河北省石家庄外国语教育集团2019-2020学年九年级下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2019七下·甘井子期中）下列实数中,属于无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、 是有理数，故A不符合题意；
B、3.14是有理数，故B不符合题意
C、 是无理数，故C符合题意；
D、 =2是有理数，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都可以化为分数；无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率都是无理数；据此判断即可.
2．（2020九下·萧山月考）一块三棱柱积木如下面的图所示，则它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上往下看是两个有一边重合的长方形，
故答案为：C.
【分析】俯视图就是从上往下看到的平面图形，观察各选项可得答案。
3．（2020九下·石家庄开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解： ，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D符合题意；
故答案选D．
【分析】根据合并同类项、二次根式的乘法、0指数幂的运算逐项判定即可。
4．（2020九下·石家庄开学考）近期，新冠肺炎的疫情在全国蔓延，全国人民团结一致，全力抗击新型冠状病毒感染肺炎，社会各界人士积极捐款．截止 2 月 5 日，武汉市慈善总会接收捐赠款约 元．将 用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得：
；
故答案为：C．
【分析】根据科学记数法的定义直接解答即可。
5．（2020九下·石家庄开学考）图中信息是小明和小华射箭的成绩，两人都射了10箭，则射箭成绩的方差较大的是（ ）
A．小明 B．小华 C．两人一样 D．无法确定
【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：根据图中的信息可知，小明的成绩波动性小，
则这两人中成绩稳定的是小明；
故射箭成绩的方差较大的是小华，
故答案为：B．
【分析】方差的性质：方差越大，成绩越不稳定。
6．（2020九下·石家庄开学考）如图，等腰 中， ， ，顶点A，B分别在 ， 上，且 ，已知 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ 是等腰三角形，AC=BC，
∴ ，
∵ ，∴ ，
．
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质得到，再利用等腰三角形的性质得到，最后利用平角计算即可。
7．（2020九下·石家庄开学考）如图，数轴上有M、N、P、Q四个点，其中点P所表示的数为a，则数-3a所对应的点可能是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵点P所表示的数为a，点P在数轴的右边，∴-3a一定在原点的左边，且到原点的距离是点P到原点距离的3倍，∴数-3a所对应的点可能是M，
故答案为：A．
【分析】根据实数与数轴上点的关系逐项判定即可。
8．（2020九下·石家庄开学考）如图， 是⊙O直径，C，D是圆上的点，若 ， ，则⊙O半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解： 是⊙O直径，
,
,
,
,
,
⊙O半径是 ,
故答案为：C．
【分析】根据圆周角得到，再利用30度角的直角三角形的性质求半径即可。
9．（2020九下·石家庄开学考）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=
= ；
故答案为：A．
【分析】先算括号中的分式的减法，再算分式的乘法。
10．（2020九下·石家庄开学考）如图，以正五边形ABCDE的对角线AC为边作正方形ACFG，使点B落在正方形ACFG外，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠B=∠BAE=180°- =108°，AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA= （180°-∠B）=36°，
∴∠CAE=∠BAE-∠BAC=108°-36°=72°．
∵四边形ACFG是正方形，
∴∠CAG=90°，
∠EAG=∠CAG-∠CAE=90°-72°=18°．
故答案为：A．
【分析】先求出正五边形的一个内角，再根据等要对等角求出∠BAC，最后利用角的运算求解即可。
11．（2020九下·石家庄开学考）根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为 内心的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵ 内心的是各个角的平分线的交点，
∴C选项符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据三角形内心的定义逐项判定即可。
12．（2017·平川模拟）如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S、S1、S2，若S=2，则S1+S2=（ ）
A．4 B．6 C．8 D．不能确定
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，
∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，
∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，
∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，
∵EF为△PCB的中位线，
∴EF∥BC，EF= BC，
∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，
∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=2，
∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=8．
故答案为：C．
【分析】：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，由平行四边形的性质得△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，由中位线定理得EF∥BC，EF= BC，由相似三角形的判定定理得△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，根据相似三角形的性质得出S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=2，故S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=8．
13．（2018九上·于洪期末）对于反比例函数 ，下列说法不正确的是（ ）
A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】由题意分析可知，一个点在函数图象上则代入该点必定满足该函数解析式，点（-2，-1）代入可得，x=-2时，y=-1，所以该点在函数图象上，A正确；因为2大于0所以该函数图象在第一，三象限，所以B正确；C中，因为2大于0，所以该函数在x＞0时，y随x的增大而减小，所以C错误；D中，当x＜0时，y随x的增大而减小，正确，
故答案为：C.
【分析】（1）由题意把点的坐标代入解析式计算可知，点（-2，-1）在函数图象上；
（2）根据k=2＞0并结合反比例函数的性质可知，图像分布在第一、三象限；
（3）根据k=2＞0并结合反比例函数的性质可知，图像分布在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
（4）由（3）可知y随x的增大而减小.
