
【知识汇总】
1、直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
两个平面平行的性质定理用符号语言表示为：a∥b.
两个平面平行的性质定理用图形语言表示为：如图1.
2、直线与平面平行的性质定理的证明（略）。
典型例题
例1、如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.
解：已知α∥β，γ∥β，求证：α∥γ.
证明：如图2，作两个相交平面分别与α、β、γ交于a、c、e和b、d、f,
.
点评：欲将面面平行转化为线线平行，先要作平面.
例2、已知：a、b是异面直线，a平面α,b平面β，a∥β，b∥α.
求证：α∥β.
证明：如图3,在b上任取点P，显然Pa.于是a和点P确定平面γ，
且γ与β有公共点P.
设γ∩β=a′，∵a∥β，∴a′∥a.∴a′∥α.
这样β内相交直线a′和b都平行于α，∴α∥β.
经验小结：
见到面面平行,利用面面平行的性质定理转化为线线平行,本节是“转化思想”的典型素材.
课时检测（时间：10分钟 满分：10分）
1、已知：如图4，α∥β，AB∥CD，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β.
求证：AB=CD.
证明：∵AB∥CD，
∴过AB、CD的平面γ与平面α和β分别交于AC和BD.
∵α∥β，∴BD∥AC.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD.
2、如图5，已知平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，E、F分别为AB、CD的中点.
求证：EF∥α，EF∥β.
证明：当AB、CD共面时，平面ABCD∩α=AC，
平面ABCD∩β=BD.
∵α∥β，∴AC∥BD.
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴EF∥AC.
∵ACα，EFα，
∴EF∥α.同理,EF∥β.
当AB、CD异面时，
∵ECD，
∴可在平面ECD内过点E作C′D′∥CD，与α，β分别交于C′，D′.
平面AC′BD′∩α=AC′，平面AC′BD′∩β=BD′，
∵α∥β，∴AC′∥BD′.
∵E是AB中点，∴E也是C′D′的中点.
平面CC′D′D∩α=CC′，平面CC′D′D∩β=DD′，
∵α∥β，
∴CC′∥DD′.
∵E、F分别为C′D′、CD的中点，∴EF∥CC′，EF∥DD′.
∵CC′α，EFα,∴EF∥α.同理,EF∥β.
【课后补充作业】
1.如图6，两条异面直线AB、CD与三个平行平面α、β、γ分别相交于A、E、B及C、F、D，又AD、BC与平面的交点为H、G。求证：EHFG为平行四边形.
证明：AC∥EG.同理,AC∥HF.
EG∥HF.同理,EH∥FG.故EHFG是平行四边形.
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定
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【目标导航】
1、探究直线与平面垂直的判定定理，提高空间想象能力；
2、掌握直线与平面垂直的判定定理的应用。
【知识汇总】
1、直线与平面垂直的定义和画法：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图1。
2、直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
直线和平面垂直的判定定理用符号语言表示为：l⊥α.
直线和平面垂直的判定定理用图形语言表示为：如图2,
3、斜线在平面内的射影.
斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线就叫做这个平面的斜线.
斜足：斜线和平面的交点.
斜线在平面内的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
特别地：如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角.
4、点到平面的距离：
经过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影，点在平面内的射影还是一个点.
垂线段：上述的点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.
点到平面的距离：垂线段的长叫做点到平面的距离.
典型例题
例1 如图(1)，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC.
(1)求证：D1C⊥AC1；
（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，
并说明理由。
（1）证明：在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，
连接C1D，如图(2).
∵DC=DD1，
∴四边形DCC1D1是正方形.
∴DC1⊥D1C.
又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1=D,
∴AD⊥平面DCC1D1，D1C平面DCC1D1.
∴AD⊥D1C.
∵AD、DC1平面ADC1，且AD∩DC1=D,
∴D1C⊥平面ADC1.
又AC1平面ADC1，∴D1C⊥AC1.
(2)解：连接AD1、AE，如图(3).
设AD1∩A1D=M,
BD∩AE=N,连接MN，
∵平面AD1E∩平面A1BD=MN，
要使D1E∥平面A1BD，
需使MN∥D1E，
又M是AD1的中点，
∴N是AE的中点.
又易知△ABN≌△EDN，
∴AB=DE,
即E是DC的中点.
综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.
例2 如图3，ABCD为正方形，过A作线段SA⊥面ABCD，又过A作与SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H，求证：E、H分别是点A在直线SB和SD上的射影.
证明：∵SA⊥BC,
又∵AB⊥BC,SA∩AB=A,
∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE.
∵SC⊥平面AHKE,∴SC⊥AE.
又BC∩SC=C,∴AE⊥平面SBC.
∴AE⊥SB,即E为A在SB上的射影.同理可证,H是点A在SD上的射影.
经验小结：
利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.
课时检测（时间：10分钟 满分：10分）
1、如图4，在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，
O为底面ABCD的中心.
求证：A1O⊥平面GBD.
证明：BD⊥A1O.
又∵A1O2=A1A2+AO2=a2+()2=,OG2=OC2+CG2=()2+()2=,
A1G2=A1C12+C1G2=(a)2+()2=,
∴A1O2+OG2=A1G2.
∴A1O⊥OG.又BD∩OG=O,∴A1O⊥平面GBD.
点评：判断线面垂直往往转化为线线垂直，勾股定理也是证明线线垂直的重要方法.
2、已知Rt△ABC的斜边BC在平面α内，两直角边AB、AC与α都斜交，点A在平面α内的射影是点A′，求证：∠BA′C是钝角.
证明：如图14，过A作AD⊥BC于D，连接A′D，
∵AA′⊥α，BCα，∴AA′⊥BC.
∴BC⊥A′D.
∵tan∠BAD=＜tan∠BA′D=，
tan∠CAD=＜tan∠CA′D=，
∴∠BAD＜∠BA′D，∠CAD＜∠CA′D.
∴∠BAC＜∠BA′C，即∠BA′C是钝角.
【课后补充作业】
1、如图15，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，线段AB与两异面直线a、b垂直且相交，线段AB的长为定值m，定长为n（n＞m）的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点.
图15
求证：（1）AB⊥MN；
（2）MN的长是定值.
证明：(1)取PB中点H,连接HN,则HN∥b.
又∵AB⊥b,∴AB⊥HN.
同理,AB⊥MH.
∴AB⊥平面MNH.∴AB⊥MN.
(2)∵b⊥平面PAB.∴b⊥PB.
在Rt△PBQ中,BQ2=PQ2-PB2=n2-PB2, ①
在Rt△PBA中,PA2=PB2-AB2=PB2-m2, ②
①②两式相加PA2+BQ2=n2-m2,∵a⊥b,∴∠MHN=90°.
∴MN=(定值).
2、如图16，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3，AB=5，BC=4,AA1=4,点D是AB的中点.
图16
（1）求证：AC⊥BC1;
（2）求证：AC1∥平面CDB1；
（1）证明：∵在△ABC中,AC=3,AB=5,BC=4,
∴△ABC为直角三角形.∴AC⊥CB.
又∵CC1⊥面ABC,AC面ABC,∴AC⊥CC1.
∴AC⊥面BCC1B1.又BC1面BCC1B1,∴AC⊥BC1.
（2）证明：连接B1C交BC1于E，则E为BC1的中点，连接DE,则在△ABC1中,DE∥AC1.
又DE面CDB1,则AC1∥面B1CD.
2.3.2 平面与平面垂直的判定
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【目标导航】
1、探究并理解平面与平面垂直的判定定理，理解二面角的定义并会应用；
2、归纳总结求二面角的方法。
【知识汇总】
①二面角的有关概念.
二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.
二面角常用直立式和平卧式两种画法：如图2。
直立式： 平卧式：
(1) (2)
图2
二面角的表示方法：如图3中，棱为AB，面为α、β的二面角，记作二面角α-AB-β.有时为了方便也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q.
图3
如果棱为l，则这个二面角记作αlβ或PlQ.
②二面角的平面角的概念.
如图4,在二面角αlβ的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成∠AOB.
图4
再取棱上另一点O′，在α和β内分别作l的垂线O′A′和O′B′，则它们组成角∠A′O′B′.
因为OA∥O′A′,OB∥O′B′，所以∠AOB及∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同,
即∠AOB=∠A′O′B′.
从上述结论说明了：按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关.
由此结果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
图中的∠AOB,∠A′O′B′都是二面角αlβ的平面角.
③直二面角的定义.
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的.
两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来定义，二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角.
两个平面互相垂直的定义可表述为：
如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.
直二面角的画法：如图5.
④两个平面垂直的判定定理.
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
两个平面垂直的判定定理符号表述为：α⊥β.
两个平面垂直的判定定理图形表述为：如图6.
证明如下：
已知AB⊥β，AB∩β=B，ABα.
求证：α⊥β.
分析：要证α⊥β,需证α和β构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其中一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角.
证明：设α∩β=CD，则由ABα,知AB、CD共面.
∵AB⊥β，CDβ,∴AB⊥CD，垂足为点B.
在平面β内过点B作直线BE⊥CD,
则∠ABE是二面角αCDβ的平面角.
又AB⊥BE，即二面角αCDβ是直二面角,
∴α⊥β.
⑤应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线,即要证面面垂直转化为证线线垂直.
典型例题
例1、如图7，把等腰Rt△ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD=AC，
（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；
（2）求二面角CBDA的余弦值.
（1）证明：由题设,知AD=CD=BD,
作DO⊥平面ABC，O为垂足，则OA=OB=OC.
∴O是△ABC的外心，即AB的中点.
∴O∈AB，即O∈平面ABD.
∴OD平面ABD.
∴平面ABD⊥平面ABC.
（2）解:取BD的中点E，连接CE、OE、OC,
∵△BCD为正三角形，∴CE⊥BD.
又△BOD为等腰直角三角形,∴OE⊥BD.
∴∠OEC为二面角CBDA的平面角.
同（1）可证OC⊥平面ABD.
∴OC⊥OE.∴△COE为直角三角形.
