四川省江油市2019-2020学年九年级下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1.(2020九下·江油开学考)方程x2﹣5=0的实数解为( )
A. B. C. D.±5
【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解:∵x2﹣5=0,
∴x2=5,
则x= ,
故答案为:C.
【分析】利用直接开平方求解即可。
2.(2020九下·江油开学考)如图所示的中心对称图形中,对称中心是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解:如图所示的中心对称图形中,对称中心是O2.
故答案为:B.
【分析】根据中心对称图形的特征找对称中心即可。
3.(2020九下·江油开学考)将点A(﹣3,4)绕原点顺时针方向旋转180°后得到点B,则点B的坐标为( )
A.(3,﹣4) B.(﹣4,3)
C.(﹣4,﹣3) D.(﹣3,﹣4)
【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解:根据点A(﹣3,4)绕坐标原点旋转180°得到点B,可知A、B两点关于原点对称,
∴点B坐标为(3,﹣4),
故答案为:A.
【分析】绕原点旋转180°后的点坐标的特征是:横、纵坐标都变为相反数。
4.(2020九下·江油开学考)如图,将Rt△ABC绕直角顶点A,沿顺时针方向旋转后得到Rt△AB1C1,当点B1恰好落在斜边BC的中点时,则∠B1AC=( )
A.25° B.30° C.40° D.60°
【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解:∵点B1为斜边BC的中点,
∴AB1=BB1,
∵△ABC绕直角顶点A顺时针旋转到△AB1C1的位置,
∴AB1=AB,旋转角等于∠BAB1,
∴AB1=BB1=AB,
∴△ABB1为等边三角形,
∴∠BAB1=60°.
∴∠B1AC=90°﹣60°=30°.
故答案为:B.
【分析】根据旋转的性质及直角三角形斜边上的中线的性质得到△ABB1为等边三角形,再计算即可。
5.(2020九下·江油开学考)下列事件中,属于必然事件的是( )
A.方程 无实数解
B.在某交通灯路口,遇到红灯
C.若任取一个实数a,则
D.买一注福利彩票,没有中奖
【答案】A
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解:A、方程2x2+3=0的判别式△=0﹣4×2×3=﹣24<0,因此方差2x2+3=0无实数解是必然事件,故本选项符合题意;
B、在某交通灯路口,遇到红灯是随机事件,故本选项不符合题意;
C、若任取一个实数a,则(a+1)2>0是随机事件,故本选项不符合题意;
D、买一注福利彩票,没有中奖是随机事件,故本选项不符合题意;
故答案为:A.
【分析】根据必然事件的定义逐项判定即可。
6.(2020九下·江油开学考)关于x的一元二次方程x2+mx+m2﹣7=0的一个根是﹣2,则m的值可以是( )
A.﹣1 B.3 C.﹣1或3 D.﹣3或1
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解:把x=﹣2代入方程x2+mx+m2﹣7=0得4﹣2m+m2﹣7=0,
解得m=﹣1或3.
故答案为:C.
【分析】将x=-2代入方程求解即可。
7.(2020九下·江油开学考)如图,在△ABC中,∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O,下列说法正确的是( )
A.点O是△ABC的内切圆的圆心 B.CE⊥AB
C.△ABC的内切圆经过D,E两点 D.AO=CO
【答案】A
【知识点】角平分线的性质;三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解:∵△ABC中,∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O,
∴点O是△ABC的内切圆的圆心;
故答案为:A.
【分析】根据角平分线的性质及三角形内心的定义求解即可。
8.(2020九下·江油开学考)一件衣服225元,连续两次降价x%后售价为144元,则x=( )
A.0.2 B.2 C.8 D.20
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解:依题意,得:225(1﹣x%)2=144,
解得:x1=20,x2=180(不合题意,舍去).
故答案为:D.
【分析】利用含x的表达式表示出连续降价两个后的售价,列出方程求解即可。
9.(2020九下·兰州月考)如图,AB是⊙O的直径,点C,D在直径AB一侧的圆上(异于A,B两点),点E在直径AB另一侧的圆上,若∠E=42°,∠A=60°,则∠B=( )
A.62° B.70° C.72° D.74°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解:连接AC.
∵∠DAB=60°,∠DAC=∠E=42°,
∴∠CAB=60°﹣42°=18°,
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠B=90°﹣18°=72°,
故答案为:C.
【分析】连接AC,根据同弧所对的圆周角相等得出∠DAC=∠E=42°,然后根据角的和差算出∠CAB的度数,根据直径所对的圆周角等于90°得出∠ACB=90°,最后根据三角形的内角和算出答案.
10.(2020九下·江油开学考)如图,一条公路环绕山脚的部分是一段圆弧形状(O为圆心),过A,B两点的切线交于点C,测得∠C=120°,A,B两点之间的距离为60m,则这段公路AB的长度是( )
A.10πm B.20πm C.10 πm D.60m
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解:连接OA,OB,OC,
∵AC与BC是⊙O的切线,∠C=120°,
∴∠OAC=∠OBC=90°,AC=BC,
∴∠AOB=60°,
∵OA=OB,
∴△AOB是等边三角形,
∴OA=AB=60,
∴公路AB的长度= =20πm,
故答案为:B.
