湖南省衡阳市八中11-12学年高二学业水平模拟考试（数学文）

衡阳市八中高二学业水平模拟考试
文科数学
命题人 曾令华 审题人 蒋金元
时量 120分钟 满分 100分
一、选择题（每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1、设集合，.则（ ）
A． B． C． D．
2、直线的倾斜角是（ ）
A、300； B、600； C、1200； D、1350。
3、过点且垂直于直线 的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4、 圆与直线的位置关系是（ 　　）
　 A.直线过圆心 B.相交　　　 C.　相切　　　　D.相离　　
5、圆锥的底面半径是3，高是4，则它的侧面积是（ ）
A．　　 B． C．　　 D．
6．函数在区间上的最小值是（ ）
A．1 B．3 C． D．5
7．已知，，，则的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，一个空间几何的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
9．设a，b表示两条不同的直线，表示平面，则以下命题正确的有 （ ）
①； ②； ③； ④．21世纪教育网
A．①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④
10．已知函数在上是减函数，则与的大小关系为（ ）
A.　　　 B.　　　 21世纪教育网
C.　　　　 D.无法比较大小
二、填空题(每小题3分，共21分)
11、已知___________。
12、过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程
13、函数在区间上的最小值为 .
14、某工厂2002年生产某种产品2万件，以后每一年比上一年增产20%，则从________年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件。
15、设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则 ②若，，，则
③若，，则 ④若，，则
其中，正确命题的序号是______________________．
三、解答题：（本大题共6小题，共55分．写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16、（本小题8分）已知圆C的圆心是直线和的交点且与直线相切,求圆C的方程.
21世纪教育网
17、（本题满分8分） 已知某几何体的俯视图是如下图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S
18、（本题满分9分）已知是定义在上的奇函数。
（1）求实数的值；（2）求函数的值域
[来源:21世纪教育网]
19、（本小题满分10分）如图，已知三棱锥中，且.
（1）求证：.
（2）求与平面所成的角.
（3）求二面角的平面角.
20、（本小题满分10分）已知直线，一个圆的圆心在轴正半轴上，且该圆与直线和轴均相切.
（1）求该圆的方程；
（2）直线与圆交于两点，且，求的值.
21、(本小题满分10分)已知二次函数f (x) = x2 – 16x + p + 3．
（1）若函数在区间上存在零点，求实数p的取值范围；
（2）问是否存在常数q(q≥0)，当x∈[q，10]时，的值域为区间，且的长度为
12 – q．（注：区间[a，b](a＜b)的长度为b – a)
21世纪教育网
衡阳市八中高二学业水平模拟考试
文科数学
命题人：曾令华；审题人：蒋金元
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合，.则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
2、直线的倾斜角是（ C ）
A、300； B、600； C、1200； D、1350。
3、过点且垂直于直线 的直线方程为（ A ）
A． B．
C． D．
4、 圆与直线的位置关系是（B　　）
　A.直线过圆心 B.相交　　　 C.　相切　　　　D.相离　　
5、圆锥的底面半径是3，高是4，则它的侧面积是（ C ）
A．　　 B．
C．　　 D．
6．函数在区间上的最小值是（ ）
A．1 B．3 C． D．5
【答案】A
7．已知，，，则的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
8．如图所示，一个空间几何的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
9．设a，b表示两条不同的直线，表示平面，则以下命题正确的有 （ A ）
①； ②； ③； ④．
10．已知函数在上是减函数，则与的大小关系为（ C ）
（A）　　　 （B）　　　
（C）　　　　 （D）无法比较大小
二 、填空题（每小题3分，共15分）
11．已知___15________。
12、过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 y=2x或x+y-3=0
13．函数在区间上的最小值为 _—2
_ .
14．某工厂2002年生产某种产品2万件，以后每一年比上一年增产20%，则从_2012________年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件。
15、设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则 ②若，，，则
③若，，则 ④若，，则
其中，正确命题的序号是______________________．14、①和②
三、解答题（共6小题，满分55分）
16. （本小题8分）[来源:21世纪教育网]
已知圆C的圆心是直线和的交点且与直线
相切,求圆C的方程.