设BC=a，则CE=，OE=，∴cos∠OEC=.
点评：欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平面的垂线.
例2、如图8所示，河堤斜面与水平面所成二面角为60°，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走到10 m时人升高了多少？（精确到0.1 m）
解：取CD上一点E，设CE=10 m，过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，则线段EG的长就是所求的高度.
在河堤斜面内，作EF⊥AB，垂足为F，并连接FG,
则FG⊥AB,即∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成二面角的平面角,
∠EFG=60°,由此,得EG=EFsin60°=CEsin30°sin60°=10×≈4.3（m）.
答：沿直道行走到10 m时人升高约4.3 m.
经验小结：
二面角是本节的另一个重点，作二面角的平面角最常用的方法是：在一个半平面α内找一点C，作另一个半平面β的垂线，垂足为O,然后通过垂足O作棱AB的垂线，垂足为E,连接AE,则∠CEO为二面角α-AB-β的平面角。
课时检测（时间：10分钟 满分：10分）
1、已知二面角αABβ等于45°，CDα，D∈AB，∠CDB=45°.
求CD与平面β所成的角.
解：如图10，作CO⊥β交β于点O，连接DO，则∠CDO为DC与β所成的角.
图10
过点O作OE⊥AB于E，连接CE，则CE⊥AB.
∴∠CEO为二面角αABβ的平面角，
即∠CEO=45°.
设CD=a,则CE=,∵CO⊥OE，OC=OE，
∴CO=.∵CO⊥DO,∴sin∠CDO=.
∴∠CDO=30°,即DC与β成30°角.
例1 如图11，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°.
图11
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）求点A到平面PBD的距离；
（3）求二面角APBD的余弦值.
（1）证明：设AC与BD交于点O，连接PO,
∵底面ABCD是菱形,∴BD⊥AC.
∵PA⊥底面ABCD,BD平面ABCD,∴的PA⊥BD.
又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.
又∵BD平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAC.
(2)解：作AE⊥PO于点E,∵平面PBD⊥平面PAC,∴AE⊥平面PBD.
∴AE为点A到平面PBD的距离.
在△PAO中,PA=2,AO=2·cos30°=,∠PAO=90°,
∵PO=,∴AE=.
∴点A到平面PBD的距离为.
（3）解：作AF⊥PB于点F,连接EF,
∵AE⊥平面PBD,∴AE⊥PB.
∴PB⊥平面AEF,PB⊥EF.
∴∠AFE为二面角APBD的平面角.
在Rt△AEF中,AE=,AF=,
∴sin∠AFE=,cos∠AFE=.
∴二面角APBD的余弦值为.
【课后补充作业】
1、如图12，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：MN⊥CD；
（3）若二面角PDCA=45°，求证：MN⊥平面PDC.
图12 图13
证明：如图13所示,
（1）取PD的中点Q，连接AQ、NQ,则QNDC,AMDC,
∴QNAM.
∴四边形AMNQ是平行四边形.∴MN∥AQ.
又∵MN平面PAD,AQ平面PAD,∴MN∥平面PAD.
（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.
又∵AQ平面PAD,∴CD⊥AQ.
又∵AQ∥MN,∴MN⊥CD.
（3）由（2）知，CD⊥平面PAD,
∴CD⊥AD,CD⊥PD.
∴∠PDA是二面角PDCA的平面角.∴∠PDA=45°.
又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD.∴AQ⊥PD.
又∵MN∥AQ,∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PD,∴MN⊥平面PDC.
2、如图14,已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB=60°,AD=AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点.
图14
（1）求证：直线MF∥平面ABCD；
（2）求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1；
（3）求平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小.
（1）证明：延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN.
∵F是BB1的中点，
∴F为C1N的中点，B为CN的中点.
又M是线段AC1的中点，故MF∥AN.
又∵MF平面ABCD,AN平面ABCD,
∴MF∥平面ABCD.
（2）证明：连接BD，由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1,可知AA1⊥平面ABCD,
又∵BD平面ABCD，∴A1A⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.
又∵AC∩A1A=A,AC、A1A平面ACC1A1,
∴BD⊥平面ACC1A1.
在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，
∴四边形DANB为平行四边形.
故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1.
又∵NA平面AFC1,
∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.
（3）解：由（2）,知BD⊥平面ACC1A1，又AC1平面ACC1A1，∴BD⊥AC1.
∵BD∥NA，∴AC1⊥NA.
又由BD⊥AC,可知NA⊥AC，
∴∠C1AC就是平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角或补角.
在Rt△C1AC中，tan∠C1AC=，故∠C1AC=30°.
∴平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°.
3、如图15所示，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，且AB=2，SC=SD=2.
图15
（1）求证：平面SAD⊥平面SBC；
（2）设BC=x，BD与平面SBC所成的角为α，求sinα的取值范围.
（1）证明：在△SDC中，∵SC=SD=，CD=AB=2,
∴∠DSC=90°,即DS⊥SC.
∵底面ABCD是矩形,∴BC⊥CD.
又∵平面SDC⊥平面ABCD,∴BC⊥面SDC.
∴DS⊥BC.∴DS⊥平面SBC.
∵DS平面SAD,∴平面SAD⊥平面SBC.
（2）解：由（1）,知DS⊥平面SBC,∴SB是DB在平面SBC上的射影.
∴∠DBS就是BD与平面SBC所成的角，即∠DBS=α.
那么sinα=.
∵BC=x,CD=2DB=,∴sinα=.
由0＜x＜+∞,得0＜sinα＜.
3、如图16，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD的中点.
图16
（1）求证：EN∥平面PCD；
（2）求证：平面PBC⊥平面ADMN；
（3）求平面PAB与平面ABCD所成二面角的正切值.
(1)证明：∵AD∥BC,BC面PBC,AD面PBC,
∴AD∥面PBC.又面ADN∩面PBC=MN,
∴AD∥MN.∴MN∥BC.
∴点M为PC的中点.∴MNBC.
又E为AD的中点，∴四边形DENM为平行四边形.
∴EN∥DM.∴EN∥面PDC.
（2）证明：连接PE、BE,∵四边形ABCD为边长为2的菱形，且∠BAD=60°,
∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD,∴AD⊥面PBE.∴AD⊥PB.
又∵PA=AB且N为PB的中点,
∴AN⊥PB.∴PB⊥面ADMN.
∴平面PBC⊥平面ADMN.
（3）解：作EF⊥AB，连接PF，∵PE⊥平面ABCD,∴AB⊥PF.
∴∠PFE就是平面PAB与平面ABCD所成二面角的平面角.
又在Rt△AEB中，BE=，AE=1，AB=2,∴EF=.
又∵PE=,∴tan∠PFE==2,
即平面PAB与平面ABCD所成的二面角的正切值为2.
2.3.3 直线与平面垂直的性质
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【目标导航】
掌握直线与平面垂直的性质定理的应用提高逻辑推理的能力。
【知识汇总】
直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为：
垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行.
直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：b∥a.
直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图1。
典型例题
例1 证明垂直于同一个平面的两条直线平行.
解:已知a⊥α,b⊥α.
求证：a∥b.
证明：（反证法）如图2，假定a与b不平行，且b∩α=O,作直线b′，使O∈b′,a∥b′.
直线b′与直线b确定平面β，设α∩β=c,则O∈c.
∵a⊥α,b⊥α,∴a⊥c,b⊥c.
∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O∈b,O∈b′,bβ,b′β,
a∥b′显然不可能，因此b∥a.
例2 如图3，已知α∩β=l,EA⊥α于点A,EB⊥β于点B,aα,a⊥AB.
求证:a∥l.
证明：l⊥平面EAB.
又∵aα,EA⊥α,∴a⊥EA.
又∵a⊥AB,∴a⊥平面EAB.
∴a∥l.
例2、如图4,已知直线a⊥b，b⊥α，aα.
求证：a∥α.
证明：在直线a上取一点A，过A作b′∥b，则b′必与α相交，设交点为B，
过相交直线a、b′作平面β，设α∩β=a′,
∵b′∥b，a⊥b,∴a⊥b′.∵b⊥α，b′∥b,
∴b′⊥α.
又∵a′α,∴b′⊥a′.
由a，b′，a′都在平面β内，且b′⊥a，b′⊥a′知a∥a′.∴a∥α.
例3 如图5，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求证：MN⊥CD；
（2）若∠PDA=45°，求证:MN⊥面PCD.
证明：(1)取PD中点E,又N为PC中点,连接NE,则NE∥CD,NE=CD.
又∵AM∥CD,AM=CD,
∴AMNE.
∴四边形AMNE为平行四边形.
∴MN∥AE.
∵CD⊥AE.
(2)当∠PDA=45°时,Rt△PAD为等腰直角三角形,
则AE⊥PD.又MN∥AE,
∴MN⊥PD,PD∩CD=D.
∴MN⊥平面PCD.
经验小结：
转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题；利用线面垂直的性质定理将线面垂直问题转化为线线平行，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等。
课时检测（时间：10分钟 满分：10分）
1、已知a、b、c是平面α内相交于一点O的三条直线，而直线l和平面α相交，并且和a、b、c三条直线成等角.求证：l⊥α.
证明：分别在a、b、c上取点A、B、C并使AO=BO=CO.设l经过O，在l上取一点P，在△POA、△POB、△POC中，
∵PO=PO=PO，AO=BO=CO，∠POA=∠POB=∠POC，
∴△POA≌△POB≌△POC.
∴PA=PB=PC.取AB的中点D,
连接OD、PD，则OD⊥AB，PD⊥AB.
∵PD∩OD=D,∴AB⊥平面POD.
∵PO平面POD,∴PO⊥AB.
同理,可证PO⊥BC.
∵ABα，BCα，AB∩BC=B,∴PO⊥α，即l⊥α.
若l不经过点O时，可经过点O作l′∥l.用上述方法证明l′⊥α，
∴l⊥α.
2、如图6，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,
（1）求证：BD1⊥平面B1AC;
（2）求B到平面B1AC的距离.
