课后素养落实(十) 科学探究：向心力
(建议用时：40分钟)
?考点一 向心力
1．(2020·辽宁阜新第二高级中学月考)关于向心力的下列说法正确的是( )
A．物体由于做圆周运动而产生了一个向心力
B．向心力只能改变做圆周运动的物体的速度方向，不能够改变速度的大小
C．做匀速圆周运动的物体其向心力指向圆心，所以是恒力
D．做匀速圆周运动的物体其向心力可以改变线速度的大小
B [物体做圆周运动就需要有向心力，向心力是由外界提供的，不是物体本身产生的，故A错误；向心力总是与速度方向垂直，不做功，不能改变速度的大小，只能改变速度的方向，故B正确，D错误；向心力始终指向圆心，方向时刻在改变，即向心力是变化的，故C错误。]
2.(2020·安徽省淮北一中期中)如图所示，杂技演员进行表演时，可以悬空靠在匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来。该演员( )
A．受到4个力的作用
B．所需的向心力由重力提供
C．所需的向心力由弹力提供
D．所需的向心力由静摩擦力提供
C [演员受到重力、圆筒的弹力以及圆筒的摩擦力3个力的作用，选项A错误；演员所受的重力与摩擦力平衡，弹力提供向心力，故选项C正确，B、D错误。]
3．如图所示，在水平转动的圆盘上，两个完全一样的木块A、B一起随圆盘做匀速圆周运动，转动的角速度为ω，已知木块A、B到圆盘中心O的距离为rA和rB，则两木块的向心力之比为( )
A．rA∶rB
B．rB∶rA
C．r∶r
D．r∶r
A [木块A、B在绕O点转动的过程中，是木块与圆盘间的静摩擦力提供了向心力，因两木块旋转的角速度ω等大，质量一样，由向心力公式F＝mrω2得FA＝mrAω2，FB＝mrBω2，解得FA∶FB＝rA∶rB，故A正确。]
?考点二 向心加速度
4．(2020·黑龙江哈尔滨三十二中期中)一小球做匀速圆周运动，运动半径为R，向心加速度为a，则
( )
A．小球的角速度ω＝
B．小球运动的周期T＝2π
C．小球在时间t内通过的路程s＝
D．小球在时间t内转过的角度φ＝t
B [由a＝ω2R，得ω＝，由φ＝ωt得小球在时间t内转过的角度φ＝t，A、D错误；由a＝R，得小球运动的周期T＝2π，B正确；由a＝，得小球的线速度大小v＝，所以时间t内通过的路程s＝t，C错误。]
5．如图所示，两轮压紧，通过摩擦传动(不打滑)，已知大轮半径是小轮半径的2倍，E为大轮半径的中点，C、D分别是大轮和小轮边缘的一点，则E、C、D三点向心加速度大小关系正确的是( )
A．aC＝aD＝2aE
B．aC＝2aD＝2aE
C．aC＝＝2aE
D．aC＝＝aE
C [同轴转动，C、E两点的角速度相等，由a＝ω2r，有＝2，即aC＝2aE；两轮边缘点的线速度大小相等，由a＝，有＝，即aC＝aD，故C正确。]
6.如图所示，四辆相同的小“自行车”固定在四根水平横杆上，四根杆子间的夹角均保持90°不变，且可一起绕中间的竖直轴转动。当小“自行车”的座位上均坐上小孩并一起转动时，他们的( )
A．角速度相同
B．线速度相同
C．向心加速度相同
D．所需向心力大小相同
A [小自行车在转动过程中，转动的周期相等，因此角速度相同，选项A正确；根据v＝rω可知，线速度大小相等，但方向不同，所以选项B错误；根据a＝rω2可知，向心加速度大小相等，但是方向不同，在时刻变化，所以选项C错误；由于不知道小朋友的质量关系，所以根据F向＝mrω2可知，向心力大小关系不确定，选项D错误。]
7．(2020·全国卷Ⅰ)如图所示，一同学表演荡秋千，已知秋千的两根绳长均为10
m，该同学和秋千踏板的总质量约为50
kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8
m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为( )
A．200
N
B．400
N
C．600
N
D．800
N
B [该同学身高相对于秋千的绳长可忽略不计，可以把该同学看成质点。当该同学荡到秋千支架的正下方时，由牛顿第二定律有2F－mg＝，代入数据解得F＝410
N，选项B正确。]
8．如图，质量相同的钢球①、②分别放在A、B盘的边缘，A、B两盘的半径之比为2∶1，a、b分别是与A盘、B盘同轴的轮，a、b轮半径之比为1∶2。当a、b两轮在同一皮带带动下匀速转动时，钢球①、②受到的向心力大小之比为( )
