《2.5一元二次方程根与系数的关系》基础达标训练（附答案）2021年暑假自主学习九年级数学北师大版上册

2021年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程根与系数的关系》暑假自主学习
基础达标训练（附答案）
1．已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是（　　）
A．﹣25 B．﹣24 C．35 D．36
2．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（　　）
A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5
3．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k且k≠1 B．k≥且k≠1 C．k D．k≥
4．已知方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣2021
5．若2+，2﹣是关于x的方程x2+mx+n＝0的两个实数根，则m+n的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．5
6．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则（x12+2）（x22+2）的值是（　　）
A．8 B．32 C．8或32 D．16或40
7．关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别是x1，x2，且以x1，x2，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为（　　）
A．24 B．25 C．24或25 D．无法确定
8．关于x的一元二次方程nx2﹣x+2＝0有两个不相等的实数根，则n的取值范围是（　　）
A．n＜且n≠0 B．n＞
C．﹣≤n＜且n≠0 D．﹣＜n≤且n≠0
9．设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
10．关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）＝0，则k的值是　 　．
11．若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，当k＝　 　时，△ABC是直角三角形．
12．若x1，x2是方程x2＝2x+2021的两个实数根，则代数式x1（x12﹣2x1）+2021x2的值为　 　．
13．已知m、n是方程x2+2019x﹣2＝0的两个根，则（m2+2018m﹣3）（n2+2020n﹣1）＝　 　．
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值　 　．
15．已知x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个根，那么+＝　 　，x12+x22＝　 　，（x1+1）（x2+1）＝　 　，|x1﹣x2|＝　 　
16．已知：m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝　 　．
17．关于x的方程3x2+mx﹣8＝0有一个根是，求另一个根及m的值．
18．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值．
20．已知关于x的方程x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0
（1）求证：无论k为何值，原方程都有实数根；
（2）若该方程的两实数根x1、x2为一菱形的两条对角线之长，且x1x2+2x1+2x2＝36，求k值及该菱形的面积．
参考答案
1．解：∵a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，
∴a2﹣3a﹣5＝0，b2﹣3b﹣5＝0，a+b＝3,
∴a2﹣3a＝5，b2＝3b+5，
∴2a3﹣6a2+b2+7b+1
＝2a（a2﹣3a)+3b+5+7b+1
＝10a+10b+6
＝10(a+b)+6
＝10×3+6
＝36．
故选：D．
2．解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，
∴x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，
∴x12﹣5x1﹣2x2＝x12﹣3x1﹣2（x1+x2）＝﹣1﹣2×3＝﹣7．
故选：A．
3．解：当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程．
∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，
解得k≥；
当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解；
综上，k的取值范围是k≥，
故选：D．
4．解:∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝2021,x12﹣2021x1+1＝0，x22﹣2021x2+1＝0，
∵x2≠0,
∴x2﹣2021+＝0,
∴﹣＝x2﹣2021,
∴﹣,
∴x12﹣＝2021x1﹣1+2021x2﹣20212
＝2021(x1+x2)﹣1+20212
＝20212﹣1﹣20212
＝﹣1．
故选：B．
5．解：∵2+，2﹣是关于x的方程x2+mx+n＝0的两个实数根，
∴，（2+）（2﹣）＝n，
∴m＝﹣4，n＝1，
∴m+n＝﹣3．
故选：B．
6．解：由题意得△＝（2m）2﹣4（m2﹣m）≥0，
∴m≥0，
∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，
则x1+x2＝﹣2m，x1?x2＝m2﹣m＝2，
∴m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或m＝﹣1（舍去），
∴x1+x2＝﹣4，
（x12+2）（x22+2）
＝（x1x2）2+2（x1+x2）2﹣4x1x2+4，
原式＝22+2×（﹣4）2﹣4×2+4＝32；
故选：B．
7．解：当6为底边时，则x1＝x2，
∴△＝100﹣4m＝0，
∴m＝25，
∴方程为x2﹣10x+25＝0，
