级期末考试试题
姓
试卷
第1卷(选
分
幼
实
里
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在
数
数
为
献
有
献
第Ⅱ卷(非选择题
题,每小题5分
一组数
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晚
我
圆方图
就了我
积
解
文
骤
图
布直方图
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数
象
上
数
换步骤
换
分
政治
化学
98766540
98654210②2012345799
420|1346
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始分为
转
转
并
新
换赋
成绩
赋
焕分?的城分
限
限
向
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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
---2021学年度高一第二学期期末考试
数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某小区人数约30000人，创城期间，需对小区居民进行分层抽样调查，样本中有幼龄120人，青壮龄330人，老龄150人，则该小区老龄人数的估计值为（???
）
A.?3300????B.?4500????C.?6000????D.?7500
2.已知角终边经过点，若
，则（???
）
A.??????B.???????C.???????D.?
3.随着“互联网+”上升为国家战略，某地依托“互联网+智慧农业”推动精准扶贫.其地域内
山村的经济收入从2018年的4万元，增长到2019年的14万元，2020年更是达到52万元，在实现华丽蜕变的过程中，村里的支柱性收入也在悄悄发生变化，具体如下图所示，则下列结论正确的是（???
）
A.?2020年外出务工收入比2019年外出务工收入减少?????
B.?种植收入2020年增长不足2019年的2倍
C.?2020年养殖收入与2019年其它收入持平???????????????????
D.?2020年其它收入比2019年全部收入总和高
4.下列各式中不能化简为的是（???
）
A.????
?????B.?
C.?
????D.?
5.我国唐代天文学家、数学家张逐以“李白喝酒”为题材写了一道算题：“李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒，原有多少酒？”如图是源于其思想的一个程序框图，即当输出的
时，输入的的值是（???
）
A.???????B.????????C.???????D.?4
6.已知向量，，若，则（???
）
A.???????B.???????C.?????D.?4
7.下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于90°的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为60°；⑥若
，则是第四象限角．其中正确命题的个数是（???
）
A.?1个?????B.?2个?????C.?3个??????D.?4个
8.已知，则
的值为（???
）
A.?9??????B.?6???
C.?-2????D.?3
9.甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数，满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为(???
)
A.?????????B.?????
C.???
???D.?
10.已知均为锐角，，，则（???
）
A.?????????B.?
或
C.?????????D.?
11.高三模拟考试常常划定总分各批次分数线，通过一定的数学模型，确定不同学科在一本、二本等各批次“学科上线有效分”的分数线．考生总成绩达到总分各批次分数线的称为总分上线；考生某一单科成绩达到及学科上线有效分的称为单科上线．学科对总分的贡献或匹配程度评价有很大的意义．利用“学科对总分上线贡献率”
和“学科有效分上线命中率”
这两项评价指标，来反映各学科的单科成绩对考生总分上线的贡献与匹配程度，这对有效安排备考复习计划具有十分重要的意义．某校一模考试划定总分一本线为465分，数学一本线为104分，某班一小组的总分和数学成绩如表，则该小组“数学学科对总分上线贡献率、有效分上线命中率”分别是（???
）（结果保留到小数点后一位有效数字）
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
数学成绩
120
117
122
101
100
112
99
111
102
100
89
98
92
84
94
113
97
104
85
85
总分成绩
495
494
493
485
483
483
482
480
479
475
471
470
463
457
454
453
448
448
441
440
A.?41.7%，35%????????B.?60%，71.4%????????
C.?41.7%，71.4%?????????D.?60%，35%
12.已知分别为圆与的直径，则的取值范围为（???
）
A.???????B.??????C.???????D.?
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知一组数据的平均数为4，则的值是________．
14.若扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的面积为________.
15.小明家的晚报在下午5：30--6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午6：00--7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐，那么晚报在晚餐开始之前被送到的概率是________.
16.我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”．如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中，较小的锐角.若，正方形的面积为100，则
________，
________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）自从新冠肺炎疫情暴发以来，各地都采取积极有效的防控措施，使疫情得到了有效的控制．某地对100名年龄在
岁患病后已经康复的居民做了数据统计，绘成如图所示不完整的频率分布直方图．统计员在绘制频率分布直方图的过程中所搜集的数据只能确定年龄在
与
的新冠肺炎康复人数之和是年龄在的新冠肺炎康复人数的3倍，且
组的频率比组的频率多0.15．
（1）分别求
，
，
组对应的频率；
（2）求年龄在的新冠肺炎康复人数．
18.（12分）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点
.
（1）求
；
（2）若角满足，求的值.
19.（12分）已知向量与的夹角，且，．
（1）求,；
（2）求与的夹角的余弦值．
20.（12分）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式和单调递增区间；
（2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数的值域．
21.（12分）某省采用的“3+1+2”模式新高考方案中，对化学、生物、地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则”（详见附1和附2），具体的转换步骤为：①原始分等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分。
某校的一次年级统考中，政治、化学两选考科目的原始分分布如下表：
等级
A
B
C
D
E
比例
约15%
约35%
约35%
约13%
约2%
政治学科
各等级对应的原始分区间
化学学科
各等级对应的原始分区间
现从政治、化学两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据如下：
政治：64?
72?
66?
92?
78?
66?
82?
65?
76?
67?
74?
80?
70?
69?
84?
75?
68?
71?
60?
79
化学：72?
79?
86?