A．2∶1
B．4∶1
C．1∶4
D．8∶1
D [A、B两盘的半径分别为rA和rB，这两个盘的转动角速度为ωA和ωB，a、b轮的半径分别为ra和rb，这两个轮的转动角速度为ωa、ωb，因为a、b分别是与A盘、B盘同轴的轮，所以有ωA＝ωa，ωB＝ωb，又因为a、b两轮在同一皮带带动下匀速转动，所以两轮的线速度相等，故有：ωara＝ωbrb，所以＝＝，即＝，根据
公式F＝mω2r可得＝
eq
\f(mωrA,mωrB)＝
eq
\f(ωrA,ωrB)＝，故选D。]
9.某同学做验证向心力与线速度关系的实验。装置如图所示，一轻质细线上端固定在拉力传感器上，下端悬挂一小钢球。钢球静止时刚好位于光电门中央。主要实验步骤如下：
①用游标卡尺测出钢球直径d；
②将钢球悬挂静止不动，此时力传感器示数为F1，用米尺量出线长L；
③将钢球拉到适当的高度处释放，光电门计时器测出钢球的遮光时间为t，力传感器示数的最大值为F2；
已知当地的重力加速度大小为g，请用上述测得的物理量表示：
(1)钢球经过光电门时的线速度表达式v＝________，向心力表达式F向＝m＝________；
(2)钢球经过光电门时的所受合力的表达式F合＝________；
[解析] (1)钢球的直径为d，铜球通过光电门时间为t，故钢球经过光电门的线速度v＝。mg＝F1，半径R＝L＋，所以F向＝m＝。
(2)根据受力分析，F1＝mg，当钢球到达光电门时，钢球所受的合力等于F＝F2－mg＝F2－F1。
[答案] (1) (2)F2－F1
10．(多选)(2019·江苏高考)如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱( )
A．运动周期为
Β.线速度的大小为ωR
C．受摩天轮作用力的大小始终为mg
D．所受合力的大小始终为mω2R
BD [本题考查匀速圆周运动相关物理量的计算。根据角速度的定义式ω＝可知，ω＝，所以T＝，选项A错误；由于在匀速圆周运动中线速度与角速度的关系为v＝ωr，所以座舱的线速度大小为v＝ωR，选项B正确；匀速圆周运动的向心加速度始终指向圆心，座舱在最低点时，向心加速度竖直向上，座舱超重，所受摩天轮作用力大于重力，选项C错误；做匀速圆周运动的物体所受合力提供向心力，即座舱所受合力的大小始终为Fn＝mω2R，选项D正确。]
11．(多选)一小球质量为m，用长为L的悬绳(不可伸长，质量不计)固定于O点，在O点正下方处钉有一颗钉子。如图所示，将悬线沿水平方向拉直无初速度释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间，则( )
A．小球的角速度突然增大
B．小球的线速度突然减小到零
C．小球的向心加速度突然增大
D．小球的向心加速度不变
AC [由于悬线与钉子接触时小球在水平方向上不受力，故小球的线速度不能发生突变，由于做圆周运动的半径变为原来的一半，由v＝ωr知，角速度变为原来的2倍，A正确，B错误；由a＝知，小球的向心加速度变为原来的2倍，C正确，D错误。]
12．飞机起飞时，飞行员处于超重状态，即飞行员对座位的压力大于他所受的重力，这种现象叫过荷，这时会造成飞行员大脑贫血，四肢沉重，过荷过大时，飞行员还会暂时失明，甚至晕厥，飞行员可以通过加强训练来提高自己的抗荷能力，如图所示是离心实验器的原理图，可以用离心实验器来研究过荷对人体的影响，测试人的抗荷能力。离心实验器转动时，被测试者做匀速圆周运动，若被测试者所受重力为G，现观察到图中的直线AB(即垂直于座位的直线)与水平杆成30°角。求：
(1)被测试者做匀速圆周运动时所需向心力为多大？
(2)被测试者对座位的压力为多大？
[解析] 被测试者做匀速圆周运动所需的向心力由他受的重力和座位对他的支持力的合力提供，对其受力分析如图所示。
(1)做匀速圆周运动需要的向心力为F向＝G
cot
30°＝G。
(2)座位对他的支持力为F＝＝2G
由牛顿第三定律可知他对座位的压力大小也为2G。
[答案] (1)G (2)2G
13．如图所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘上，离轴心r＝20
cm处放置一小物块A，其质量为m＝2
