帮你归纳总结(十一）：导数中的探索性问题

帮你归纳总结(九）：导数中的探索性问题
一、常见基本题型：
(1)探索图像的交点个数问题，可转化方程解的个数求解，
例1、 已知函数,
(1)若是的极值点，求在上的最大值；
（2）在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数 的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，试说 明理由。
解:（1）因为是的极值点,所以,
得:,在区间[1,4]上, 在(1,3)单调减在(3,4)单调增,
且所以,
(2) 设,由题意可得有三个零点,
又由于0是的一个零点,所以,只要再有两个零点且都不相同即可;
因此,方程有两个不等实根且无零根,
所以,
所以,存在实数b使得函数的图像与函数的图象恰有3个交 点,且.
（2）探索函数的零点个数问题
例2.已知函数，是否存在正实数，使得函数
在区间内有两个不同的零点？若存在，请求出 的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：，
因在区间内有两个不同的零点,所以，
即方程在区间内有两个不同的实根
设 ，
令，因为为正数，解得或（舍）
当时, , 是减函数；
当时, ，是增函数.
为满足题意，只需在内有两个不相等的零点, 故
, 解得
(3) 探索函数图象的位置关系问题
例3.若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：
和，则称直线为和的“隔离直线”． 已知，（其中为自然对数的底数）．
(1)求的极值；
(2) 函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，
请说明理由．
解：(1) ，
．
当时，．
当时，，此时函数递减；
当时，，此时函数递增；
∴当时，取极小值，其极小值为．
(2)由（1）可知函数和的图象在处有公共点，
则，
当时，．
当时，，此时函数递增；
当时，，此时函数递减；
∴当时，取极大值，其极大值为．
从而，即恒成立．
∴函数和存在唯一的隔离直线．
二、针对性练习
1. 设函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)当时,是否存在整数，使不等式恒 成立？若存在，求整数的值；若不存在，请说明理由。
解：(1)由得函数的定义域为，
。
由得；由得，
∴函数的递增区间是；递减区间是。
(2)由(1)知,在上递减,在上递增。
∴
又∵，，且,
∴时,。
∵不等式恒成立,
∴，
即
∵是整数，∴。
∴存在整数，使不等式恒成立。
2. 已知定义在R上的二次函数满足，且的 最小值为0，函数，又函数。
（I）求的单调区间；
（II）若二次函数图象过（4，2）点，对于给定的函数图象上的点A（）， 当时，探求函数图象上是否存在点B（）（），使A、B 连线平行于x轴，并说明理由。（参考数据：e=2.71828…）
解：（I）
可得 又在x=0时取得最小值0，
令
当x变化时，，的变化情况如下表：
（0，） （，＋）
＋ 0 －
增函数 极大值 减函数
的单调递增区间是，的单调递减区间是（，＋）。
（II）证明：若二次函数图象过（4，2）点，则，所以
令 由（I）知在（0，2）内单调递增，
故
取则
所以存在
即存在
所以函数图象上存在点B（）（），使A、B连线平行于x轴.