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期末考试试题
数学(理科
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数
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满
得
爽弦图
数
第
题
题
题
为
整数的倒数组成
母
解答题;共
数
b
物
数
数
坐
种
现
接
联
拍
接
样的
做
查
分
母
有
果总和为
数
r(K≥)(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
---2021学年度高二第二学期期末考试
数学（理科）试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是虚数单位，复数，则复数的虚部为（??
）
A.???????B.???????C.??????D.?
2.有一个三段论推理：“等比数列中没有等于0的项，数列是等比数列，所以”，这个推理（???
）
A.?大前提错误???B.?小前提错误???C.?推理形式错误???D.?是正确的
3.设在处可导，则(??
)
A.????B.??????C.??????D.?
4.命题“若，则”的否命题是（???
）
A.?“若则
”????????B.?“若，则”
C.?“若，则
”???????D.?“若，则”
5.党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化．若到2035年底我国人口数量增长至14.4亿，由2013年到2019年的统计数据可得国内生产总值（）（单位：万亿元）关于年份代号的回归方程为，由回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值（单位：万元）约为（???
）
A.?14.04????B.?202.16??????C.?13.58??????D.?14050
6.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（????
）
A.????B.????C.????D.?
7.关于的不等式的解集为（???
）
A.????????????????B.???????????????
C.??
?????????D.?
8.已知随机变量满足：，，且，则（??
）.
A.????????B.???????C.???????D.?
9.《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国，秦，汉时期的数学成就.其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱?”.则第4人所得钱数为（?
??）
A.?钱?????B.?钱?????C.?钱??????D.?1钱
10.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”，正方形ABCD外部四个阴影部分的三角形称为“风叶”．现从该“数学风车”的8个顶点中任取2个顶点，则2个顶点取自同一片“风叶”的概率为（???
）．
A.????
B.
?????
C.?????
D.?
11.在中，若满足，则等于（???
）
A.?30°??????B.?60°??????C.?120°?????D.?150°
12.若关于的方程在上有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（??
）
A.??????B.?????C.?????D.?
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知实数满足，则的最小值为________．
14.________．
15.若向量,，夹角的余弦值为，则________.
16.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，
，，
，则第7行第5个数（从左往右数）为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)已知等比数列中，
（1）求数列的通项公式
（2）设等差数列中，，求数列的前项和.
18.如图，直三棱柱中，分别是的中点，．
（1）求证：//平面；
（2）求二面角的正弦值．
19.已知抛物线和直线，为坐标原点.
（1）若抛物线的焦点到直线的距离为，求的值；
（2）若直线与直线平行，求直线与抛物线相交所得的弦长.
20.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于，两点，设，求的值．
21.为了解华人社区对接种新冠疫苗的态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体，进行了小规模的社区调查，结果显示，多达73.4%的华人受访者最担心接种疫苗后会有副作用.其实任何一种疫苗都有一定的副作用，接种新型冠状病毒疫苗后也是有一定副作用的，这跟个人的体质有关系，有的人会出现副作用，而有的人不会出现副作用.在接种新冠疫苗的副作用中，有发热、疲乏、头痛等表现.为了了解接种某种疫苗后是否会出现疲乏症状的副作用，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如下：
无疲乏症状
有疲乏症状
总计
未接种疫苗
100
20
120
接种疫苗
总计
160
200
（1）求列联表中的数据的值，并确定能否有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关.
（2）从接种疫苗的人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，再从8人中随机抽取3人做进一步调查.若初始总分为10分，抽到的3人中，每有一人有疲乏症状减1分，每有一人没有疲乏症状加2分，设得分结果总和为，求的分布列和数学期望.
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
附表
:
附表：附公式:
22.已知函数．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
D
2.【答案】
D
3.【答案】
A
4.【答案】
D
5.【答案】
A
6.【答案】
D
7.【答案】
B
8.【答案】
C
9.【答案】
C
10.【答案】
A
11.【答案】
D
12.【答案】
B
二、填空题
13.【答案】
-7
14.【答案】
15.【答案】
1
16.【答案】
三、解答题
17.【答案】
（1）解：设等比数列的公比为
，由
得
，解得
.…………………………………………5分
（2）解：由（1）知
，得
，
设等差数列
的公差为
，则
解得
，
.………………………………………………10分
18.【答案】
（1）解：如图，连接AC1与A1C交于点P，则P为AC1的中点，连接PD，
由D是AB的中点可知PD//
，又因为
所以
?//平面
．………………………………6分
（2）解：由AC=CB=
得，AC⊥BC.
以c为坐标原点，
的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.设CA=2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A2,0,2)，CD=(1,1,0)，CE=(0,2,1)，CA,=(2,0,2).………………………………………………………………8分
设n=
是平面A,CD的法向量，则
,即
?
可取n=(1,-1,-1).
同理，设m是平面ACE的法向量，则
，可取m=(2,1，-2).
从而cos=
，故sin=
综上所述:二面角D-A.C-F的下弦值是
.…………………………12分
19.【答案】
（1）解：由
得：
，
所以抛物线
的焦点为
.……………………………………2分
所以
，化简得：
，
所以
………………………………………………………………6分
（2）解：因为直线
与直线
平行，所以
.
设直线
与抛物线
相交于
，
，
所以
，
.
将
代入
得：
，…………………………8分
则
，
.
所以
.
所以所求弦长为
………………………………………………………12分
20.【答案】
（1）解：直线l的普通方程为
由，曲线C的直角坐标方程为
，……………………………………………………6分
（2）解：将
代入
中，化简得
，
所以
，
…………………………………………10分
所以
……………………………………………………………………12分
21.【答案】
（1）解：由题意得：
，
，
，
，…………………………3分
因为
.
所以有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关.……………6分
（2）解：从接种疫苗的
人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，可知8人中无疲乏症状的有6人，有疲乏症状的有2人，再从8人中随机抽取3人，当这3人中恰有2人有疲乏症状时，
；当这3人中恰有1人有疲乏症状时，
；当这3人中没有人有疲乏症状时，
.
因为
；
；
.………10分
所以
的分布列如下：
10
13
16
期望
.………………………………12分
22.【答案】
解：（1）
已知函数
，
则
的定义域为：
，……………………………………2分
，
则
（1）
，又
（1）
，
在
处的切线方程为
，即
．…………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
，^
…………………………………………………………6分
①当
时，
，此时
在
时单调递增，在
，
时单调递减；…………………………7分
②当
时，
，此时
在
时单调递增；
……………………………………………………8分
③当
时，令
，有
，或
，
此时
在
与
时单调递增，在
单调递减；
…………………………………………………………9分
④当
时，
在
与
，
时单调递增，在
，
时单调递减；………………………………………………10分
⑤当
时，
在
时单调递增，在
，
时单调递减；
综上可知：…………………………………………………………11分
当
时，
在
时单调递增，在
，
时单调递减；
当
时，
在
与
，
时单调递增，在
，
时单调递减；
当
时，
，此时
在
时单调递增；
当
时，
在
与
时单调递增，在
单调递减．
…………………………………………………………12分
