7.1.2全概率公式 学案-2020-2021学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册7.1.2全概率公式
学案
一、学习目标
1.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.
2.了解贝叶斯公式.
二、基础梳理
1.全概率公式：一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有.
2.
贝叶斯公式：设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有，.
三、巩固练习
1.盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是(
)
A.
B.
C.
D.
2.某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30.如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则一个被保险人在一年内出事故的概率是_________________.
3.某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人.一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.7，0.5，0.2.求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率.
4.三个罐子分别编号为1，2，3，其中1号罐中装有2个红球和1个黑球，2号罐中装有3个红球和1个黑球，3号罐中装有2个红球和2个黑球.若某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率.
5.某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到.问这个人迟到的概率是多少?如果这个人迟到了，他乘轮船迟到的概率是多少?
6.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即，试求.
7.学生在做一道有4个选项的选择题时，如果他不知道问题的正确答案，就做随机猜测.现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率.
(1)学生知道正确答案和胡乱猜想的概率都是；
(2)学生知道正确答案的概率是0.2.
答案以及解析
1.答案：C
解析：设事件
“第一次抽出的是黑球”，事件
“第二次抽出的是黑球”，则，由全概率公式.由题意，，，，所以.
2.答案：0.175
解析：设“他是谨慎的”，“他是一般的”，“他是冒失的”，则构成了的一个划分，设事件“出事故”，由全概率公式得，.
3.解析：设事件A表示“射手能通过选拔进入比赛”，事件表示“射手是i级射手”().显然，构成一完备事件组，
且，，，；
，，，.
由全概率公式得，
.
4.解析：记，，显然的发生总是伴随着之一同时发生，即，且两两互斥，
，，，
所以
.
5.解析：设事件A表示“乘火车”，事件B表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件D表示“迟到”，则，，，，，..
由全概率公式，得这个人迟到的概率为.
如果这个人迟到了，由贝叶斯公式得他乘轮船迟到的概率为.
6.解析：因为，
，
，，
所以，由贝叶斯公式得所求概率.
7.解析：(1)记事件A为“题答对了”，事件B为“知道正确答案”，
则按题意有，.
此时有，所以由贝叶斯公式得.
(2)此时有，所以由贝叶斯公式得
.