kg，A与圆盘间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的k倍(k＝0.5)。
(1)当圆盘转动的角速度ω1＝2
rad/s时，物块A与圆盘间的静摩擦力为多大？方向如何？
(2)欲使物块A与圆盘间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？(g取10
m/s2)
[解析] (1)根据牛顿第二定律可得物块受到的静摩擦力的大小为
f＝F向＝mωr＝1.6
N，方向沿半径指向圆心。
(2)欲使物块与圆盘间不发生相对滑块，物块做圆周运动所需的向心力不能大于最大静摩擦力，所以有
mω2r≤kmg
解得ω≤＝5
rad/s
即圆盘转动的最大角速度为5
rad/s。
[答案] (1)1.6
N，方向沿半径指向圆心 (2)5
rad/s
1第2节 科学探究：向心力
[核心素养·明目标]
核心素养
学习目标
物理观念
(1)理解向心力和向心加速度的概念。(2)掌握向心力和向心加速度的计算方法。(3)准确认识向心力并能找出向心力。
科学思维
能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力；通过实例认识向心力的作用及来源。
科学探究
在“探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系”实验过程中，熟悉控制变量法的应用，提高科学探究的能力。
科学态度与责任
有主动将所学知识应用到日常生活的意识，能在合作中坚持自己的观点；能体会物理学技术应用对日常生活的影响。
知识点一 向心力
1．定义
做圆周运动的物体一定受到指向圆心的力的作用，这个力称为向心力。
2．方向
始终指向圆心，总是与运动方向垂直。
3．作用效果
向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小。
4．来源
可能是弹力、重力、摩擦力或是它们的合力。做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体受到的合外力；做非匀速圆周运动的物体，向心力不是物体所受到的合外力。
5．探究影响向心力大小的因素
(1)实验目的：探究做圆周运动的物体所需要的向心力F与其质量m、转动半径r和转动角速度ω之间的关系。
(2)实验器材：向心力演示器(如图)，小球等。
向心力演示器
(3)探究过程
①m、r相同，改变角速度ω，则ω越大，向心力F就越大。
②m、ω相同，改变半径r，则r越大，向心力F就越大。
③ω、r相同，改变质量m，则m越大，向心力F就越大。
(4)结论
物体做圆周运动需要的向心力与物体的质量成正比，与半径成正比，与角速度的二次方成正比。
(5)公式
F＝mrω2或F＝m。
提醒：向心力是效果力，可能是合力，也可能是某个力的分力。
1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)做匀速圆周运动的物体所受到的向心力是恒力。
(×)
(2)向心力和重力、弹力、摩擦力一样，是性质力。
(×)
(3)向心力可以由某种性质的力来充当，是效果力。
(√)
知识点二 向心加速度
1．定义
做圆周运动的物体受到向心力的作用，存在一个由向心力产生的加速度，这个加速度称为向心加速度。
2．大小
a＝rω2＝。
3．方向
向心加速度的方向时刻与向心力的方向一致，且始终指向圆心。
如图所示，地球绕太阳做匀速圆周运动，小球绕细绳的另一端在水平面内做匀速圆周运动，请思考：
(1)在匀速圆周运动过程中，地球、小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？
提示：变化。是因为受到的合力不为零，即具有加速度。
(2)向心加速度改变物体的速度大小吗？为什么？
提示：不改变。因向心加速度始终与速度方向垂直。
2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)匀速圆周运动是加速度不变的运动。
(×)
(2)向心加速度描述线速度大小变化的快慢。
(×)
(3)匀速圆周运动的物体所受合外力一定指向圆心。
(√)
考点1 向心力