14．（2020·中模拟）在商场里，为方便一部分残疾人出入，商场特意设计了一种特殊通道“无障碍通道”，如图，线段BC表示无障碍通道，线段AD表示普通扶梯，其中“无障碍通道”BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12 米，CD＝6米，∠D＝30°，（其中点A，B，C，D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（ ）米．
A．10 B．10 ﹣12 C．12 D．10 +12
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，延长AB交DC的延长线于点E，
，
由BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得BE：CE＝1：2．
设BE＝x，CE＝2x．
在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2+CE2＝BC2，
即x2+（2x）2＝（12 ）2，
解得x＝12（米），
∴BE＝12（米），CE＝24（米），
DE＝DC+CE＝6+24＝30（米），
由tan30°＝ ，得
，
解得AE＝10 ．
由线段的和差，得
AB＝AE﹣BE＝（10 ﹣12）（米），
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案．
15．（2020九下·石家庄开学考）如图，在矩形 中， ，E是 的中点，连接 ， ，P是 边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在 上的点 处，当 是直角三角形时， 的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，
∴AD=BC=6，∠BAD=∠D=∠B=90°，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE=3，
∴AE= ，
∵沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，
∴PD′=PD，
设PD′=PD=x，则AP=6-x，
当△APD′是直角三角形时，
①当∠AD′P=90°时，
∴∠AD′P=∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠PAD′=∠AEB，
∴△ABE∽△PD′A，
∴ ，
∴ ，
∴x= ，
∴PD= ；
②当∠APD′=90°时，
∴∠APD′=∠B=90°，
∵∠PAE=∠AEB，
∴△APD′∽△EBA，
∴ ，
∴ ，
∴x= ，
∴PD= ，
综上所述，当△APD′是直角三角形时，PD= 或 ，
故答案为：B．
【分析】本题需要分情况讨论，当∠AD′P=90°时，当∠APD′=90°时，再利用折叠的性质及相似三角形的性质列出表达式求解即可。
16．（2020九下·石家庄开学考）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标都是整数的点叫做整点，已知二次函数 和反比例函数 的图象如图所示，它们围成的封闭图形（不包括边界）的整点个数为 ，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：根据整点的定义，在反比例函数 与坐标轴围成的范围内的整点有： 、 、 、 、 ，
∴二次函数与反比例函数围成的封闭图形内有4个整点的情况只有两种，
①整点是 、 、 、 ，
当 时， ，则 ，解得 ，
当 时， ，则 ，解得 ，
当 时， ，则 ，解得 ，
∵ 与 矛盾，∴这种情况不成立；
②整点是 、 、 、 ，
当 时， ，则 ，解得 ，
当 时， ，则 ，解得 ，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】先求出反比例函数与坐标轴围成的整点坐标，再将点坐标代入二次函数求解即可。
二、填空题
17．（2020九下·石家庄开学考）不等式 的解集为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
．
故答案为 ．
【分析】移项、系数化为1求解即可。
18．（2020九下·石家庄开学考）计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数 和 的图象如图所示．根据图象可知方程 的解的个数为 ；若m，n分别满足方程 和 ，则m，n的大小关系是 ．
【答案】3；
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：由图象可知，
函数 和 的图象共有3个交点
则方程 的解的个数为3
由题意得：点 在函数 的图象上，点 在函数 的图象上
如图，由图象可知，
故答案为：3， ．
【分析】将方程解的个数转化为图像交点的个数求解；找到当y=1时两个函数的x的值，再比较大小即可。
19．（2020九下·石家庄开学考）观察下面图形，按要求找角（不含平角），如图①，两条直线交于同一点O，共有 对对顶角；如图②，三条直线交于同一点O，共有 对对顶角；探究：若有 条直线相交于同一点，则可形成 对对顶角．
【答案】2；6；
【知识点】探索图形规律；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：两条直线相交，共有2对对顶角；
三条直线相交，共有6对对顶角；
四条直线相交，共有12对对顶角；
n条直线相交，共有 对对顶角；
故答案是：2；6， ．
【分析】根据对顶角的定义求解；结合图形数一数即可；根据前两幅图的结果，归纳总结即可。
三、解答题
20．（2020九下·石家庄开学考）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形
（1）分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
（2）应用这个公式完成下列各题
①已知 ， ，求 的值；
②计算： ．
【答案】（1）A
（2）解：①∵4m2-n2=12，2m+n=4，
4m2-n2=(2m+n)(2m-n)
∴(2m-n)=12÷4=3；
②
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：(1)图①按照正方形面积公式可得： ；
