课后素养落实(十二) 天地力的综合：万有引力定律
(建议用时：40分钟)
?考点一 行星运动的规律
1．关于开普勒行星运动定律的描述，下列说法中正确的是( )
A．所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等
B．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上
C．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
D．行星绕太阳运动的速度大小不变
C [由开普勒第三定律知，绕同一中心天体运动的所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，选项A错误；开普勒第一定律的内容为：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，选项B错误，C正确；由开普勒行星运动定律知所有行星分别沿不同的椭圆轨道绕太阳运动，对每一个行星而言，太阳与行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等，可知行星绕太阳运动的速度大小是变化的，选项D错误。]
2．关于开普勒行星运动的公式＝k，以下理解正确的是( )
A．k是一个与行星有关的量
B．行星轨道的半长轴越长，自转周期越长
C．行星轨道的半长轴越长，公转周期越长
D．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R地，周期为T地；月球绕地球运转轨道的半长轴为R月，周期为T月，则
eq
\f(R,T)＝
eq
\f(R,T)
C [＝k中k是一个与行星无关的量，它是由太阳质量所决定的一个恒量，A错误；T是公转周期，B错误，C正确；＝k是指围绕太阳的行星的周期与轨道半径的关系，D错误。]
?考点二 万有引力定律
3．(多选)关于引力常量G，下列说法正确的是( )
A．G值的测定使万有引力定律有了真正的实用价值，可用万有引力定律进行定量计算
B．引力常量G的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比
C．引力常量G在数值上等于两个质量都是1
kg的质点相距1
m时相互吸引力的大小
D．引力常量G是不变的，其值大小与单位制的选择无关
AC [利用G值和万有引力定律不仅能“称”出地球的质量，还可以根据相关测量数据计算出一些天体的质量、平均密度等，故A正确；引力常量G是一个普遍适用的常量，通常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2，在数值上等于两个质量都是1
kg的质点相距1
m时相互吸引力的大小，故B错误，C正确；G的大小与所选的单位有关，例如质量单位取克(g)，距离单位取厘米(cm)，则求得的G值与国际单位制中的G值不同，故D错误。]
4．陨石落向地球(如图所示)是因为( )
A．陨石对地球的引力远小于地球对陨石的引力，所以陨石才落向地球
B．陨石对地球的引力和地球对陨石的引力大小相等，但陨石的质量小，加速度大，所以陨石改变运动方向落向地球
C．太阳不再吸引陨石，所以陨石落向地球
D．陨石是受到其他星球的斥力作用而落向地球的
B [两个物体间的引力是一对作用力与反作用力，它们的大小相等，且在任何情况下都存在，故选项A、C、D不正确。陨石落向地球是由于陨石的质量和地球相比小得多，故运动状态容易改变且加速度大，选项B正确。]
5．现欲发射一颗火星探测卫星。在探测卫星离开地球的过程中，用R表示卫星到地心的距离，用F表示卫星受地球的引力。如图所示图像中正确的是( )
A B C D
D [F表示卫星受到地球的引力，根据万有引力定律公式，有F＝G，故F?是直线，故D正确。]
6．“嫦娥四号”中继星“鹊桥”号成功发射，为“嫦娥四号”的着陆器和月球车提供地月中继通信支持。若“鹊桥”号在高空某处所受的引力为它在地面某处所受引力的一半，则“鹊桥”号离地面的高度与地球半径之比为( )
A．(＋1)∶1
B．(－1)∶1
C．∶1
D．1∶
B [设地球的半径为R，“鹊桥”号离地面的高度为h，则Fh＝，F地＝，其中Fh＝F地，解得h∶R＝(－1)∶1，故选项B正确。]
7．(2020·全国卷ⅠT15)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2
B．0.4
C．2.0
D．2.5
B [由万有引力定律可得，质量为m的物体在地球表面上时，受到的万有引力大小为F地＝G
eq
\f(M地m,R)，质量为m的物体在火星表面上时，受到的万有引力大小为F火＝G
eq
\f(M火m,R)，二者的比值＝
eq
\f(M火R,M地R)＝0.4，B正确，A、C、D错误。]
?考点三 引力常量的测定
8．(多选)卡文迪许利用如图所示的扭秤实验装置测量了引力常量G。为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采取使“微小量放大”的主要措施是( )
A．减小石英丝的直径
B．增大T形架横梁的长度
C．利用平面镜对光线的反射
D．增大刻度尺与平面镜的距离
CD [利用平面镜对光线的反射，增大刻度尺与平面镜的距离可使“微小量放大”。故C、D正确。]
