湖南省长沙市长郡双语2019-2020学年九年级下学期数学开学考试试卷
1．（2020九下·长沙开学考） 4的绝对值是（ ）
A．4 B． 4 C． D．
2．（2020九下·长沙开学考）据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为（ ）
A．3.386×108 B．0.3386×109 C．33.86×107 D．3.386×109
3．（2020九下·长沙开学考）下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020九下·长沙开学考）点 在y轴上，则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020九下·长沙开学考）下列说法正确的是( )
A．“打开电视剧，正在播足球赛”是必然事件
B．甲组数据的方差S甲2=0.24，乙组数据的方差S乙2=0.03，则乙组数据比甲组数据稳定
C．一组数据2，4，5，5，3，6的众数和中位数都是5
D．“掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示每抛硬币2次就有1次正面朝上
6．（2020九下·长沙开学考）如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（ ）
A．A B．B
C．C D．D
7．（2020九下·长沙开学考）如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
8．（2020九下·长沙开学考）如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，⊙O的半径为6，且PA=8，则cos∠APO等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2020九下·长沙开学考）一元二次方程x2+kx﹣3=0的一个根是x=1，则另一个根是（ ）
A．3 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣2
10．（2020九下·长沙开学考）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2020九下·长沙开学考）如图，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若AD=24，BD=6，则CD的长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
12．（2020九下·长沙开学考）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限， 轴于点A，反比例函数 （ ）的图象与线段 相交于点C，且C是线段 的中点，点C关于直线 的对称点 的坐标为 ，若 的面积为3，则k的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
13．（2020九下·长沙开学考）若式子有意义，则x的取值范围是
14．（2020九下·长沙开学考）分解因式： ．
15．（2020九下·长沙开学考）已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则圆锥的侧面积是 .
16．（2020九下·长沙开学考）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则可添加的条件为 .(填一个即可)
17．（2020九下·长沙开学考）三角形的中位线把三角形分成的两部分的面积之比是 .
18．（2020九下·长沙开学考）如图，抛物线 的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y正半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP．①点E在⊙M的内部；②CD的长为 ；③若P与C重合，则∠DPE＝15°；④在P的运动过程中，若AP＝ ，则PE＝ ⑤N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是2π．其中结论正确的是
19．（2020九下·长沙开学考）计算：（ ）﹣1﹣2cos30°+ +（3﹣π）0
20．（2020九下·长沙开学考）先化简，再求值： ，其中x请从不等式组 的解集中选取一个合适的值代入．
21．（2020九下·长沙开学考）某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的 个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次调查的学生共有多少名；
（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数；
（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）．
22．（2020九下·长沙开学考）已知：如图，平行四边形ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．
（1）求证：△AOD≌△EOC；
（2）连接AC、DE，当∠B=∠AEB=45°时，求证四边形 ACED是正方形．
23．（2020九下·长沙开学考）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
24．（2020九下·长沙开学考）如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦，过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D，连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP＝∠ACD．
（1）求证：∠BAP＝∠CAP；
（2）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若AB＝5 ，BC＝10，求PC的长．
25．（2020九下·长沙开学考）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣ ），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和 的值．
（3）点C关于x轴的对称点为H，当 FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（2020九下·长沙开学考）若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”．
（1）若矩形ABCD是“美丽四边形”，且AB＝3，则BC＝ ；
（2）如图1，“美丽四边形”ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点P，且对角线AC为直径，AP＝1，PC＝5，求另一条对角线BD的长；
（3）如图2，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”ABCD的四个顶点A（﹣3，0）、C（2，0），B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，且四边形ABCD的面积为 ，若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：|-4|=4，
故答案为：A．
【分析】根据绝对值的定义及性质化简即可。
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为3.386×108．
故选：A．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．
故选B．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
4．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点M（m+1，m+3）在y轴上，
∴m+1=0，
解得m=-1，
∴m+3=-1+3=2，
∴点M的坐标为（0，2）.
故答案为：D.
【分析】根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，然后求解即可.
5．【答案】B
【知识点】事件的分类；概率的意义；方差
【解析】【分析】根据方必然事件的判定，方差，众数，中位数，概率的意义分别对每一项进行分析。
A、“打开电视剧，正在播足球赛”是随机事件，故本选项错误；
B、甲组数据的方差S甲2=0.24，乙组数据的方差S乙2=0.03，则由于S乙2＜S甲2，所以乙组数据比甲组数据稳定，故本选项正确；
C、一组数据2，4，5，5，3，6的众数是5，中位数是4.5，故本选项错误；
D、“掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示每抛硬币2次可能有1次正面朝上，故本选项错误。
故选B.