（1）证明：∵AB⊥B1C，BC1⊥B1C,∴B1C⊥面ABC1D1.
又BD1面ABC1D1,∴B1C⊥BD1.
∵B1B⊥AC，BD⊥AC,
∴AC⊥面BB1D1D.又BD1面BB1D1D,∴AC⊥BD1.
∴BD1⊥平面B1AC.
（2）解:∵O∈BD,∴连接OB1交BD1于E.
又O∈AC，∴OB1面B1AC.
∴BE⊥OE，且BE即为所求距离.
∵,∴BE=·OB=.
【课后补充作业】
已知在梯形ABCD中，AB∥CD，CD在平面α内，AB∶CD=4∶6，AB到α的距离为10 cm，求梯形对角线的交点O到α的距离.
解：如图所示，过B作BE⊥α交α于点E，连接DE,
过O作OF⊥DE交DE于点F,
∵AB∥CD，ABα，CDα，∴AB∥α.又BE⊥α,
∴BE即为AB到α的距离，BE=10 cm且∠BED=90°.
∵OF⊥DE,∴OF∥BE,得.
∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD.
∴，得.
又，BE=10 cm,
∴OF=×10=6（cm）.
∵OF∥BE，BE⊥α.
∴OF⊥α，即OF即为所求距离为6 cm.
2.3.4 平面与平面垂直的性质
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【目标导航】
掌握面面垂直的性质定理并会应用。
【知识汇总】
1、两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面。
两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：如图1.
两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为：AB⊥β.
2、两个平面垂直的性质定理证明过程如下：
如图2，已知α⊥β,α∩β=a,ABα，AB⊥a于B.
求证：AB⊥β.
证明：在平面β内作BE⊥CD垂足为B,则∠ABE就是二面角αCDβ的平面角.
由α⊥β,可知AB⊥BE.又AB⊥CD，BE与CD是β内两条相交直线,∴AB⊥β.
3、应用面面垂直的性质定理口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”。
典型例题
例1、如图3,已知平面α交平面β于直线a.α、β同垂直于平面γ，又同平行于直线b.求证：(1)a⊥γ；(2)b⊥γ.
图3 图4
证明：如图4,
(1)设α∩γ=AB，β∩γ=AC.在γ内任取一点P并在γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC.
∵γ⊥α，∴PM⊥α.而aα，∴PM⊥a.
同理,PN⊥a.又PMγ，PNγ，∴a⊥γ.
(2)在a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2.∵b∥α，∴b∥a1.
同理,b∥a2.
∵a1、a2同过Q且平行于b，∴a1、a2重合.
又a1α，a2β，∴a1、a2都是α、β的交线，即都重合于a.
∵b∥a1，∴b∥a.而a⊥γ，∴b⊥γ.
例2 如图5，四棱锥P—ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD.
（1）证明侧面PAB⊥侧面PBC；
（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；
（3）求直线AB与平面PCD的距离.
（1）证明：在矩形ABCD中，BC⊥AB,
又∵面PAB⊥底面ABCD,侧面PAB∩底面ABCD=AB,∴BC⊥侧面PAB.
又∵BC侧面PBC,∴侧面PAB⊥侧面PBC.
（2）解：如图6，取AB中点E，连接PE、CE,又∵△PAB是等边三角形，∴PE⊥AB.
又∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD.
∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角.
PE=BA=,CE==,
在Rt△PEC中，∠PCE=45°为所求.
（3）解：在矩形ABCD中，AB∥CD,
∵CD侧面PCD，AB侧面PCD，∴AB∥侧面PCD.
取CD中点F，连接EF、PF，则EF⊥AB.
又∵PE⊥AB,∴AB⊥平面PEF.又∵AB∥CD,
∴CD⊥平面PEF.∴平面PCD⊥平面PEF.
作EG⊥PF，垂足为G，则EG⊥平面PCD.
在Rt△PEF中，EG=为所求.
经验小结：
线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，尤其是线面垂直问题是立体几何的核心，一个立体几何问题能否解决往往取决于能否作出平面的垂线。
课时检测（时间：10分钟 满分：10分
1、如图7，斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成60°角，侧面BCC1B1⊥面ABC.求平面AB1C1与底面ABC所成二面角的大小.
解：∵面ABC∥面A1B1C1，则面BB1C1C∩面ABC=BC,
面BB1C1C∩面A1B1C1=B1C1,∴BC∥B1C1，则B1C1∥面ABC.
设所求两面交线为AE，即二面角的棱为AE,
则B1C1∥AE，即BC∥AE.
过C1作C1D⊥BC于D，∵面BB1C1C⊥面ABC,
∴C1D⊥面ABC，C1D⊥BC.
又∠C1CD=60°,CC1=a,故CD=,即D为BC的中点.
又△ABC是等边三角形,∴BC⊥AD.
那么有BC⊥面DAC1,即AE⊥面DAC1.
故AE⊥AD，AE⊥AC1,
∠C1AD就是所求二面角的平面角.
∵C1D=a，AD=a，C1D⊥AD,故∠C1AD=45°.
2、如图8,三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成30°角，求二面角BB1CA的正弦值.
解：由直三棱柱性质得平面ABC⊥平面BCC1B1，过A作AN⊥平面BCC1B1，垂足为N，则AN⊥平面BCC1B1（AN即为我们要找的垂线）,在平面BCB1内过N作NQ⊥棱B1C，垂足为Q，连接QA，则∠NQA即为二面角的平面角.
∵AB1在平面ABC内的射影为AB，CA⊥AB，
∴CA⊥B1A.AB=BB1=1，得AB1=.
∵直线B1C与平面ABC成30°角，∴∠B1CB=30°，B1C=2.
在Rt△B1AC中，由勾股定理,得AC=.∴AQ=1.
在Rt△BAC中，AB=1，AC=，得AN=.
sin∠AQN==,
即二面角BB1CA的正弦值为
【课后补充作业】
1、如图9，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD=AC,
图9
（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；
（2）求二面角CBDA的余弦值.
（1）证明：(证法一):由题设,知AD=CD=BD,作DO⊥平面ABC，O为垂足，则OA=OB=OC.
∴O是△ABC的外心，即AB的中点.
∴O∈AB，即O∈平面ABD.
∴OD平面ABD.∴平面ABD⊥平面ABC.
(证法二):取AB中点O，连接OD、OC,
则有OD⊥AB，OC⊥AB，即∠COD是二面角CABD的平面角.
设AC=a，则OC=OD=,
又CD=AD=AC,∴CD=a.∴△COD是直角三角形，即∠COD=90°.
∴二面角是直二面角，即平面ABD⊥平面ABC.
（2）解:取BD的中点E，连接CE、OE、OC,∵△BCD为正三角形，∴CE⊥BD.
又△BOD为等腰直角三角形,∴OE⊥BD.∴∠OEC为二面角CBDA的平面角.
同（1）可证OC⊥平面ABD,∴OC⊥OE.∴△COE为直角三角形.
设BC=a，则CE=a，OE=a,∴cos∠OEC=即为所求.
2、如图10，在矩形ABCD中，AB=33,BC=3，沿对角线BD把△BCD折起，使C移到C′，且C′在面ABC内的射影O恰好落在AB上.
（1）求证：AC′⊥BC′；
（2）求AB与平面BC′D所成的角的正弦值；
（3）求二面角C′BDA的正切值.
（1）证明：由题意,知C′O⊥面ABD,∵C′OABC′,
∴面ABC′⊥面ABD.
又∵AD⊥AB,面ABC′∩面ABD=AB,∴AD⊥面ABC′.∴AD⊥BC′.
∵BC′⊥C′D,∴BC′⊥面AC′D.∴BC′⊥AC′.
(2)解:∵BC′⊥面AC′D,BC′面BC′D,∴面AC′D⊥面BC′D.
作AH⊥C′D于H,则AH⊥面BC′D,连接BH,则BH为AB在面BC′D上的射影,
∴∠ABH为AB与面BC′D所成的角.
又在Rt△AC′D中,C′D=33,AD=3,∴AC′=3.∴AH=.
∴sin∠ABH=,即AB与平面BC′D所成角的正弦值为.
(3)解:过O作OG⊥BD于G,连接C′G,则C′G⊥BD,则∠C′GO为二面角C′BDA的平面角.
在Rt△AC′B中,C′O=,
在Rt△BC′D中,C′G=.
∴OG==.∴tan∠C′GO=,
即二面角C′BDA的正切值为.
3、如图11，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点.
(1)证明：AM⊥PM；
(2)求二面角PAMD的大小.
图11 图12
(1)证明：如图12,取CD的中点E，连接PE、EM、EA,
∵△PCD为正三角形,
∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=.
∵平面PCD⊥平面ABCD,∴PE⊥平面ABCD.
∵四边形ABCD是矩形,
∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形.
由勾股定理可求得EM=，AM=，AE=3,
∴EM2+AM2=AE2.∴AM⊥EM.
又EM是PM在平面ABCD上的射影,∴∠AME=90°.∴AM⊥PM.
(2)解:由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM,
∴∠PME是二面角PAMD的平面角.
∴tan∠PME==1.∴∠PME=45°.
∴二面角PAMD为45°.
图6
图5
图7
图9
图10
图11
图13
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图1
图2
图3
图4
图5
图5
图7
图8
图10
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图7
图8
图9
图1
图2
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图1
图2
(1)
(2)
(3)
图3
图4
图4
图5
图6
图7
图8
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图1
图2
图5
图6
图7
图8
图10
- 37 -
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平面
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【目标导航】
1、正确理解平面的几何概念,掌握平面的基本性质.；
2、熟练掌握三种数学语言的转换与翻译,结合三个公理的应用会证明共点、共线、共面问题.。
【知识汇总】
①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念）。平面的基本特征是无限延展性。
②平面通常画成平行四边形，平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图1。如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图2.
图1 图2
③平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图3)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD（图4）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC（图5）.