【分析】利用弧长公式进行计算即可。
11.(2020·长沙模拟)将二次函数y=ax2的图象先向下平移2个单位,再向右平移3个单位,截x轴所得的线段长为4,则a=( )
A.1 B. C. D.
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系;二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解:二次函数y=ax2的图象先向下平移2个单位,再向右平移3个单位之后的函数解析式为y=a(x﹣3)2﹣2,
当y=0时,ax2﹣6ax+9a﹣2=0,
设方程ax2﹣6ax+9a﹣2=0的两个根为x1,x2,
则x1+x2=6,x1x2= ,
∵平移后的函数截x轴所得的线段长为4,
∴|x1﹣x2|=4,
∴(x1﹣x2)2=16,
∴(x1+x2)2﹣4x1x2=16,
∴36﹣4× =16,
解得,a= ,
故答案为:D.
【分析】根据题意可以写出平移后的函数解析式,然后根据截x轴所得的线段长为4,可以求得a的值,本题得以解决.
12.(2020九下·江油开学考)如图,已知点A(m,m+3),点B(n,n﹣3)是反比例函数y= (k>0)在第一象限的图象上的两点,连接AB.将直线AB向下平移3个单位得到直线l,在直线l上任取一点C,则△ABC的面积为( )
A. B.6 C. D.9
【答案】A
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题;三角形的面积;一次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解:∵点A(m,m+3),点B(n,n﹣3)在反比例函数y= (k>0)第一象限的图象上,
∴k=m(m+3)=n(n﹣3),
即:(m+n)(m﹣n+3)=0,
∵m+n>0,
∴m﹣n+3=0,即:m﹣n=﹣3,
过点A、B分别作x轴、y轴的平行线相交于点D,
∴BD=xB﹣xA=n﹣m=3,AD=yA﹣yB=m+3﹣(n﹣3)=m﹣n+6=3,
又∵直线l是由直线AB向下平移3个单位得到的,
∴平移后点A与点D重合,
因此,点D在直线l上,
∴S△ACB=S△ADB= AD BD= ,
故答案为:A.
【分析】利用平行线之间的距离处处相等的性质得到S△ACB=S△ADB,进行计算即可。
二、填空题
13.(2020九下·江油开学考)从一批节能灯中随机抽取40只进行检查,发现次品2只,则在这批节能灯中随机抽取一只是次品的概率为 .
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解:在这批节能灯中随机抽取一只是次品的概率为 = ,
故答案为: .
【分析】利用概率公式计算即可。
14.(2020九下·江油开学考)如图,圆锥的母线长为5,底面圆直径CD与高AB相等,则圆锥的侧面积为 .
【答案】5 π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解:设CB=x,则AB=2x,
根据勾股定理得:x2+(2x)2=52,
解得:x= ,
∴底面圆的半径为 ,
∴圆锥的侧面积= × ×2π×5=5 π.
故答案为:5 π.
【分析】先利用勾股定理求出圆锥母线长,再利用圆锥侧面积计算公式计算即可。
15.(2020九下·江油开学考)已知一元二次方程 的两根分别为 和 ,则 .
【答案】19
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:∵方程存在两个根
∴由韦达定理得
∴
故答案为:19.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解即可。
16.(2020九下·江油开学考)如图,已知⊙O的半径为2,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠ABC=∠AOC,且AD=CD,则图中阴影部分的面积等于 .
【答案】 π﹣
【知识点】扇形面积的计算;几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解:连接AC,OD,过点O作OE⊥AD,垂足为E,
∵∠ABC=∠AOC,∠AOC=2∠ADC,∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ABC=120°,∠ADC=60°,
∵AD=CD,
∴△ACD是正三角形,
∴∠AOD=120°,OE=2×cos60°=1,AD=2×sin60°×2=2 ,
∴S阴影部分=S扇形OAD﹣S△AOD= ×π×22﹣ ×2 ×1= π﹣ ,
故答案为: π﹣ .
【分析】先求出∠AOD,再利用割补法求阴影部分的面积即可。
17.(2020九下·江油开学考)若反比例函数y= 的图象与一次函数y=﹣x+3的图象的一个交点到x轴的距离为1,则k= .
【答案】2或﹣4
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解:当反比例函数y= 在第一象限时,﹣x+3=1,解得x=2,即反比例函数y= 的图象与一次函数y=﹣x+3的图象交于点(2,1),
∴k=2×1=2;
当反比例函数y= 在第四象限时,﹣x+3=﹣1,解得x=4,即反比例函数y= 的图象与一次函数y=﹣x+3的图象交于点(4,﹣1),
∴k=4×(﹣1)=﹣4.
∴k=2或﹣4.
故答案为:2或﹣4
【分析】利用一次函数的解析式求出交点的坐标,再将交点坐标代入反比例函数求解即可。
18.(2020九下·江油开学考)如图,AB为半圆的直径,点D在半圆弧上,过点D作AB的平行线与过点A半圆的切线交于点C,点E在AB上,若DE垂直平分BC,则 = .
