1.4课时 空间向量的应用 课时练习 2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册word含解析

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名称 1.4课时 空间向量的应用 课时练习 2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册word含解析
格式 docx
文件大小 1.0MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2021-07-14 11:02:40

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文档简介

2021-2022学年高二数学(人教A版(2019)选择性必修一)
1.4课时
空间向量的应用
一、单选题。本大题共8小题,每小题只有一个选项符合题意。
1.已知向量,,且,则的值为
A.-14
B.10
C.12
D.14
2.若在直线l上,则直线l的一个方向向量为(

A.
B.
C.
D.
3.在平行六面体中,若,则的值等于(

A.
B.
C.
D.
4.若向量为两个非零向量,且,则向量与的夹角为
A.
B.
C.
D.
5.平面的一个法向量为,平面的一个法向量,则平面与平面(

A.平行
B.垂直
C.相交
D.不能确定
6.若平面的法向量分别为,则(

A.
B.与相交但不垂直
C.
D.或与重合
7.如图,设是正方形所在平面外一点,且平面,则平面与平面、平面所在平面的位置关系是(

A.平面与平面平面都垂直
B.它们两两垂直
C.平面与平面垂直,与平面不垂直
D.平面与平面、平面都不垂直
8.在长方体中,,,分别为棱,,的中点,,则异面直线与所成角的大小为(

A.
B.
C.
D.
二、多选题。本大题共4小题,每小题有两项或以上符合题意。
9.已知A,B,C三点不共线,O为平面ABC外的任一点,则“点M与点A,B,C共面”的充分条件的是(

A.
B.
C.
D.
10.正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点.则(

A.直线D1D与直线AF垂直
B.直线A1G与平面AEF平行
C.平面AEF截正方体所得的截面面积为
D.点C与点G到平面AEF的距离相等
11.三棱锥中,平面与平面的法向量分别为,若,则二面角的大小可能为(

A.
B.
C.
D.
12.将正方形沿对角线折成直二面角,有如下四个结论:①;②
是等边三角形;③与平面所成的角为;④与所成的角为.其中正确的结论有(

A.①
B.②
C.③
D.④
三、填空题。本大题共4小题。
13.如图所示,ABCD-EFGH为边长等于1的正方体,若P点在正方体的内部且满足,则P点到直线AB的距离为________.
14.将边长为1,A=60°的菱形ABDC沿对角线BC折成直二面角,则二面角A-BD-C的正弦值为________.
15.已知分别是平面α,β,γ的法向量,则α,β,γ三个平面中互相垂直的有________对.
16.已知直线l与平面α垂直,直线l的一个方向向量为=(1,-3,z),向量=(3,-2,1)与平面α平行,则z=________.
四、解答题。本大题共6小题,解答过程必修有必要的文字说明,公式和解题过程。
17.在多面体中,正方形和矩形互相垂直,、分别是和的中点,.
(1)求证:平面.
(2)在边所在的直线上存在一点,使得平面,求的长;
18.如图所示,平面CDEF平面ABCD,且四边形ABCD为平行四边形,∠DAB=45°,四边形CDEF为直角梯形,EF∥DC,EDCD,AB=3EF=3,ED=a,AD.
(1)求证:ADBF;
(2)若线段CF上存在一点M,满足AE∥平面BDM,求的值;
19.如图,在四棱锥S﹣ABCD中,已知AB∥DC,AB⊥AD,△SAD是正三角形,且平面SAD⊥平面ABCD,AD=AB=2DC=2,F为SB的中点
(1)求异面直线SA与FC所成角的大小;
(2)在棱SB上是否存在点Q,使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为?若存在,求出的大小;若不存在,请说明理由.
20.如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,E为BB1的中点,证明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.
21.如图,在四棱锥P—ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.
(1)求证:EF⊥CD;
(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论.
22.在如图所示的试验装置中,两个正方形框架ABCD,ABEF的边长都是1,且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M,N分别在正方形对角线AC和BF上移动,且CM和BN的长度保持相等,记.
(1)求MN的长;
(2)a为何值时,MN的长最小?
(3)当MN的长最小时求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值.
参考答案
1.C
【解析】由题意,向量,,且,
则,解得,故选C.
则的值为(

2.A
【解析】由已知得,
故选项A中的向量与共线,是直线的一个方向向量.
故选:A.
3.A
【解析】可知在平行六面体中,,

又,
,即,
.
故选:A.
4.A
【解析】作,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,
则,∠AOC为向量与的夹角.
因为,
所以△OAB是等边三角形,平行四边形OACB是菱形,
所以.选A.
5.A
【解析】解:因为平面的一个法向量为,平面的一个法向量,
所以,所以
所以.
故选:A
6.D
【解析】由题意,向量,可得,
所以平面的法向量共线,故或与重合.
故选:D.
7.A
【解析】∵平面,平面,∴.
又∵,,∴平面.
∵平面,平面平面.
∵,∴平面.
∵平面,∴平面平面.
由已知易得平面与平面不垂直,故选A.
8.C
【解析】以为坐标原点,分别以,,的方向为轴、轴、
轴的正方向建立空间直角坐标系,如图
设,则,,,,
所以,,,
所以,所以异面直线与所成角的大小为,
故选:C
9.BD
【解析】当时,可知点与点共面,
所以,
所以,
所以,
不妨令,,,且此时,
因为,,,,
由上可知:BD满足要求.
故选:BD.
10.BC
【解析】根据题意,假设直线D1D与直线AF垂直,又,平面AEF,所以平面AEF,所以,又,所以,与矛盾,所以直线D1D与直线AF不垂直,所以选项A错误;
因为A1G∥D1F,A1G?平面AEFD1,平面AEFD1,所以A1G∥平面AEFD1,故选项B正确.
平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1,由题得该等腰梯形的上底下底,腰长为,所以梯形面积为,故选项C正确;
假设与到平面的距离相等,即平面将平分,则平面必过的中点,连接交于,而不是中点,则假设不成立,故选项D错误.
故选:BC.
11.BC
【解析】二面角的大小与法向量的夹角相等或互补,
二面角的大小可能为或.
故选:BC.
12.ABD
【解析】解:取中点,由正方形的性质得:,
所以为二面角的平面角,
因为二面角是直二面角,
所以如图所示,建立空间直角坐标系Oxyz,
设正方形的边长为,