6．【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】∵由图可知，实心圆点与空心圆点一定在紧相邻的三个侧面上，∴C符合题意．
故答案为：C．
【分析】观察正方体的展开图可知两个空心圆为相对的面，且实心圆点与空心圆点一定在紧相邻的三个侧面上，利用排除法求解.
7．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BCD=120°，
∴∠B=60°，
又∵ABCD是菱形，
∴BA=BC，
∴△ABC是等边三角形，
故可得△ABC的周长=3AB=15．
故选B．
【分析】根据题意可得出∠B=60°，结合菱形的性质可得BA=BC，判断出△ABC是等边三角形即可得出△ABC的周长．
8．【答案】A
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA，如图所示：
∵AP为圆O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP=90°，
在直角三角形OPA中，OA=6，PA=8，
根据勾股定理得：OP2=OA2+AP2=62+82=100，
∴OP=10，
∴cos∠APO==．
故选A.
【分析】连接OA，由AP为圆O的切线，根据切线的性质得到OA与AP垂直，在直角三角形OPA中，由OA及AP的长，利用勾股定理求出OP的长，再由锐角三角函数定义：一个角的余弦值为在直角三角形中，邻边与斜边之比，故由∠APO的邻边AP与斜边OP的比值即可得到cos∠APO的值．
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】根据根与系数的关系可得出两根的积，即可求得方程的另一根．设m、n是方程x2+kx﹣3=0的两个实数根，且m=x=1；则有：mn=﹣3，即n=﹣3；
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到另外一个根。
10．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【分析】根据二次函数图象开口向上得到a＞0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＞0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【解答】∵二次函数图象开口方向向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x=-＞0，
∴b＜0，
∵与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴y=ax+b的图象经过第一三象限，且与y轴的负半轴相交，
反比例函数y=图象在第一三象限，
只有B选项图象符合．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．
11．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，
∴∠ADC=∠CDB =90°
∴∠A+∠1=∠1+∠2=90°，
∴∠A=∠2，
∴△ACD∽△CBD，
∴CD2=AD BD，
∵AD=24，BD=6
∴CD=12
故答案为：C
【分析】利用等角的余角相等，证明△ACD∽△CBD，再利用相似三角形的性质得到对应边成比例求解即可。
12．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵点C关于直线y=x的对称点C'的坐标为（1，n）（n≠1），
∴C（n，1），
∴OA=n，AC=1，
∴AB=2AC=2，
∵△OAB的面积为3，
∴ n×2＝3，
解得，n=3，
∴C（3，1），
∴k=3×1=3．
故答案为：D．
【分析】根据轴对称求出点C的坐标，再根据三角形的面积列出方程求解即可。
13．【答案】x≥﹣1且x≠0
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式的性质可知：x+1≥0，即x≥﹣1，
又因为分式的分母不能为0，
所以x的取值范围是x≥﹣1且x≠0．
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件解答即可．
14．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=x（y2-4）=x ( y + 2 ) ( y 2 )
故答案为：x ( y + 2 ) ( y 2 )
【分析】观察此多项式的特点，有公因式x，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可。
15．【答案】10πcm2
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】圆锥的侧面积公式：圆锥的侧面积= ×底面周长×母线.
由题意的S侧=2πr·l· =π×2×5=10π（cm2）.
【分析】圆锥的侧面积=πRr（R是圆锥的母线长，r是底面圆的半径），代入计算可求解。
16．【答案】AD∥BC(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：四边形ABCD中， ，要使四边形ABCD为平行四边形，则可添加的条件为 ，
故答案为 ．
【分析】根据平行四边形的判定方法求解即可。
17．【答案】1：3
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵三角形的中位线把三角形分成的三角形与原三角形相似，且它们的面积之比为1：4，
∴分成两部分面积之比是1：3．
【分析】根据三角形中位线的性质得到三角形相似再根据相似三角形的性质求解即可。
18．【答案】②③④
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：抛物线 的图象与坐标轴交于点A，B，D，
则点A、B、D的坐标分别为：（-1，0）、（3，0）、（0，- ），则点M（1，0），
顶点E的坐标为：（1，-2），AB=4，CO= ，OD= ，故点D不在⊙M上；
①ME=2=AM，∴E应该在⊙M上，故不符合题；
②C是圆M与y轴交点，圆M半径为2，M（1，0）由勾股定理得OC= ，
CD=2× =3，故CD的长为 ，符合题意；
③如图1，连接DP、ME，点D、E均在⊙M上，
过点D作DH⊥ME于H，
∵DH=1，MD=R=2，
故∠DME=30°，则∠DPE=15°，符合题意；
