1.4课时 空间向量的应用 课时练习 2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册word含解析

2021-2022学年高二数学（人教A版（2019）选择性必修一）
1.4课时
空间向量的应用
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．已知向量，，且，则的值为
A．－14
B．10
C．12
D．14
2．若在直线l上，则直线l的一个方向向量为（
）
A．
B．
C．
D．
3．在平行六面体中，若，则的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
4．若向量为两个非零向量，且，则向量与的夹角为
A．
B．
C．
D．
5．平面的一个法向量为，平面的一个法向量，则平面与平面（
）
A．平行
B．垂直
C．相交
D．不能确定
6．若平面的法向量分别为，则（
）
A．
B．与相交但不垂直
C．
D．或与重合
7．如图，设是正方形所在平面外一点，且平面，则平面与平面、平面所在平面的位置关系是（
）
A．平面与平面平面都垂直
B．它们两两垂直
C．平面与平面垂直，与平面不垂直
D．平面与平面、平面都不垂直
8．在长方体中，，，分别为棱，，的中点，，则异面直线与所成角的大小为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（
）
A．直线D1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为
D．点C与点G到平面AEF的距离相等
11．三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，若，则二面角的大小可能为（
）
A．
B．
C．
D．
12．将正方形沿对角线折成直二面角，有如下四个结论：①；②
是等边三角形；③与平面所成的角为；④与所成的角为.其中正确的结论有（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
三、填空题。本大题共4小题。
13．如图所示，ABCD-EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线AB的距离为________．
14．将边长为1，A＝60°的菱形ABDC沿对角线BC折成直二面角，则二面角A-BD-C的正弦值为________．
15．已知分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．
16．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为＝(1，－3，z)，向量＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝________.
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．在多面体中，正方形和矩形互相垂直，、分别是和的中点，．
（1）求证：平面．
（2）在边所在的直线上存在一点，使得平面，求的长；
18．如图所示，平面CDEF平面ABCD，且四边形ABCD为平行四边形，∠DAB＝45°，四边形CDEF为直角梯形，EF∥DC，EDCD，AB＝3EF＝3，ED＝a，AD．
（1）求证：ADBF；
（2）若线段CF上存在一点M，满足AE∥平面BDM，求的值；
19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，已知AB∥DC，AB⊥AD，△SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AD＝AB＝2DC＝2，F为SB的中点
（1）求异面直线SA与FC所成角的大小；
（2）在棱SB上是否存在点Q，使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为？若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由．
20．如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C.
21．如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
（1）求证：EF⊥CD；
（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．
22．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记．
（1）求MN的长；
（2）a为何值时，MN的长最小？
（3）当MN的长最小时求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．
参考答案
1．C
【解析】由题意，向量，，且，
则，解得，故选C.
则的值为（
）
2．A
【解析】由已知得，
故选项A中的向量与共线，是直线的一个方向向量．
故选：A.
3．A
【解析】可知在平行六面体中，，
，
又，
，即，
.
故选：A.
4．A
【解析】作，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则，∠AOC为向量与的夹角．
因为，
所以△OAB是等边三角形，平行四边形OACB是菱形，
所以．选A．
5．A
【解析】解：因为平面的一个法向量为，平面的一个法向量，
所以，所以
所以．
故选：A
6．D
【解析】由题意，向量，可得，
所以平面的法向量共线，故或与重合.
故选：D.
7．A
【解析】∵平面，平面，∴.
又∵，，∴平面.
∵平面，平面平面.
∵，∴平面.
∵平面，∴平面平面.
由已知易得平面与平面不垂直，故选A.
8．C
【解析】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、
轴的正方向建立空间直角坐标系，如图
设，则，，，，
所以，，，
所以，所以异面直线与所成角的大小为，
故选：C
9．BD
【解析】当时，可知点与点共面，
所以，
所以，
所以，
不妨令，，，且此时，
因为，，，，
由上可知：BD满足要求.
故选：BD.
10．BC
【解析】根据题意，假设直线D1D与直线AF垂直，又,平面AEF，所以平面AEF,所以,又,所以,与矛盾，所以直线D1D与直线AF不垂直，所以选项A错误；
因为A1G∥D1F，A1G?平面AEFD1，平面AEFD1，所以A1G∥平面AEFD1，故选项B正确．
平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1，由题得该等腰梯形的上底下底,腰长为，所以梯形面积为，故选项C正确；
假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于，而不是中点，则假设不成立，故选项D错误．
故选：BC．
11．BC
【解析】二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，
二面角的大小可能为或.
故选：BC.
