精品练习】人教A版 数学 选修2第1章1.5.2知能优化训练

1．和式(xi－3)等于(　　)
A．(x1－3)＋(x10－3)
B．x1＋x2＋x3＋…＋x10－3
C．x1＋x2＋x3＋…＋x10－30
D．(x1－3)(x2－3)(x3－3)·…·(x10－3)
答案：C
2．把区间[1,3]n等分，所得n个小区间的长度均为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B.区间[1,3]的长度为2，故n等分后，每个小区间的长度均为.
3.＝________.
解析：＝(1＋2＋…＋n)＝·＝.
答案：
4．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，那么按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为多少？
解：分别以小区间左、右端点的纵坐标为高，求所有小矩形面积之和．
S1＝(02＋1＋0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1)×0.4＝3.92；
S2＝(0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1＋22＋1)×0.4＝5.52.
一、选择题
1．函数f(x)＝x2在区间[，]上(　　)
A．f(x)的值变化很小
B．f(x)的值变化很大
C．f(x)的值不变化
D．当n很大时，f(x)的值变化很小
解析：选D.当n很大时，区间[，]的长度越来越小，f(x)的值变化很小．故选D.
2．在求由抛物线y＝x2＋6与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个区间为(　　)
A．[，] B．[，]
C．[i－1，i] D．[，]
解析：选B.在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间[1，]，[，]，…，[，]，…，[，2]，所以第i个区间为[，](i＝1,2，…，n)．
3．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间[，]上的值可以用下列哪个值近似代替(　　)
A．f() B．f()
C．f() D．f(0)
解析：选C.当n很大时，f(x)＝x2在区间[，]上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，也可以用左端点或右端点的函数值近似代替．故选C.
4．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为(　　)
A. B.
C．1 D.
解析：选B.曲线v(t)＝t与直线t＝0，t＝1，横轴围成的三角形面积S＝即为这段时间内物体所走的路程．
5．在求由x＝a，x＝b(a①n个小曲边梯形的面积和等于S；②n个小曲边梯形的面积和小于S；③④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A.①正确，其余都不正确．
6．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2，在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.将区间[0，a]n等分，记第i个区间为[，](i＝1,2，…，n)，此区间长为，用小矩形面积()2·近似代替相应的小曲边梯形的面积，则()2·＝·(12＋22＋…＋n2)＝(1＋)(1＋)近似地等于速度曲线v(t)＝t2与直线t＝0，t＝a，t轴围成的曲边梯形的面积．依题意得li[(1＋)(1＋)]＝9，∴＝9，解得a＝3.
二、填空题
7．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．
解析：∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.
∴物体运动的路程近似值S＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.
答案：55
8．求由曲线y＝x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．
解析：将区间5等分所得的小区间为[1，]，[，]，[，]，[，]，[，2]，
于是所求平面图形的面积近似等于
(1＋＋＋＋)＝×＝1.02.
答案：1.02
9．汽车以v＝(3t＋2) m/s作变速直线运动时，在第1 s到第2 s间的1 s内经过的路程是________．
解析：将[1,2] n等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则Δt＝，v(ξi)＝v(1＋)＝3(1＋)＋2＝(i－1)＋5.
∴sn＝(i－1)＋5]·＝{[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋5n}·＝·＋5＝(1－)＋5.
∴s＝lisn＝＋5＝6.5.
答案：6.5 m
三、解答题
10．用定积分定义求由x＝0，x＝1，y＝x＋1，y＝0围成的图形的面积．
解：因为f(x)＝1＋x在区间[0,1]上连续，将区间[0,1]分成n等份，则每个区间的长度为Δxi＝，在[xi－1，xi]＝[，]上取ξi＝xi－1＝(i＝1,2,3，…，n)，于是f(ξi)＝f(xi－1)＝1＋，从而(ξi)Δxi＝(1＋)·＝(＋)＝·n＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝1＋·＝1＋，所以S＝li (1＋)＝1＋＝.
11．汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t≤2这段时间行驶的路程是多少？
解：将区间[1,2]分成n个小区间，则第i个小区间为[1＋，1＋]．
∴Δsi＝f(1＋)·，
sn＝(1＋)·
＝(1＋)2＋2]
＝＋＋3]
＝{3n＋[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋[0＋2＋4＋6＋…＋2(n－1)]}
＝3＋＋.
s＝lisn＝li[3＋＋]
＝.
∴这段时间行驶的路程为 km.
12．求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的平面图形的面积．
解：∵y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，
∴所求曲边形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影．
由得交点为(2,4)，
如图先求由直线x＝2，y＝0和曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积．
(1)分割
将区间[0,2]n等分，
则Δx＝，取ξi＝.
(2)近似代替求和
Sn≈]2·
＝[12＋22＋32＋…＋(n－1)2]
＝(1－)(1－)．
(3)取极限
S＝liSn＝li[(1－)(1－)]＝.
∴所求平面图形的面积为
S阴影＝2×4－＝.
∴2S阴影＝，即抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的平面图形面积为.