2012年高考考前冲刺-解析几何

直线与圆
1、是的______条件（ ）
A、充分不必要条件 B、充要条件
C 必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
2、方程所表示的曲线是（ ）
A．一个圆 B．两个圆
C．半个圆 D．两个半圆
3、过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有（ ）
A.16条 B.17条 C.32条 D.34条
4、已知两圆⊙和⊙都经过点A(2,－1),则同时经过点和点的直线方程为
考点应用：直线与圆的位置关系
例1、圆经历变换后得到⊙O,直线与⊙O相交于A、B两点,若在⊙O上存在一点C,使得,,求直线的方程及对应的点C的坐标.
考点应用：圆的方程
例题2：设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：
（1）求实数b 的取值范围；
（2）求圆C 的方程；
（3）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．
直线与圆答案
课前练习：1、C 2、D 3、C 4、
例题1、【解析】将圆化为标准方程为
经过变换 后得到⊙O方程为，
∵,且,
， 而，, 设直线的方程为
由
将(1)代入(2),整理得,设,
则
因为点C在圆上,故,解之得,
此时(*)式.
所求的直线的方程为,对应C点坐标为(－1,2),
或直线方程为,相应C点坐标为(1,－2).
例题2：【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．
（Ⅰ）令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；
令，由题意且，解得且
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为
令＝0 得这与＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝
令＝0 得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1
所以圆C 的方程为
（Ⅲ）证明：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，
右边＝0，所以圆C 必过定点（0，1），同理可证圆C 必过定点（－2，1）
轨迹方程
1、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为。点为椭圆上一点，若，，求椭圆方程
2、设,常数,定义运算”*”， ,若,则动点的轨迹是( )
A、圆 B、椭圆的一部分 C、双曲线的一部分 D、抛物线的一部分
3、已知分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，过的平分线的垂线,垂足为H,则点H的轨迹为( )
A、椭圆 B、双曲线 C、圆 D、抛物线
考点一、用定义法求轨迹方程
例题1、在面积为12的中，，，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点，且过点P的椭圆方程
变式练习1：已知点P在直线上运动,求经过P点且与椭圆+=1有共同焦点，同时长轴最短时P点的坐标及椭圆的方程
考点二、用代入法（相关点法）求轨迹方程
例2、已知圆：.
（1）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程;
（2）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.
考点三：用待定系数法法求轨迹方程
例题3：已知椭圆与直线交于、两点，AB=2，AB的中点M与椭圆中心连线的斜率为，求椭圆的方程。
轨迹方程答案
1、 2、D 3、 C
例1：解：以、所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，设，,，其中，由题设可知：
解得：
则以、为焦点的椭圆的长轴长为
， 则 所以，椭圆方程为：
1：解：椭圆的焦点为,,
且关于直线的对称点为，
则易得过点与点的直线方程为，
联立方程组 解得交点为，
所以，长轴最短时点的坐标为，由椭圆定义可得：
则以,,为焦点的椭圆的长轴长为：
， 则, 所以，椭圆方程为：
例2、解析（1）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意