图3 图4
④点与直线、平面的位置关系如下表：
点A在直线a上（或直线a经过点A） A∈a 元素与集合间的关系
点A在直线a外（或直线a不经过点A） Aa
点A在平面α内（或平面α经过点A） A∈α
点A在平面α外（或平面α不经过点A） Aα
公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
用符号语言表示：
若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则aα.
图形语言表示（图5）：
公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
如图（图6）.
公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
用符号语言表示为：P∈α，且P∈βα∩β=l，且P∈l。
图形语言表示（图7）：
典型例题
例1、画图表示下列由集合符号给出的关系：
(1)A∈α,Bα,A∈l,B∈l;
(2)aα,bβ,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.
解：如图8，
图8
例2、如图9，已知α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC与EF相交，
在图中分别画出平面ABC与α、β的交线.
解：如图10所示，连接CB，
∵C∈β,B∈β,∴直线CBβ.
∵直线CB平面ABC，∴β∩平面ABC=直线CB.
设直线CB与直线EF交于D,
∵α∩β=EF,∴D∈α,D∈平面ABC.
∵A∈α,A∈平面ABC，
∴α∩平面ABC=直线AD.
例3 已知直线a和直线b相交于点A。求证：过直线a和直线b有且只有一个平面。
证明：如图11,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B，b上取一点C，
根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面α，
因为A、B在平面α内，根据公理1，直线a在平面α内,
同理直线b在平面α内，即平面α是经过直线a和直线b的平面.
又因为A、B在a上，A、C在b上，所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C.
于是根据公理2，经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个，
所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.
经验小结：
图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：
(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来.
(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来.
课时检测（时间：10分钟 满分：10分）
1.根据下列条件，画出图形.
（1）平面α∩平面β=l，直线ABα，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β=F，Fl;
（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三个顶点满足条件:A∈a，B∈α，Ba，C∈β，Ca.
答案：如图12.
图12
【课后补充作业】
1、已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线.
解：如图13,∵A、B、C是不在同一直线上的三点,
∴过A、B、C有一个平面β.
又∵AB∩α=P，且ABβ,
∴点P既在β内又在α内.设α∩β=l,则P∈l,
同理可证：Q∈l,R∈l,
∴P、Q、R三点共线.
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
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【目标导航】
1、正确理解空间中直线与直线的位置关系，特别是两直线的异面关系；
2、.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用。
【知识汇总】
①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线。
②空间两条直线的位置关系有且只有三种：
③为了表示异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.
④公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表示为：a∥b,b∥ca∥c。
注意：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4是判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用。
⑤等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
⑥异面直线a、b所成的角：在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.
典型例题
例1 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点.
求证：EB1∥DF，ED∥B1F.
证明：如图3，设G是DD1的中点，分别连接EG，GC1.
∵EGA1D1，B1C1A1D1,
∴EGB1C1.四边形EB1C1G是平行四边形,
∴EB1GC1.
同理可证DFGC1，∴EB1DF.
∴四边形EB1FD是平行四边形.
∴ED∥B1F.
例2 如图4，点A是BCD所在平面外一点，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=AD，求异面直线AD和BC所成的角.
解：设G是AC中点，连接EG、FG.
因E、F分别是AB、CD中点，故EG∥BC且EG=，FG∥AD，且FG=.由异面直线所成角定义可知EG与FG所成锐角或直角为异面直线AD、BC所成角，即∠EGF为所求.
由BC=AD知EG=GF=，又EF=AD,由勾股定理可得∠EGF=90°.
点评：本题的平移点是AC中点G，按定义过G分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG中求角.通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系.
经验小结：
空间中直线与直线的位置关系是立体几何的基础，本节通过空间模型让学生直观感受两直线的位置关系，进一步培养学生的空间想象能力.两直线的异面关系是本节的重点和难点，求两异面直线所成的角，正是等角正理的一个应用，能找到空间中适当的点O是解决此类问题的关键。
课时检测（时间：10分钟 满分：10分）
1、三个角是直角的四边形（ ）
A.一定是矩形 B.一定是空间四边形
C.是四个角为直角的空间四边形 D.不能确定
2、一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ）
A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交
3、若a和b异面，b和c异面，则（ ）
A.a∥c B.a和c异面
C.a和c相交 D.a与c或平行或相交或异面
4、设空间四边形ABCD，E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点，若AB=，CD=，且HG·HE·sin∠EHG=，求AB和CD所成的角.
解：如图5，由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，
∴∠EHG就是异面直线AB和CD所成的角.
由题意可知EFGH是平行四边形，HG=，HE=，
∴HG·HE·sin∠EHG=sin∠EHG.
∴sin∠EHG=.
∴sin∠EHG=.故∠EHG=45°.
∴AB和CD所成的角为45°.
【课后补充作业】
如图6，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：
（1）AB与CC1；
（2）A1B1与DC；
（3）A1C与D1B；
（4）DC与BD1；
（5）D1E与CF.
解：（1）∵C∈平面ABCD，AB平面ABCD，又CAB，C1平面ABCD,
∴AB与CC1异面.
（2）∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC.
（3）∵A1D1∥B1C1，B1C1∥BC，∴A1D1∥BC，则A1、B、C、D1在同一平面内.
∴A1C与D1B相交.
（4）∵B∈平面ABCD，DC平面ABCD，又BDC，D1平面ABCD,∴DC与BD1异面.
（5）如图10，CF与DA的延长线交于G，连接D1G，
∵AF∥DC，F为AB中点，∴A为DG的中点.
又AE∥DD1，
∴GD1过AA1的中点E.∴直线D1E与CF相交.
点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或重合）.两条直线相交，总可以找到它们的交点.作图时用实点标出.两条直线异面，有时看上去像平行（如图中的EB与A1C），有时看上去像相交（如图中的DC与D1B）.所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条直线异面判定的方法.
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
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【目标导航】
1、结合图形正确理解空间中直线与平面之间的位置关系；
2、进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换。
【知识汇总】
用三种语言描述直线与平面之间的位置关系。
文字语言 符号语言 图形语言
直线在平面内 aα
直线与平面相交 a∩α=A
直线与平面平行 a∥α
典型例题
例1 若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系。并用符号语言表示出来。
解：如图1,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.
用符号语言表示为：若a∩b=A,bα,则aα或a∩α=A.
例2 已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.
已知直线a∥b∥c，直线l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C.
求证：l与a、b、c共面.
证明：如图2,∵a∥b,
∴a、b确定一个平面，设为α.
∵l∩a=A，l∩b=B,∴A∈α，B∈α.
又∵A∈l，B∈l,∴ABα，即lα.
同理b、c确定一个平面β，lβ,
∴平面α与β都过两相交直线b与l.
∵两条相交直线确定一个平面,
∴α与β重合.故l与a、b、c共面.
经验小结：
直线与平面的位置关系是立体几何的重要位置关系，虽没有严格推理和证明，却正好发挥我们空间想象能力和发散思维能力。解决立体几何题，我善于观察图形，灵活运用公理。
课时检测（时间：10分钟 满分：10分）
1、 若直线a不平行于平面α,且aα,则下列结论成立的是( )
A.α内的所有直线与a异面 B.α内的直线与a都相交
C.α内存在唯一的直线与a平行 D.α内不存在与a平行的直线
分析：如图3,若直线a不平行于平面α,且aα,则a与平面α相交.
例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A′B相交，直线CD与直线A′B异面，所以A、B都不正确；平面ABCD内不存在与a平行的直线，所以应选D.
2、若直线aα,则下列结论中成立的个数是( )
(1)α内的所有直线与a异面 (2)α内的直线与a都相交 (3)α内存在唯一的直线与a平行 (4)α内不存在与a平行的直线
A.0 B.1 C.2 D.3
分析：∵直线aα,∴a∥α或a∩α=A.
如图4,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.
答案：A
3、若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.
分析：如图5，另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.
用符号语言表示为：若a与b异面,aα,则b∥α或b∩α=A.
点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面.
【课后补充作业】
1、过空间一点，能否作一个平面与两条异面直线都平行？
解：(1)如图11,
C′D′与BD是异面直线，可以过P点作一个平面与两异面直线C′D′、BD都平行.
如图12,
图11 图12 图13
显然，平面PQ是符合要求的平面.
(2)如图13,当点P与直线C′D′确定的平面和直线BD平行时，不存在过P点的平面与两异面直线C′D′、BD都平行.
点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考虑问题要全面即注意发散思维.
2、已知α∩β=l,aα且aβ,bβ且bα,又a∩b=P.
求证：a与β相交,b与α相交.
证明：如图14,∵a∩b=P,
∴P∈a,P∈b.
又bβ,∴P∈β.
∴a与β有公共点P,即a与β相交.
同理可证,b与α相交.
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
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【目标导航】
1、结合图形正确理解空间中平面与平面之间的位置关系；
2、进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换。
【知识汇总】
①两个平面平行——没有公共点.
②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，如图1.
图1 图2
③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图2，用符号语言表示为：P∈α且P∈βα∩β=l,且P∈l.
④两个平面相交——有一条公共直线.
⑤如果两个平面没有公共点，则两平面平行若α∩β=,则α∥β.
如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交若α∩β=AB,则α与β相交.
两平面平行与相交的图形表示如图3.
图3
典型例题
例1 已知平面α,β,直线a,b,且α∥β,aα,bβ,则直线a与直线b具有怎样的位置关系
活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价.
解：如图4,直线a与直线b的位置关系为平行或异面.
图4
例2 如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.
解：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条,如图5.
图5
例3 α∩β=l,aα,bβ,试判断直线a、b的位置关系,并画图表示.
解：如图6,直线a、b的位置关系是平行、相交、异面.
图6
经验小结：
平面与平面的位置关系和直线与平面的位置关系一样是立体几何的重要位置关系，虽没有严格推理和证明，却正好发挥我们的空间想象能力和发散思维能力。
课时检测（时间：10分钟 满分：10分）
1、如图7，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、D1C1的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l，
（1）画出l的位置；
（2）设l∩A1B1=P，求PB1的长.