一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，那么老鹰受几个力的作用？是什么力提供了向心力？
提示：受重力和空气对它的作用力。这两个力的合力提供了向心力。
物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供。可以由一个力充当向心力；也可以由几个力的合力充当向心力；还可以是某个力的分力充当向心力。
实例
向心力
示意图
用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时
绳子的拉力和重力的合力提供向心力，F向＝F＋G
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动
线的拉力提供向心力，F向＝FT
物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止
转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝Ff
小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动
重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合
【典例1】 如图所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，某人站在距圆心为r处的P点不动，下列关于人受力的说法中正确的是( )
A．人在P点不动，因此不受摩擦力作用
B．人随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力提供向心力
C．人随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的静摩擦力提供向心力
D．若使圆盘以较小的转速转动时，人在P点受到的静摩擦力不变
思路点拨：本题可按以下思路进行分析：
(1)对人进行受力分析。
(2)分析向心力由什么力提供。
(3)根据公式，明确向心力与转速的关系。
C [由于人随圆盘做匀速圆周运动，所以一定有指向圆心的向心力，而重力和支持力均在竖直方向上，它们不能充当向心力，因此该人会受到静摩擦力的作用，且静摩擦力充当向心力，选项A、B错误，C正确；由于人随圆盘转动，半径不变，当圆盘的转速变小时，由F＝m(2πn)2r可知，所需向心力变小，受到的静摩擦力变小，选项D错误。]
向心力与合外力判断方法
(1)向心力是按力的作用效果来命名的，它不是某种确定性质的力，可以由某个力来提供，也可以由某个力的分力或几个力的合力来提供。
(2)对于匀速圆周运动，合外力提供物体做圆周运动的向心力；对于非匀速圆周运动，其合外力不指向圆心，它既要改变线速度大小，又要改变线速度方向，向心力是合外力的一个分力。
(3)无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，物体所受各力沿半径方向分量的矢量和提供向心力。
1.如图所示，一小球套在光滑轻杆上，绕着竖直轴OO′匀速转动，下列关于小球受力的说法中正确的是( )
A．小球受到摩擦力、重力和弹力
B．小球受到重力和弹力
C．小球受到重力、弹力、向心力
D．小球受到重力、弹力、下滑力
B [小球套在光滑轻杆上，没有受到摩擦力的作用，小球做圆周运动，受到重力和弹力作用，两个力的合力充当做圆周运动的向心力，故B正确。]
考点2 向心力的大小和方向
如图所示，用细绳拉着质量为m的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动。
(1)小球所受的合力指向什么方向？
(2)若小球的线速度为v，角速度为ω，运动半径为r，小球运动的向心力大小如何表示？
提示：(1)小球所受的合力指向圆心。
(2)小球运动的向心力F＝m＝mω2r＝mωv。
1．效果
由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变速度的大小，只改变线速度的方向。
2．大小
F＝ma＝m＝mω2r＝mωv。
3．方向
无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力。