75?
83?
89?
64?
98?
73?
67?
79?
84?
77?
94?
71?
81?
74?
69?
91?
70
并根据上述数据制作了如下的茎叶图：
（1）茎叶图中各序号位置应填写的数字分别是：
①应填________，②应填________，③应填________，④应填________，⑤应填________，⑥应填________.
（2）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为82分，乙同学选考化学学科，其原始分为91分.基于高考实测的转换赋分模拟，试分别探究这两位同学的转换分，并从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法.
（3）若从该校政治、化学学科等级为A的学生中，随机挑选2人次（两科都选，且两科成绩都为
等的学生，可有两次被选机会），试估计这2人次挑选，其转换分都不少于91分的概率.
附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间.
等级
A
B
C
D
E
原始分从高到低排序的等级人数占比
约15%
约35%
约35%
约13%
约2%
转换分
的赋分区间
附2：计算转换分的等比例转换赋分公式：（其中：分别表示原始分对应等级的原始分区间下限和上限；分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限.的计算结果按四舍五入取整）
22.（12分）已知向量,，函数，.
（1）当时，求的值；
（2）若的最小值为，求实数的值；
（3）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
D
2.【答案】
C
3.【答案】
D
4.【答案】
D
5.【答案】
B
6.【答案】
A
7.【答案】
B
8.【答案】
D
9.【答案】
C
10.【答案】
A
11.【答案】
C
12.【答案】
B
二、填空题
13.【答案】
2
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
；
三、解答题
17.【答案】
（1）解：由频率分布直方图，得
组对应的频率为
，
组对应的频率为
．
………………………………………………2分
设
，
，
组对应的频率分别为
，
，
，则
，解得
…………………………………………5分
（2）解：因为
对应的频率为
，
所以年龄在
的新冠肺炎康复人数为
……………………………………10分
18.【答案】
（1）解：∵
，∴
∴
，
，……………………………………………………………………4分
∴
…………………………………………………………………………6分
（2）解：由（1）得：
∴
.
即
……………………………………………………………………12分
19.【答案】
（1）解：由已知，得
，
；………………6分
（2）解：设
与
的夹角为
，
则
，
因此，
与
的夹角的余弦值为
.…………………………………………………………12分
20.【答案】
（1）解：由图可知
，
，所以
，
又函数
的图象经过点
，所以
（
），
解得
（
），因为
，所以
，
所以
；…………………………………………………………………………4分
由
，
，得
，
，
所以
的单调递增区间为
（
）……………………………………6分
（2）解：将函数
的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到
的图象，再将所得图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，
则
.……………………………………………………………………10分
因为
，所以
，
所以
的值域为
………………………………………………………………12分
21.【答案】
（1）6；7；8；9；8；9…………………………………………………………3分
（2）解：甲同学选考政治学科可以的等级A，根据等比例转换赋分公式：
得T＝87
乙同学选考化学学科可以的等级A，根据等比例转换赋分公式：
得T＝87
故甲乙两位同学的转换分都为87分．…………………………………………………………5分
从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法：
一，从茎叶图可得甲乙同学原始分都排第三，转换后都是87分，因此高考这种“等级转换赋分法”具有公平性与合理性．
二，甲同学与乙同学原始分差9分，但转换后都是87分，高考这种“等级转换赋分法”对尖子生不利．
……………………………………………………………………………………………………7分
（3）解：该校政治学科等级为A的学生中82，84，92根据等比例转换赋分公式：87，88，95
该校化学学科等级为A的学生中91，94，98根据等比例转换赋分公式：87，92，97
设“转换分都不少于91分”为事件M
所有基本事件：（82，84）（82，92）（82，91）（82，94））（82，98）（84，92）（84，91）（84，94）（84，98）（92，91）（92，94）（92，98）（91，94）
（91，98）（94，98）共15个基本事件，时间M包含3个基本事件……………………………………10分
所以
.…………………………………………………………………………………………12分
22.【答案】
（1）解：
=（cos
，sin
）?（cos
，﹣sin
）
=cos
cos
﹣sin
sin
=cos（
+
）=cos2x，………………………………………………2分
当m=0时，f（x）=
+1=cos2x+1，
则f（
）=cos（2×
）+1=cos
+1=
………………………………………………………4分
（2）解：∵x∈[﹣
，
]，∴|
+
|=
=
=2cosx，
则f（x）=
﹣m|
+
|+1=cos2x﹣2mcosx+1=2cos2x﹣2mcosx，
令t=cosx，则
≤t≤1，
则y=2t2﹣2mt，对称轴t=
，
①当
＜
，即m＜1时，
当t=
时，函数取得最小值此时最小值y=
﹣m=﹣1，得m=
（舍），……………………6分
②当
≤
≤1，即m＜1时，
当t=
时，函数取得最小值此时最小值y=﹣
=﹣1，得m=
，……………………8分
③当
＞1，即m＞2时，
当t=1时，函数取得最小值此时最小值y=2﹣2m=﹣1，得m=
（舍），
综上若f（x）的最小值为﹣1，则实数
………………………………………………10分
（3）解：令g（x）=2cos2x﹣2mcosx+
m2=0，得cosx=
或cosx=
，
∴方程cosx=
或
在x∈[﹣
，
]上有四个不同的实根，
则
，得
，则
≤m＜
，
即实数m的取值范围是
…………………………………………………………………………12分
