精品练习】人教A版 数学 选修2 第1章1.5.3知能优化训练

1．设f(x)是[a，b]上的连续函数，则f(x)dx－f(t)dt的值(　　)
A．小于零　　　　　　 　　 B．等于零
C．大于零 D．不能确定
解析：选B.在[a，b]上，f(x)的积分等于f(t)的积分，因此，其值为0.
2．已知xdx＝2，则 xdx等于(　　)
A．0 B．2
C．－1 D．－2
解析：选D.∵f(x)＝x在[－t，t]上是奇函数，
∴ xdx＝0.而 xdx＝ xdx＋ xdx，
又 xdx＝2，
∴ xdx＝－2.故选D.
3．不用计算，根据图形，用不等号连接下列式子．
xdx________x2dx(如图所示)．
答案：>
4．已知sinxdx＝ sinxdx＝1， x2dx＝，求下列定积分：
(1)sinxdx；(2) (sinx＋3x2)dx.
解：(1)∫sinxdx
＝sinxdx＋ sinxdx
＝2；
(2) (sinx＋3x2)dx
＝sinxdx＋3x2dx
＝1＋.
一、选择题
1．定积分f(x)dx的大小(　　)
A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关
B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关
C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关
D．与f(x)，区间[a，b]和ξi的取法都有关
解析：选A.定积分的大小与被积函数以及积分区间有关，与ξi的选择无关．
2．已知f(x)dx＝3，则[f(x)＋6]dx＝(　　)
A．9 B．12
C．15 D．18
解析：选C.根据定积分的性质，
[f(x)＋6]dx＝f(x)dx＋6dx
＝3＋6×2＝15.
3．已知定积分f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则f(x)dx＝(　　)
A．0 B．16
C．12 D．8
解析：选B.偶函数图象关于y轴对称，故f(x)dx＝2f(x)dx＝16.故选B.
4．下列等式成立的是(　　)
A.xdx＝b－a B.xdx＝
C. |x|dx＝2 |x|dx D.(x＋1)dx＝xdx
解析：选C.由y＝|x|为偶函数，图像关于y轴对称，得|x|dx＝2|x|dx，故选C.
5．设a＝xdx，b＝x2dx，c＝x3dx，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．c>a>b B．a>b>c
C．a＝b>c D．a>c>b
解析：选B.根据定积分的几何意义，易知x3dxb>c，故选B.
6．若 |56x|dx≤2016，则正数a的最大值为(　　)
A．6 B．56
C．36 D．2016
解析：选A.由 |56x|dx＝56 |x|dx≤2016得 |x|dx≤36，∴ |x|dx＝2 xdx＝a2≤36，即0二、填空题
7．若f(x)dx＝3，g(x)dx＝2，则[f(x)＋g(x)]dx＝________.
解析： [f(x)＋g(x)]dx＝ f(x)dx＋ g(x)dx＝3＋2＝5.
答案：5
8．化简f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dx＋…＋f(x)dx＝________.
解析：连续运用f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(a答案：f(x)dx
9．由y＝sinx，x＝0，x＝－π，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S＝________.
解析：由定积分的意义知，由y＝sinx，x＝0，x＝－π，y＝0围成图形的面积为S＝－sinxdx.
答案：－sinxdx
三、解答题
10．已知exdx＝e－1，exdx＝e2－e，x2dx＝，dx＝2ln2.求：
(1)exdx；
(2)(ex＋3x2)dx；
(3)(ex＋)dx.
解：(1)exdx＝exdx＋exdx
＝e－1＋e2－e＝e2－1.
(2)(ex＋3x2)dx＝exdx＋(3x2)dx
＝exdx＋3x2dx＝e2－1＋8＝e2＋7.
(3)(ex＋)dx
＝exdx＋dx
＝e2－e＋ln2.
11．用定积分的意义求下列各式的值．
(1) dx；
(2) 2xdx.
解：
(1)由y＝可得x2＋y2＝4(y≥0)，
其图象如图．
dx等于所对圆心角为的弓形面积CED与矩形ABCD的面积之和
S弓形＝××22－×2×2sin＝－，
S矩形＝AB·BC＝2，
∴dx＝2＋－＝＋.
(2) 2xdx表示由直线x＝－1，x＝2，y＝0以及y＝2x所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，
∴ 2xdx＝－
＝4－1＝3.
12．已知函数f(x)＝，求f(x)在区间[－1,3π]上的定积分．
解：由定积分的几何意义知
x5dx＝0.sinxdx＝0(如图所示)
f(x)dx
＝x5dx＋xdx＋sinxdx
＝xdx＝(π2－1)．