②若直线不垂直于轴，设其方程为，即．
设圆心到此直线的距离为，则，得，∴，，
故所求直线方程为 综上所述，所求直线为或．
（2）设点的坐标为，点坐标为,则点坐标是
∵，∴ 即，
又∵，∴ 由已知，直线轴，所以，
∴点的轨迹方程是，
轨迹是焦点坐标为，长轴为8的椭圆，并去掉两点．
例3、解：由题设，联立方程组，
由（1）式得，代入（2）式，化简并整理得：
设，，则有：，
设中点，则，
， 即：
又由于 ，则有：
由(3)、(4)联立解得：,所以，所求椭圆的方程为：
曲线方程综合问题
1.讨论方程所表示的曲线
2.讨论方程所表示的曲线
3.已知圆的方程为，椭圆的方程为
，的离心率为，如果与相交于A、B两点，且线段AB恰为圆的直径，求直线AB的方程和椭圆的方程。
2、已知圆过定点，圆心在抛物线上运动，、为圆与轴的交点。
（1）当点运动变化时，是否变化？请证明你的结论。
（2）设，，求的最大值，并求此时圆的方程。
圆锥曲线综合问题答案
例题1、解：（1）当时，，曲线为焦点在轴上的双曲线；
（2）当时，方程为，表示两条平行于轴的直线；
（3）当时，，曲线为椭圆，并且分一下几种情况讨论：
若，则，，曲线为焦点在轴上的椭圆；
若时，曲线为圆，
若，曲线为焦点在轴上的椭圆；
（4）当时，方程为，表示两条平行于轴的直线；
（5）当时，曲线为焦点在轴上的双曲线
变式练习：
1、提示：分一下几种情况讨论：
（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）； （6）；
例题2：解：由 设椭圆方程为
设
又 两式相减，得
又
即
将
由
得 解得 故所有椭圆方程
2、解：（1）因为点在抛物线上，所以可设，
从而：
∴ 圆的方程为：
令，可得：，解得：
∴
故当点在抛物线上运动时，的长度保持定值
（2）令，则有：
∴ ，
且 ，
∴
当且仅当，即时取得等号，从而的最大值为
此时，圆的方程为
解析几何相关综合问题
1.在平面上有一系列点对每个自然数,点
位于函数的图象上．以点为圆心的⊙与轴都相切，且⊙与⊙又彼此外切．若,且 ．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设⊙的面积为，
,求证：
2.已知圆和圆,现构造一系列圆使圆同时与和圆都相切,并都与OX轴相切,回答：
（1）求圆的半径；
（2）证明：两个相邻圆和在切点间的公切线长为；
（3）求证：.
课后练习：
1、条件甲：方程表示一双条双曲线，条件乙：则乙是甲的（ ）
A、充分非必要条件 B、必要非充分条件
C、充要条件 D、既非充分又非必要条件
2、设数列的前项和，,、是常数且
(1)证明：是等差数列.
(2)证明：以为坐标的点都落在同一条直线上，并写出此直线的方程.
(3)设a=1,b=,是以为圆心，为半径的圆（），求使得点、、都落在圆外时，的取值范围.
3、如图，曲线上的点与x轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形，，……设正三角形的边长为 (记为),（1）求的值； （2）求数列{}的通项公式
解析几何相关综合问题
1.解：（1）依题意，⊙的半径，⊙与⊙彼此外切，
, ,
两边平方，化简得, 即.
, ．∴数列是等差数列
（2）∴,
＝
＝ ．
变式练习：解：（1）在直角梯形中,
AC=1－,=1＋,=1＋,=＋.=－
∴有 ，
，=
∴
∴.即
由此可得 ∴成等差数列,
∴,∴
（2）公切线长为
（3）＝
∴
课后练习： 1、
2、（1）证明：由条件，得a1=S1=a,当时，
有an=Sn－Sn－1=［na+n(n－1)b］－［(n－1)a+(n－1)(n－2)b］=a+2(n－1)b.
因此，当时，有an－an－1=［a+2(n－1)b］－［a+2(n－2)b］=2b.
所以{an}是以a为首项，2b为公差的等差数列.
（2）证明：∵,对于,有
∴所有的点Pn(an,－1)(n=1,2,…)都落在通过P1(a,a－1)且以为斜率的直线上.此直线方程为y－(a－1)= (x－a),即x－2y+a－2=0
（3）解：当a=1,b=时，Pn的坐标为(n,),使P1(1,0)、P2(2, )、P3(3,1)都落在圆C外的条件是：
由不等式②，得或； 由不等式③，得或
再注意到，
故使、、都落在圆外时，的取值范围是
3、解：（1）由条件可得,代入,得
（2） ∴；
代入曲线, 并整理得,
∴于是当时,
即,又当；
,故 ∴所以数列{}是首项为、公差为的等差数列,
则， ∴ 数列{}的通项公式为
Pn
Pn+1
①
②
③