【典例2】 甲、乙两名滑冰运动员，m甲＝80
kg，m乙＝40
kg，面对面拉着弹簧秤做匀速圆周运动的滑冰表演，如图所示，两人相距0.9
m，弹簧秤的示数为9.2
N，下列判断中正确的是( )
A．两人的线速度相同，约为40
m/s
B．两人的角速度相同，为6
rad/s
C．两人的运动半径不同，甲为0.3
m，乙为0.6
m
D．两人的运动半径相同，都是0.45
m
C [甲、乙两人做圆周运动的角速度相同，向心力大小都是弹簧的弹力，则有M甲ω2r甲＝M乙ω2r乙，即M甲r甲＝M乙r乙；且r甲＋r乙＝0.9
m，M甲＝80
kg，M乙＝40
kg，解得r甲＝0.3
m，r乙＝0.6
m，由于F＝M甲ω2r甲，所以ω＝＝
rad/s≈0.62
rad/s，而v＝ωr，r不同，v不同，故A、B、D错误、C正确。]
计算向心力的基本思路
(1)明确研究对象，必要时要将它从转动系统中隔离出来。
(2)找出物体做圆周运动的轨道平面，找出圆心和半径。
(3)分析运动物体的受力情况，从中确定是哪些力提供向心力作用，千万不能臆想出一个向心力来。
(4)建立直角坐标系(以指向圆心方向为x轴的正向)，将力正交分解到坐标轴方向上。
(5)在x轴方向，选用向心力公式F＝mrω2＝m＝mr＝m(2πf)2r列方程求解，必要时再在y轴方向按F合y＝0求解。
2．(多选)上海磁悬浮线路最大转弯处的半径达到8
000
m，近距离用肉眼看几乎是一条直线，而转弯处最小半径也达到1
300
m，一个质量为50
kg的乘客坐在以360
km/h速率不变的行驶的车里，随车驶过半径为2
500
m的弯道，下列说法正确的是( )
A．乘客受到的向心力大小约为200
N
B．乘客受到的向心力大小约为539
N
C．乘客受到的向心力大小约为300
N
D．弯道半径设计越大可以使乘客在转弯时越舒适
AD [360
km/h＝100
m/s，乘客所受的向心力Fn＝m＝200
N，故A正确，B、C错误；根据Fn＝m知，R越大，向心力越小，车厢对乘客的作用力越小，乘客越舒适，故D正确。]
考点3 探究影响向心力大小的因素
【典例3】 (2020·四川成都七中月考)如图甲所示是某同学探究做圆周运动的物体所受向心力大小与质量、轨道半径及线速度关系的实验装置，圆柱体放置在水平光滑圆盘上做匀速圆周运动。力传感器测量向心力F，速度传感器测量圆柱体的线速度v，该同学通过保持圆柱体质量和运动半径不变，来探究向心力F与线速度v的关系。
甲 乙
(1)该同学采用的实验方法为________。
A．等效替代法
B．控制变量法
C．理想化模型法
D．微小量放大法
(2)改变线速度v，多次测量，该同学测出了五组F、v数据，如下表所示：
v/(m·s－1)
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
v2/(m2·s－2)
1.0
2.25
4.0
6.25
9.0
F/N
0.88
2.00
3.50
5.50
7.90
①请在图乙中作出F?v2图线；
②若圆柱体运动半径r＝0.3
m，由作出的F?v2图线可得圆柱体的质量m＝________kg。(结果保留两位有效数字)
思路点拨：本实验中向心力的大小受多个因素的影响，要注意控制变量法的应用，在分析图像处理数据时，要注意向心力的定量关系式的应用。
[解析] (1)该同学采用的实验方法为控制变量法，故选B。
(2)①作出的F?v2图线如图所示。
②F＝m＝v2，则＝k≈0.88
kg/m，
因为r＝0.3
m，则m＝0.26
kg。
[答案] (1)B (2)如解析图所示 0.26
探究向心力大小的实验要求
(1)明确影响向心力大小的几个因素，应用控制变量法进行实验探究。
(2)控制半径r、角速度ω相同，研究向心力Fn的大小与质量m的关系；控制质量m、角速度ω相同，研究向心力Fn的大小与半径r的关系；控制质量m、半径r相同，研究向心力Fn的大小与角速度ω的关系。
(3)对不同的实验装置有不同的操作方法，需明确实验目的和实验方法，减小实验误差。
3．用如图所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关。
(1)本实验采用的科学方法是________。
A．控制变量法
B．累积法
C．微元法
D．放大法
(2)图示情景正在探究的是________.
