帮你归纳总结(九）：导数中的有关方程根的问题

帮你归纳总结(九）：导数中的有关方程根的问题
一、常见基本题型：
(1) 判断根的个数问题，常常转化为函数图象的交点个数问题，通过构造函数来求解，
例1.已知函数 求方程的根的个数.
解： 令
当时，
当时，
因此，在时，单调递减，
在时，单调递增.
又为偶函数，当时，极小值为
当时，， 当时，
当时，， 当时，
故的根的情况为：
当时，即时，原方程有2个根；
当时，即时，原方程有3个根；
当时，即时，原方程有4个根
（2）已知方程在给定的区间上解的情况，去求参数的取值范围，另外有关方程零点的 个数问题其实质也是方程根的问题。
例1.已知是不同时为零的常数），其导函数为，
（1）求证：函数在内至少存在一个零点；
（2）若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于
的方程在上有且只有一个实数根，求实数的取值
范围.
解：（1）证明：因为
当时，符合题意；
当时，，令，则
令，，
当时，， 在内有零点；
当时，，在内有零点.
当时，在内至少有一个零点.
综上可知，函数在内至少有一个零点
（2） 因为为奇函数，
所以，所以，.
又在处的切线垂直于直线，
所以，即.
在上是单调递增函数，
在上是单调递减函数，由解得，，
由解之得
作与的图知交点横坐标为
当时，过图象上任意一点向左作平行于 轴的直线与都只有唯一交点，当取其它任何值时都有两个或没有交点。
所以当时，方程在上有 且只有一个实数根.
二、针对性练习
1。设函数 当，，方程有唯一实数解， 求正数的值．
解: 因为方程有唯一实数解，
所以有唯一实数解，
设，
则．令，．
因为，，
所以（舍去），，
当时，，在（0，）上单调递减，
当时，，在（，+∞）单调递增
当时，=0，取最小值．
则既
所以，因为，所以（*）
设函数，因为当时，
是增函数，所以至多有一解．
因为，所以方程（*）的解为，
即，解得
2.设函数，且为的极值点．
(Ⅰ) 若为的极大值点，求的单调区间（用表示）；
(Ⅱ)若恰有两解，求实数的取值范围．
解： ，又
所以且，
（I）因为为的极大值点，所以
当时，；当时，；当时，
所以的递增区间为，；递减区间为．
（II）①若，则在上递减，在上递增
恰有两解，则，即，所以；
② 若，则，
因为，则的极大值为，
的极小值为， 从而只有一解；
③ 若，则的极小值为
的极大值为， 则只有一解.
综上，使恰有两解 的的范围为．
3.已知函数, 函数,若方程在
上恰有两解, 求实数的取值范围.
解：
令得 ，则此方程在上恰有两解。
记
得
在上，，单调递减；
在上，，单调递增；
又，
.