解：（1）平面DMN与平面AD1的交线为DM，
则平面DMN与平面A1C1的交线为QN.
QN即为所求作的直线l.如图10.
（2）设QN∩A1B1=P,
∵△MA1Q≌△MAD，∴A1Q=AD=a=A1D1,
∴A1是QD1的中点.又A1P∥D1N,
∴A1P=D1N=C1D1=a.
∴PB1=A1B1－A1P=.
2、画出四面体ABCD中过E、F、G三点的截面与四面体各面的交线.
解：如图8,分别连接并延长线段EF、BD，
∵线段EF、BD共面且不平行，∴线段EF、BD相交于一点P.
∴连接GP交线段CD于H,分别连接EG、GH、FH即为所作交线.
【课后补充作业】
1、α∩β=l,aα,bβ,b∩β=P,试判断直线a、b的位置关系,并画图表示.
解：如图9,直线a、b的位置关系是相交、异面.
图9
2、画出四面体ABCD中过E、F、G三点的截面与四面体各面的交线.
解：如图10,分别连接并延长线段EF、BD，
∵线段EF、BD共面且不平行，∴线段EF、BD相交于一点P.
∴连接GP交线段CD于H,分别连接EG、GH、FH即为所作交线.
3、三棱柱的各面把空间分成几部分
解：分为21部分.
4、已知平面α∩平面β=a,bα,b∩a=A,cβ且c∥a,
求证：b、c是异面直线.
证明：反证法：若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交.
(1)若b∥c.∵a∥c,∴a∥b.这与a∩b=A矛盾.
(2)若b、c相交于B,则B∈β.又a∩b=A,∴A∈β.
∴ABβ,即bβ.这与b∩β=A矛盾.
∴b,c是异面直线.
2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
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【目标导航】
1、探究并掌握直线与平面平行的判定定理；
2、会用直线与平面平行的判定定理的。
【知识汇总】
直线与平面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
符号语言为：.
图形语言为：如图1.
证明：∵a∥b，∴a、b确定一个平面，设为β.
∴aβ，bβ.
∵aα，aβ，∴α和β是两个不同平面.
∵bα且bβ，
∴α∩β=b.假设a与α有公共点P,
则P∈α∩β=b，即点P是a与b的公共点，这与已知a∥b矛盾.
∴假设错误.故a∥α.
典型例题
例1、设P、Q是边长为a的正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心,如图2,
（1）证明PQ∥平面AA1B1B；
（2）求线段PQ的长.
(1)证法一：取AA1,A1B1的中点M,N,连接MN,NQ,MP,
∵MP∥AD,MP=,NQ∥A1D1,NQ=,
∴MP∥ND且MP=ND.
∴四边形PQNM为平行四边形.
∴PQ∥MN.
∵MN面AA1B1B,PQ面AA1B1B,
∴PQ∥面AA1B1B.
证法二：连接AD1,AB1,在△AB1D1中,显然P,Q分别是AD1,D1B1的中点,
∴PQ∥AB1,且PQ=.
∵PQ面AA1B1B,AB1面AA1B1B,
∴PQ∥面AA1B1B.
(2)解:方法一:PQ=MN=.
方法二：PQ=.
例2、如图3，已知AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别为AB、BC、CD的中点.
求证：AC∥平面EFG，BD∥平面EFG.
证明：连接AC、BD、EF、FG、EG.
在△ABC中，
∵E、F分别是AB、BC的中点,∴AC∥EF.
又EF面EFG，AC面EFG,
∴AC∥面EFG.
同理可证BD∥面EFG.
经验小结：
线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，线面平行的判定是高考考查的重点，多年来，高考立体几何第一问往往考查线面平行的判定。利用平面几何中的平行线截比例线段定理，三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.
课时检测（时间：10分钟 满分：10分）
1、如图4,在△ABC所在平面外有一点P，M、N分别是PC和AC上的点，过MN作平面平行于BC，画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法.
画法：过点N在面ABC内作NE∥BC交AB于E，过点M在面PBC内作MF∥BC交PB于F，连接EF，则平面MNEF为所求，其中MN、NE、EF、MF分别为平面MNEF与各面的交线.
证明：如图5,
.
所以,BC∥平面MNEF.
点评：“见中点，找中点”是证明线线平行常用方法，而证明线面平行往往转化为证明线线平行.
2、如图6，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E=BF.
求证：EF∥平面BB1C1C.
证明：连接AF并延长交BC于M，连接B1M.
∵AD∥BC,∴△AFD∽△MFB.
∴.
又∵BD=B1A，B1E=BF,∴DF=AE.
∴.
∴EF∥B1M，B1M平面BB1C1C.
∴EF∥平面BB1C1C.
【课后补充作业】
1、已知M、N分别是△ADB和△ADC的重心，A点不在平面α内，B、D、C在平面α内，求证：MN∥α.
证明：如图7,连接AM、AN并延长分别交BD、CD于P、Q，连接PQ.
∵M、N分别是△ADB、△ADC的重心，
∴=2.∴MN∥PQ.
又PQα，MNα,∴MN∥α.
2、已知四棱锥P—ABCD的底面为平行四边形,M为PC的中点,求证:PA∥平面MBD.
证明：如图8,连接AC、BD交于O点,连接MO,
∵O为AC的中点,M为PC的中点,
∴MO为△PAC的中位线.
∴PA∥MO.
∵PA平面MBD,MO平面MBD,
∴PA∥平面MBD.
3、如图9，已知平行四边形ABCD和平行四边形ACEF所在的平面相交于AC,M是线段EF的中点.
求证:AM∥平面BDE.
证明：设AC∩BD=O，连接OE，
∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是平行四边形，
∴四边形AOEM是平行四边形.
∴AM∥OE.
∵OE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.
2.2.1平面与平面平行的判定
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【目标导航】
1、理解并掌握两平面平行的判定定理；
2、会用这个定理证明两个平面的平行。
【知识汇总】
定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
由定理可知，平面与平面平行的问题可转化为直线与平面平行的问题来解决。
平面与平面平行的判定定理可用符号来表示：
aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥αβ∥α
典型例题
1.如图1，P是△ABC所在平面外的一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心。求证：平面ABC∥平面A′B′C′；
证明：（1）连接PA′、PB′、PC′并延长交BC、AC、AB于D、E、F，连接DE、EF、DF.
∵A′、C′分别是△PBC、△PAB的重心,
∴PA′=，PC′=.
∴A′C′∥DF.∵A′C′平面ABC，DF平面ABC,
∴A′C′∥平面ABC.同理,A′B′∥平面ABC.
又A′C′∩A′B′=A′，A′C′、A′B′平面A′B′C′,
∴平面ABC∥平面A′B′C′.
例2、如图2,在正方体ABCD—EFGH中，M、N、P、Q、R分别是EH、EF、BC、CD、AD的中点，求证：平面MNA∥平面PQG.
证明：∵M、N、P、Q、R分别是EH、EF、BC、CD、AD的中点，
∴MN∥HF,PQ∥BD.∵BD∥HF,
∴MN∥PQ.
∵PR∥GH,PR=GH;MH∥AR,MH=AR,
∴四边形RPGH为平行四边形，四边形ARHM为平行四边形.
∴AM∥RH,RH∥PG.∴AM∥PG.
∵MN∥PQ,MN平面PQG,PQ平面PQG,
∴MN∥平面PQG.
同理可证，AM∥平面PQG.又直线AM与直线MN相交，
∴平面MNA∥平面PQG.
点评：证面面平行，通常转化为证线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，所以关键是证线线平行.
经验小结：
根据两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。要使用判定定理证明两个平面平行关键是：如何构造一个平面内的两相交直线都平行于另一个平面。证明的步骤，第一，先在一个平面找个两个直线利用线面平行，证明它们分别平行于另一个平面，第二，证（说）明这两条直线相交。
课时检测（时间：10分钟 满分：10分）
1、两个平面平行的条件是（D）
A.一个平面内一条直线平行于另一个平面
B.一个平面内两条直线平行于另一个平面
C.一个平面内的无数条直线平行于另一个平面
D.一个平面内的任一条直线平行于另一个平面
2、a b是两条异面直线，求证：过a和b分别存在平面α和β，使α∥β；
【课后补充作业】
1．a、b为异面直线，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β．求证：α∥β．
2.2.3 直线与平面平行的性质
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1、理解直线与平面平行的性质定理；
2、体会直线与平面平行的性质定理的应用。
【知识汇总】
1、直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
这个定理用符号语言可表示为：
这个定理用图形语言可表示为：如图1.
2、直线与平面平行的性质定理的证明。
已知a∥α，aβ，α∩β=b.求证：a∥b.
证明：
典型例题
例1 求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行。如图2.
已知a∥b,aα，bβ，α∩β=c.
求证：c∥a∥b.
证明：
例2 如图3，平行四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，求证：BD∥面EFGH，AC∥面EFGH.
证明：∵EFGH是平行四边形
经验小结：
应用直线与平面平行的性质定理需要过已知直线作一个平面，是最难应用的定理之一；一般做法是：“过直线作平面，把线面平行转化为线线平行”。
课时检测（时间：10分钟 满分：10分）
1、 求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行。
已知：如图10,a∥α,a∥β,α∩β=b，
求证：a∥b.
证明：如图4，过a作平面γ、δ，使得γ∩α=c，δ∩β=d，那么有
点评：本题证明过程，实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程.这是证明线线平行的一种典型的思路.
2、已知：a∥α，A∈α，A∈b，且b∥a.求证：bα.
证明：假设bα，如图5，
设经过点A和直线a的平面为β，α∩β=b′,
∵a∥α，∴a∥b′(线面平行则线线平行).
又∵a∥b，∴b∥b′,这与b∩b′=A矛盾.
∴假设错误.故bα.
【课后补充作业】
1、如图6，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB.
（1）求证：EFGH是矩形；
（2）设DE=m,EB=n,求矩形EFGH的面积.