④如图2，连接PB、PA、AE，
∵点B、E均在圆上，则∠ABP=∠AEP=α，
sin∠AEP=sin∠ABP= =sinα，则cosα= ，
过点A作AK垂直于PE于K，则AK=AEsinα=2 × = ，EK=AEcosα═ ，则PK=AK= ，故则PE= ，符合题意；
⑤如图3，图中实点G、N、M、F是点N运动中所处的位置，
则GF是等腰直角三角形的中位线，GF= AB=2，ME交AB于点R，则四边形GEFM为正方形，当点P在半圆任意位置时，中点为N，连接MN，则MN⊥PE，连接NR，
则NR= ME=MR=RE=RG=RF= GF=1，则点N的运动轨迹为以R为圆心的半圆，则N运动的路径长= ×2πr=π，故不符合题意；
故答案为：②③④．
【分析】根据二次函数解析式求出点A、B的坐标，再根据圆的性质求解及证明即可。
19．【答案】解：原式=2﹣2× + +1
=2﹣ + +1
=3．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】利用负指数幂、特殊三角函数值、0指数幂的性质化简，再计算即可。
20．【答案】解：
解不等式组 得： ；
∵x≠0，-1
当x=时
∴原式=
【知识点】分式的化简求值；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再求不等式组，根据分式的性质着值代入计算即可。
21．【答案】（1）解：56÷20%=280（名），
答：这次调查的学生共有280名；
（2）解：280×15%=42（名），280﹣42﹣56﹣28﹣70=84（名），
补全条形统计图，如图所示，
根据题意得：84÷280=30%，360°×30%=108°，
答：“进取”所对应的圆心角是108°；
（3）解：由（2）中调查结果知：学生关注最多的两个主题为“进取”和“感恩”用列表法为：
A B C D E
A （A，B） （A，C） （A，D） （A，E）
B （B，A） （B，C） （B，D） （B，E）
C （C，A） （C，B） （C，D） （C，E）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，E）
E （E，A） （E，B） （E，C） （E，D）
用树状图为：
共20种情况，恰好选到“C”和“E”有2种，
∴恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是0.1．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）用“平等”的人数除以“平等”所占百分比求出总人数；（2）根据总人数求解即可；（3）列表或画树状图，再根据概率公式求解即可。
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．
∴∠D=∠OCE，∠DAO=∠E．
∵O是CD的中点，∴OC=OD，
在△AOD和△EOC中， ，∴△AOD≌△EOC（AAS）；
（2）解：当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形．
∵△AOD≌△EOC，∴OA=OE．
又∵OC=OD，∴四边形ACED是平行四边形．
∵∠B=∠AEB=45°，∴AB=AE，∠BAE=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．
∴∠COE=∠BAE=90°．∴□ACED是菱形．
∵AB=AE，AB=CD，∴AE=CD．
∴菱形ACED是正方形．
【知识点】正方形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到边、角相等，再利用“AAS”证明三角形全等；（2）先证明四边形ACED式菱形，再证明菱形ACED是正方形。
23．【答案】（1）解：由题意得出：w=（x﹣20） y=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x2+120x﹣1600，
故w与x的函数关系式为：w=﹣2x2+120x﹣1600
（2）解：w=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，
∵﹣2＜0，
∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200．
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元
（3）解：当w=150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200=150．
解得：x1=25，x2=35．
∵x<28，
∴x2=35不符合题意，应舍去．
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用这种产品每天的销售利润=销售量×销售单价，列出函数关系式即可。
（2）利用配方法将（1）中的函数解析式转化为顶点式，再利用二次函数的性质可求出最大值。
（3）将W=150代入（1）中的函数解析式，再解二元一次方程求出x的值，然后根据x的取值范围确定出x的值。
24．【答案】（1）证明：∵AD是⊙O的切线，
∴OA⊥AD，
∵BC∥AD，
∴OA⊥BC，
∴弧BE＝弧CF，
∴∠BAP＝∠CAP；
（2）解：PC与圆O相切，理由为：
过C点作直径CE，连接EB，如图，
∵CE为直径，
∴∠EBC＝90°，即∠E+∠BCE＝90°，
∵AB∥DC，
∴∠ACD＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠E，∠BCP＝∠ACD．
∴∠E＝∠BCP，
∴∠BCP+∠BCE＝90°，即∠PCE＝90°，
∴CE⊥PC，
∴PC与圆O相切；
（3）解：∵AD是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥AD，
∵BC∥AD，
∴AM⊥BC，
∴BM＝CM＝ BC＝5，
∴AC＝AB＝5 ，
在Rt△AMC中，AM＝ ＝5 ，
设⊙O的半径为r，则OC＝r，OM＝AM﹣r＝5 ﹣r，
在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，即 +52＝r2，
解得：r＝3 ；
∴CE＝2r＝6 ，OM＝5 ﹣r＝2 ，
∴BE＝2OM＝4 ，
∵∠E＝∠MCP，
∴Rt△PCM∽Rt△CEB，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