A．向心力的大小与半径的关系
B．向心力的大小与线速度大小的关系
C．向心力的大小与角速度大小的关系
D．向心力的大小与物体质量的关系
(3)通过本实验可以得到的结果是________。
A．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
C．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
D．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比
[解析] (1)这个装置中，控制半径、角速度不变，只改变质量，来研究向心力与质量之间的关系，故采用控制变量法，A正确。
(2)控制半径、角速度不变，只改变质量，来研究向心力与质量之间的关系，故选项D正确。
(3)通过控制变量法，得到的结果为在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比，故选项C正确。
[答案] (1)A (2)D (3)C
考点4 向心加速度
如图所示为游乐设施空中飞车的示意图，当飞车做匀速圆周运动时，人和坐椅整体受几个力？合力的方向如何？合力产生的加速度就是向心加速度吗？加速度方向一定指向圆心吗？
提示：受拉力和重力两个力作用；合力方向指向圆心；是；是。
1．对向心加速度的理解
(1)向心加速度是矢量，方向总指向圆心，始终与线速度方向垂直，故向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。向心加速度的大小表示线速度方向改变的快慢。
(2)向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算。要注意的是，变速圆周运动的线速度和角速度都是变化的，利用向心加速度公式只能求某一时刻的向心加速度，此时必须用该时刻的线速度或角速度代入进行计算。
(3)向心加速度公式中的物理量v和r，严格地说，v是相对于圆心的速度，r是物体运动轨迹的曲率半径。
2．向心加速度的六种表达式
3．向心加速度与半径的关系
(1)若ω为常数，根据a＝ω2r可知，向心加速度与r成正比，如图甲所示。
(2)若v为常数，根据a＝可知，向心加速度与r成反比，如图乙所示。
甲 乙
(3)若无特定条件，则不能说向心加速度与r是成正比还是成反比。
【典例4】 如图所示的皮带传动装置中，甲轮的轴和乙、丙轮的轴均为水平轴，其中，甲、丙两轮半径相等，乙轮半径是丙轮半径的一半。A、B、C三点分别是甲、乙、丙三轮边缘上的点，若传动中皮带不打滑，则( )
A．A、B两点的线速度大小之比为2∶1
B．B、C两点的角速度之比为1∶2
C．A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
D．A、C两点的向心加速度大小之比为1∶4
D [传动中皮带不打滑，则A、B两点的线速度大小相等，故vA＝vB，则vA∶vB＝1∶1，A错误；B、C两点绕同一轴转动，故B、C两点的角速度相等，ωB＝ωC，则ωB∶ωC＝1∶1，故B错误；由于A、B两点的线速度大小相等，半径之比为2∶1，由an＝可知A、B两点的向心加速度大小之比为aA∶aB＝RB∶RA＝1∶2，C错误；由于B、C两点的角速度相等，由an＝ω2R可知B、C两点的向心加速度大小之比为aB∶aC＝RB∶RC＝1∶2，又aA∶aB＝1∶2，所以aA∶aC＝1∶4，故D正确。]
向心加速度公式的应用技巧
向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系。在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时，应按以下步骤进行：
(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同。
(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比。
4．(角度一)关于质点的匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．由a＝可知，a与r成反比
B．由a＝ω2r可知，a与r成正比
C．由v＝ωr可知，ω与r成反比
D．由ω＝2πn可知，ω与n成正比
D [物体做匀速圆周运动的向心加速度与物体的线速度、角速度、半径有关，但向心加速度与半径的关系要在一定前提条件下才能给出。当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比；对线速度和角速度与半径的关系也可以用同样的方法进行讨论，正确答案为D。]
5．(角度二)(多选)一个小球以大小为a＝4
m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径r＝1
m，则下列说法正确的是( )
A．小球运动的角速度为2
rad/s
B．小球做圆周运动的周期为π
s
C．小球在t＝
s内通过的位移大小为
m
D．小球在π
s内通过的路程为零
AB [由a＝ω2r得角速度ω＝＝2