(1)证明：∵CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD=EF,
∴CD∥EF.同理HG∥CD,∴EF∥HG.
同理HE∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形.
由CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF为CD和AB所成的角.
又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.
∴四边形EFGH为矩形.
（2）解：由（1）可知在△BCD中EF∥CD，DE=m，EB=n,
∴.又CD=a,∴EF=.
由HE∥AB,∴.
又∵AB=b,∴HE=.
又∵四边形EFGH为矩形,
∴S矩形EFGH=HE·EF=.
点评：线面平行问题是平行问题的重点，有着广泛应用.
2.2.4 平面与平面平行的性质
编写 ×××
【目标导航】
1、理解并掌握两平面平行的性质定理；
2、会用两平面平行的性质定理。
【知识汇总】
1、直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
两个平面平行的性质定理用符号语言表示为：a∥b.
两个平面平行的性质定理用图形语言表示为：如图1.
2、直线与平面平行的性质定理的证明（略）。
典型例题
例1、如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.
解：已知α∥β，γ∥β，求证：α∥γ.
证明：如图2，作两个相交平面分别与α、β、γ交于a、c、e和b、d、f,
.
点评：欲将面面平行转化为线线平行，先要作平面.
例2、已知：a、b是异面直线，a平面α,b平面β，a∥β，b∥α.
求证：α∥β.
证明：如图3,在b上任取点P，显然Pa.于是a和点P确定平面γ，
且γ与β有公共点P.
设γ∩β=a′，∵a∥β，∴a′∥a.∴a′∥α.
这样β内相交直线a′和b都平行于α，∴α∥β.
经验小结：
见到面面平行,利用面面平行的性质定理转化为线线平行,本节是“转化思想”的典型素材.
课时检测（时间：10分钟 满分：10分）
1、已知：如图4，α∥β，AB∥CD，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β.
求证：AB=CD.
证明：∵AB∥CD，
∴过AB、CD的平面γ与平面α和β分别交于AC和BD.
∵α∥β，∴BD∥AC.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD.
2、如图5，已知平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，E、F分别为AB、CD的中点.
求证：EF∥α，EF∥β.
证明：当AB、CD共面时，平面ABCD∩α=AC，
平面ABCD∩β=BD.
∵α∥β，∴AC∥BD.
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴EF∥AC.
∵ACα，EFα，
∴EF∥α.同理,EF∥β.
当AB、CD异面时，
∵ECD，
∴可在平面ECD内过点E作C′D′∥CD，与α，β分别交于C′，D′.
平面AC′BD′∩α=AC′，平面AC′BD′∩β=BD′，
∵α∥β，∴AC′∥BD′.
∵E是AB中点，∴E也是C′D′的中点.
平面CC′D′D∩α=CC′，平面CC′D′D∩β=DD′，
∵α∥β，
∴CC′∥DD′.
∵E、F分别为C′D′、CD的中点，∴EF∥CC′，EF∥DD′.
∵CC′α，EFα,∴EF∥α.同理,EF∥β.
【课后补充作业】
1.如图6，两条异面直线AB、CD与三个平行平面α、β、γ分别相交于A、E、B及C、F、D，又AD、BC与平面的交点为H、G。求证：EHFG为平行四边形.
证明：AC∥EG.同理,AC∥HF.
EG∥HF.同理,EH∥FG.故EHFG是平行四边形.
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定
编写 ×××
【目标导航】
1、探究直线与平面垂直的判定定理，提高空间想象能力；
2、掌握直线与平面垂直的判定定理的应用。
【知识汇总】
1、直线与平面垂直的定义和画法：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图1。
2、直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
直线和平面垂直的判定定理用符号语言表示为：l⊥α.
直线和平面垂直的判定定理用图形语言表示为：如图2,
3、斜线在平面内的射影.
斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线就叫做这个平面的斜线.
斜足：斜线和平面的交点.
斜线在平面内的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
特别地：如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角.
4、点到平面的距离：
经过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影，点在平面内的射影还是一个点.
垂线段：上述的点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.
点到平面的距离：垂线段的长叫做点到平面的距离.
典型例题
例1 如图(1)，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC.
(1)求证：D1C⊥AC1；
（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，
并说明理由。
（1）证明：在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，
连接C1D，如图(2).
∵DC=DD1，
∴四边形DCC1D1是正方形.
∴DC1⊥D1C.
又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1=D,
∴AD⊥平面DCC1D1，D1C平面DCC1D1.
∴AD⊥D1C.
∵AD、DC1平面ADC1，且AD∩DC1=D,
∴D1C⊥平面ADC1.
又AC1平面ADC1，∴D1C⊥AC1.
(2)解：连接AD1、AE，如图(3).
设AD1∩A1D=M,
BD∩AE=N,连接MN，
∵平面AD1E∩平面A1BD=MN，
要使D1E∥平面A1BD，
需使MN∥D1E，
又M是AD1的中点，
∴N是AE的中点.
又易知△ABN≌△EDN，
∴AB=DE,
即E是DC的中点.
综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.
例2 如图3，ABCD为正方形，过A作线段SA⊥面ABCD，又过A作与SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H，求证：E、H分别是点A在直线SB和SD上的射影.
证明：∵SA⊥BC,
又∵AB⊥BC,SA∩AB=A,
∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE.
∵SC⊥平面AHKE,∴SC⊥AE.
又BC∩SC=C,∴AE⊥平面SBC.
∴AE⊥SB,即E为A在SB上的射影.同理可证,H是点A在SD上的射影.
经验小结：
利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.
课时检测（时间：10分钟 满分：10分）
1、如图4，在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，
O为底面ABCD的中心.
求证：A1O⊥平面GBD.
证明：BD⊥A1O.
又∵A1O2=A1A2+AO2=a2+()2=,OG2=OC2+CG2=()2+()2=,
A1G2=A1C12+C1G2=(a)2+()2=,
∴A1O2+OG2=A1G2.
∴A1O⊥OG.又BD∩OG=O,∴A1O⊥平面GBD.
点评：判断线面垂直往往转化为线线垂直，勾股定理也是证明线线垂直的重要方法.
2、已知Rt△ABC的斜边BC在平面α内，两直角边AB、AC与α都斜交，点A在平面α内的射影是点A′，求证：∠BA′C是钝角.
证明：如图14，过A作AD⊥BC于D，连接A′D，
∵AA′⊥α，BCα，∴AA′⊥BC.
∴BC⊥A′D.
∵tan∠BAD=＜tan∠BA′D=，
tan∠CAD=＜tan∠CA′D=，
∴∠BAD＜∠BA′D，∠CAD＜∠CA′D.
∴∠BAC＜∠BA′C，即∠BA′C是钝角.
【课后补充作业】
1、如图15，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，线段AB与两异面直线a、b垂直且相交，线段AB的长为定值m，定长为n（n＞m）的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点.
图15
求证：（1）AB⊥MN；
（2）MN的长是定值.
证明：(1)取PB中点H,连接HN,则HN∥b.
又∵AB⊥b,∴AB⊥HN.
同理,AB⊥MH.
∴AB⊥平面MNH.∴AB⊥MN.
(2)∵b⊥平面PAB.∴b⊥PB.
在Rt△PBQ中,BQ2=PQ2-PB2=n2-PB2, ①
在Rt△PBA中,PA2=PB2-AB2=PB2-m2, ②
①②两式相加PA2+BQ2=n2-m2,∵a⊥b,∴∠MHN=90°.
∴MN=(定值).
2、如图16，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3，AB=5，BC=4,AA1=4,点D是AB的中点.
图16
（1）求证：AC⊥BC1;
（2）求证：AC1∥平面CDB1；
（1）证明：∵在△ABC中,AC=3,AB=5,BC=4,
∴△ABC为直角三角形.∴AC⊥CB.
又∵CC1⊥面ABC,AC面ABC,∴AC⊥CC1.
∴AC⊥面BCC1B1.又BC1面BCC1B1,∴AC⊥BC1.
（2）证明：连接B1C交BC1于E，则E为BC1的中点，连接DE,则在△ABC1中,DE∥AC1.
又DE面CDB1,则AC1∥面B1CD.
2.3.2 平面与平面垂直的判定
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【目标导航】
1、探究并理解平面与平面垂直的判定定理，理解二面角的定义并会应用；
2、归纳总结求二面角的方法。
【知识汇总】
①二面角的有关概念.
二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.
二面角常用直立式和平卧式两种画法：如图2。
直立式： 平卧式：
(1) (2)
图2
二面角的表示方法：如图3中，棱为AB，面为α、β的二面角，记作二面角α-AB-β.有时为了方便也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q.
图3
如果棱为l，则这个二面角记作αlβ或PlQ.
②二面角的平面角的概念.
如图4,在二面角αlβ的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成∠AOB.
图4
再取棱上另一点O′，在α和β内分别作l的垂线O′A′和O′B′，则它们组成角∠A′O′B′.
因为OA∥O′A′,OB∥O′B′，所以∠AOB及∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同,
即∠AOB=∠A′O′B′.
从上述结论说明了：按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关.
由此结果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
图中的∠AOB,∠A′O′B′都是二面角αlβ的平面角.
③直二面角的定义.
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的.
两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来定义，二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角.
两个平面互相垂直的定义可表述为：
如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.
直二面角的画法：如图5.
④两个平面垂直的判定定理.
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
两个平面垂直的判定定理符号表述为：α⊥β.
两个平面垂直的判定定理图形表述为：如图6.
证明如下：
已知AB⊥β，AB∩β=B，ABα.
求证：α⊥β.
分析：要证α⊥β,需证α和β构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其中一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角.
证明：设α∩β=CD，则由ABα,知AB、CD共面.
∵AB⊥β，CDβ,∴AB⊥CD，垂足为点B.
在平面β内过点B作直线BE⊥CD,
则∠ABE是二面角αCDβ的平面角.
又AB⊥BE，即二面角αCDβ是直二面角,
∴α⊥β.
⑤应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线,即要证面面垂直转化为证线线垂直.