【答案】
【知识点】切线的性质;圆的综合题;相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:连接CE,过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H,
∵AC是半圆的切线
∴AC⊥AB,
∵CD∥AB,
∴AC⊥CD,且BH⊥CD,AC⊥AB,
∴四边形ACHB是矩形,
∴AC=BH,AB=CH,
∵DE垂直平分BC,
∴BE=CE,CD=BD,且DE⊥BC,
∴∠BED=∠CED,
∵AB∥CD,
∴∠BED=∠CDE=∠CED,
∴CE=CD,
∴CE=BE=CD=DB,
∵AC=BH,CE=BD,
∴Rt△ACE≌Rt△HBD(HL)
∴AE=DH,
∵CE2﹣AE2=AC2,
∴BE2﹣AE2=AC2,
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADC+∠BDH=90°,且∠ADC+∠CAD=90°,
∴∠CAD=∠BDH,且∠ACD=∠BHD,
∴△ACD∽△DHB,
∴ ,
∴AC2=AE BE,
∴BE2﹣AE2=AE BE,
∴BE= AE,
∴
故答案为: .
【分析】先利用切线构造直角三角形,再利用“HL”证明三角形全等,得到角、边相等,再证明△ACD∽△DHB,最后利用相似的性质列出比例式求解即可。
三、解答题
19.(2020九下·江油开学考)
(1)用配方法解方程:x2﹣4x+2=0;
(2)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点均在格点上,将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到△A1B1C1.请作出△A1B1C1,写出各顶点的坐标,并计算△A1B1C1的面积.
【答案】(1)解:移项,得x2﹣4x=﹣2,
配方,得x2﹣4x+4=﹣2+4,
即(x﹣2)2=2,
所以x﹣2=±
所以原方程的解为x1=2+ ,x2=2﹣ ;
(2)解:如图,△A1B1C1为所作;A1(﹣1,﹣1),B1(﹣4,0),C1(﹣4,2),△A1B1C1的面积= ×2×3=3.
【知识点】配方法解一元二次方程;三角形的面积;作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)利用配方法直接求解即可;(2)先做出点A、B、C旋转后的点,再连线即可;再根据三角形的面积计算公式计算即可。
20.(2020九下·江油开学考)同时抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子,骰子各个面的点数分别是1至4的整数,把这两枚骰子向下的面的点数记为(a,b),其中第一枚骰子的点数记为a,第二枚骰子的点数记为b.
(1)用列举法或树状图法求(a,b)的结果有多少种?
(2)求方程x2+bx+a=0有实数解的概率.
【答案】(1)解:根据题意画图如下:
(a,b)的结果如下:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),一共有16种结果;
(2)解:易知方程是一元二次方程,其有解的条件是b2﹣4a≥0,
符合条件的(a,b):(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(1,3),(2,3),(1,2)共有7种结果,
所以,此方程有解的概率是 .
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【分析】(1)用列表法或树状图法将多有情况列出,再根据概率公式计算即可;(2)利用概率公式直接计算即可。
21.(2020九下·江油开学考)已知二次函数y1=x2﹣2x﹣3,一次函数y2=x﹣1.
(1)在同一坐标系中,画出这两个函数的图象;
(2)根据图形,求满足y1>y2的x的取值范围.
【答案】(1)解:列表如下:
xy ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4
y1 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5
y2 ﹣1 0
这两个函数的图象,如图,
(2)解:设二次函数y1=x2﹣2x﹣3的图象与一次函数y2=x﹣1的图象相交于A、B两点,如图,
令y1=y2,得x2﹣2x﹣3=x﹣1,
整理得x2﹣3x﹣2=0,解得x1= ,x2= ,
∴A点和B点的横坐标分别为 , ,
∴当x< 或x> ,
∴y1>y2,
即满足不等式y1>y2的x的取值范围为x< 或x> .
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用;描点法画函数图象
【解析】【分析】(1)列表、描点、连线即可;(2)先求出交点坐标,再根据函数值大的图像在上方的原则求解即可。
22.(2020九下·江油开学考)一件商品进价100元,标价160元时,每天可售出200件,根据市场调研,每降价1元,每天可多售出10件,反之,价格每提高1元,每天少售出10件.以160元为基准,标价提高m元后,对应的利润为w元.
(1)求w与m之间的关系式;
(2)要想获得利润7000元,标价应为多少元?
【答案】(1)解:w=(160+m﹣100)(200﹣10m)=﹣10m2﹣400m+12000(0≤m≤20)
(2)解:当利润7000元时,即w=7000,
即﹣10m2﹣400m+12000=7000,
整理得m2+40m﹣500=0,
解得m1=﹣50,m2=10.
当m=﹣50时,标价为160+(﹣50)=110元,
当m=10时,标价为160+10=170元.
∴要想获得利润7000元,标价应为110元或170元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)利用“总利润=每件的利润总数量”列出函数表达式即可;(2)将w=7000代入表达式求解即可。
23.(2020九下·江油开学考)如图,在平面直角系中,点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,∠ABO=30°,AB=2,以AB为边在第一象限内作等边△ABC,反比例函数的图象恰好经过边BC的中点D,边AC与反比例函数的图象交于点E.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求点E的横坐标.