∴PC＝ ．
【知识点】切线的性质；圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）通过证明弧BE＝弧CF，证明角相等；（2）过C点作直径CE，连接EB，利用圆周角及平行线的性质证明∠BCP+∠BCE＝90°；（3）利用切线的性质证明角相等，再证明Rt△PCM∽Rt△CEB，利用相似的性质列比例式求解。
25．【答案】（1）解：由题可列方程组： ，解得：
∴抛物线解析式为：y＝ x2﹣ x﹣2；
（2）解：由题意和勾股定理得，∠AOC＝90°，AC＝ ，AB＝4，
设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则 ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；
当△AOC∽△AEB时 ＝（ ）2＝（ ）2＝ ，
∵S△AOC＝1，
∴S△AEB＝ ，
∴ AB×|yE|＝ ，AB＝4，则yE＝﹣ ，
则点E（﹣ ，﹣ ）；
由△AOC∽△AEB得：
∴ ；
（3）解：如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，
则FG＝CFsin∠FCG＝ CF，
∴ CF+BF＝GF+BF≥BE，
当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，
由（2）可知∠ABE＝∠ACO
|y|＝OBtan∠ABE＝OBtan∠ACO＝3× ＝ ，
∴当y＝﹣ 时，即点F（0，﹣ ）， CF+BF有最小值；
①当点Q为直角顶点时（如图3） F（0，﹣ ），
∵C（0，﹣2）
∴H（0，2）设Q（1，m），过点Q作QM⊥y轴于点M．
则Rt△QHM∽Rt△FQM∴QM2＝HM FM，
∴12＝（2﹣m）（m+ ），
解得：m＝ ，则点Q（1， ）或（1， ）
当点H为直角顶点时：点H（0，2），则点Q（1，2）；当点F为直角顶点时：
同理可得：点Q（1，﹣ ）；
综上，点Q的坐标为：（1， ）或（1， ）或Q（1，2）或Q（1，﹣ ）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点C、D代入表达式求解即可；（2）先求直线AC的解析式，再利用△AOC与△AEB相似列出比例式求解即可；（3）本题利用“阿氏圆”定理求解，将 FC+BF转换成GF+BF，再利用相似三角形的性质列比例式求解。
26．【答案】（1）3 或
（2）解：过点O作OH⊥BD于点H，连接OD
∴∠OHP＝∠OHD＝90°，BH＝DH＝ BD∵AP＝1，PC＝5
∴⊙O直径AC＝AP+PC＝6∴OA＝OC＝OD＝3
∴OP＝OA﹣AP＝3﹣1＝2
∵四边形ABCD是“美丽四边形”
∴∠OPH＝60°∴Rt△OPH中，sin∠OPH＝ ∴OH＝ OP＝ ∴Rt△ODH中，DH＝
∴BD＝2DH＝2
（3）解：过点B作BM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N
∴∠BMO＝∠DNO＝90°
∵四边形ABCD是“美丽四边形”∴∠BOM＝∠DON＝60°
∴tan∠DON＝ ，即
∴直线BD解析式为y＝ x
∵二次函数的图象过点A（﹣3，0）、C（2，0），即与x轴交点为A、C
∴用交点式设二次函数解析式为y＝a（x+3）（x﹣2）
∵ 整理得：ax2+（a﹣ ）x﹣6a＝0
∴xB+xD＝﹣ ，xB xD＝﹣6
∴（xB﹣xD）2＝（xB+xD）2﹣4xB xD＝（﹣ ）2+24
∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝ AC BM+ AC DN＝ AC（BM+DN）
＝ AC（yD﹣yB）＝ AC（ xD﹣ xB）＝ （xB﹣xD）
∴ （xB﹣xD）＝15
∴xB﹣xD＝6∴（﹣ ）2+24＝36
解得：a1＝ ，a2＝
∴a的值为 或 ．
【知识点】圆的综合题；定义新运算；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）设矩形ABCD对角线相交于点O
∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∠ABC＝90°
∴AO＝BO＝CO＝DO
∵矩形ABCD是“美丽四边形”∴AC、BD夹角为60°
i）如图，若AB＝3为较短的边，则∠AOB＝60°
∴△OAB是等边三角形
∴∠OAB＝60°∴Rt△ABC中，tan∠OAB＝ ∴BC＝ AB＝3
ii）如图，若AB＝3为较长的边，则∠BOC＝60°
∴△OBC是等边三角形
∴OCB＝60°∴Rt△ABC中，tan∠OCB＝
∴BC＝
故答案为：3 或 ．
【分析】（1）根据题干的定义求解即可；
（2）先求出OP的长度，再利用题干的定义，解直角三角形求出DH，再求BD即可；
（3）联立二次函数与一次函数，转换成一元二次方程，利用根与系数的关系求解，根据平行四边形的面积计算求a的值。
1 / 1湖南省长沙市长郡双语2019-2020学年九年级下学期数学开学考试试卷
1．（2020九下·长沙开学考） 4的绝对值是（ ）
A．4 B． 4 C． D．
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：|-4|=4，
故答案为：A．
【分析】根据绝对值的定义及性质化简即可。
2．（2020九下·长沙开学考）据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为（ ）
A．3.386×108 B．0.3386×109 C．33.86×107 D．3.386×109
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为3.386×108．
故选：A．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2020九下·长沙开学考）下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．
故选B．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
4．（2020九下·长沙开学考）点 在y轴上，则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点M（m+1，m+3）在y轴上，
∴m+1=0，
解得m=-1，
∴m+3=-1+3=2，
∴点M的坐标为（0，2）.