典型例题
例1、如图7，把等腰Rt△ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD=AC，
（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；
（2）求二面角CBDA的余弦值.
（1）证明：由题设,知AD=CD=BD,
作DO⊥平面ABC，O为垂足，则OA=OB=OC.
∴O是△ABC的外心，即AB的中点.
∴O∈AB，即O∈平面ABD.
∴OD平面ABD.
∴平面ABD⊥平面ABC.
（2）解:取BD的中点E，连接CE、OE、OC,
∵△BCD为正三角形，∴CE⊥BD.
又△BOD为等腰直角三角形,∴OE⊥BD.
∴∠OEC为二面角CBDA的平面角.
同（1）可证OC⊥平面ABD.
∴OC⊥OE.∴△COE为直角三角形.
设BC=a，则CE=，OE=，∴cos∠OEC=.
点评：欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平面的垂线.
例2、如图8所示，河堤斜面与水平面所成二面角为60°，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走到10 m时人升高了多少？（精确到0.1 m）
解：取CD上一点E，设CE=10 m，过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，则线段EG的长就是所求的高度.
在河堤斜面内，作EF⊥AB，垂足为F，并连接FG,
则FG⊥AB,即∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成二面角的平面角,
∠EFG=60°,由此,得EG=EFsin60°=CEsin30°sin60°=10×≈4.3（m）.
答：沿直道行走到10 m时人升高约4.3 m.
经验小结：
二面角是本节的另一个重点，作二面角的平面角最常用的方法是：在一个半平面α内找一点C，作另一个半平面β的垂线，垂足为O,然后通过垂足O作棱AB的垂线，垂足为E,连接AE,则∠CEO为二面角α-AB-β的平面角。
课时检测（时间：10分钟 满分：10分）
1、已知二面角αABβ等于45°，CDα，D∈AB，∠CDB=45°.
求CD与平面β所成的角.
解：如图10，作CO⊥β交β于点O，连接DO，则∠CDO为DC与β所成的角.
图10
过点O作OE⊥AB于E，连接CE，则CE⊥AB.
∴∠CEO为二面角αABβ的平面角，
即∠CEO=45°.
设CD=a,则CE=,∵CO⊥OE，OC=OE，
∴CO=.∵CO⊥DO,∴sin∠CDO=.
∴∠CDO=30°,即DC与β成30°角.
例1 如图11，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°.
图11
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）求点A到平面PBD的距离；
（3）求二面角APBD的余弦值.
（1）证明：设AC与BD交于点O，连接PO,
∵底面ABCD是菱形,∴BD⊥AC.
∵PA⊥底面ABCD,BD平面ABCD,∴的PA⊥BD.
又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.
又∵BD平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAC.
(2)解：作AE⊥PO于点E,∵平面PBD⊥平面PAC,∴AE⊥平面PBD.
∴AE为点A到平面PBD的距离.
在△PAO中,PA=2,AO=2·cos30°=,∠PAO=90°,
∵PO=,∴AE=.
∴点A到平面PBD的距离为.
（3）解：作AF⊥PB于点F,连接EF,
∵AE⊥平面PBD,∴AE⊥PB.
∴PB⊥平面AEF,PB⊥EF.
∴∠AFE为二面角APBD的平面角.
在Rt△AEF中,AE=,AF=,
∴sin∠AFE=,cos∠AFE=.
∴二面角APBD的余弦值为.
【课后补充作业】
1、如图12，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：MN⊥CD；
（3）若二面角PDCA=45°，求证：MN⊥平面PDC.
图12 图13
证明：如图13所示,
（1）取PD的中点Q，连接AQ、NQ,则QNDC,AMDC,
∴QNAM.
∴四边形AMNQ是平行四边形.∴MN∥AQ.
又∵MN平面PAD,AQ平面PAD,∴MN∥平面PAD.
（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.
又∵AQ平面PAD,∴CD⊥AQ.
又∵AQ∥MN,∴MN⊥CD.
（3）由（2）知，CD⊥平面PAD,
∴CD⊥AD,CD⊥PD.
∴∠PDA是二面角PDCA的平面角.∴∠PDA=45°.
又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD.∴AQ⊥PD.
又∵MN∥AQ,∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PD,∴MN⊥平面PDC.
2、如图14,已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB=60°,AD=AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点.
图14
（1）求证：直线MF∥平面ABCD；
（2）求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1；
（3）求平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小.
（1）证明：延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN.
∵F是BB1的中点，
∴F为C1N的中点，B为CN的中点.
又M是线段AC1的中点，故MF∥AN.
又∵MF平面ABCD,AN平面ABCD,
∴MF∥平面ABCD.
（2）证明：连接BD，由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1,可知AA1⊥平面ABCD,
又∵BD平面ABCD，∴A1A⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.
又∵AC∩A1A=A,AC、A1A平面ACC1A1,
∴BD⊥平面ACC1A1.
在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，
∴四边形DANB为平行四边形.
故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1.
又∵NA平面AFC1,
∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.
（3）解：由（2）,知BD⊥平面ACC1A1，又AC1平面ACC1A1，∴BD⊥AC1.
∵BD∥NA，∴AC1⊥NA.
又由BD⊥AC,可知NA⊥AC，
∴∠C1AC就是平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角或补角.
在Rt△C1AC中，tan∠C1AC=，故∠C1AC=30°.
∴平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°.
3、如图15所示，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，且AB=2，SC=SD=2.
图15
（1）求证：平面SAD⊥平面SBC；
（2）设BC=x，BD与平面SBC所成的角为α，求sinα的取值范围.
（1）证明：在△SDC中，∵SC=SD=，CD=AB=2,
∴∠DSC=90°,即DS⊥SC.
∵底面ABCD是矩形,∴BC⊥CD.
又∵平面SDC⊥平面ABCD,∴BC⊥面SDC.
∴DS⊥BC.∴DS⊥平面SBC.
∵DS平面SAD,∴平面SAD⊥平面SBC.
（2）解：由（1）,知DS⊥平面SBC,∴SB是DB在平面SBC上的射影.
∴∠DBS就是BD与平面SBC所成的角，即∠DBS=α.
那么sinα=.
∵BC=x,CD=2DB=,∴sinα=.
由0＜x＜+∞,得0＜sinα＜.
3、如图16，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD的中点.
图16
（1）求证：EN∥平面PCD；
（2）求证：平面PBC⊥平面ADMN；
（3）求平面PAB与平面ABCD所成二面角的正切值.
(1)证明：∵AD∥BC,BC面PBC,AD面PBC,
∴AD∥面PBC.又面ADN∩面PBC=MN,
∴AD∥MN.∴MN∥BC.
∴点M为PC的中点.∴MNBC.
又E为AD的中点，∴四边形DENM为平行四边形.
∴EN∥DM.∴EN∥面PDC.
（2）证明：连接PE、BE,∵四边形ABCD为边长为2的菱形，且∠BAD=60°,
∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD,∴AD⊥面PBE.∴AD⊥PB.
又∵PA=AB且N为PB的中点,
∴AN⊥PB.∴PB⊥面ADMN.
∴平面PBC⊥平面ADMN.
（3）解：作EF⊥AB，连接PF，∵PE⊥平面ABCD,∴AB⊥PF.
∴∠PFE就是平面PAB与平面ABCD所成二面角的平面角.
又在Rt△AEB中，BE=，AE=1，AB=2,∴EF=.
又∵PE=,∴tan∠PFE==2,
即平面PAB与平面ABCD所成的二面角的正切值为2.
2.3.3 直线与平面垂直的性质
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【目标导航】
掌握直线与平面垂直的性质定理的应用提高逻辑推理的能力。
【知识汇总】
直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为：
垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行.
直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：b∥a.
直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图1。
典型例题
例1 证明垂直于同一个平面的两条直线平行.
解:已知a⊥α,b⊥α.
求证：a∥b.
证明：（反证法）如图2，假定a与b不平行，且b∩α=O,作直线b′，使O∈b′,a∥b′.
直线b′与直线b确定平面β，设α∩β=c,则O∈c.
∵a⊥α,b⊥α,∴a⊥c,b⊥c.
∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O∈b,O∈b′,bβ,b′β,
a∥b′显然不可能，因此b∥a.
例2 如图3，已知α∩β=l,EA⊥α于点A,EB⊥β于点B,aα,a⊥AB.
求证:a∥l.
证明：l⊥平面EAB.
又∵aα,EA⊥α,∴a⊥EA.
又∵a⊥AB,∴a⊥平面EAB.
∴a∥l.
例2、如图4,已知直线a⊥b，b⊥α，aα.
求证：a∥α.
证明：在直线a上取一点A，过A作b′∥b，则b′必与α相交，设交点为B，
过相交直线a、b′作平面β，设α∩β=a′,
∵b′∥b，a⊥b,∴a⊥b′.∵b⊥α，b′∥b,
∴b′⊥α.
又∵a′α,∴b′⊥a′.
由a，b′，a′都在平面β内，且b′⊥a，b′⊥a′知a∥a′.∴a∥α.
例3 如图5，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求证：MN⊥CD；
（2）若∠PDA=45°，求证:MN⊥面PCD.
证明：(1)取PD中点E,又N为PC中点,连接NE,则NE∥CD,NE=CD.
又∵AM∥CD,AM=CD,
∴AMNE.
∴四边形AMNE为平行四边形.
∴MN∥AE.
∵CD⊥AE.
(2)当∠PDA=45°时,Rt△PAD为等腰直角三角形,
则AE⊥PD.又MN∥AE,
∴MN⊥PD,PD∩CD=D.
∴MN⊥平面PCD.
经验小结：
转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题；利用线面垂直的性质定理将线面垂直问题转化为线线平行，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等。
课时检测（时间：10分钟 满分：10分）
1、已知a、b、c是平面α内相交于一点O的三条直线，而直线l和平面α相交，并且和a、b、c三条直线成等角.求证：l⊥α.