【答案】(1)解:∵∠ABO=30°,AB=2,
∴OA=1, ,
连接AD.
∵△ABC是等边三角形,点D是BC的中点,
∴AD⊥BC,
又∠OBD=∠BOA=90°,
∴四边形OBDA是矩形,
∴ ,
∴反比例函数解析式是 .
(2)解:由(1)可知,A(1,0), ,
设一次函数解析式为y=kx+b,将A,C代入得 ,解得 ,
∴ .
联立 ,消去y,得 ,
变形得x2﹣x﹣1=0,
解得 , ,
∵xE>1,
∴ .
【知识点】反比例函数系数k的几何意义;待定系数法求反比例函数解析式;反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】(1)过点D作x轴的垂线,求出点D的坐标,再代入求解即可;(2)利用待定系数法求一次函数解析式,联立方程组求解点E的坐标即可。
24.(2020九下·江油开学考)如图,圆的内接五边形ABCDE中,AD和BE交于点N,AB和EC的延长线交于点M,CD∥BE,BC∥AD,BM=BC=1,点D是 的中点.
(1)求证:BC=DE;
(2)求证:AE是圆的直径;
(3)求圆的面积.
【答案】(1)证明:∵CD∥BE,
∴∠DCE=∠CEB,
∴ ,
∴DE=BC;
(2)证明:连接AC,
∵BC∥AD,
∴∠CAD=∠BCA,
∴ ,
∴AB=DC,
∵点D是 的中点,
∴ ,
∴CD=DE,
∴AB=BC.
又∵BM=BC,
∴AB=BC=BM,即△ACB和△BCM是等腰三角形,
在△ACM中, ,
∴∠ACE=90°,
∴AE是圆的直径;
(3)解:由(1)(2)得: ,
又∵AE是圆的直径,
∴∠BEA=∠DAE=22.5°,∠BAN=45°,
∴NA=NE,
∴∠BNA=∠BAN=45°,∠ABN=90°,
∴AB=BN,
∵AB=BM=1,
∴BN=1,
∴ .
由勾股定理得:AE2=AB2+BE2= ,
∴圆的面积 .
【知识点】圆心角、弧、弦的关系;圆的综合题
【解析】【分析】(1)利用平行线得到角相等,再利用弧、圆周角及弦的关系证明即可;(2)本题的关键是证出三角形ACE是直角三角形;(3)利用圆周角求出 ∠ABN=90°, 再利用勾股定理求出半径,利用圆的面积计算即可。
25.(2020九下·江油开学考)如图,矩形AOBC放置在平面直角坐标系xOy中,边OA在y轴的正半轴上,边OB在x轴的正半轴上,抛物线的顶点为F,对称轴交AC于点E,且抛物线经过点A(0,2),点C,点D(3,0).∠AOB的平分线是OE,交抛物线对称轴左侧于点H,连接HF.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在x轴上有动点M,线段BC上有动点N,求四边形EAMN的周长的最小值;
(3)该抛物线上是否存在点P,使得四边形EHFP为平行四边形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)解:∵AE∥x轴,OE平分∠AOB,
∴∠AEO=∠EOB=∠AOE,
∴AO=AE,
∵A(0,2),
∴E(2,2),
∴点C(4,2),
设二次函数解析式为y=ax2+bx+2,
∵C(4,2)和D(3,0)在该函数图象上,
∴ ,得 ,
∴该抛物线的解析式为y= x2﹣ x+2;
(2)解:作点A关于x轴的对称点A1,作点E关于直线BC的对称点E1,连接A1E1,交x轴于点M,交线段BC于点N.
根据对称与最短路径原理,
此时,四边形AMNE周长最小.
易知A1(0,﹣2),E1(6,2).
设直线A1E1的解析式为y=kx+b,
,得 ,
∴直线A1E1的解析式为 .
当y=0时,x=3,
∴点M的坐标为(3,0).
∴由勾股定理得AM= ,ME1= ,
∴四边形EAMN周长的最小值为AM+MN+NE+AE=AM+ME1+AE= ;
(3)解:不存在.
理由:过点F作EH的平行线,交抛物线于点P.
易得直线OE的解析式为y=x,
∵抛物线的解析式为y= x2﹣ x+2= ,
∴抛物线的顶点F的坐标为(2,﹣ ),
设直线FP的解析式为y=x+b,
将点F代入,得 ,
∴直线FP的解析式为 .
,
解得 或 ,
∴点P的坐标为( , ),FP= ×( ﹣2)= ,
,
解得, 或 ,
∵点H是直线y=x与抛物线左侧的交点,
∴点H的坐标为( , ),
∴OH= × = ,
易得,OE=2 ,
EH=OE﹣OH=2 ﹣ = ,
∵EH≠FP,
∴点P不符合要求,
∴不存在点P,使得四边形EHFP为平行四边形.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;轴对称的应用-最短距离问题;二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】(1)先求出C、D、A三点的坐标,再将点坐标代入计算即可;(2)先求出 A1E1的解析式 ,再利用轴对称的性质求解最小值;(2)根据平行四边形的性质列出等量关系式求出点P坐标。
1 / 1四川省江油市2019-2020学年九年级下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1.(2020九下·江油开学考)方程x2﹣5=0的实数解为( )
A. B. C. D.±5
2.(2020九下·江油开学考)如图所示的中心对称图形中,对称中心是( )