故答案为：D.
【分析】根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，然后求解即可.
5．（2020九下·长沙开学考）下列说法正确的是( )
A．“打开电视剧，正在播足球赛”是必然事件
B．甲组数据的方差S甲2=0.24，乙组数据的方差S乙2=0.03，则乙组数据比甲组数据稳定
C．一组数据2，4，5，5，3，6的众数和中位数都是5
D．“掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示每抛硬币2次就有1次正面朝上
【答案】B
【知识点】事件的分类；概率的意义；方差
【解析】【分析】根据方必然事件的判定，方差，众数，中位数，概率的意义分别对每一项进行分析。
A、“打开电视剧，正在播足球赛”是随机事件，故本选项错误；
B、甲组数据的方差S甲2=0.24，乙组数据的方差S乙2=0.03，则由于S乙2＜S甲2，所以乙组数据比甲组数据稳定，故本选项正确；
C、一组数据2，4，5，5，3，6的众数是5，中位数是4.5，故本选项错误；
D、“掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示每抛硬币2次可能有1次正面朝上，故本选项错误。
故选B.
6．（2020九下·长沙开学考）如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（ ）
A．A B．B
C．C D．D
【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】∵由图可知，实心圆点与空心圆点一定在紧相邻的三个侧面上，∴C符合题意．
故答案为：C．
【分析】观察正方体的展开图可知两个空心圆为相对的面，且实心圆点与空心圆点一定在紧相邻的三个侧面上，利用排除法求解.
7．（2020九下·长沙开学考）如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BCD=120°，
∴∠B=60°，
又∵ABCD是菱形，
∴BA=BC，
∴△ABC是等边三角形，
故可得△ABC的周长=3AB=15．
故选B．
【分析】根据题意可得出∠B=60°，结合菱形的性质可得BA=BC，判断出△ABC是等边三角形即可得出△ABC的周长．
8．（2020九下·长沙开学考）如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，⊙O的半径为6，且PA=8，则cos∠APO等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA，如图所示：
∵AP为圆O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP=90°，
在直角三角形OPA中，OA=6，PA=8，
根据勾股定理得：OP2=OA2+AP2=62+82=100，
∴OP=10，
∴cos∠APO==．
故选A.
【分析】连接OA，由AP为圆O的切线，根据切线的性质得到OA与AP垂直，在直角三角形OPA中，由OA及AP的长，利用勾股定理求出OP的长，再由锐角三角函数定义：一个角的余弦值为在直角三角形中，邻边与斜边之比，故由∠APO的邻边AP与斜边OP的比值即可得到cos∠APO的值．
9．（2020九下·长沙开学考）一元二次方程x2+kx﹣3=0的一个根是x=1，则另一个根是（ ）
A．3 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣2
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】根据根与系数的关系可得出两根的积，即可求得方程的另一根．设m、n是方程x2+kx﹣3=0的两个实数根，且m=x=1；则有：mn=﹣3，即n=﹣3；
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到另外一个根。
10．（2020九下·长沙开学考）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【分析】根据二次函数图象开口向上得到a＞0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＞0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【解答】∵二次函数图象开口方向向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x=-＞0，
∴b＜0，
∵与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴y=ax+b的图象经过第一三象限，且与y轴的负半轴相交，
反比例函数y=图象在第一三象限，
只有B选项图象符合．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．
11．（2020九下·长沙开学考）如图，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若AD=24，BD=6，则CD的长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，
∴∠ADC=∠CDB =90°
∴∠A+∠1=∠1+∠2=90°，
∴∠A=∠2，
∴△ACD∽△CBD，
∴CD2=AD BD，
∵AD=24，BD=6
∴CD=12
故答案为：C
【分析】利用等角的余角相等，证明△ACD∽△CBD，再利用相似三角形的性质得到对应边成比例求解即可。
12．（2020九下·长沙开学考）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限， 轴于点A，反比例函数 （ ）的图象与线段 相交于点C，且C是线段 的中点，点C关于直线 的对称点 的坐标为 ，若 的面积为3，则k的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵点C关于直线y=x的对称点C'的坐标为（1，n）（n≠1），
∴C（n，1），
∴OA=n，AC=1，
∴AB=2AC=2，
∵△OAB的面积为3，
∴ n×2＝3，
解得，n=3，
∴C（3，1），
∴k=3×1=3．
故答案为：D．
【分析】根据轴对称求出点C的坐标，再根据三角形的面积列出方程求解即可。
13．（2020九下·长沙开学考）若式子有意义，则x的取值范围是
【答案】x≥﹣1且x≠0
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式的性质可知：x+1≥0，即x≥﹣1，
又因为分式的分母不能为0，
所以x的取值范围是x≥﹣1且x≠0．
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件解答即可．
14．（2020九下·长沙开学考）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=x（y2-4）=x ( y + 2 ) ( y 2 )
故答案为：x ( y + 2 ) ( y 2 )
【分析】观察此多项式的特点，有公因式x，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可。
15．（2020九下·长沙开学考）已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则圆锥的侧面积是 .
