7.3.2离散型随机变量的方差学案-2020-2021学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册7.3.2离散型随机变量的方差学案
一、学习目标
1.通过具体实例，理解取有限值的离散型随机变量的方差与标准差的概念.
2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.
3.掌握方差的性质.
二、基础梳理
1.离散型随机变量的方差与标准差：我们称为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为.
2.方差的性质：离散型随机变量加上一个常数，仅仅使的值产生一个平移，不改变与其均值的离散程度，方差保持不变，即.
而离散型随机变量乘以一个常数，其方差变为原方差的倍，即.
一般地，可以证明下面的结论成立：.
三、巩固练习
1.已知随机变量的分布列为
1
2
3
4
P
则的值为(
)
A.
B.
C.
D.
2.若随机变量X的分布列为
X
0
1
P
0.2
m
已知随机变量，且，，则a与b的值为(
)
A.，
B.，
C.，
D.，
3.已知随机变量的分布列如下，则的标准差为(
)
1
3
5
0.4
0.1
A.0.95
B.
C.0.7
D.
4.若随机变量X的分布列如表所示，且，则(
)
X
4
a
9
P
0.5
0.1
b
A.
B.7
C.5.61
D.6.61
5.已知随机变量的取值为.若，，则(
)
A.
B.
C.
D.
6.已知随机变量满足，且为正数.若，，则(
)
A.
B.
C.
D.
7.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值相等，方差分别为，.由此可以估计(
)
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
8.设是随机变量，且，则(
)
A.0.4
B.0.8
C.4
D.20
9.已知随机变量的分布列如下表，且，则______，________.
1
2
10.随机变量的取值为0，1，2.
若，，则______________.
11.甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为，且X和Y的分布列如下表：
X
0
1
2
P
Y
0
1
2
P
试对这两名工人的技术水平进行比较.
12.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为
1
2
3
4
5
P
0.2
0.3
0.3
0.1
0.1
商场经销一件该商品，顾客采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为300元；分4期或5期付款，其利润为400元，表示经销一件该商品的利润.
(1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”的概率；
(2)求的分布列、期望和方差.
答案以及解析
1.答案：C
解析：，，故选C.
2.答案：C
解析：由随机变量X的分布列可知，，
，，
，，
，，，，故选C.
3.答案：D
解析：由题意得，，
的方差为，
的标准差为，故选D.
4.答案：C
解析：由题可得，解得.又由，解得，所以方差，故选C.
5.答案：C
解析：设，则，所以，解得，即，，所以，故，故选C.
6.答案：C
解析：由方差的性质可得，，因为，，所以，又a为正数，所以.故选C.
7.答案：B
解析：，乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.
8.答案：B
解析：由题意得，所以.故选B.
9.答案：；4
解析：由题意得，，.由期望公式得，.
.故.
10.答案：
解析：设，，则，解得，
所以.
11.解析：工人甲生产出次品数X的均值和方差分别为
，
.
工人乙生产出次品数Y的均值和方差分别为
，
.
由知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，
但，可见乙的技术更稳定.
12.解析：(1)“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”的对立事件是“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”.
表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”，可知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，
，
.
(2)根据顾客采用的付款期数的分布列对应于的可能取值为200元，300元，400元，得到对应的事件的概率，
，
，
，
故的分布列为
200
300
400
P
0.2
0.6
0.2
期望.
方差.