A. B. C. D.
3.(2020九下·江油开学考)将点A(﹣3,4)绕原点顺时针方向旋转180°后得到点B,则点B的坐标为( )
A.(3,﹣4) B.(﹣4,3)
C.(﹣4,﹣3) D.(﹣3,﹣4)
4.(2020九下·江油开学考)如图,将Rt△ABC绕直角顶点A,沿顺时针方向旋转后得到Rt△AB1C1,当点B1恰好落在斜边BC的中点时,则∠B1AC=( )
A.25° B.30° C.40° D.60°
5.(2020九下·江油开学考)下列事件中,属于必然事件的是( )
A.方程 无实数解
B.在某交通灯路口,遇到红灯
C.若任取一个实数a,则
D.买一注福利彩票,没有中奖
6.(2020九下·江油开学考)关于x的一元二次方程x2+mx+m2﹣7=0的一个根是﹣2,则m的值可以是( )
A.﹣1 B.3 C.﹣1或3 D.﹣3或1
7.(2020九下·江油开学考)如图,在△ABC中,∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O,下列说法正确的是( )
A.点O是△ABC的内切圆的圆心 B.CE⊥AB
C.△ABC的内切圆经过D,E两点 D.AO=CO
8.(2020九下·江油开学考)一件衣服225元,连续两次降价x%后售价为144元,则x=( )
A.0.2 B.2 C.8 D.20
9.(2020九下·兰州月考)如图,AB是⊙O的直径,点C,D在直径AB一侧的圆上(异于A,B两点),点E在直径AB另一侧的圆上,若∠E=42°,∠A=60°,则∠B=( )
A.62° B.70° C.72° D.74°
10.(2020九下·江油开学考)如图,一条公路环绕山脚的部分是一段圆弧形状(O为圆心),过A,B两点的切线交于点C,测得∠C=120°,A,B两点之间的距离为60m,则这段公路AB的长度是( )
A.10πm B.20πm C.10 πm D.60m
11.(2020·长沙模拟)将二次函数y=ax2的图象先向下平移2个单位,再向右平移3个单位,截x轴所得的线段长为4,则a=( )
A.1 B. C. D.
12.(2020九下·江油开学考)如图,已知点A(m,m+3),点B(n,n﹣3)是反比例函数y= (k>0)在第一象限的图象上的两点,连接AB.将直线AB向下平移3个单位得到直线l,在直线l上任取一点C,则△ABC的面积为( )
A. B.6 C. D.9
二、填空题
13.(2020九下·江油开学考)从一批节能灯中随机抽取40只进行检查,发现次品2只,则在这批节能灯中随机抽取一只是次品的概率为 .
14.(2020九下·江油开学考)如图,圆锥的母线长为5,底面圆直径CD与高AB相等,则圆锥的侧面积为 .
15.(2020九下·江油开学考)已知一元二次方程 的两根分别为 和 ,则 .
16.(2020九下·江油开学考)如图,已知⊙O的半径为2,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠ABC=∠AOC,且AD=CD,则图中阴影部分的面积等于 .
17.(2020九下·江油开学考)若反比例函数y= 的图象与一次函数y=﹣x+3的图象的一个交点到x轴的距离为1,则k= .
18.(2020九下·江油开学考)如图,AB为半圆的直径,点D在半圆弧上,过点D作AB的平行线与过点A半圆的切线交于点C,点E在AB上,若DE垂直平分BC,则 = .
三、解答题
19.(2020九下·江油开学考)
(1)用配方法解方程:x2﹣4x+2=0;
(2)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点均在格点上,将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到△A1B1C1.请作出△A1B1C1,写出各顶点的坐标,并计算△A1B1C1的面积.
20.(2020九下·江油开学考)同时抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子,骰子各个面的点数分别是1至4的整数,把这两枚骰子向下的面的点数记为(a,b),其中第一枚骰子的点数记为a,第二枚骰子的点数记为b.
(1)用列举法或树状图法求(a,b)的结果有多少种?
(2)求方程x2+bx+a=0有实数解的概率.
21.(2020九下·江油开学考)已知二次函数y1=x2﹣2x﹣3,一次函数y2=x﹣1.
(1)在同一坐标系中,画出这两个函数的图象;
(2)根据图形,求满足y1>y2的x的取值范围.
22.(2020九下·江油开学考)一件商品进价100元,标价160元时,每天可售出200件,根据市场调研,每降价1元,每天可多售出10件,反之,价格每提高1元,每天少售出10件.以160元为基准,标价提高m元后,对应的利润为w元.
(1)求w与m之间的关系式;
(2)要想获得利润7000元,标价应为多少元?
23.(2020九下·江油开学考)如图,在平面直角系中,点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,∠ABO=30°,AB=2,以AB为边在第一象限内作等边△ABC,反比例函数的图象恰好经过边BC的中点D,边AC与反比例函数的图象交于点E.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求点E的横坐标.
