山西省山大附中2012届高三第一次模拟数学（文）试题

山西省山大附中2012届高三第一次模拟试题
数学文
一．选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1.设集合 EMBED Equation.3 ,，若，则实数的值为
A. B. C. D.
2.已知复数 EMBED Equation.DSMT4 （其中，是虚数单位），则的值为
A． B． C．0 D．2
3.已知数列，若点在经过点（5，3）的定直线上，则数列的前9项和=
A．9 B．10 C．18 D．27
4.某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中抽取若干人组成调查小组，相关数据见下表：
相关人员数 抽取人数
公务员 35 b
教师 a 3
自由职业者 28 4
则调查小组的总人数为
A．84 B．12 C．81 D．14
5.阅读右边的程序框图. 若输入, 则输出的值为
A． B． C． D．
6.若是函数图象的一条对称轴，当取最小正数时
A．在单调递增
B．在单调递减
C．在单调递减
D．在单调递增
7.已知函数与函数的图像关于对称且有,若,则的最小值为
A．9 B． C．4 D．5
8.函数 的图象大致是
9.已知点是双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，为的内心，若 成立，则双曲线的离心率为
A．4 B． C．2 D．
10.一个球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么该三棱柱的体积是
A. 96 B. 16 C. 24 D. 48
11.如下图，给定两个平面向量，它们的夹角为，点C在以O为圆心的圆弧AB上，且（其中），则满足的概率为
A． B． C． D．
12.定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为
A． B． C． D．
二.填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.已知正数数列（）定义其“调和均数倒数”（），那么当时，=_______________.
14.若变量满足约束条件，则的最大值是________
15.一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为 ．
16.以下正确命题的序号为 __________
①命题“存在”的否定是：“不存在”；
②函数的零点在区间内；
③若函数满足且，则=1023；
④函数切线斜率的最大值是2.
三.解答题
17.（满分12分）阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有
------①
------②
由①+② 得------③
令 有
代入③得 .
(Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:
;
(Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状.
(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)
18.（满分12分）在四棱锥中，，，⊥平面，为的中
点，．
（Ⅰ）求四棱锥的体积；
（Ⅱ）若为的中点，求证⊥平面；
19.（满分12分）某大学为调查来自南方和北方的同龄大学生的身高差异，从2011级的年龄在1819岁之间的大学生中随机抽取了来自南方和北方的大学生各10名，测量他们的身高，量出的身高如下：（单位：cm）
南方：158,170,166,169,180,175,171,176,162,163;
北方：183,173,169,163,179,171,157,175,178,166;
(Ⅰ)根据抽测结果，画出茎叶图，并根据你画的茎叶图，对来自南方和北方的大学生的身高作比较，写出两个统计结论；
(Ⅱ)若将样本频率视为总体的概率，现从来自南方的身高不低于170的大学生中随机抽取3名同学，求其中恰有两名同学的身高低于175的概率。
20.（满分12分）已知椭圆：的离心率为，且过点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)垂直于坐标轴的直线与椭圆相交于、两点，若以为直径的圆经过坐标原点.证明：圆的半径为定值.
21.（满分12分）已知函数，其中为常数，设为自然对数的底数.
(Ⅰ) 当时，求的最大值；
(Ⅱ) 若在区间上的最大值为，求的值；
（Ⅲ） 当时，试推断方程=是否有实数解.
选做题（本题满分10分，请考生在第22、23、24三题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）
22.如图，圆与圆相交于两点，是圆的直径，过点作圆的切线交圆于点，并与的延长线交于点，分别与圆与圆交于两点。
求证：(Ⅰ)； (Ⅱ)
23.在极坐标系中，曲线，过点（为锐角且）作平行于的直线，且与曲线分别交于两点。
(Ⅰ)以极点为原点，极轴为轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线和直线的普通方程；
(Ⅱ)求的长。
24．已知关于的不等式（其中）。
(Ⅰ)当时，求不等式的解集；
(Ⅱ)若不等式有解，求实数的取值范围。
第一次模拟考试文科数学答案：
CDDBB ABCCD BB
13、 14、2 15. 16、②③
17、解法一：(Ⅰ)证明:因为，------①
，------②……………………………1分
①-② 得.------③………………………………2分
令有，
代入③得.………………………………………5分
(Ⅱ)由二倍角公式,可化为
,……………………………………………8分
所以.……………………………………………9分
设的三个内角A,B,C所对的边分别为，
由正弦定理可得.…………………………………………11分
根据勾股定理的逆定理知为直角三角形.……………………………………………12分
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,可化为
，……………………………………………8分
因为A,B,C为的内角，所以，
所以.