图②按照长方形面积公式可得： ，
∴ ，
故答案为：A；
【分析】（1）利用面积的计算方法表示出两幅图的面积即可；（2）①利用平方差公式代入计算即可；②参考（1）的结论代入计算。
21．（2020九下·石家庄开学考）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，图是 年 月份的日历，我们用如图所示的四边形框出五个数．
2020年1月：
（1）将每个四边形框中最中间位置的数去掉后，将相对的两对数分别相减，再相加，例如： ， ．不难发现，结果都是16．若设中间位置的数为n，请用含n的式子表示发现的规律，并写出验证过程．
（2）用同样的四边形框再框出 个数，若其中最小数的 倍与最大数的和为 ，求出这 个数中的最大数的值．
（3）小明说：我用同样的四边形框也框出了 个数，其中最小数与最大数的积是 ．请判断他的说法是否正确，并说明理由．
【答案】（1）解：设中间位置的数为n，左边数为 ，右边数 ，上面数 ，下面数为 ，
则
（2）解： ， ，
．
（3）解：正确
，
(舍去)或者 ，可以存在．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）结合图表，发现，上下两数相差7，左右两数相差1，列表达式即可；（2）根据（1）的结论。列出方程求解即可；（3）先表示出最大、最小两数，再列方程求解即可。
22．（2020九下·石家庄开学考）“新型冠状病毒”的爆发，疫情就是命令，防控就是使命．全国各地驰援武汉的医护工作者，践行医者仁心的使命与担当舍小家，为大家，用自己的专业知识与血肉之躯构筑起全社会抗击疫情的钢铁长城．如图是 月 日当天全国部分省市支援武汉医护工作者的人数统计图（不完整）．
请解答下列问题：
（1）上述省市 月 日当天驰援武汉的医护工作者的总人数为 人；请将图①条形统计图补充完整；
（2）①图②扇形统计图中“山西”所对应扇形的圆心角度数为 ；
②上述省市支援医护工作者的人数的中位数是 ；
（3）本次山西驰援武汉的医护工作者中，有 人报名去重症区，王医生和李医生就在其中，若从报名的 人中随机安排 人，请用树状图法或列表法求同时安排王医生和李医生的概率．
【答案】（1）5000 江苏所占的百分比是： ； 浙江所占的百分比是： ； 山东所占的百分比是： ； 则山西所占的百分比是： ， 山西的人数是 （人）， 补图如下：
（2）21.6°；350
（3）解：这4名医护工作者分别用1，2，3，4，表示，其中王医生用 表示，李医生用 表示，根据题意画图如下：
共有 种等情况数，其中同时安排王医生和李医生的有 种，
则同时安排王医生和李医生的概率是
故答案为：树状图见上图， ；
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（2）①“山西”所对应扇形的圆心角的度数是 ；
②排名第五位的省份是上海市，共有 （人）
故答案为 ①21.6°，②350；
【分析】（1）用辽宁的人数除以所占比例求出总人数即可；再算出其他省市的人数作图；
（2）①用山西的人数除以总人数再乘360度即可；②根据中位数的定义求解即可；
（3）列树状图，求出所有情况，再利用概率公式求解。
23．（2020九下·石家庄开学考）如图，点O在直线l上，过点O作 ， ．P为直线l上一点，连结 ，在直线l右侧取点B， ，且 ，过点B作 交l于点C．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长；
（3）连结 ，若点C为 的外心，则 ．
【答案】（1）证明： ，
， ，
，
，
，
在 和 中，
；
（2）解：
， ，
；
的长为5．
（3）3
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（3）若点C为 的外心，则点C位于斜边中点，又已知 ，故点C与点O重合，如图所示：
为等腰直角三角形
为等腰直角三角形
．
【分析】（1）利用等角的余角相等证出，再利用“AAS”证明三角形全等即可；
（2）根据三角形全等的性质求解即可；
（3）作出图形，利用等腰直接三角形的性质及全等的性质求解即可。
24．（2020九下·石家庄开学考）一次函数 的图像是 ，一次函数y2 的图象 ，一次函数 的图象
（1）若 经过点P，且 的值随 值的增大而增大，那么点P的坐标可能是下列四个点中的哪一个（ ）
A． B． C． D．
（2）点 沿水平方向向右平移 个单位到点N，若 与线段 有交点，求k的取值范围；
（3）若 与 的交点坐标为 ， 与 的交点是C，
①请求出点C的横坐标；
②利用函数图象，直接写出不等式组 的解集 ▲
；
【答案】（1）C
（2）解：根据题意，得到N点坐标为 ，将M、N坐标代入 解析式，得：
，解得k=1，
，解得k=
根据函数图象得到
故答案为 ；
（3）①∵ 与 的交点坐标为
∴代入 ．
∴
∴
∵ 与 的交点是C
∴
，
∴
∴点C的横坐标为 ②
【知识点】一次函数图象与几何变换；坐标与图形变化﹣平移；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）∵ 的值随x值的增大而增大
∴k>0
A，将 代入解析式， ，解得 ，不合题意；
B，将 代入解析式， ，解得 ，不合题意；
C，将 代入解析式， ，解得 ，符合题意；
D，将 代入解析式， ，解得 ，不合题意；
故答案为：C；（3）②不等式组 表示
根据①中交点坐标，得出函数示意图如下：
∴x的取值范围为
【分析】（1）将点坐标分别代入计算求出k的值，判断正负即可；
（2）先求出点N的坐标，再将点M、N的坐标分别代入计算求出k的取值范围；
（3）①将点坐标代入直线解析式列出方程组求出C点的横坐标；②结合图像直接解答即可。
25．（2020九下·石家庄开学考）某客商准备购一批特色商品，经调查，用 元采购A型商品的件数是用 元采购B型商品的件数的 倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多 元．
（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
（2）若该客商购进A，B型商品共 件进行试销，若A型商品的售价为 元 件，B型商品的售价为 元 件，设购进A型商品m 件．若两种商品全部售出，求出商场销售这批商品的最大利润，并求出此时的进货方案．
（3）若该客商购进A，B型商品共 件进行试销，设购进A型商品 件，经市场调查发现：A型商品的售价的一半与A型商品销量的和总是等于 ；B型商品的售价降为 元 件，若两种商品全部售出，求出这批商品的最大利润，并求出此时的进货方案．