24.(2020九下·江油开学考)如图,圆的内接五边形ABCDE中,AD和BE交于点N,AB和EC的延长线交于点M,CD∥BE,BC∥AD,BM=BC=1,点D是 的中点.
(1)求证:BC=DE;
(2)求证:AE是圆的直径;
(3)求圆的面积.
25.(2020九下·江油开学考)如图,矩形AOBC放置在平面直角坐标系xOy中,边OA在y轴的正半轴上,边OB在x轴的正半轴上,抛物线的顶点为F,对称轴交AC于点E,且抛物线经过点A(0,2),点C,点D(3,0).∠AOB的平分线是OE,交抛物线对称轴左侧于点H,连接HF.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在x轴上有动点M,线段BC上有动点N,求四边形EAMN的周长的最小值;
(3)该抛物线上是否存在点P,使得四边形EHFP为平行四边形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解:∵x2﹣5=0,
∴x2=5,
则x= ,
故答案为:C.
【分析】利用直接开平方求解即可。
2.【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解:如图所示的中心对称图形中,对称中心是O2.
故答案为:B.
【分析】根据中心对称图形的特征找对称中心即可。
3.【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解:根据点A(﹣3,4)绕坐标原点旋转180°得到点B,可知A、B两点关于原点对称,
∴点B坐标为(3,﹣4),
故答案为:A.
【分析】绕原点旋转180°后的点坐标的特征是:横、纵坐标都变为相反数。
4.【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解:∵点B1为斜边BC的中点,
∴AB1=BB1,
∵△ABC绕直角顶点A顺时针旋转到△AB1C1的位置,
∴AB1=AB,旋转角等于∠BAB1,
∴AB1=BB1=AB,
∴△ABB1为等边三角形,
∴∠BAB1=60°.
∴∠B1AC=90°﹣60°=30°.
故答案为:B.
【分析】根据旋转的性质及直角三角形斜边上的中线的性质得到△ABB1为等边三角形,再计算即可。
5.【答案】A
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解:A、方程2x2+3=0的判别式△=0﹣4×2×3=﹣24<0,因此方差2x2+3=0无实数解是必然事件,故本选项符合题意;
B、在某交通灯路口,遇到红灯是随机事件,故本选项不符合题意;
C、若任取一个实数a,则(a+1)2>0是随机事件,故本选项不符合题意;
D、买一注福利彩票,没有中奖是随机事件,故本选项不符合题意;
故答案为:A.
【分析】根据必然事件的定义逐项判定即可。
6.【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解:把x=﹣2代入方程x2+mx+m2﹣7=0得4﹣2m+m2﹣7=0,
解得m=﹣1或3.
故答案为:C.
【分析】将x=-2代入方程求解即可。
7.【答案】A
【知识点】角平分线的性质;三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解:∵△ABC中,∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O,
∴点O是△ABC的内切圆的圆心;
故答案为:A.
【分析】根据角平分线的性质及三角形内心的定义求解即可。
8.【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解:依题意,得:225(1﹣x%)2=144,
解得:x1=20,x2=180(不合题意,舍去).
故答案为:D.
【分析】利用含x的表达式表示出连续降价两个后的售价,列出方程求解即可。
9.【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解:连接AC.
∵∠DAB=60°,∠DAC=∠E=42°,
∴∠CAB=60°﹣42°=18°,
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠B=90°﹣18°=72°,
故答案为:C.
【分析】连接AC,根据同弧所对的圆周角相等得出∠DAC=∠E=42°,然后根据角的和差算出∠CAB的度数,根据直径所对的圆周角等于90°得出∠ACB=90°,最后根据三角形的内角和算出答案.
10.【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解:连接OA,OB,OC,
∵AC与BC是⊙O的切线,∠C=120°,
∴∠OAC=∠OBC=90°,AC=BC,
∴∠AOB=60°,
∵OA=OB,
∴△AOB是等边三角形,
∴OA=AB=60,
∴公路AB的长度= =20πm,
故答案为:B.
【分析】利用弧长公式进行计算即可。
11.【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系;二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解:二次函数y=ax2的图象先向下平移2个单位,再向右平移3个单位之后的函数解析式为y=a(x﹣3)2﹣2,
当y=0时,ax2﹣6ax+9a﹣2=0,
设方程ax2﹣6ax+9a﹣2=0的两个根为x1,x2,
则x1+x2=6,x1x2= ,
∵平移后的函数截x轴所得的线段长为4,
∴|x1﹣x2|=4,
∴(x1﹣x2)2=16,
∴(x1+x2)2﹣4x1x2=16,
∴36﹣4× =16,
解得,a= ,
故答案为:D.
【分析】根据题意可以写出平移后的函数解析式,然后根据截x轴所得的线段长为4,可以求得a的值,本题得以解决.
12.【答案】A
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题;三角形的面积;一次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解:∵点A(m,m+3),点B(n,n﹣3)在反比例函数y= (k>0)第一象限的图象上,
∴k=m(m+3)=n(n﹣3),
即:(m+n)(m﹣n+3)=0,
∵m+n>0,
∴m﹣n+3=0,即:m﹣n=﹣3,
过点A、B分别作x轴、y轴的平行线相交于点D,
∴BD=xB﹣xA=n﹣m=3,AD=yA﹣yB=m+3﹣(n﹣3)=m﹣n+6=3,
又∵直线l是由直线AB向下平移3个单位得到的,
∴平移后点A与点D重合,
因此,点D在直线l上,
∴S△ACB=S△ADB= AD BD= ,
故答案为:A.
