帮你归纳总结(十二）：导数中的单调性问题

帮你归纳总结(十二）：导数中的单调性问题
常见基本问题：
求已知函数的单调区间，要注意函数的定义域；
（2）已知函数的单调性，求参数的取值范围。
例1、已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.
解：（1）函数的定义域为.
① 当时, ，的单调递增区间为；
② 当时.
当变化时，的变化情况如下：
- +
极小值
由上表可知： 函数的单调递减区间是；
单调递增区间是.
（2）由得，
由已知为上的单调减函数，则在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立.
令，在上，
在为减函数. .
例2. 已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1., 讨论函数f(x)的单调性；
解: f(x)的定义域为(0，＋∞)，,
当a≥0时，，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a≤－1时，，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当－1＜a＜0时，令，解得x＝，
则当时，；当时，
故f(x)在上单调递增，在上单调递减．
针对性练习
1.已知函数，设讨论函数
的单调性；
解：
①当时，恒有，F（x）在上是增函数；
②当时，令，得，解得；
令，得，解得；
综上，当时，F（x）在上是增函数；
当时，F（x）在上单调递增，在上单调递减.
2．已知函数，在处取得极值为．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围；
解：（1）已知函数，
又函数在处取得极值2，　　　　　　　　
即
（2）由，
得，即
所以的单调增区间为（－1，1）
因函数在（m，2m＋1）上单调递增，
则有，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解得即时，函数在（m，2m＋1）上为增函数