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第二课时
第十二章
分式和分式方程
冀教
八上
第一节
分式
1.理解并掌握分式的基本性质。
2.灵活利用分式的基本性质解决问题。
学习目标
分数的
基本性质
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于零的数，分数的值不变。
2.这些分数相等的依据是什么？
1.把3个苹果平均分给6个同学，每个同学得到几个苹果？
分式的基本性质
思考：下列两式成立吗？为什么？
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于0的数，分数的值不变.
分数的基本性质：
即对于任意一个分数
有：
想一想：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？
思考：
分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
上述性质可以用式表示为：
其中A,B,C是整式。
分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
想一想:
运用分式的基本性质应注意什么?
(1)“都”
(2)
“同一个”
(3)
“不等于0”
例1 填空：
?
?
看分母如何变化，想分子如何变化.
看分子如何变化，想分母如何变化.
想一想：（1）中为什么不给出x
≠0,而（2）中却给出了b
≠0?
填空：
(1)
(2)
(3)
(4)
例2 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数。
⑴
⑵
解：
不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数。
(1)
(2)
(3)
1.下列各式成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
D
2.下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
D
3.若把分式
的
x
和y
都扩大两倍,则分式的值(
)
A．扩大两倍
B．不变
C．缩小两倍
D．缩小四倍
B
4.若把分式
中的
和
都扩大3倍,那么分式的值(
).
A．扩大3倍
B．扩大9倍
C．扩大4倍
D．不变
A
5.不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“－”号
⑴
⑵
⑶
解：（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
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第四课时
第十二章
分式和分式方程
冀教
八上
第一节
分式
1.理解通分的概念和理论根据，能准确找出各分母中的最简公分母。
2.会用分式的基本性质将分式通分。
学习目标
分式的基本性质：
分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
上述性质可以用式表示为：
其中A,B,C是整式。
像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
约分的定义
分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式。
经过约分后的分式
，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式。
约分的基本步骤
（１）若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
（２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式。
注意事项：
（1）约分前后分式的值要相等。
（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式。
（3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式。
问题1：
通分：
最小公倍数：24
分数的通分：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。
通分的关键是确定几个分母的最小公倍数。
思考：
联想分数的通分，你能想出如何对分式进行通分？
（b≠0）
问题2：填空
分式的通分的定义
与分数的通分类似，根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整式（即最简公分母），把分母不相同的分式变成分母相同的分式，这种变形叫分式的通分。
如分式
与
分母分别是ab,a2,通分后分母都变成了a2b。
最简公分母
为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母。
注意：确定最简公分母是通分的关键。
最简公分母
例1
通分：
解：（1）最简公分母是2a2b2c
（2）最简公分母是(x+5)(x-5)
不同的因式
最简公分母
1·(x-5)
(x-5)
1·(x+5)
1
(x+5)
例2
通分：
【点睛】先将分母因式分解，再将每一个因式看成一个整体，最后确定最简公分母。
(x+y)(x-y)
解：最简公分母是x(x+y)(x-y)
x(x+y)
确定几个分式的最简公分母的方法：
（1）当分母为多项式时，先因式分解；
（2）系数：各分式分母系数的最小公倍数；
（3）字母：各分母的所有字母的最高次幂；
（4）多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂;
（5）写成乘积形式。
通分：
解：最简公分母是12a2b3
解：最简公分母是(2x+1)(2x-1)
【点睛】在分式的约分与通分中，通常碰到如下因式符号变形：
(b-a)2=(a-b)2;b-a=-(a-b)。
解：最简公分母是(x+y)2(x-y)
思考：
分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？
约分
通分
分数
分式
依据
找分子与分母的
最大公约数
找分子与分母的公因式
找所有分母的
最小公倍数
找所有分母的
最简公分母
分数或分式的基本性质
【解析】选D.∵(x-y)=-(y-x),∴
的最简公分母是ab(x-y)。
3.下列说法中,错误的是（
）
(A)
与
通分后为
(B)
与
通分后为
(C)
与
的最简公分母为m2-n2
(D)
的最简公分母为ab(x-y)(y-x)
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第一课时
第十二章
分式和分式方程
冀教
八上
第一节
分式
1.理解并掌握分式的概念。
2.理解分式有意义的条件及分式值为零的条件。
3.能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件。
学习目标
（1）如果乐乐的速度是7米/秒，那么她所用的时间是（
）秒；
（2）如果乐乐的速度是a米/秒，那么她所用的时间是（
）秒；
（3）如果乐乐原来的速度是a米/秒，经过训练她的速度每秒增加了1米，那么她现在所用的时间是（
）秒.