【答案】10πcm2
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】圆锥的侧面积公式：圆锥的侧面积= ×底面周长×母线.
由题意的S侧=2πr·l· =π×2×5=10π（cm2）.
【分析】圆锥的侧面积=πRr（R是圆锥的母线长，r是底面圆的半径），代入计算可求解。
16．（2020九下·长沙开学考）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则可添加的条件为 .(填一个即可)
【答案】AD∥BC(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：四边形ABCD中， ，要使四边形ABCD为平行四边形，则可添加的条件为 ，
故答案为 ．
【分析】根据平行四边形的判定方法求解即可。
17．（2020九下·长沙开学考）三角形的中位线把三角形分成的两部分的面积之比是 .
【答案】1：3
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵三角形的中位线把三角形分成的三角形与原三角形相似，且它们的面积之比为1：4，
∴分成两部分面积之比是1：3．
【分析】根据三角形中位线的性质得到三角形相似再根据相似三角形的性质求解即可。
18．（2020九下·长沙开学考）如图，抛物线 的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y正半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP．①点E在⊙M的内部；②CD的长为 ；③若P与C重合，则∠DPE＝15°；④在P的运动过程中，若AP＝ ，则PE＝ ⑤N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是2π．其中结论正确的是
【答案】②③④
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：抛物线 的图象与坐标轴交于点A，B，D，
则点A、B、D的坐标分别为：（-1，0）、（3，0）、（0，- ），则点M（1，0），
顶点E的坐标为：（1，-2），AB=4，CO= ，OD= ，故点D不在⊙M上；
①ME=2=AM，∴E应该在⊙M上，故不符合题；
②C是圆M与y轴交点，圆M半径为2，M（1，0）由勾股定理得OC= ，
CD=2× =3，故CD的长为 ，符合题意；
③如图1，连接DP、ME，点D、E均在⊙M上，
过点D作DH⊥ME于H，
∵DH=1，MD=R=2，
故∠DME=30°，则∠DPE=15°，符合题意；
④如图2，连接PB、PA、AE，
∵点B、E均在圆上，则∠ABP=∠AEP=α，
sin∠AEP=sin∠ABP= =sinα，则cosα= ，
过点A作AK垂直于PE于K，则AK=AEsinα=2 × = ，EK=AEcosα═ ，则PK=AK= ，故则PE= ，符合题意；
⑤如图3，图中实点G、N、M、F是点N运动中所处的位置，
则GF是等腰直角三角形的中位线，GF= AB=2，ME交AB于点R，则四边形GEFM为正方形，当点P在半圆任意位置时，中点为N，连接MN，则MN⊥PE，连接NR，
则NR= ME=MR=RE=RG=RF= GF=1，则点N的运动轨迹为以R为圆心的半圆，则N运动的路径长= ×2πr=π，故不符合题意；
故答案为：②③④．
【分析】根据二次函数解析式求出点A、B的坐标，再根据圆的性质求解及证明即可。
19．（2020九下·长沙开学考）计算：（ ）﹣1﹣2cos30°+ +（3﹣π）0
【答案】解：原式=2﹣2× + +1
=2﹣ + +1
=3．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】利用负指数幂、特殊三角函数值、0指数幂的性质化简，再计算即可。
20．（2020九下·长沙开学考）先化简，再求值： ，其中x请从不等式组 的解集中选取一个合适的值代入．
【答案】解：
解不等式组 得： ；
∵x≠0，-1
当x=时
∴原式=
【知识点】分式的化简求值；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再求不等式组，根据分式的性质着值代入计算即可。
21．（2020九下·长沙开学考）某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的 个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次调查的学生共有多少名；
（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数；
（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）．
【答案】（1）解：56÷20%=280（名），
答：这次调查的学生共有280名；
（2）解：280×15%=42（名），280﹣42﹣56﹣28﹣70=84（名），
补全条形统计图，如图所示，
根据题意得：84÷280=30%，360°×30%=108°，
答：“进取”所对应的圆心角是108°；
（3）解：由（2）中调查结果知：学生关注最多的两个主题为“进取”和“感恩”用列表法为：
A B C D E
A （A，B） （A，C） （A，D） （A，E）
B （B，A） （B，C） （B，D） （B，E）
C （C，A） （C，B） （C，D） （C，E）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，E）
E （E，A） （E，B） （E，C） （E，D）
用树状图为：
共20种情况，恰好选到“C”和“E”有2种，