【答案】（1）解：设一件B型商品的进价为 元，则一件A型商品的进价为 元．
由题意： ，
解得 ，
经检验 是分式方程的解，
，
答：一件B型商品的进价为 元，则一件A型商品的进价为 元；
（2）解：设商场销售这批商品的利润为w元，根据题意得，
，
，
随m的增大而增大，
，
当 时，w取最大值为 （元），
此时进货方案是：A商品进 件，B商品进 件，
答：商场销售这批商品的最大利润为 元，此时的进货方案：A商品进 件，B商品进 件；
（3）解：设A型商品的售价为y，由题意可知：
，
设总利润为w元，根据题意得，
，
当 时，w随m的增大而减小，
，
当 时，w有最大值为
此时进货方案为：A商品进 件，B商品进货 件，
答：这批商品的最大利润为14600元，此时的进货方案是A商品进 件，B商品进货 件．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设B型商品的进价为 元，再用x的表达式表示出AA型商品的进价，再利用用 元采购A型商品的件数是用 元采购B型商品的件数的 倍列出分式方程求解即可；（2）利用“利润=销售价-成本价”列出二次函数表达式，再求最值即可；（3）参考（2）的方法求解即可。
26．（2020九下·石家庄开学考）如图，已知 ， ， ， ，其内有一个圆心角为 扇形 ，半径 ．
（1）发现：如图1，当E、F在 边上，扇形 与 相切时，
①优弧 上的点与 的最大距离为 ， ，S扇形EOF= ；
②当 时，优弧 上的点与点D的最小距离为 ；
（2）思考：如图2，当 时，扇形 在 内自由运动
①当扇形 与 的两条边同时相切时，求此时两切点之间的距离是多少？
② 与 垂直时，扇形 ▲ （填“有可能”或“不可能”）与 的边切于点F；
（3）拓展：如图3，将扇形的圆心O放在 的中点处，点E在线段 上运动，点F在 外，当优弧 与 的边有六个交点时，直接写出r的取值范围： ．
【答案】（1）6；4；；
（2）解：① 或者
理由：（i）如图当扇形与 、 边相切时（当扇形与 、 边相切时），过点O做 ， ，连接 ，易证 ， ，
， 为等边三角形，
（ii）当扇形与 、 边相切时（当扇形与 、 边相切时），同理可求得 ，
②有可能
（3）
【知识点】圆的综合题；圆-动点问题
【解析】【解答】解：（1）①
设切点为H，连接OH并延长交BC于点G，HG即为扇形EOF上的点到BC的最大距离，如图所示；
扇形 与 相切， OH⊥AD，
又 四边形ABCD是平行四边形， HG⊥BC，
， ， ，其内有一个圆心角为 扇形 ，
， ，
， ，即 ，
， ；
故答案为 ， ， ；
②
设切点为H，连接OH并延长交BC于点G，连接OD、AE，交扇形EOF于点M，即MD为扇形EOF上的点到D的最短距离，如图所示：
由①得 ，EG=FG，
， ， ，
AE⊥BC， ， ，
在 中， ，
即 ，
；
故答案为 ；（2）②有可能；如图所示：
根据 与 垂直时，假设扇形 与 的边切于点F，
OE⊥AD，OF⊥CD， ∠DEO+∠DFO=180°，
∠D+∠O=180°， 与∠B=∠D=60°，∠EOF=120°相符，
故答案为有可能；(3) ；
因为将扇形的圆心O放在 的中点处，点E在线段 上运动，点F在 外，当优弧 与 的边有六个交点时，故当优弧 恰好经过点A、B、C时，如图所示：
由题意可得 ，当半径小于这个值时圆与四边形就有六个交点；
当与AD边相切时，
由题意得 ，当半径大于这个值时圆与四边形也有六个交点；
故答案为 ．
【分析】（1）①过点O做垂线，利用解直角三角形求解即可；求出半径再利用扇形面积计算公式求面积；②利用勾股定理求出线段长度，再利用线段的加减进行计算即可。（2）①根据题意先求出两个切点，再利用勾股定理求解即可；②利用平行四边形的性质及结合图像判断即可；（3）画出草图，结合图像去求解。
1 / 1河北省石家庄外国语教育集团2019-2020学年九年级下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2019七下·甘井子期中）下列实数中,属于无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020九下·萧山月考）一块三棱柱积木如下面的图所示，则它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020九下·石家庄开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020九下·石家庄开学考）近期，新冠肺炎的疫情在全国蔓延，全国人民团结一致，全力抗击新型冠状病毒感染肺炎，社会各界人士积极捐款．截止 2 月 5 日，武汉市慈善总会接收捐赠款约 元．将 用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020九下·石家庄开学考）图中信息是小明和小华射箭的成绩，两人都射了10箭，则射箭成绩的方差较大的是（ ）
A．小明 B．小华 C．两人一样 D．无法确定
6．（2020九下·石家庄开学考）如图，等腰 中， ， ，顶点A，B分别在 ， 上，且 ，已知 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020九下·石家庄开学考）如图，数轴上有M、N、P、Q四个点，其中点P所表示的数为a，则数-3a所对应的点可能是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
8．（2020九下·石家庄开学考）如图， 是⊙O直径，C，D是圆上的点，若 ， ，则⊙O半径是（ ）
A． B． C． D．
9．（2020九下·石家庄开学考）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．（2020九下·石家庄开学考）如图，以正五边形ABCDE的对角线AC为边作正方形ACFG，使点B落在正方形ACFG外，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
11．（2020九下·石家庄开学考）根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为 内心的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2017·平川模拟）如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S、S1、S2，若S=2，则S1+S2=（ ）
