1.3课时 空间向量及其运算的坐标表示课时练习 2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册word含解析

2021-2022学年高二数学（人教A版（2019）选择性必修一）
1.3课时
空间向量及其运算的坐标表示
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．空间直角坐标系中，已知，，则线段的中点为
A．
B．
C．
D．
2．已知向量，，则向量（
）
A．
B．
C．
D．
3．若向量，且与的夹角余弦为，则λ等于（　　）
A．
B．
C．或
D．2
4．已知，，则以为邻边的平行四边形的面积为（
）
A．
B．
C．4
D．8
5．已知向量，且与互相垂直，则k的值是（
）
A．1
B．
C．
D．
6．已知平面α内有一点A(2，－1,2)，它的一个法向量为，则下列点P中，在平面α内的是（　　）
A．(1，－1,1)
B．(1,3，)
C．(1，－3，)
D．(－1,3，－)
7．若的三个顶点坐标分别为，，，则的形状是（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
8．已知，点Q在直线OP上，那么当取得最小值时，点Q的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（
）
A．
B．
C．是平面ABCD的一个法向量
D．
10．已知向量，，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．（多选）设几何体是棱长为a的正方体，与相交于点O，则（
）
A．
B．
C．
D．
12．对于任意非零向量，，以下说法错误的有
A．若，则
B．若，则
C．
D．若，则为单位向量
三、填空题。本大题共4小题。
13．在空间直角坐标系中，若点，，，，2，，则_______
14．已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x＝________．
15．若，且，则与的夹角的余弦值为________．
16．已知，且与夹角为钝角，则x的取值范围为___________
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．如图所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．
（1）求BN的长；
（2）求A1B与B1C所成角的余弦值；
18．正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P、Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．
19．已知.
（1）若，分别求λ与m的值；
（2）若，且与垂直，求.
20．已知空间三点，设.
（1）求和的夹角的余弦值；
（2）若向量与互相垂直，求的值.
21．如图，在正方体中，M，N分别为棱和的中点，求CM和所成角的余弦值．
22．如图，在长方体中，M是AC与BD的交点．若，，，求的长．
参考答案
1．D
【解析】根据中点坐标公式，中点坐标为.故选.
2．A
【解析】由已知可得.
故选：A.
3．A
【解析】解：∵向量，
∴，
解得．
故选：A．
4．A
【解析】设向量的夹角为θ，，，
于是＝．由此可得．
所以以为邻边的平行四边形的面积为.
故选：A
5．D
【解析】依题意得：，即，而，
∴4k＋k－2－5＝0，解得.
故选：D
6．B
【解析】对于选项A，，则，故排除A；
对于选项B，，则
对于选项C，，则，故排除C；
对于选项D，，则，故排除D；
故选:B
7．A
【解析】，
，
，
因为
，所以是锐角，
因为，所以是锐角，
因为，所以所以是锐角，
所以为锐角三角形．
故选：A.
8．C
【解析】设，
由点在直线上，可得存在实数使得，
即，可得,
所以,
则，
根据二次函数的性质，可得当时，取得最小值，此时.
故选：C.
9．ABC
【解析】因为，所以，A正确；
因为，所以，B正确；
由,，可得是平面ABCD的一个法向量，C正确；
BD在平面ABCD内，可得，D错误．
故选：ABC．
10．AD
【解析】解：因为，，
所以，，，
.
故选:
AD.
11．AC
【解析】
如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，∴，，，，，，．∴，A对；，B错；，C对；，D错．
故选：AC
12．BD
【解析】对于A选项，因为，则，A选项正确；
对于B选项，若，且，，若，但分式无意义，B选项错误；
对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C选项正确；
对于D选项，若，则，此时，不是单位向量，D选项错误.
故选：BD.
13．
【解析】空间直角坐标系中，点，，，，2，，
则．
故答案为：．
14．11
【解析】因为点P在平面ABC内，
所以存在实数k1，k2，使
，
即(x－4，－2，0)＝k1(－2，2，－2)＋k2(－1，6，－8)，
所以，解得.
故答案为：11．
15．1
【解析】解：因为，
所以，①，
因为，
所以，②
①－②得，所以．
33×①＋16×②得，所以．
所以．
故答案为：1
16．
【解析】由题可知，即，解得且
故答案为：
17．（1）；（2）.
【解析】（1）如图所示，建立空间直角坐标系C?xyz.依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，
∴||＝＝，∴线段BN的长为.
（2）依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，∴＝(1，－1，2)，
＝(0，1，2)，∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又||＝，||＝.
∴cos〈〉＝＝.
故A1B与B1C所成角的余弦值为.
18．λ＝－4.
【解析】以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1，0，0)，E，B(1，1，0)，
B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，由题意，可设点P的坐标为(a，a，1)，
因为3＝，所以3(a－1，a－1，0)＝(－a，－a，0)，所以3a－3＝－a，解得，
所以点P的坐标为.由题意可设点Q的坐标为(b，b，0)，因为PQ⊥AE，
所以＝0，所以·＝0，即，解得
，
所以点Q的坐标为，因为，所以＝λ，
所以，故λ＝－4.
19．（1）λ=，m=3；（2）.
【解析】解：（1）由，得
，解得
（2），且
化简得，解得.
因此
20．（1）；（2）或.
【解析】，
．
（1），
所以与的夹角的余弦值为.
（2），
，
所以，
即，
所以或.
21．
【解析】
以D为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体边长为2，则
所以,
设CM和所成角为，则,
所以CM和所成角的余弦值为.
22．
【解析】
以D1为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，
则
所以，所以
即的长为.