7
100
a
100
a+1
100
填空：乐乐同学参加百米赛跑
（4）若把体积为200
cm3的水倒入底面积为33
cm2的圆柱形保温桶中，水面高度为(
)cm；若把体积为V
的水倒入底面积为S
的圆柱形容器中，水面高度为(
)。
V
S
（5）采购秒表8块共8a元，一把发射枪b元，合计为
元。
（8a+b）
分式的概念
问题1:请将上面问题中得到的式子分分类：
7
100
a
100
a+1
100
单项式：
多项式：
既不是单项式也不是多项式：
a
100
a+1
100
8a+b
8a+b
整
式
7
100
问题2
：式子
它们有什么相同点和不同点？
相同点
不同点
从形式上都具有分数
形式
分母中是否含有字母
7
100
a
100
a+1
100
A
B
分子A、分母B都是整式
分式的定义
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么称
为分式。其中A叫做分式的分子，B为分式的分母。
思考：分式与分数有何联系？
②分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具一般性.
整数
整数
整式
整式
(分母含有字母）
分数
分式
类比思想
特殊到一般思想
①
7
100
a+1
100
下列各式哪些是整式？哪些是分式？
整式
整式
分式
整式
分式
整式
分式
整式
分式
整式
【点睛】1.判断时，注意含有π的式子，π是常数.
2.式子中含有多项时，若其中有一项分母含有字母，则该式也为分式，如：
分式有意义的条件
问题3.已知分式
,
(1)
当
x=3
时，分式的值是多少?
(2)
当x=-2时，你能算出来吗?
不行，当x=-2时，分式分母为0，没有意义.
即当x______时，分式有意义。
(3)当x为何值时，分式有意义？
当
x=3
时，分式值为
≠-2
对于分式
当_______时分式有意义；
当_______时无意义。
B≠0
B=0
分式有意义的条件
例1
已知分式
有意义，则x应满足的条件是
( )
A.x≠1
B．x≠2
C.x≠1且x≠2
D.以上结果都不对
C
【点睛】分式有意义的条件是分母不为零.如果分母是几个因式乘积的
形式，则每个因式都不为零.
x≠y
（1）当x
时，分式
有意义；
（2）当x
时，分式
有意义；
（3）当b
时，分式
有意义；
（5）当x
时，分式
有意义。
（4）当
时，分式
有意义;
做一做：
为任意实数
想一想：分式
的值为零应满足什么条件？
当A=0而
B≠0时，分式
的值为零。
注意：分式值为零是分式有意义的一种特殊情况。
分式值为零的条件
解：当分子等于零而分母不等于零时,分式的值为零。
的值为零。
∴当x
=
1时分式
∴
x
≠
-1。
而 x+1≠0，
∴x
=
±1，
则 x2
-
1=0，
例2
当x为何值时，分式
的值为零?
变式训练
（1）当
时，分式
的值为零。
x=2
【解析】要使分式的值为零，只需分子为零且分母不为零，
∴
解得x=2。
（2）若
的值为零，则x＝
。
【解析】分式的值等于零，应满足分子等于零，同时分母不为零，即
解得
－3
1.下列代数式中，属于分式的有（
）
A.
B.
C.
D.
C
2.当a＝－1时，分式
的值(
)
A.没有意义
B.等于零
C.等于1
D.等于－1
A
3.当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（
）
A.
B.
C.
D.
A
4.已知，当x=5时，分式
的值等于零，则k
.
=-10
5.在分式
中，当x为何值时，分式有意义？分式的值为零？
答：当x
≠
3时，该分式有意义；当x=-3时，该分式的值为零。
6.分式
的值能等于0吗？说明理由。
答：不能。因为
必须x=-3，而x=-3时，分母x2-x-12=0，分式无意义。
再见(共20张PPT)
第三课时
第十二章
分式和分式方程
冀教
八上
第一节
分式
1.理解约分的概念和理论根据，能准确找出分子、分母中的公因式。
2.会用分式的基本性质将分式约分。
学习目标
分式的基本性质：
分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.
上述性质可以用式表示为：
其中A,B,C是整式。
分式的约分
想一想：
联想分数的约分，你能想出如何对分式进行约分？
（
）
（
）
与分数约分类似，关键是要找出分式的分子与分母的公因式。
像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
约分的定义
分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式。
经过约分后的分式
，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式。
在化简分式
时，小颖和小明的做法出现了分歧：
小颖：
小明：
你对他们俩的解法有何看法？说说看！
一般约分要彻底,
使分子、分母没有公因式。
议一议
例1
约分:
分析：约分要先找出分子和分母的公因式。
找公因式方法:
（1）约去系数的最大公约数。
（2）约去分子分母相同因式的最低次幂.
解：
(公因式是5abc)
解：
分析：约分时,分子或分母若是多项式,能分解则必须先进行因式分解。再找出分子和分母的公因式进行约分.
(公因式是x+3)
解：
分析：约分时,分子或分母若是多项式,能分解则必须先进行因式分解。再找出分子和分母的公因式进行约分.
(公因式是3（
x-y
）)
约分的基本步骤
（１）若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
（２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式。
注意事项：
（1）约分前后分式的值要相等。
（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式。
（3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式。
3.下列各式中是最简分式的（
）
B
4.化简
的结果是(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
D
解：
5.约分
像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
约分的定义
分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式。
经过约分后的分式
，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式。
约分的基本步骤
（１）若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
（２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式。
注意事项：
（1）约分前后分式的值要相等。
（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式。
（3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式。
再见
