【精品练习】人教A版 数学 选修2第1章1.6知能优化训练

1．下列积分值等于1的是(　　)
A.xdx　　　　　　　　 B.(x＋1)dx
C.1dx D.dx
解析：选C.1dx＝x|＝1，故选C.
2．若(2x＋)dx＝3＋ln2，则a的值是(　　)
A．6 B．4
C．3 D．2
解析：选D.(2x＋)dx＝2xdx＋dx＝x2|＋lnx|＝a2－1＋lna＝3＋ln2，解得a＝2.
3．计算：(sinx＋2)dx＝________.
解析：(sinx＋2)dx＝(－cosx＋2x)|＝－cos2＋4－(－cos2－4)＝8.
答案：8
4．求下列定积分：
(1)exdx；
(2)dx，其中f(x)＝
解：(1)∵(ex)′＝ex，
∴exdx＝ex|＝eb－ea.
(2)dx＝cosxdx＋sinxdx
＝sinx|＋(－cosx)|＝2.
一、选择题
1．函数y＝cosxdx的导数是(　　)
A．cosx B．－sinx
C．cosx－1 D．sinx
解析：选A.y＝cosxdx＝sinx|＝sinx，
∴y′＝(sinx)′＝cosx，故选A.
2．(2011年高考福建卷)(ex＋2x)dx等于(　　)
A．1 B．e－1
C．e D．e＋1
解析：选C.(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|＝(e1＋12)－(e0＋02)＝e.
3．已知f(x)＝则f(x)dx的值为(　　)
A. B.
C. D．－
解析：选B.f(x)dx＝x2dx＋1dx＝|＋1＝＋1＝，故选B.
4.sin2dx＝(　　)
A. B.－1
C．2 D.
解析：选D. sin2dxdx＝(x－sinx)|＝，故选D.
5.|x|dx等于(　　)
A.xdx B.(－x)dx
C.(－x)dx＋xdx D.xdx＋(－x)dx
解析：选C.∵|x|＝
∴|x|dx＝(－x)dx＋xdx，故选C.
6．设f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，则f(x)的解析式为(　　)
A．4x＋3 B．3x＋4
C．－4x＋2 D．－3x＋4
解析：选A.∵f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(x)dx＝(ax＋b)dx＝axdx＋bdx＝a＋b＝5，xf(x)dx＝x(ax＋b)dx＝(ax2)dx＋bxdx＝a＋b＝.
由解得a＝4，b＝3，故f(x)＝4x＋3.
二、填空题
7．由直线x＝1，x＝4，y＝0和曲线y＝＋1围成的曲边梯形的面积是________．
解析：设所求面积为S，由定积分的几何意义知
S＝(＋1)dx＝(x＋x)|
＝(＋4)－(＋1)＝.
答案：
8．如果f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，则f(x)dx＝________.
解析：∵f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx，
∴1＋f(x)dx＝－1，∴f(x)dx＝－2.
答案：－2
9．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．
解析：f(x)dx＝(ax2＋c)dx
＝(ax3＋cx)|＝＋c＝ax＋c.
又∵0≤x0≤1，∴x0＝.
答案：
三、解答题
10．已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若f(x)dx＝2f(a)成立，求a的值．
解：因为(x3＋x2＋x)′＝3x2＋2x＋1，
所以 (3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝4，
所以2(3a2＋2a＋1)＝4，
即3a2＋2a－1＝0，解得a＝－1或a＝.
11．先作出函数f(x)＝的图象，再求f(x)dx.
解：
图象如图所示，f(x)dx＝x2dx＋xdx＋3dx＝x3|＋x2|＋3x|
＝＋4＋6＝10.
12．求下列定积分．
(1)y2(y－2)dy；(2)∫cos2xdx.
解：(1)y2(y－2)dy＝(y3－2y2)dy
＝(y4－y3)|＝.
(2)F(x)＝sin2x，
则cos2xdx＝F()－F()＝(2－)．