12．ABD
【解析】解：取中点，由正方形的性质得：，
所以为二面角的平面角，
因为二面角是直二面角，
所以如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，
设正方形的边长为，
则
所以，，，，，
因为=0，故，①正确.
又，，，
所以为等边三角形，②正确.
对于③，为平面的一个法向量，
.
因为直线与平面所成的角的取值范围是，
所以与平面所成的角为，故③错误.
又，
因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以与所成的角为，故④正确.
故选：ABD
13．
【解析】解析：过P作PM⊥平面ABCD于M，过M作MN⊥AB于N，连接PN，则PN即为所求，如图所示．
因为，
所以，
所以.
即P点到直线AB的距离为.
故答案为：.
14．
【解析】取BC中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A，B，D.
所以，，.
由于为平面BCD的一个法向量，
设平面ABD的一个法向量
(x，y，z)，
则　所以
取x＝1，则y＝－，z＝1，
所以
(1，－，1)是平面ABD的一个法向量，
所以，
所以二面角A-BD-C的正弦值为.
15．0
【解析】因为，
，
.
所以中任意两个向量都不垂直，即α，β，γ中任意两个平面都不垂直．
故答案为：0.
16．－9
【解析】因为l⊥α，所以⊥，所以(1，－3，z)·(3，－2，1)＝0，即3＋6＋z＝0，所以z＝－9.
故答案为：－9
17．（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）因为四边形为矩形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面；
（2）因为平面，四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、，设点，
，，，
设平面的法向量为，
由，令，可得，
要使得平面，则，所以，，解得，
则，此时，.
18．（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）∵面CDEF面ABCD，EDCD，面，面面，
∴ED面ABCD，面，即，
过作于，过作交于，
∵CDEF为直角梯形，AB＝3EF＝3，
∴，即，则，且，
∴，得，即，
∴，而，即面，又面，
∴，故.
（2）以D为原点，过点D垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如下图示：
∴，若，则，
设，则，
设平面BDM的法向量为，则，取x1＝2，则，
若AE∥平面BDM，则，解得，
∴线段CF上存在一点M，满足AE∥平面BDM，此时．
19．（1）90°；（2）存在，1．
【解析】解：（1）∵在四棱锥S﹣ABCD中，已知AB∥DC，AB⊥AD，△SAD是正三角形，
平面SAD⊥平面ABCD，AD＝AB＝2DC＝2，F为SB的中点，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），S（0，1，），C（1，2，0），B（2，0，0），F（1，），
（0，﹣1，），（0，，），
设异面直线SA与FC所成角为θ（0°＜θ≤90°），
则cosθ0，∴θ＝90°．
∴异面直线SA与FC所成角的大小为90°；
（2）假设在棱SB上存在点Q（a，b，c），λ，(0≤λ≤1)，使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为，
则，即（a，b﹣1，c）＝λ（2，﹣1，），解得a＝2λ，b＝1﹣λ，c，
∴Q（2λ，1﹣λ，），（2λ，1﹣λ，），（1，2，0），（0，1，），
设平面ACQ的法向量(x，y，z），
则，取x＝2，得，
设平面ASC的法向量(p，q，r），
则，取p＝2，得=(2，﹣1，），
∵平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为，
∴，
整理得5λ2﹣10λ+4＝0，解得λ或（舍去）．
故在棱SB上存在点Q，使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为，此时．
20．证明见解析
【解析】由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E，
则＝(0，0，1)，＝(－2，2，0)，＝(－2，2，1)，＝.
设平面AA1C1C的一个法向量为＝(x1，y1，z1)．
则
令x1＝1，得y1＝1.∴＝(1，1，0)．
设平面AEC1的一个法向量为＝(x2，y2，z2)．
则?
令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.∴＝(1，－1，4)．
∵＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0.
∴，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.
21．（1）证明见解析；（2）G为AD的中点，证明见解析.
【解析】（1）证明　如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设AD＝a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F.
＝，＝(0，a，0)．
∵＝0，∴，即EF⊥CD.
（2）解：设G(x，0，z)，则＝，
若使GF⊥平面PCB，则需且
由＝·(a，0，0)
＝a＝0，得x＝；
由＝·(0，－a，a)
＝＋a＝0，得z＝0.
∴G点坐标为，即G为AD的中点．
22．（1）；（2）时，最小，最小值为；（3）
【解析】解：如图建立空间直角坐标系，
，，
，
，
，，
．
（1）；
（2），
当时，最小，最小值为；
（3）由（2）可知，当，为中点时，最短，
则，0，，，，，取的中点，连接，，
则，，，
，，，，
是平面与平面的夹角或其补角．
，，
．
平面与平面夹角的余弦值是．