A．4 B．6 C．8 D．不能确定
13．（2018九上·于洪期末）对于反比例函数 ，下列说法不正确的是（ ）
A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．当x＜0时，y随x的增大而减小
14．（2020·中模拟）在商场里，为方便一部分残疾人出入，商场特意设计了一种特殊通道“无障碍通道”，如图，线段BC表示无障碍通道，线段AD表示普通扶梯，其中“无障碍通道”BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12 米，CD＝6米，∠D＝30°，（其中点A，B，C，D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（ ）米．
A．10 B．10 ﹣12 C．12 D．10 +12
15．（2020九下·石家庄开学考）如图，在矩形 中， ，E是 的中点，连接 ， ，P是 边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在 上的点 处，当 是直角三角形时， 的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
16．（2020九下·石家庄开学考）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标都是整数的点叫做整点，已知二次函数 和反比例函数 的图象如图所示，它们围成的封闭图形（不包括边界）的整点个数为 ，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
17．（2020九下·石家庄开学考）不等式 的解集为 ．
18．（2020九下·石家庄开学考）计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数 和 的图象如图所示．根据图象可知方程 的解的个数为 ；若m，n分别满足方程 和 ，则m，n的大小关系是 ．
19．（2020九下·石家庄开学考）观察下面图形，按要求找角（不含平角），如图①，两条直线交于同一点O，共有 对对顶角；如图②，三条直线交于同一点O，共有 对对顶角；探究：若有 条直线相交于同一点，则可形成 对对顶角．
三、解答题
20．（2020九下·石家庄开学考）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形
（1）分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
（2）应用这个公式完成下列各题
①已知 ， ，求 的值；
②计算： ．
21．（2020九下·石家庄开学考）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，图是 年 月份的日历，我们用如图所示的四边形框出五个数．
2020年1月：
（1）将每个四边形框中最中间位置的数去掉后，将相对的两对数分别相减，再相加，例如： ， ．不难发现，结果都是16．若设中间位置的数为n，请用含n的式子表示发现的规律，并写出验证过程．
（2）用同样的四边形框再框出 个数，若其中最小数的 倍与最大数的和为 ，求出这 个数中的最大数的值．
（3）小明说：我用同样的四边形框也框出了 个数，其中最小数与最大数的积是 ．请判断他的说法是否正确，并说明理由．
22．（2020九下·石家庄开学考）“新型冠状病毒”的爆发，疫情就是命令，防控就是使命．全国各地驰援武汉的医护工作者，践行医者仁心的使命与担当舍小家，为大家，用自己的专业知识与血肉之躯构筑起全社会抗击疫情的钢铁长城．如图是 月 日当天全国部分省市支援武汉医护工作者的人数统计图（不完整）．
请解答下列问题：
（1）上述省市 月 日当天驰援武汉的医护工作者的总人数为 人；请将图①条形统计图补充完整；
（2）①图②扇形统计图中“山西”所对应扇形的圆心角度数为 ；
②上述省市支援医护工作者的人数的中位数是 ；
（3）本次山西驰援武汉的医护工作者中，有 人报名去重症区，王医生和李医生就在其中，若从报名的 人中随机安排 人，请用树状图法或列表法求同时安排王医生和李医生的概率．
23．（2020九下·石家庄开学考）如图，点O在直线l上，过点O作 ， ．P为直线l上一点，连结 ，在直线l右侧取点B， ，且 ，过点B作 交l于点C．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长；
（3）连结 ，若点C为 的外心，则 ．
24．（2020九下·石家庄开学考）一次函数 的图像是 ，一次函数y2 的图象 ，一次函数 的图象
（1）若 经过点P，且 的值随 值的增大而增大，那么点P的坐标可能是下列四个点中的哪一个（ ）
A． B． C． D．
（2）点 沿水平方向向右平移 个单位到点N，若 与线段 有交点，求k的取值范围；
（3）若 与 的交点坐标为 ， 与 的交点是C，
①请求出点C的横坐标；
②利用函数图象，直接写出不等式组 的解集 ▲
；
25．（2020九下·石家庄开学考）某客商准备购一批特色商品，经调查，用 元采购A型商品的件数是用 元采购B型商品的件数的 倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多 元．
（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
（2）若该客商购进A，B型商品共 件进行试销，若A型商品的售价为 元 件，B型商品的售价为 元 件，设购进A型商品m 件．若两种商品全部售出，求出商场销售这批商品的最大利润，并求出此时的进货方案．
（3）若该客商购进A，B型商品共 件进行试销，设购进A型商品 件，经市场调查发现：A型商品的售价的一半与A型商品销量的和总是等于 ；B型商品的售价降为 元 件，若两种商品全部售出，求出这批商品的最大利润，并求出此时的进货方案．
26．（2020九下·石家庄开学考）如图，已知 ， ， ， ，其内有一个圆心角为 扇形 ，半径 ．
（1）发现：如图1，当E、F在 边上，扇形 与 相切时，
①优弧 上的点与 的最大距离为 ， ，S扇形EOF= ；
②当 时，优弧 上的点与点D的最小距离为 ；
（2）思考：如图2，当 时，扇形 在 内自由运动
①当扇形 与 的两条边同时相切时，求此时两切点之间的距离是多少？
