1.2课时 空间向量基本定理 课时练习 2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册word含解析

2021-2022学年高二数学（人教A版（2019）选择性必修一）
1.2课时
空间向量基本定理
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．设向量不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（
）
A．{
B．
C．
D．
2．已知向量，则下列能使成立的一组向量、是（
）．
A．，
B．，
C．，
D．，
3．如图，在四面体中，是底面的重心，则等于
A．
B．
C．
D．
4．如图，在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且，点N为BC的中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图,在平行六面体-中,点分别为棱,中点,若平行六面体的各棱长均相等,给出下列说法:
①∥;②∥;
③∥
平面;④∥
平面,则以上正确说法的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
6．在直三棱柱中，，且，点M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　
A．
B．
C．
D．
7．如图，三棱锥A－BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=1，CD=2，点E为CD的中点，则AE的长为
A．
B．
C．
D．
8．在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9.已知，且∥，则（
）
A．x＝
B．x＝
C．y＝－
D．y＝－4
10．已知，，，，是空间五点，且任何三点不共线.若，，与，，均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（
）
A．，，不能构成空间的一个基底
B．，，不能构成空间的一个基底
C．，，不能构成空间的一个基底
D．，，能构成空间的一个基底
11．给出下列命题，其中正确命题有（
）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么共面
D．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（
）
A．
B．
C．向量与的夹角是60°
D．与所成角的余弦值为
三、填空题。本大题共4小题。
13．下列关于空间向量的命题中，正确的有______．
①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；
②若非零向量，，满足，，则有；
③若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；
④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底．
14．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基底{}表示向量，有=x+y+z，则x，y，z的值分别为____．
15．若＝(－4，6，－1)，＝(4，3，－2)，，且⊥，⊥，则＝________．
16．如图，在梯形中，，，点为空间任一点，设，，，则向量用、、表示为________.
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．
（1）求；
（2）求EG的长．
18．如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°，求异面直线BD1和AC所成角的余弦值．
19．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设，E，F分别是AD1，BD的中点．
（1）用向量表示，；
（2）若，求实数x，y，z的值．
20．已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．
21．如图，在三棱锥中，E是CD的中点，点F在AE上，且．设，，，求直线AE，BF的方向向量．
22．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证：平面．
参考答案
1．C
【解析】因为向量与共面，选项A，B不正确，
是共面向量，
不能作为基底，选项D不正确；
若是共面向量，
则，
得到为共面向量，与已知向量不共面矛盾，
所以是不共面向量，可以作为基底.
故选：C
2．D
【解析】作为基底不共线即可，
因为零向量与任何非零向量共线，所以共线；
，、共线；
不共线；
，、共线，
综上，能使成立的一组向量是
故选：．
3．D
【解析】
则,故选D.
4．D
【解析】由题,
故选：D
5．C
【解析】连接PM，因为M、P为AB、CD的中点，故PM平行且等于AD．由题意知AD平行且等于．故PM平行且等于．所以为平行四边形，故①正确．
显然与为异面直线．故②错误．
由①知∥．由于即在平面内，又在平面内．
且即不在在平面内，又不在平面内．
故③④正确
6．B
【解析】在直三棱柱中，，且，点是，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，
则，，，，
，，
设异面直线与所成角为，
则,
异面直线与所成角的余弦值为，故选B．
7．B
【解析】连AE,∵
△CBD是等腰Rt△,
∴
BE⊥CD且BE=1，AB⊥底面BCD,
∴
AB⊥BE，由勾股定理，，
AE.
故选：B．
8．A
【解析】如图，
由空间向量的线性运算可得：
，
，
故选：A
9．BD
【解析】解：因为
所以，，
因为
∥，
所以3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，所以x＝，y＝－4．
故选：BD
10．ABC
【解析】解：因为，，与，，均不能构成空间的一个基底，且，，，，是空间五点，且任何三点不共线
所以空间五点，，，，共面，
所以这五点，，，，中，任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以ABC正确，D错误.
故选：ABC
11．ABCD
【解析】选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确；
选项中，根据空间基底的概念，可得正确；
选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，又由过相同点B，可得四点共面，所以正确；
选项中：由是空间的一个基底，则基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以正确．
故选：ABCD.
12．AB
【解析】因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，
所以，
，
则，所以A正确；
，所以B正确；
显然为等边三角形，则.
因为，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，所以C不正确；
因为，
所以，
，
所以，所以D不正确.
故选:
A
B.
13．①③④
【解析】对于①：若向量，
与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，故①正确；
对于②：若非零向量，，满足，，则与不一定共线，故②错误；
对于③：若，，是空间的一组基底，且，
则，即，
可得到，四点共面，故③正确；
对于④：若向量，，，是空间一组基底，则空间任意一个向量
，
存在唯一实数组，使得，
由的唯一性，则，，也是唯一的
则，，也是空间的一组基底，故④正确．
故答案为：①③④
14．x=，y=，z=．
【解析】∵=+=+=+
+=
∴x=，y=，z=．
故答案为：x=，y=，z=．
15．或
【解析】解：设＝(x，y，z)，
由题意有，解得
或
故答案为：或
16．
【解析】由已知条件可得，则，
即，解得.
故答案为：.
17．（1）；（2）．
【解析】设=，=，=，则，
，，
，
（1）=，
（2）=++
=+(-)+(-)
=++=++，
∴
，
所以，即EG的长为．
18．.
【解析】因为两两不共线，所以可以作为空间的一个基底，
且，
又
，
∴
＝a2＋b2＋a2＋2abcos
120°－0－2abcos
120°＝2a2＋b2，
∴.
又
＝0＋a2＋abcos
120°＋abcos
120°－a2－0＝－ab.
∴
∴异面直线BD1和AC所成角的余弦值为
.
19．（1），；（2）．
【解析】解：（1）,
（2）
所以
20．证明见解析
【解析】证明：设，，则
因为G是MN的中点，
所以
所以
所以，即
21．直线AE的方向向量，直线BF的方向向量.
【解析】在△中，，，则，
在△中，，，则，
∵在△中，E是CD的中点，
∴，而，即，
∴在△中，.
∴直线AE，BF的方向向量分别为、.
22．证明见解析
【解析】设，，，由题意可得，
则
，，同理可证，
，故平面．