【精品练习】人教A版 数学 选修2第1章1.7.2知能优化训练

1．由y＝，x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为(　　)
A．ln2　　　　　　　　　 B．ln2－1
C．1＋ln2 D．2ln2
解析：
选A.画出曲线y＝(x>0)及直线x＝1，x＝2，y＝0，则所求面积S为如图所示阴影部分面积．
∴S＝dx＝lnx|＝ln2－ln1＝ln2.故选A.
2．如果某质点以初速度v(0)＝1，加速度a(t)＝6t作直线运动，则质点在t＝2 s时的瞬时速度为(　　)
A．5 B．7
C．9 D．13
解析：选D.v(2)－v(0)＝a(t)dt＝6tdt＝3t2|，
∴v(2)＝v(0)＋3×22＝1＋12＝13.
3.
(2010年高考陕西卷)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．
解析：根据题意得：S阴＝3x2dx＝x3|＝1，则点M取自阴影部分的概率为＝＝.
答案：
4．一个弹簧压缩x cm可产生4x N的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短5 cm，求弹簧克服弹力所做的功．
解：设F(x)＝kx，因为弹簧压缩x cm可产生4x N的力，∴k＝4.
∴弹簧克服弹力所做的功为
W＝4xdx＝4×(x2)|＝50(J)．
一、选择题
1.
如图，由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积是(　　)
A.(x2－1)dx
B．|(x2－1)dx|
C.|x2－1|dx
D.(x2－1)dx＋(x2－1)dx
解析：选C.根据定积分的几何意义，结合面积是一个非负数求解．
2.
如图，阴影部分的面积为(　　)
A.f(x)dx
B.g(x)dx
C.[f(x)－g(x)]dx
D.[g(x)－f(x)]dx
解析：选C.由题图，易知在x∈[a，b]时，f(x)>g(x)，
∴S＝[f(x)－g(x)]dx.
3．求由y＝ex，x＝2，y＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为(　　)
A．[0，e2] B．[0,2]
C．[1,2] D．[0,1]
解析：
选B.如图，作出y＝ex，x＝2，y＝1三个函数的图象，由三者围成的曲边梯形如图阴影部分，若选择x为积分变量，则积分区间应为[0,2]．故选B.
4．一物体在力F(x)＝3x2－2x＋5(力单位：N，位移单位：m)作用力下，沿与力F(x)相同的方向由x＝5 m直线运动到x＝10 m处做的功是(　　)
A．925 J B．850 J
C．825 J D．800 J
解析：选C.W＝∫F(x)dx＝∫(3x2－2x＋5)dx
＝(x3－x2＋5x)|
＝(1000－100＋50)－(125－25＋25)＝825(J)．
故选C.
5．一物体以速度v(t)＝3t2－2t＋3做直线运动，它在t＝0和t＝3这段时间内的位移是(　　)
A．9 B．18
C．27 D．36
解析：选C.s＝v(t)dt＝(3t2－2t＋3)dt＝(t3－t2＋3t)|＝33－32＋3×3－0＝27.故选C.
6．一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向作直线运动，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)作的功为(　　)
A．44 J B．46 J
C．48 J D．50 J
解析：选B.W＝F(x)dx＝10dx＋(3x＋4)dx＝10x|＋(x2＋4x)|＝46(J)．故选B.
二、填空题
7．若1 N的力能使弹簧伸长2 cm，则使弹簧伸长12 cm时克服弹力所作的功为________．
解析：弹簧的伸长与所受到的拉力成正比，设F＝kx，求得k＝50，∴F(x)＝50x.
∴W＝∫50xdx＝25x2|＝0.36(J)．
答案：0.36 J
8．有一横截面的面积为4 cm2的水管控制往外流水，打开水管后t秒末的流速为v(t)＝6t－t2(单位：cm/s)(0≤t≤6)．则t＝0到t＝6这段时间内流出的水量为________．
解析：由题意可得t＝0到t＝6这段时间内流出的水量V＝4(6t－t2)dt＝4(6t－t2)dt＝4(3t2－t3)|＝144(cm3)．故t＝0到t＝6这段时间内流出的水量为144 cm3.
答案：144 cm3
9．由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是________．
解析：
由得x＝1或x＝4.
所求面积为S＝(x2＋4－5x)dx＋(5x－x2－4)dx
＝(x3＋4x－x2)|＋(x2－x3－4x)|＝.
答案：
三、解答题
10.
一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，求该物体在 s～6 s间的运动路程．
解：由题意，得
v(t)＝
由变速直线运动的路程公式，可得：
s＝v(t)dt＝2tdt＋2dt＋(t＋1)dt
＝t2|＋2t|＋(t2＋t)|＝(m)．
所以该物体在 s～6 s间的运动路程是 m.
11．求由曲线y＝(x＋2)2，x轴与直线y＝4－x所围成的平面图形的面积．
解：
在同一坐标系内先画出曲线y＝(x＋2)2与直线y＝4－x的图象(如图)．
在方程y＝(x＋2)2中，令y＝0，解得曲线与x轴的交点为A(－2,0)．
同时，在y＝4－x中，令y＝0，解得直线与x轴的交点为B(4,0)，再求得曲线y＝(x＋2)2与直线y＝4－x的交点为C(0,4)．
由图可以看出，所求图形的面积由S1与S2两部分(即图中的阴影部分)组成．
故所求的面积为：
S＝S1＋S2＝(x＋2)2dx＋(4－x)dx
＝(x＋2)3|＋(4x－x2)|＝＋8＝.
12．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.
(1)求y＝f(x)的表达式；
(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.
又f′(x)＝2x＋2，所以a＝1，b＝2.
∴f(x)＝x2＋2x＋c.
又方程f(x)＝0有两个相等实根，
即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根，
所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1.
故f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)依题意，所求面积为S＝(x2＋2x＋1)dx，
取F(x)＝x3＋x2＋x，则F′(x)＝x2＋2x＋1，
∴S＝(x2＋2x＋1)dx＝F(0)－F(－1)＝.