∴x1＝x2＝5，
∵5+5＞6，
∴5，5，6能构成等腰三角形；
当6为腰时，则设x1＝6，
∴36﹣60+m＝0，
∴m＝24，
∴方程为x2﹣10x+24＝0，
∴x1＝6，x2＝4，
∵6+4＞6，
∴4，6，6能构成等腰三角形；
综上所述：m＝24或25，
故选：C．
8．解：∵关于x的一元二次方程nx2﹣x+2＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣）2﹣4n×2＞0且n≠0，4n+3≥0，
解得﹣≤n＜且n≠0，
故选：C．
9．解：∵a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，
∴a2+a＝2022，a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2022﹣1＝2021．
故选：C．
10．解：∵（x1﹣2）（x1﹣x2）＝0，
∴x1﹣2＝0或x1﹣x2＝0．
①如果x1﹣2＝0，那么x1＝2，
将x＝2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0，
得4+2（2k+1）+k2﹣2＝0，
整理，得k2+4k+4＝0，
解得k＝﹣2；
②如果x1﹣x2＝0，
则△＝（2k+1）2﹣4（k2﹣2）＝0．
解得：k＝﹣．
所以k的值为﹣2或﹣．
故答案为：﹣2或﹣．
11．解：∵x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0，
∴[x﹣（k+1）][x﹣（k+2）]＝0，
∴x1＝k+1，x2＝k+2，
即AB、AC的长为k+1，k+2，
当（k+1）2+（k+2）2＝52时，△ABC为直角三角形，解得k1＝2，k2＝﹣5（舍去）；
当（k+1）2+52＝（k+2）2时，△ABC为直角三角形，解得k＝11；
综上所述，当k＝2或11时，△ABC是直角三角形．
故答案为2或11．
12．解：∵x1，x2是方程x2＝2x+2021的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x12﹣2x1＝2021，
则原式＝2021x1+2021x2
＝2021（x1+x2）
＝2021×2
＝4042．
故答案为：4042．
13．解：∵m、n是方程x2+2019x﹣2＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2019，mn＝﹣2，m2+2019m﹣2＝0，n2+2019n﹣2＝0，
∴（m2+2018m﹣3）（n2+2020n﹣1）＝（m2+2019m﹣2﹣m﹣1）（n2+2019n﹣2+n+1）
＝（﹣m﹣1）（n+1）
＝﹣mn﹣m﹣n﹣1
＝2+2019﹣1
＝2020．
故答案为：2020．
14．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≤，
由根与系数的关系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，
∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．
∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，
即﹣（x1+x2）2+3x1?x2＝﹣16，
∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，
整理得k2﹣2k﹣15＝0，
解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．
∴k＝﹣3，
故答案为﹣3．
15．解：∵x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣，x1?x2＝﹣2，
∴+＝＝＝；
x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1?x2＝（﹣）2+2×2＝6；
（x1+1）（x2+1）＝x1?x2+x1+x2+1＝﹣2+（﹣）+1＝﹣2；
∵（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1?x2＝（﹣）2﹣4×（﹣2）＝，
∴|x1﹣x2|＝＝，
故答案为：，6，﹣2，．
16．解：∵m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，
∴（m2+3m+3）（n2+3n+3）
＝（m2+2m﹣1+m+4）（n2+2n﹣1+n+4）
＝（m+4）（n+4）
＝mn+4（m+n）+16
＝﹣1+4×（﹣2）+16
＝7，
故答案为：7．
17．解：∵关于x的方程3x2+mx﹣8＝0有一个根是，
∴a＝﹣，即方程另一根a＝﹣4，
则﹣4+＝﹣，即m＝10．
18．（1）证明：∵△＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）
＝4m2+4m+1﹣4m+8
＝4m2+9＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出，
由x1+x2+3x1x2＝1得﹣（2m+1）+3（m﹣2）＝1，
解得m＝8．
19．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根，
∴△＝（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）≥0，
解得：m≤2．
（2）∵方程x2﹣6x+（4m+1）＝0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝42，即32﹣16m＝16，
解得：m＝1．
20．（1）证明：根据题意得：△＝[﹣（3k+3）]2﹣4（2k2+4k+2）＝（k+1）2．
∵无论k为何值，总有（k+1）2≥0，
∴无论k为何值，原方程都有实数根；
（2）∵关于x的方程x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0的两实数根是x1、x2，
∴x1+x2＝3k+3，x1x2＝2k2+4k+2，
∴由x1x2+2x1+2x2＝36，得2k2+4k+2+2（3k+3）＝36，
整理，得（k+7）（k﹣2）＝0．
解得k1＝﹣7（舍去），k2＝2．
∴x1x2＝×2（k+1）2＝（2+1）2＝9．
即菱形的面积是9．