∴恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是0.1．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）用“平等”的人数除以“平等”所占百分比求出总人数；（2）根据总人数求解即可；（3）列表或画树状图，再根据概率公式求解即可。
22．（2020九下·长沙开学考）已知：如图，平行四边形ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．
（1）求证：△AOD≌△EOC；
（2）连接AC、DE，当∠B=∠AEB=45°时，求证四边形 ACED是正方形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．
∴∠D=∠OCE，∠DAO=∠E．
∵O是CD的中点，∴OC=OD，
在△AOD和△EOC中， ，∴△AOD≌△EOC（AAS）；
（2）解：当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形．
∵△AOD≌△EOC，∴OA=OE．
又∵OC=OD，∴四边形ACED是平行四边形．
∵∠B=∠AEB=45°，∴AB=AE，∠BAE=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．
∴∠COE=∠BAE=90°．∴□ACED是菱形．
∵AB=AE，AB=CD，∴AE=CD．
∴菱形ACED是正方形．
【知识点】正方形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到边、角相等，再利用“AAS”证明三角形全等；（2）先证明四边形ACED式菱形，再证明菱形ACED是正方形。
23．（2020九下·长沙开学考）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
【答案】（1）解：由题意得出：w=（x﹣20） y=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x2+120x﹣1600，
故w与x的函数关系式为：w=﹣2x2+120x﹣1600
（2）解：w=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，
∵﹣2＜0，
∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200．
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元
（3）解：当w=150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200=150．
解得：x1=25，x2=35．
∵x<28，
∴x2=35不符合题意，应舍去．
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用这种产品每天的销售利润=销售量×销售单价，列出函数关系式即可。
（2）利用配方法将（1）中的函数解析式转化为顶点式，再利用二次函数的性质可求出最大值。
（3）将W=150代入（1）中的函数解析式，再解二元一次方程求出x的值，然后根据x的取值范围确定出x的值。
24．（2020九下·长沙开学考）如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦，过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D，连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP＝∠ACD．
（1）求证：∠BAP＝∠CAP；
（2）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若AB＝5 ，BC＝10，求PC的长．
【答案】（1）证明：∵AD是⊙O的切线，
∴OA⊥AD，
∵BC∥AD，
∴OA⊥BC，
∴弧BE＝弧CF，
∴∠BAP＝∠CAP；
（2）解：PC与圆O相切，理由为：
过C点作直径CE，连接EB，如图，
∵CE为直径，
∴∠EBC＝90°，即∠E+∠BCE＝90°，
∵AB∥DC，
∴∠ACD＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠E，∠BCP＝∠ACD．
∴∠E＝∠BCP，
∴∠BCP+∠BCE＝90°，即∠PCE＝90°，
∴CE⊥PC，
∴PC与圆O相切；
（3）解：∵AD是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥AD，
∵BC∥AD，
∴AM⊥BC，
∴BM＝CM＝ BC＝5，
∴AC＝AB＝5 ，
在Rt△AMC中，AM＝ ＝5 ，
设⊙O的半径为r，则OC＝r，OM＝AM﹣r＝5 ﹣r，
在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，即 +52＝r2，
解得：r＝3 ；
∴CE＝2r＝6 ，OM＝5 ﹣r＝2 ，
∴BE＝2OM＝4 ，
∵∠E＝∠MCP，
∴Rt△PCM∽Rt△CEB，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
∴PC＝ ．
【知识点】切线的性质；圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）通过证明弧BE＝弧CF，证明角相等；（2）过C点作直径CE，连接EB，利用圆周角及平行线的性质证明∠BCP+∠BCE＝90°；（3）利用切线的性质证明角相等，再证明Rt△PCM∽Rt△CEB，利用相似的性质列比例式求解。