【分析】利用平行线之间的距离处处相等的性质得到S△ACB=S△ADB,进行计算即可。
13.【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解:在这批节能灯中随机抽取一只是次品的概率为 = ,
故答案为: .
【分析】利用概率公式计算即可。
14.【答案】5 π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解:设CB=x,则AB=2x,
根据勾股定理得:x2+(2x)2=52,
解得:x= ,
∴底面圆的半径为 ,
∴圆锥的侧面积= × ×2π×5=5 π.
故答案为:5 π.
【分析】先利用勾股定理求出圆锥母线长,再利用圆锥侧面积计算公式计算即可。
15.【答案】19
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:∵方程存在两个根
∴由韦达定理得
∴
故答案为:19.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解即可。
16.【答案】 π﹣
【知识点】扇形面积的计算;几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解:连接AC,OD,过点O作OE⊥AD,垂足为E,
∵∠ABC=∠AOC,∠AOC=2∠ADC,∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ABC=120°,∠ADC=60°,
∵AD=CD,
∴△ACD是正三角形,
∴∠AOD=120°,OE=2×cos60°=1,AD=2×sin60°×2=2 ,
∴S阴影部分=S扇形OAD﹣S△AOD= ×π×22﹣ ×2 ×1= π﹣ ,
故答案为: π﹣ .
【分析】先求出∠AOD,再利用割补法求阴影部分的面积即可。
17.【答案】2或﹣4
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解:当反比例函数y= 在第一象限时,﹣x+3=1,解得x=2,即反比例函数y= 的图象与一次函数y=﹣x+3的图象交于点(2,1),
∴k=2×1=2;
当反比例函数y= 在第四象限时,﹣x+3=﹣1,解得x=4,即反比例函数y= 的图象与一次函数y=﹣x+3的图象交于点(4,﹣1),
∴k=4×(﹣1)=﹣4.
∴k=2或﹣4.
故答案为:2或﹣4
【分析】利用一次函数的解析式求出交点的坐标,再将交点坐标代入反比例函数求解即可。
18.【答案】
【知识点】切线的性质;圆的综合题;相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:连接CE,过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H,
∵AC是半圆的切线
∴AC⊥AB,
∵CD∥AB,
∴AC⊥CD,且BH⊥CD,AC⊥AB,
∴四边形ACHB是矩形,
∴AC=BH,AB=CH,
∵DE垂直平分BC,
∴BE=CE,CD=BD,且DE⊥BC,
∴∠BED=∠CED,
∵AB∥CD,
∴∠BED=∠CDE=∠CED,
∴CE=CD,
∴CE=BE=CD=DB,
∵AC=BH,CE=BD,
∴Rt△ACE≌Rt△HBD(HL)
∴AE=DH,
∵CE2﹣AE2=AC2,
∴BE2﹣AE2=AC2,
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADC+∠BDH=90°,且∠ADC+∠CAD=90°,
∴∠CAD=∠BDH,且∠ACD=∠BHD,
∴△ACD∽△DHB,
∴ ,
∴AC2=AE BE,
∴BE2﹣AE2=AE BE,
∴BE= AE,
∴
故答案为: .
【分析】先利用切线构造直角三角形,再利用“HL”证明三角形全等,得到角、边相等,再证明△ACD∽△DHB,最后利用相似的性质列出比例式求解即可。
19.【答案】(1)解:移项,得x2﹣4x=﹣2,
配方,得x2﹣4x+4=﹣2+4,
即(x﹣2)2=2,
所以x﹣2=±
所以原方程的解为x1=2+ ,x2=2﹣ ;
(2)解:如图,△A1B1C1为所作;A1(﹣1,﹣1),B1(﹣4,0),C1(﹣4,2),△A1B1C1的面积= ×2×3=3.
【知识点】配方法解一元二次方程;三角形的面积;作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)利用配方法直接求解即可;(2)先做出点A、B、C旋转后的点,再连线即可;再根据三角形的面积计算公式计算即可。
20.【答案】(1)解:根据题意画图如下:
(a,b)的结果如下:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),一共有16种结果;
(2)解:易知方程是一元二次方程,其有解的条件是b2﹣4a≥0,
符合条件的(a,b):(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(1,3),(2,3),(1,2)共有7种结果,
所以,此方程有解的概率是 .
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【分析】(1)用列表法或树状图法将多有情况列出,再根据概率公式计算即可;(2)利用概率公式直接计算即可。
21.【答案】(1)解:列表如下:
xy ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4
y1 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5
y2 ﹣1 0
这两个函数的图象,如图,
(2)解:设二次函数y1=x2﹣2x﹣3的图象与一次函数y2=x﹣1的图象相交于A、B两点,如图,
令y1=y2,得x2﹣2x﹣3=x﹣1,
整理得x2﹣3x﹣2=0,解得x1= ,x2= ,
∴A点和B点的横坐标分别为 , ,
∴当x< 或x> ,
∴y1>y2,
即满足不等式y1>y2的x的取值范围为x< 或x> .