又因为，所以,
所以.
从而.……………………………………………9分
又,所以，故.……………………………………………11分
所以为直角三角形. ……………………………………………12分
18、 （Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，
∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．
在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，
∴CD＝2，AD＝4．
∴SABCD＝
．……………… 3分
则V＝． ……………… 5分
（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，
∴AF⊥PC． ……………… 7分
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．
∵E为PD中点，F为PC中点，
∴EF∥CD．则EF⊥PC． ……… 11分
∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…… 12分
19、解：(1)茎叶图如下：
3分
统计结论：（给出下列四个供参考，考生只要答对其中两个即给满分，给出其他合进的答案也给分）
北方大学生的平均身高大于南方大学生的平均身高；
南方大学生的身高比北方大学的身高更整齐;
南方大学生的身高的中位数为169.5cm,北方大学生的身高的中位数为172cm；南方大学生的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，北方大学生的高度分布较为分散. 6分
(2) 南方大学生身高不低于170的有170, 180,175,171,176,从中抽取3个相当于从中抽取2个，共有10种抽法，低于175的只有 2个，所以共有3种，概率为
20、解：(Ⅰ) ……………2分
…………………………5分
(Ⅱ)证明：设
，
此时0到AB的距离为 ……………………………………9分
同理可求得
综上所述，圆D的半径为定值 ………………………………12分
21、【答案】解：(1) 当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′(x)=－1+
当00；当x>1时，f′(x)<0.
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数
=f（1）=-1………………………3分
(2) ∵f′(x)=a+，x∈(0,e］，∈
① 若a≥，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0,e］上增函数
∴=f（e）=ae+1≥0.不合题意……………………………4分
② 若a<，则由f′(x)>0>0，即0由f(x)<0<0，即从而f(x)在上增函数,在为减函数
∴=f=-1+ln……………………………………6分
令-1+ln=-3，则ln=-2
∴=，即a=. ∵<,∴a=为所求……………7分
(3) 由（Ⅰ）知当a=-1时=f（1）=-1，
∴|f（x）|≥1……………………………………………………………9分
又令g（x）=,g′（x）=,令g′(x)=0，得x=e,
当00,g(x) 在(0,e)单调递增；
当x>e时,g′(x)<0，g(x) 在(e, +∞)单调递减
∴=g（e）= <1, ∴g(x)<1 ……………………………………10分
∴|f（x）|>g(x),即|f(x)|>
∴方程|f（x）|=没有实数解.…………………………………12分
22、【答案】（Ⅰ）分别是⊙的割线∴ ① （2分）
又分别是⊙的切线和割线∴ ② （4分）
由①，②得 （5分）
（Ⅱ）连结、
设与相交于点
∵是⊙的直径
∴
∴是⊙的切线. （6分）
由（Ⅰ）知，∴∥∴⊥, （8分）
又∵是⊙的切线，∴
又，∴
∴ （10分）
23、（Ⅰ）由题意得，点的直角坐标为 (1分)
曲线L的普通方程为： （3分）
直线l的普通方程为： （5分）
（Ⅱ）设B（）C（）
联立得
由韦达定理得， （7分）
由弦长公式得 （10分）
【解析】略
24、（Ⅰ）当时，，
时，，得 （1分）
时，，得 （2分）
时，，此时不存在 （3分）
∴不等式的解集为 （5分）
（Ⅱ）∵设
故，即的最小值为
输入
开始
k=0
k＝k＋1
n=3n+1
n>150
输出k
结束
是
否
南方
北方
18
17
16
15
3
1 3 5 8 9
3 6 9
7
0
6 5 1 0
9 6 3 2
8
F