25．（2020九下·长沙开学考）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣ ），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和 的值．
（3）点C关于x轴的对称点为H，当 FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题可列方程组： ，解得：
∴抛物线解析式为：y＝ x2﹣ x﹣2；
（2）解：由题意和勾股定理得，∠AOC＝90°，AC＝ ，AB＝4，
设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则 ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；
当△AOC∽△AEB时 ＝（ ）2＝（ ）2＝ ，
∵S△AOC＝1，
∴S△AEB＝ ，
∴ AB×|yE|＝ ，AB＝4，则yE＝﹣ ，
则点E（﹣ ，﹣ ）；
由△AOC∽△AEB得：
∴ ；
（3）解：如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，
则FG＝CFsin∠FCG＝ CF，
∴ CF+BF＝GF+BF≥BE，
当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，
由（2）可知∠ABE＝∠ACO
|y|＝OBtan∠ABE＝OBtan∠ACO＝3× ＝ ，
∴当y＝﹣ 时，即点F（0，﹣ ）， CF+BF有最小值；
①当点Q为直角顶点时（如图3） F（0，﹣ ），
∵C（0，﹣2）
∴H（0，2）设Q（1，m），过点Q作QM⊥y轴于点M．
则Rt△QHM∽Rt△FQM∴QM2＝HM FM，
∴12＝（2﹣m）（m+ ），
解得：m＝ ，则点Q（1， ）或（1， ）
当点H为直角顶点时：点H（0，2），则点Q（1，2）；当点F为直角顶点时：
同理可得：点Q（1，﹣ ）；
综上，点Q的坐标为：（1， ）或（1， ）或Q（1，2）或Q（1，﹣ ）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点C、D代入表达式求解即可；（2）先求直线AC的解析式，再利用△AOC与△AEB相似列出比例式求解即可；（3）本题利用“阿氏圆”定理求解，将 FC+BF转换成GF+BF，再利用相似三角形的性质列比例式求解。
26．（2020九下·长沙开学考）若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”．
（1）若矩形ABCD是“美丽四边形”，且AB＝3，则BC＝ ；
（2）如图1，“美丽四边形”ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点P，且对角线AC为直径，AP＝1，PC＝5，求另一条对角线BD的长；
（3）如图2，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”ABCD的四个顶点A（﹣3，0）、C（2，0），B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，且四边形ABCD的面积为 ，若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a的值．
【答案】（1）3 或
（2）解：过点O作OH⊥BD于点H，连接OD
∴∠OHP＝∠OHD＝90°，BH＝DH＝ BD∵AP＝1，PC＝5
∴⊙O直径AC＝AP+PC＝6∴OA＝OC＝OD＝3
∴OP＝OA﹣AP＝3﹣1＝2
∵四边形ABCD是“美丽四边形”
∴∠OPH＝60°∴Rt△OPH中，sin∠OPH＝ ∴OH＝ OP＝ ∴Rt△ODH中，DH＝
∴BD＝2DH＝2
（3）解：过点B作BM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N
∴∠BMO＝∠DNO＝90°
∵四边形ABCD是“美丽四边形”∴∠BOM＝∠DON＝60°
∴tan∠DON＝ ，即
∴直线BD解析式为y＝ x
∵二次函数的图象过点A（﹣3，0）、C（2，0），即与x轴交点为A、C
∴用交点式设二次函数解析式为y＝a（x+3）（x﹣2）
∵ 整理得：ax2+（a﹣ ）x﹣6a＝0
∴xB+xD＝﹣ ，xB xD＝﹣6
∴（xB﹣xD）2＝（xB+xD）2﹣4xB xD＝（﹣ ）2+24
∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝ AC BM+ AC DN＝ AC（BM+DN）
＝ AC（yD﹣yB）＝ AC（ xD﹣ xB）＝ （xB﹣xD）
∴ （xB﹣xD）＝15
∴xB﹣xD＝6∴（﹣ ）2+24＝36
解得：a1＝ ，a2＝
∴a的值为 或 ．
【知识点】圆的综合题；定义新运算；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）设矩形ABCD对角线相交于点O
∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∠ABC＝90°
∴AO＝BO＝CO＝DO
∵矩形ABCD是“美丽四边形”∴AC、BD夹角为60°
i）如图，若AB＝3为较短的边，则∠AOB＝60°
∴△OAB是等边三角形
∴∠OAB＝60°∴Rt△ABC中，tan∠OAB＝ ∴BC＝ AB＝3
ii）如图，若AB＝3为较长的边，则∠BOC＝60°
∴△OBC是等边三角形
∴OCB＝60°∴Rt△ABC中，tan∠OCB＝
∴BC＝
故答案为：3 或 ．
【分析】（1）根据题干的定义求解即可；
（2）先求出OP的长度，再利用题干的定义，解直角三角形求出DH，再求BD即可；
（3）联立二次函数与一次函数，转换成一元二次方程，利用根与系数的关系求解，根据平行四边形的面积计算求a的值。
1 / 1