② 与 垂直时，扇形 ▲ （填“有可能”或“不可能”）与 的边切于点F；
（3）拓展：如图3，将扇形的圆心O放在 的中点处，点E在线段 上运动，点F在 外，当优弧 与 的边有六个交点时，直接写出r的取值范围： ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、 是有理数，故A不符合题意；
B、3.14是有理数，故B不符合题意
C、 是无理数，故C符合题意；
D、 =2是有理数，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都可以化为分数；无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率都是无理数；据此判断即可.
2．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上往下看是两个有一边重合的长方形，
故答案为：C.
【分析】俯视图就是从上往下看到的平面图形，观察各选项可得答案。
3．【答案】D
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解： ，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D符合题意；
故答案选D．
【分析】根据合并同类项、二次根式的乘法、0指数幂的运算逐项判定即可。
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得：
；
故答案为：C．
【分析】根据科学记数法的定义直接解答即可。
5．【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：根据图中的信息可知，小明的成绩波动性小，
则这两人中成绩稳定的是小明；
故射箭成绩的方差较大的是小华，
故答案为：B．
【分析】方差的性质：方差越大，成绩越不稳定。
6．【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ 是等腰三角形，AC=BC，
∴ ，
∵ ，∴ ，
．
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质得到，再利用等腰三角形的性质得到，最后利用平角计算即可。
7．【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵点P所表示的数为a，点P在数轴的右边，∴-3a一定在原点的左边，且到原点的距离是点P到原点距离的3倍，∴数-3a所对应的点可能是M，
故答案为：A．
【分析】根据实数与数轴上点的关系逐项判定即可。
8．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解： 是⊙O直径，
,
,
,
,
,
⊙O半径是 ,
故答案为：C．
【分析】根据圆周角得到，再利用30度角的直角三角形的性质求半径即可。
9．【答案】A
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=
= ；
故答案为：A．
【分析】先算括号中的分式的减法，再算分式的乘法。
10．【答案】A
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠B=∠BAE=180°- =108°，AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA= （180°-∠B）=36°，
∴∠CAE=∠BAE-∠BAC=108°-36°=72°．
∵四边形ACFG是正方形，
∴∠CAG=90°，
∠EAG=∠CAG-∠CAE=90°-72°=18°．
故答案为：A．
【分析】先求出正五边形的一个内角，再根据等要对等角求出∠BAC，最后利用角的运算求解即可。
11．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵ 内心的是各个角的平分线的交点，
∴C选项符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据三角形内心的定义逐项判定即可。
12．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，
∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，
∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，
∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，
∵EF为△PCB的中位线，
∴EF∥BC，EF= BC，
∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，
∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=2，
∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=8．
故答案为：C．
【分析】：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，由平行四边形的性质得△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，由中位线定理得EF∥BC，EF= BC，由相似三角形的判定定理得△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，根据相似三角形的性质得出S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=2，故S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=8．
13．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】由题意分析可知，一个点在函数图象上则代入该点必定满足该函数解析式，点（-2，-1）代入可得，x=-2时，y=-1，所以该点在函数图象上，A正确；因为2大于0所以该函数图象在第一，三象限，所以B正确；C中，因为2大于0，所以该函数在x＞0时，y随x的增大而减小，所以C错误；D中，当x＜0时，y随x的增大而减小，正确，
故答案为：C.
