帮你归纳总结(十）：导数中的图像关系问题

帮你归纳总结(十）：导数中的图像关系问题
一、常见基本题型：
（1）已知图像交点个数，求参数的取值范围，
例1. 已知是函数的一个极值点．
(1)求函数的单调区间；
(2)若直线与函数的图像有三个交点，求的取值范围．
解：(1) f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，x∈(－1，＋∞)，
.
当x∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，；
当x∈(1,3)时，.
∴的单调增区间是(－1,1)，(3，＋8)；
的单调减区间是(1,3)，
（2）由(1)知在(－1,1)单调增加，在(1,3)单调减小，
在(3，＋∞)上单调增加，
且当x＝1，或x＝3时，f′(x)＝0，
∴f(x)的极大值为f(1)＝16ln2－9，极小值为f(3)＝32ln2－21.
∵f(16)＞162－10×16＞16ln2－9＝f(1)，
f(e－2－1)＜－32＋11＝－21＜f(3)，
∴在f(x)的三个单调区间(－1,1)，(1,3)，(3，＋∞)，
直线y＝b与y＝f(x)的图像各有一个交点，即f(3)＜b＜f(1)．
∴b的取值范围为(32ln2－21,16ln2－9).
例2.已知函数
（1）当时，求函数的最值；
（2）说明是否存在实数使的图象与无公共点.
解：（1）函数的定义域是（1，+）
当a=1时，，
所以在为减函数，在为增函数，
所以函数的最小值为.
（2）时，由（1）知在（1，+）的最小值为，
令在［1，+）上单调递减，
所以，则
因此存在实数使的最小值大于，
故存在实数使y=的图象与y=无公共点.
(2)已知图像的位置关系求参数的取值范围
例3.已知二次函数，其导函数 的图象如图所示，．若函数,
的图象总在函数的图象的上方，求c的取值范围．
解：由题意可知，2x－ln x>x2－3x－c＋ln x在x∈[1,4]上恒成立，
即当x∈[1,4]时，c>x2－5x＋2ln x恒成立
设g(x)＝x2－5x＋2ln x，x∈[1,4]，则c>g(x)max.
易知＝2x－5＋＝=.
令得，x＝或x＝2.
当x∈(1,2)时，，函数单调递减；
当x∈(2,4)时，，函数单调递增．
而g(1)＝12－5×1＋2ln 1＝－4，g(4)＝42－5×4＋2ln 4＝－4＋4ln 2，
显然g(1)故c>－4＋4ln 2. ∴c的取值范围为(－4＋4ln 2，＋∞)．
二、针对性练习
1．已知函数.，求证：在区间上，函数的图象在函数
的图象的下方.
证明：令
则
∵当时，∴函数在区间上为减函数
∴
即在上，
∴在区间上，函数的图象在函数的图象的下方。
2.已知函数
（1）求的极值；
（2）若函数的图象与函数=1的图象在区间上有公共点，求实数a的 取值范围。
解：（1）
令
当是增函数
当是减函数
∴
（i）当时，，
由（1）知上是增函数，在上是减函数
又当时，
所以的图象在上有公共点，等价于
解得
（ ii）当时，上是增函数，
∴
所以原问题等价于
又，∴无解
3．设，若函数在[1,3]上恰有 两个不同零点，求实数a的取值范围．
解、函数k(x)＝f(x)－h(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于
方程x－2lnx＝a，在[1,3]上恰有两个相异实根．
令g(x)＝x－2ln，则g′(x)＜1－.
当x∈[1,2)时，g′(x)＜0；
当x∈(2,3]时，g′(x)＞0.
∴g(x)在(1,2)上是单调递减函数，在(2,3]上是单调递增函数．
故g(x)min＝g(2)＝2－2ln2.
又g(1)＝1，g(3)＝3－2ln3，
∵g(1)＞g(3)，∴只需g(2)＜a≤g(3)．
故a的取值范围是(2－ln2,3－2ln3].