所以,,,,,
因为=0,故,①正确.
又,,,
所以为等边三角形,②正确.
对于③,为平面的一个法向量,
.
因为直线与平面所成的角的取值范围是,
所以与平面所成的角为,故③错误.
又,
因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以与所成的角为,故④正确.
故选:ABD
13.
【解析】解析:过P作PM⊥平面ABCD于M,过M作MN⊥AB于N,连接PN,则PN即为所求,如图所示.
因为,
所以,
所以.
即P点到直线AB的距离为.
故答案为:.
14.
【解析】取BC中点O,连接AO,DO,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A,B,D.
所以,,.
由于为平面BCD的一个法向量,
设平面ABD的一个法向量
(x,y,z),
则 所以
取x=1,则y=-,z=1,
所以
(1,-,1)是平面ABD的一个法向量,
所以,
所以二面角A-BD-C的正弦值为.
15.0
【解析】因为,

.
所以中任意两个向量都不垂直,即α,β,γ中任意两个平面都不垂直.
故答案为:0.
16.-9
【解析】因为l⊥α,所以⊥,所以(1,-3,z)·(3,-2,1)=0,即3+6+z=0,所以z=-9.
故答案为:-9
17.(1)证明见解析;(2).
【解析】(1)因为四边形为矩形,则,
因为平面平面,平面平面,平面,
所以,平面;
(2)因为平面,四边形为正方形,
以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,
则、、、,设点,
,,,
设平面的法向量为,
由,令,可得,
要使得平面,则,所以,,解得,
则,此时,.
18.(1)证明见解析;(2).
【解析】(1)∵面CDEF面ABCD,EDCD,面,面面,
∴ED面ABCD,面,即,
过作于,过作交于,
∵CDEF为直角梯形,AB=3EF=3,
∴,即,则,且,
∴,得,即,
∴,而,即面,又面,
∴,故.
(2)以D为原点,过点D垂直于DC的直线为x轴,DC所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如下图示:
∴,若,则,
设,则,
设平面BDM的法向量为,则,取x1=2,则,
若AE∥平面BDM,则,解得,
∴线段CF上存在一点M,满足AE∥平面BDM,此时.
19.(1)90°;(2)存在,1.
【解析】解:(1)∵在四棱锥S﹣ABCD中,已知AB∥DC,AB⊥AD,△SAD是正三角形,
平面SAD⊥平面ABCD,AD=AB=2DC=2,F为SB的中点,
∴以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,过A作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),S(0,1,),C(1,2,0),B(2,0,0),F(1,),
(0,﹣1,),(0,,),
设异面直线SA与FC所成角为θ(0°<θ≤90°),
则cosθ0,∴θ=90°.
∴异面直线SA与FC所成角的大小为90°;
(2)假设在棱SB上存在点Q(a,b,c),λ,(0≤λ≤1),使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为,
则,即(a,b﹣1,c)=λ(2,﹣1,),解得a=2λ,b=1﹣λ,c,
∴Q(2λ,1﹣λ,),(2λ,1﹣λ,),(1,2,0),(0,1,),
设平面ACQ的法向量(x,y,z),
则,取x=2,得,
设平面ASC的法向量(p,q,r),
则,取p=2,得=(2,﹣1,),
∵平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为,
∴,
整理得5λ2﹣10λ+4=0,解得λ或(舍去).
故在棱SB上存在点Q,使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为,此时.
20.证明见解析
【解析】由题意得AB,BC,B1B两两垂直.以B为原点,BA,BC,BB1分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E,
则=(0,0,1),=(-2,2,0),=(-2,2,1),=.
设平面AA1C1C的一个法向量为=(x1,y1,z1).

令x1=1,得y1=1.∴=(1,1,0).
设平面AEC1的一个法向量为=(x2,y2,z2).
则?
令z2=4,得x2=1,y2=-1.∴=(1,-1,4).
∵=1×1+1×(-1)+0×4=0.
∴,∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.
21.(1)证明见解析;(2)G为AD的中点,证明见解析.
【解析】(1)证明 如图,以D为原点,分别以DA,DC,DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
设AD=a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E,P(0,0,a),F.
=,=(0,a,0).
∵=0,∴,即EF⊥CD.
(2)解:设G(x,0,z),则=,
若使GF⊥平面PCB,则需且
由=·(a,0,0)
=a=0,得x=;
由=·(0,-a,a)
=+a=0,得z=0.
∴G点坐标为,即G为AD的中点.
22.(1);(2)时,最小,最小值为;(3)
【解析】解:如图建立空间直角坐标系,
,,


,,

(1);
(2),
当时,最小,最小值为;
(3)由(2)可知,当,为中点时,最短,
则,0,,,,,取的中点,连接,,
则,,,
,,,,
是平面与平面的夹角或其补角.
,,

平面与平面夹角的余弦值是.