rad/s，A正确；周期T＝＝π
s，B正确；小球在t＝
s内通过圆周，位移大小为r＝
m，C错误；小球在π
s内通过的路程为一个圆周的长度2πr＝2π
m，D错误。]
1．(多选)做匀速圆周运动的物体所受的向心力是( )
A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C．物体所受的合外力
D．向心力和向心加速度的方向都是不变的
BC [做匀速圆周运动的物体所受的向心力是物体所受的合外力，由于指向圆心，且与线速度垂直，不能改变线速度的大小，只用来改变线速度的方向，向心力虽大小不变，但方向时刻改变，不是恒力，由此产生的向心加速度也是变化的，所以A、D错误，B、C正确。]
2.如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( )
A．加速度为零
B．加速度恒定
C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心
D [由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，选项D正确，A、B、C错误。]
3．(2020·江苏常熟高一下期中)用如图甲所示的实验装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系，转动手柄1使长槽4和短槽5分别随变速塔轮2、3匀速转动，槽内的小球就做匀速圆周运动。横臂6的挡板对小球的压力提供了向心力，小球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒7下降，从而露出标尺8，标尺上的红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值，小球有钢球、橡胶球两种规格：
甲 乙
(1)本实验采用的实验方法主要是________、转换法；在探究向心力的大小F与半径r的关系时，要保持________不变；
A．ω和r
B．ω和m
C．m和r
D．m和F
(2)如图乙所示是某次实验时的情景，这是在研究向心力的大小F与________的关系。若图中标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力大小的比值为1∶4，运用圆周运动知识可以判断与皮带连接的变速塔轮对应的半径之比为________。
[解析] (1)在研究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时，需先控制某些量不变，研究其中两个物理量之间的关系，该方法为控制变量法；在探究向心力的大小F与半径r的关系时，要控制质量m、角速度ω不变，故选B。
(2)图乙中两小球的质量相同，转动的半径相同，则研究的是向心力F与角速度ω的关系；根据Fn＝mrω2，两小球的向心力之比为1∶4，半径和质量相等，则转动的角速度之比为1∶2，因为靠皮带传动，故变速塔轮与皮带接触点的线速度大小相等，根据v＝rω，知与皮带连接的变速塔轮对应的半径之比为2∶1。
[答案] (1)控制变量法 B (2)角速度ω 2∶1
4．(新情境题，以“空中飞椅”为背景，考查向心加速度)某游乐场中有一种叫“空中飞椅”的游乐设施，其基本装置是将绳子上端固定在转盘上，绳子下端连接座椅，人坐在飞椅上随转盘旋转而在空中飞旋，如图甲所示。若将人与座椅看成质点，则可简化为如图乙所示的物理模型。假设绳长为L，人与座椅的总质量为m，转盘静止时人与转轴之间的距离为d。转盘慢慢加速运动，经过一段时间后转速保持稳定，此时人与转轴之间的距离变为D且保持不变。
甲 乙
问题：(1)转盘转动到稳定状态时，人的向心加速度为多大？
(2)若转盘稳定转动后，一位游客随身携带的手机突然滑下来。手机将做什么运动？
[解析] (1)转盘转动到稳定状态时，如图所示。假设人距离转盘的竖直高度为h，
则h＝
由几何三角形和矢量三角形相似可得：
＝
所以a＝。
(2)手机将沿着圆周运动的切线飞出做平抛运动。
[答案] (1) (2)手机将沿着圆周运动的切线飞出做平抛运动
回归本节知识，自我完成以下问题：
(1)向心力的方向有什么特点？具有什么作用效果？
提示：向心力的方向时刻指向圆心，向心力只改变速度的方向，而不改变速度的大小。
(2)在探究影响向心力大小的因素实验中，采用了什么科学思维方法？
提示：控制变量法。
(3)请写出向心加速度的六种表达式。
提示：a＝＝rω2＝ωv＝·r＝4π2f2·r＝4π2n2r。
一般曲线上的曲率半径
任何一条平滑的曲线都可以看作是由一系列不同半径的圆弧连接而成的，这些圆弧的半径叫作曲率半径，记作ρ(如图)。因此，我们就可以把物体沿任一曲线的运动，看成是物体沿一系列不同半径的小段圆弧的运动。
(1)曲线上A点和B点的曲率半径ρ1和ρ2的大小关系如何？
(2)若已知汽车经过A点的速度大小为v，向心加速度为a，则曲率半径ρ1为多大？
提示：(1)ρ1＞ρ2。
(2)由a＝可得：ρ1＝。
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