⑵由得圆心坐标为
又半径
所以圆C的方程为
17．（本题满分8分） 已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主
视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视
图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S
解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩
四棱锥V-ABCD ;
(1)
(2) 该四棱锥有两个侧面VAD. VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为
, 另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角形,
AB边上的高为
因此
18．（本题满分.9分）已知是定义在上的奇函数。
（1）求实数的值；（2）求函数的值域
解：（1）
方法二：
（2）
19．（本小题满分10分）如图，已知三棱锥中，且，，.
（1）求证：平面.
（2）求与平面所成的角.
（3）求二面角的平面角.
【解析】（1），平面
又 平面.
（2）平面 为与平面所成的角
中，
即与平面所成的角为.
（3）， 为的平面角.
中，， 二面角的平面角为.
20．（本小题满分10分）已知直线，一个圆的圆心在轴正半轴上，且该圆与直线和轴均相切.
（1）求该圆的方程；
（2）直线：与圆交于两点，且，求的值.
【解析】（1）设圆心，，半径为，则
所求圆的方程为.
（2）作垂足为，则为中点，
，即点到直线的距离为.
，.
21．(本小题满分10分)
已知二次函数f (x) = x2 – 16x + p + 3．
（1）若函数在区间上存在零点，求实数p的取值范围；
（2）问是否存在常数q(q≥0)，当x∈[q，10]时，的值域为区间，且的长度为
12 – q．（注：区间[a，b](a＜b)的长度为b – a)
【解析】（1）∵二次函数f (x)= x2 – 16x + p + 3的对称轴是，∴函数在区间上单调递减，则函数在区间上存在零点须满足． ……………2分
即(1 + 16 + p + 3)(1 – 16 + p + 3)≤0， 解得–20≤p≤12． ………………………4分
⑵ 当时，即0≤q≤6时，的值域为：[f (8)，f (q)]，即[p–61, q2 –16q + p + 3].
∴区间长度为q2 – 16q + p + 3 – (p – 61) = q2 – 16q + 64 = 12 – q．
∴q2 – 15q + 52 = 0 ∴，经检验不合题意，舍去．……6分
当时，即6≤q<8时，的值域为：，即[p – 61，p – 57]
∴区间长度为p – 57 – (p – 61) = 4 = 12 – q ∴q = 8．经检验q = 8不合题意，舍去. …8分
当q≥8时，的值域为：[f (q)，f (10)]，即 [q2 – 16q + p +3，p – 57].
∴区间长度为p – 57 –(q2 – 16q + p + 3) = –q2 – 16q – 60 = 12 – q,
∴q2 – 17q + 72 = 0 , ∴q = 8或q = 9．经检验q = 8或q = 9满足题意．
所以存在常数q = 8或q = 9，当x∈[q，10]时，的值域为区间，且的长度为12–q． ………………………10分
21世纪教育网
19．(本小题满分8分) [来源:21世纪教育网]
已知两圆相交于点A(1， 3) ，B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y+c=0上.
（1）求弦AB所在直线的方程；
（2）若其中一个圆的圆心在y轴上，求该圆的方程．
【解析】（1）由于AB的中点C在x– y + c = 0上，得m = –2c + 1 ①
又由直线AB与直线x – y + c = 0垂直，得m – 1 = 4 ②
联立①②解得m = 5，c = –2，∴弦AB所在直线的方程为x + y – 4 = 0. …………4分
（2）由（1）知，两圆的圆心均在直线x – y – 2 = 0上，又由题设知，所求圆的圆心E (0，–2)半径r2 = |EA|2 = 26，故所求的圆的方程为x2 + (y + 2)2 = 26（或x2 + y2 + 4y – 22 = 0）…8分21世纪教育网
20、(14分)已知是方程的两个实根．
（１）当实数为何值时，取得最小值？
（２）若都大于，求的取值范围．
20．解：(Ⅰ)∵△=16m2－16(m+2)=16(m2－m－2)≥0，
∴m≤－1或m≥2， ……3分
又∵x+x=(x1+x2)2－2x1x2=m2－2·=(m－)2－，
∴当m=－1时，x+x有最小值. ……7分
(Ⅱ)(x1－)(x2－)>0且(x1－)+(x2－)>0，
即x1x2－(x1+x2)+>0且x1+x2－1>0， ……10分
－m+>0且m－1>0，
∴m<3，且m>1， ……12分
又∵△≥0， ∴2≤m<3 . ……14分
解法二：等价于较小的根得解（过程略）。
21世纪教育网