证明：分别在a、b、c上取点A、B、C并使AO=BO=CO.设l经过O，在l上取一点P，在△POA、△POB、△POC中，
∵PO=PO=PO，AO=BO=CO，∠POA=∠POB=∠POC，
∴△POA≌△POB≌△POC.
∴PA=PB=PC.取AB的中点D,
连接OD、PD，则OD⊥AB，PD⊥AB.
∵PD∩OD=D,∴AB⊥平面POD.
∵PO平面POD,∴PO⊥AB.
同理,可证PO⊥BC.
∵ABα，BCα，AB∩BC=B,∴PO⊥α，即l⊥α.
若l不经过点O时，可经过点O作l′∥l.用上述方法证明l′⊥α，
∴l⊥α.
2、如图6，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,
（1）求证：BD1⊥平面B1AC;
（2）求B到平面B1AC的距离.
（1）证明：∵AB⊥B1C，BC1⊥B1C,∴B1C⊥面ABC1D1.
又BD1面ABC1D1,∴B1C⊥BD1.
∵B1B⊥AC，BD⊥AC,
∴AC⊥面BB1D1D.又BD1面BB1D1D,∴AC⊥BD1.
∴BD1⊥平面B1AC.
（2）解:∵O∈BD,∴连接OB1交BD1于E.
又O∈AC，∴OB1面B1AC.
∴BE⊥OE，且BE即为所求距离.
∵,∴BE=·OB=.
【课后补充作业】
已知在梯形ABCD中，AB∥CD，CD在平面α内，AB∶CD=4∶6，AB到α的距离为10 cm，求梯形对角线的交点O到α的距离.
解：如图所示，过B作BE⊥α交α于点E，连接DE,
过O作OF⊥DE交DE于点F,
∵AB∥CD，ABα，CDα，∴AB∥α.又BE⊥α,
∴BE即为AB到α的距离，BE=10 cm且∠BED=90°.
∵OF⊥DE,∴OF∥BE,得.
∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD.
∴，得.
又，BE=10 cm,
∴OF=×10=6（cm）.
∵OF∥BE，BE⊥α.
∴OF⊥α，即OF即为所求距离为6 cm.
2.3.4 平面与平面垂直的性质
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【目标导航】
掌握面面垂直的性质定理并会应用。
【知识汇总】
1、两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面。
两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：如图1.
两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为：AB⊥β.
2、两个平面垂直的性质定理证明过程如下：
如图2，已知α⊥β,α∩β=a,ABα，AB⊥a于B.
求证：AB⊥β.
证明：在平面β内作BE⊥CD垂足为B,则∠ABE就是二面角αCDβ的平面角.
由α⊥β,可知AB⊥BE.又AB⊥CD，BE与CD是β内两条相交直线,∴AB⊥β.
3、应用面面垂直的性质定理口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”。
典型例题
例1、如图3,已知平面α交平面β于直线a.α、β同垂直于平面γ，又同平行于直线b.求证：(1)a⊥γ；(2)b⊥γ.
图3 图4
证明：如图4,
(1)设α∩γ=AB，β∩γ=AC.在γ内任取一点P并在γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC.
∵γ⊥α，∴PM⊥α.而aα，∴PM⊥a.
同理,PN⊥a.又PMγ，PNγ，∴a⊥γ.
(2)在a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2.∵b∥α，∴b∥a1.
同理,b∥a2.
∵a1、a2同过Q且平行于b，∴a1、a2重合.
又a1α，a2β，∴a1、a2都是α、β的交线，即都重合于a.
∵b∥a1，∴b∥a.而a⊥γ，∴b⊥γ.
例2 如图5，四棱锥P—ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD.
（1）证明侧面PAB⊥侧面PBC；
（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；
（3）求直线AB与平面PCD的距离.
（1）证明：在矩形ABCD中，BC⊥AB,
又∵面PAB⊥底面ABCD,侧面PAB∩底面ABCD=AB,∴BC⊥侧面PAB.
又∵BC侧面PBC,∴侧面PAB⊥侧面PBC.
（2）解：如图6，取AB中点E，连接PE、CE,又∵△PAB是等边三角形，∴PE⊥AB.
又∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD.
∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角.
PE=BA=,CE==,
在Rt△PEC中，∠PCE=45°为所求.
（3）解：在矩形ABCD中，AB∥CD,
∵CD侧面PCD，AB侧面PCD，∴AB∥侧面PCD.
取CD中点F，连接EF、PF，则EF⊥AB.
又∵PE⊥AB,∴AB⊥平面PEF.又∵AB∥CD,
∴CD⊥平面PEF.∴平面PCD⊥平面PEF.
作EG⊥PF，垂足为G，则EG⊥平面PCD.
在Rt△PEF中，EG=为所求.
经验小结：
线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，尤其是线面垂直问题是立体几何的核心，一个立体几何问题能否解决往往取决于能否作出平面的垂线。
课时检测（时间：10分钟 满分：10分
1、如图7，斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成60°角，侧面BCC1B1⊥面ABC.求平面AB1C1与底面ABC所成二面角的大小.
解：∵面ABC∥面A1B1C1，则面BB1C1C∩面ABC=BC,
面BB1C1C∩面A1B1C1=B1C1,∴BC∥B1C1，则B1C1∥面ABC.
设所求两面交线为AE，即二面角的棱为AE,
则B1C1∥AE，即BC∥AE.
过C1作C1D⊥BC于D，∵面BB1C1C⊥面ABC,
∴C1D⊥面ABC，C1D⊥BC.
又∠C1CD=60°,CC1=a,故CD=,即D为BC的中点.
又△ABC是等边三角形,∴BC⊥AD.
那么有BC⊥面DAC1,即AE⊥面DAC1.
故AE⊥AD，AE⊥AC1,
∠C1AD就是所求二面角的平面角.
∵C1D=a，AD=a，C1D⊥AD,故∠C1AD=45°.
2、如图8,三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成30°角，求二面角BB1CA的正弦值.
解：由直三棱柱性质得平面ABC⊥平面BCC1B1，过A作AN⊥平面BCC1B1，垂足为N，则AN⊥平面BCC1B1（AN即为我们要找的垂线）,在平面BCB1内过N作NQ⊥棱B1C，垂足为Q，连接QA，则∠NQA即为二面角的平面角.
∵AB1在平面ABC内的射影为AB，CA⊥AB，
∴CA⊥B1A.AB=BB1=1，得AB1=.
∵直线B1C与平面ABC成30°角，∴∠B1CB=30°，B1C=2.
在Rt△B1AC中，由勾股定理,得AC=.∴AQ=1.
在Rt△BAC中，AB=1，AC=，得AN=.
sin∠AQN==,
即二面角BB1CA的正弦值为
【课后补充作业】
1、如图9，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD=AC,
图9
（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；
（2）求二面角CBDA的余弦值.
（1）证明：(证法一):由题设,知AD=CD=BD,作DO⊥平面ABC，O为垂足，则OA=OB=OC.
∴O是△ABC的外心，即AB的中点.
∴O∈AB，即O∈平面ABD.
∴OD平面ABD.∴平面ABD⊥平面ABC.
(证法二):取AB中点O，连接OD、OC,
则有OD⊥AB，OC⊥AB，即∠COD是二面角CABD的平面角.
设AC=a，则OC=OD=,
又CD=AD=AC,∴CD=a.∴△COD是直角三角形，即∠COD=90°.
∴二面角是直二面角，即平面ABD⊥平面ABC.
（2）解:取BD的中点E，连接CE、OE、OC,∵△BCD为正三角形，∴CE⊥BD.
又△BOD为等腰直角三角形,∴OE⊥BD.∴∠OEC为二面角CBDA的平面角.
同（1）可证OC⊥平面ABD,∴OC⊥OE.∴△COE为直角三角形.
设BC=a，则CE=a，OE=a,∴cos∠OEC=即为所求.
2、如图10，在矩形ABCD中，AB=33,BC=3，沿对角线BD把△BCD折起，使C移到C′，且C′在面ABC内的射影O恰好落在AB上.
（1）求证：AC′⊥BC′；
（2）求AB与平面BC′D所成的角的正弦值；
（3）求二面角C′BDA的正切值.
（1）证明：由题意,知C′O⊥面ABD,∵C′OABC′,
∴面ABC′⊥面ABD.
又∵AD⊥AB,面ABC′∩面ABD=AB,∴AD⊥面ABC′.∴AD⊥BC′.
∵BC′⊥C′D,∴BC′⊥面AC′D.∴BC′⊥AC′.
(2)解:∵BC′⊥面AC′D,BC′面BC′D,∴面AC′D⊥面BC′D.
作AH⊥C′D于H,则AH⊥面BC′D,连接BH,则BH为AB在面BC′D上的射影,
∴∠ABH为AB与面BC′D所成的角.
又在Rt△AC′D中,C′D=33,AD=3,∴AC′=3.∴AH=.
∴sin∠ABH=,即AB与平面BC′D所成角的正弦值为.
(3)解:过O作OG⊥BD于G,连接C′G,则C′G⊥BD,则∠C′GO为二面角C′BDA的平面角.
在Rt△AC′B中,C′O=,
在Rt△BC′D中,C′G=.
∴OG==.∴tan∠C′GO=,
即二面角C′BDA的正切值为.
3、如图11，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点.
(1)证明：AM⊥PM；
(2)求二面角PAMD的大小.
图11 图12
(1)证明：如图12,取CD的中点E，连接PE、EM、EA,
∵△PCD为正三角形,
∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=.
∵平面PCD⊥平面ABCD,∴PE⊥平面ABCD.
∵四边形ABCD是矩形,
∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形.
由勾股定理可求得EM=，AM=，AE=3,
∴EM2+AM2=AE2.∴AM⊥EM.
又EM是PM在平面ABCD上的射影,∴∠AME=90°.∴AM⊥PM.
(2)解:由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM,
∴∠PME是二面角PAMD的平面角.
∴tan∠PME==1.∴∠PME=45°.
∴二面角PAMD为45°.
图6
图5
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图9
图10
图11
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图2
(1)
(2)
(3)
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