【分析】（1）由题意把点的坐标代入解析式计算可知，点（-2，-1）在函数图象上；
（2）根据k=2＞0并结合反比例函数的性质可知，图像分布在第一、三象限；
（3）根据k=2＞0并结合反比例函数的性质可知，图像分布在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
（4）由（3）可知y随x的增大而减小.
14．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，延长AB交DC的延长线于点E，
，
由BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得BE：CE＝1：2．
设BE＝x，CE＝2x．
在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2+CE2＝BC2，
即x2+（2x）2＝（12 ）2，
解得x＝12（米），
∴BE＝12（米），CE＝24（米），
DE＝DC+CE＝6+24＝30（米），
由tan30°＝ ，得
，
解得AE＝10 ．
由线段的和差，得
AB＝AE﹣BE＝（10 ﹣12）（米），
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案．
15．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，
∴AD=BC=6，∠BAD=∠D=∠B=90°，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE=3，
∴AE= ，
∵沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，
∴PD′=PD，
设PD′=PD=x，则AP=6-x，
当△APD′是直角三角形时，
①当∠AD′P=90°时，
∴∠AD′P=∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠PAD′=∠AEB，
∴△ABE∽△PD′A，
∴ ，
∴ ，
∴x= ，
∴PD= ；
②当∠APD′=90°时，
∴∠APD′=∠B=90°，
∵∠PAE=∠AEB，
∴△APD′∽△EBA，
∴ ，
∴ ，
∴x= ，
∴PD= ，
综上所述，当△APD′是直角三角形时，PD= 或 ，
故答案为：B．
【分析】本题需要分情况讨论，当∠AD′P=90°时，当∠APD′=90°时，再利用折叠的性质及相似三角形的性质列出表达式求解即可。
16．【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：根据整点的定义，在反比例函数 与坐标轴围成的范围内的整点有： 、 、 、 、 ，
∴二次函数与反比例函数围成的封闭图形内有4个整点的情况只有两种，
①整点是 、 、 、 ，
当 时， ，则 ，解得 ，
当 时， ，则 ，解得 ，
当 时， ，则 ，解得 ，
∵ 与 矛盾，∴这种情况不成立；
②整点是 、 、 、 ，
当 时， ，则 ，解得 ，
当 时， ，则 ，解得 ，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】先求出反比例函数与坐标轴围成的整点坐标，再将点坐标代入二次函数求解即可。
17．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
．
故答案为 ．
【分析】移项、系数化为1求解即可。
18．【答案】3；
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：由图象可知，
函数 和 的图象共有3个交点
则方程 的解的个数为3
由题意得：点 在函数 的图象上，点 在函数 的图象上
如图，由图象可知，
故答案为：3， ．
【分析】将方程解的个数转化为图像交点的个数求解；找到当y=1时两个函数的x的值，再比较大小即可。
19．【答案】2；6；
【知识点】探索图形规律；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：两条直线相交，共有2对对顶角；
三条直线相交，共有6对对顶角；
四条直线相交，共有12对对顶角；
n条直线相交，共有 对对顶角；
故答案是：2；6， ．
【分析】根据对顶角的定义求解；结合图形数一数即可；根据前两幅图的结果，归纳总结即可。
20．【答案】（1）A
（2）解：①∵4m2-n2=12，2m+n=4，
4m2-n2=(2m+n)(2m-n)
∴(2m-n)=12÷4=3；
②
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：(1)图①按照正方形面积公式可得： ；
图②按照长方形面积公式可得： ，
∴ ，
故答案为：A；
【分析】（1）利用面积的计算方法表示出两幅图的面积即可；（2）①利用平方差公式代入计算即可；②参考（1）的结论代入计算。
21．【答案】（1）解：设中间位置的数为n，左边数为 ，右边数 ，上面数 ，下面数为 ，
则
（2）解： ， ，
．
（3）解：正确
，
(舍去)或者 ，可以存在．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）结合图表，发现，上下两数相差7，左右两数相差1，列表达式即可；（2）根据（1）的结论。列出方程求解即可；（3）先表示出最大、最小两数，再列方程求解即可。
22．【答案】（1）5000 江苏所占的百分比是： ； 浙江所占的百分比是： ； 山东所占的百分比是： ； 则山西所占的百分比是： ， 山西的人数是 （人）， 补图如下：
（2）21.6°；350