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用;描点法画函数图象
【解析】【分析】(1)列表、描点、连线即可;(2)先求出交点坐标,再根据函数值大的图像在上方的原则求解即可。
22.【答案】(1)解:w=(160+m﹣100)(200﹣10m)=﹣10m2﹣400m+12000(0≤m≤20)
(2)解:当利润7000元时,即w=7000,
即﹣10m2﹣400m+12000=7000,
整理得m2+40m﹣500=0,
解得m1=﹣50,m2=10.
当m=﹣50时,标价为160+(﹣50)=110元,
当m=10时,标价为160+10=170元.
∴要想获得利润7000元,标价应为110元或170元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)利用“总利润=每件的利润总数量”列出函数表达式即可;(2)将w=7000代入表达式求解即可。
23.【答案】(1)解:∵∠ABO=30°,AB=2,
∴OA=1, ,
连接AD.
∵△ABC是等边三角形,点D是BC的中点,
∴AD⊥BC,
又∠OBD=∠BOA=90°,
∴四边形OBDA是矩形,
∴ ,
∴反比例函数解析式是 .
(2)解:由(1)可知,A(1,0), ,
设一次函数解析式为y=kx+b,将A,C代入得 ,解得 ,
∴ .
联立 ,消去y,得 ,
变形得x2﹣x﹣1=0,
解得 , ,
∵xE>1,
∴ .
【知识点】反比例函数系数k的几何意义;待定系数法求反比例函数解析式;反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】(1)过点D作x轴的垂线,求出点D的坐标,再代入求解即可;(2)利用待定系数法求一次函数解析式,联立方程组求解点E的坐标即可。
24.【答案】(1)证明:∵CD∥BE,
∴∠DCE=∠CEB,
∴ ,
∴DE=BC;
(2)证明:连接AC,
∵BC∥AD,
∴∠CAD=∠BCA,
∴ ,
∴AB=DC,
∵点D是 的中点,
∴ ,
∴CD=DE,
∴AB=BC.
又∵BM=BC,
∴AB=BC=BM,即△ACB和△BCM是等腰三角形,
在△ACM中, ,
∴∠ACE=90°,
∴AE是圆的直径;
(3)解:由(1)(2)得: ,
又∵AE是圆的直径,
∴∠BEA=∠DAE=22.5°,∠BAN=45°,
∴NA=NE,
∴∠BNA=∠BAN=45°,∠ABN=90°,
∴AB=BN,
∵AB=BM=1,
∴BN=1,
∴ .
由勾股定理得:AE2=AB2+BE2= ,
∴圆的面积 .
【知识点】圆心角、弧、弦的关系;圆的综合题
【解析】【分析】(1)利用平行线得到角相等,再利用弧、圆周角及弦的关系证明即可;(2)本题的关键是证出三角形ACE是直角三角形;(3)利用圆周角求出 ∠ABN=90°, 再利用勾股定理求出半径,利用圆的面积计算即可。
25.【答案】(1)解:∵AE∥x轴,OE平分∠AOB,
∴∠AEO=∠EOB=∠AOE,
∴AO=AE,
∵A(0,2),
∴E(2,2),
∴点C(4,2),
设二次函数解析式为y=ax2+bx+2,
∵C(4,2)和D(3,0)在该函数图象上,
∴ ,得 ,
∴该抛物线的解析式为y= x2﹣ x+2;
(2)解:作点A关于x轴的对称点A1,作点E关于直线BC的对称点E1,连接A1E1,交x轴于点M,交线段BC于点N.
根据对称与最短路径原理,
此时,四边形AMNE周长最小.
易知A1(0,﹣2),E1(6,2).
设直线A1E1的解析式为y=kx+b,
,得 ,
∴直线A1E1的解析式为 .
当y=0时,x=3,
∴点M的坐标为(3,0).
∴由勾股定理得AM= ,ME1= ,
∴四边形EAMN周长的最小值为AM+MN+NE+AE=AM+ME1+AE= ;
(3)解:不存在.
理由:过点F作EH的平行线,交抛物线于点P.
易得直线OE的解析式为y=x,
∵抛物线的解析式为y= x2﹣ x+2= ,
∴抛物线的顶点F的坐标为(2,﹣ ),
设直线FP的解析式为y=x+b,
将点F代入,得 ,
∴直线FP的解析式为 .
,
解得 或 ,
∴点P的坐标为( , ),FP= ×( ﹣2)= ,
,
解得, 或 ,
∵点H是直线y=x与抛物线左侧的交点,
∴点H的坐标为( , ),
∴OH= × = ,
易得,OE=2 ,
EH=OE﹣OH=2 ﹣ = ,
∵EH≠FP,
∴点P不符合要求,
∴不存在点P,使得四边形EHFP为平行四边形.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;轴对称的应用-最短距离问题;二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】(1)先求出C、D、A三点的坐标,再将点坐标代入计算即可;(2)先求出 A1E1的解析式 ,再利用轴对称的性质求解最小值;(2)根据平行四边形的性质列出等量关系式求出点P坐标。
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