（3）解：这4名医护工作者分别用1，2，3，4，表示，其中王医生用 表示，李医生用 表示，根据题意画图如下：
共有 种等情况数，其中同时安排王医生和李医生的有 种，
则同时安排王医生和李医生的概率是
故答案为：树状图见上图， ；
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（2）①“山西”所对应扇形的圆心角的度数是 ；
②排名第五位的省份是上海市，共有 （人）
故答案为 ①21.6°，②350；
【分析】（1）用辽宁的人数除以所占比例求出总人数即可；再算出其他省市的人数作图；
（2）①用山西的人数除以总人数再乘360度即可；②根据中位数的定义求解即可；
（3）列树状图，求出所有情况，再利用概率公式求解。
23．【答案】（1）证明： ，
， ，
，
，
，
在 和 中，
；
（2）解：
， ，
；
的长为5．
（3）3
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（3）若点C为 的外心，则点C位于斜边中点，又已知 ，故点C与点O重合，如图所示：
为等腰直角三角形
为等腰直角三角形
．
【分析】（1）利用等角的余角相等证出，再利用“AAS”证明三角形全等即可；
（2）根据三角形全等的性质求解即可；
（3）作出图形，利用等腰直接三角形的性质及全等的性质求解即可。
24．【答案】（1）C
（2）解：根据题意，得到N点坐标为 ，将M、N坐标代入 解析式，得：
，解得k=1，
，解得k=
根据函数图象得到
故答案为 ；
（3）①∵ 与 的交点坐标为
∴代入 ．
∴
∴
∵ 与 的交点是C
∴
，
∴
∴点C的横坐标为 ②
【知识点】一次函数图象与几何变换；坐标与图形变化﹣平移；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）∵ 的值随x值的增大而增大
∴k>0
A，将 代入解析式， ，解得 ，不合题意；
B，将 代入解析式， ，解得 ，不合题意；
C，将 代入解析式， ，解得 ，符合题意；
D，将 代入解析式， ，解得 ，不合题意；
故答案为：C；（3）②不等式组 表示
根据①中交点坐标，得出函数示意图如下：
∴x的取值范围为
【分析】（1）将点坐标分别代入计算求出k的值，判断正负即可；
（2）先求出点N的坐标，再将点M、N的坐标分别代入计算求出k的取值范围；
（3）①将点坐标代入直线解析式列出方程组求出C点的横坐标；②结合图像直接解答即可。
25．【答案】（1）解：设一件B型商品的进价为 元，则一件A型商品的进价为 元．
由题意： ，
解得 ，
经检验 是分式方程的解，
，
答：一件B型商品的进价为 元，则一件A型商品的进价为 元；
（2）解：设商场销售这批商品的利润为w元，根据题意得，
，
，
随m的增大而增大，
，
当 时，w取最大值为 （元），
此时进货方案是：A商品进 件，B商品进 件，
答：商场销售这批商品的最大利润为 元，此时的进货方案：A商品进 件，B商品进 件；
（3）解：设A型商品的售价为y，由题意可知：
，
设总利润为w元，根据题意得，
，
当 时，w随m的增大而减小，
，
当 时，w有最大值为
此时进货方案为：A商品进 件，B商品进货 件，
答：这批商品的最大利润为14600元，此时的进货方案是A商品进 件，B商品进货 件．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设B型商品的进价为 元，再用x的表达式表示出AA型商品的进价，再利用用 元采购A型商品的件数是用 元采购B型商品的件数的 倍列出分式方程求解即可；（2）利用“利润=销售价-成本价”列出二次函数表达式，再求最值即可；（3）参考（2）的方法求解即可。
26．【答案】（1）6；4；；
（2）解：① 或者
理由：（i）如图当扇形与 、 边相切时（当扇形与 、 边相切时），过点O做 ， ，连接 ，易证 ， ，
， 为等边三角形，
（ii）当扇形与 、 边相切时（当扇形与 、 边相切时），同理可求得 ，
②有可能
（3）
【知识点】圆的综合题；圆-动点问题
【解析】【解答】解：（1）①
设切点为H，连接OH并延长交BC于点G，HG即为扇形EOF上的点到BC的最大距离，如图所示；
扇形 与 相切， OH⊥AD，
又 四边形ABCD是平行四边形， HG⊥BC，
， ， ，其内有一个圆心角为 扇形 ，
， ，
， ，即 ，
， ；
故答案为 ， ， ；
②
设切点为H，连接OH并延长交BC于点G，连接OD、AE，交扇形EOF于点M，即MD为扇形EOF上的点到D的最短距离，如图所示：
由①得 ，EG=FG，
， ， ，
AE⊥BC， ， ，
在 中， ，
即 ，
；
故答案为 ；（2）②有可能；如图所示：
根据 与 垂直时，假设扇形 与 的边切于点F，
OE⊥AD，OF⊥CD， ∠DEO+∠DFO=180°，
∠D+∠O=180°， 与∠B=∠D=60°，∠EOF=120°相符，
故答案为有可能；(3) ；
因为将扇形的圆心O放在 的中点处，点E在线段 上运动，点F在 外，当优弧 与 的边有六个交点时，故当优弧 恰好经过点A、B、C时，如图所示：
由题意可得 ，当半径小于这个值时圆与四边形就有六个交点；
当与AD边相切时，
由题意得 ，当半径大于这个值时圆与四边形也有六个交点；
故答案为 ．
【分析】（1）①过点O做垂线，利用解直角三角形求解即可；求出半径再利用扇形面积计算公式求面积；②利用勾股定理求出线段长度，再利用线段的加减进行计算即可。（2）①根据题意先求出两个切点，再利用勾股定理求解即可；②利用平行四边形的性质及结合图像判断即可；（3）画出草图，结合图像去求解。
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