9．火星半径是地球半径的一半，火星质量约为地球质量的，那么地球表面质量为m的人受到地球的吸引力约为火星表面同质量的人受到火星引力的多少倍？
[解析] 设火星半径为R，质量为M，则地球半径为2R，质量为9M。
在地球表面人受到的引力F＝G，
在火星表面人受到的引力F′＝G，
所以＝，即同质量的人在地球表面受到的引力是在火星表面受到的引力的倍。
[答案] 倍
10．(2020·湖南长沙联考)哈雷彗星绕太阳运动的轨道是椭圆，下列说法中正确的是( )
A．哈雷彗星在近日点的速率大于在远日点的速率
B．哈雷彗星在近日点的向心加速度小于在远日点的向心加速度
C．若哈雷彗星的运行周期为75年，则它的半长轴是地球公转半径的75倍
D．哈雷彗星在近日点的角速度小于在远日点的角速度
A [由开普勒第二定律知，在相等时间内，太阳和行星的连线所扫过的面积是相等的，所以v近＞v远、ω近>ω远，故A正确，D错误；由a向＝知，a近＞a远，故B错误；由开普勒第三定律得，
eq
\f(R,T)＝
eq
\f(R,T)，当T彗＝75T地时，R彗＝R地≠75R地，故C错误。]
11.如图所示，两个星体的质量均为m，O为两星体连线的中点，MN为连线的垂直平分线，可视为质点的一颗小行星从O点沿OM方向运动到无穷远，则小行星所受到的万有引力大小F随距离r的大致变化为( )
A B
C D
D [因为在连线的中点时，小行星所受万有引力的合力为零，当小行星运动到很远很远时合力也为零，因而在其他位置引力先增大后减小。设两个质量均为m的星体的距离是2L，小行星质量是m′，当小行星沿OM方向运动距离r时，它所受到的万有引力大小F＝，F与r不是线性关系，图像为曲线，故A、B、C错误，D正确。]
12．已知地球质量M＝6×1024kg，地球半径R＝6
400
km，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，在地球赤道上有一质量为1
kg的物体，求：
(1)地球对物体的万有引力的大小；
(2)物体随地球自转一起做圆周运动所需的向心力的大小。
[解析] (1)地球与物体之间的万有引力的表达式为：
F＝
已知地球质量M＝6×1024kg，地球半径R＝6
400
km，
引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，m＝1
kg，
代入数据解得F≈9.8
N。
(2)物体随地球自转的周期是T＝24
h，物体随地球自转的向心力F′＝mR
解得：F′≈3.38×10－2N。
[答案] (1)9.8
N (2)3.38×10－2
N
13.飞船的回收过程可简化为如图所示，回收前飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，为了使飞船返回地面，飞船运动至轨道上某点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，该椭圆轨道和地球表面在B点相切。已知地球半径为R0，求飞船由A点运动到B点所需要的时间。
[解析] 飞船绕地球做圆周运动时，有＝k
飞船进入椭圆轨道运动时，其椭圆轨道的半长轴为，设飞船在椭圆轨道上运动的周期为T′，则有＝k
解得T′＝T
飞船由A点运动到B点经历的时间为
t＝T′＝T。
[答案] T
1第1节 天地力的综合：万有引力定律
[核心素养·明目标]
核心素养
学习目标
物理观念
(1)了解开普勒三定律的内容。(2)了解万有引力定律的内涵。
科学思维
(1)认识发现万有引力定律的重要意义。(2)体会科学定律对人类探索未知世界所起的重要作用。
科学探究
(1)认识卡文迪许扭秤实验的重要性。(2)了解将直接测量转化为间接测量这一科学研究中普遍采用的重要方法。
科学态度与责任
通过牛顿在前人的基础上发现万有引力的思想过程，说明科学研究的长期性、连续性及艰巨性，能够运用开普勒三定律解决简单的行星运动问题。
知识点一 行星运动的定律
开普勒三定律
定律
内容
公式或图示
开普勒第一定律
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律
任何一个行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律
行星绕太阳运行轨道半长轴a的立方与其公转周期T的平方成正比
公式：＝k，k是一个与行星质量无关的常量
如图，根据开普勒第二定律分析行星在A、B两点的运行速度哪一点较大？
提示：A点。
1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)开普勒定律仅用于行星绕太阳的运动。
(×)
(2)太阳系中所有行星的运动速率是不变的。
(×)
(3)太阳系中轨道半径大的行星其运动周期也长。
(√)
知识点二 万有引力定律 引力常量的测定
1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物体质量的乘积m1m2成正比，与这两个物体间的距离r的平方成反比。
2．公式：F＝G。
3．引力常量G：英国物理学家卡文迪许在实验室利用扭秤实验较准确地得出了G的数值。G＝6.67×10－11N·m2/kg2。
4．卡文迪许被称为“能称出地球质量的人”。
太阳的质量远远大于行星的质量，太阳对行星的引力F和行星对太阳的引力F′是否相等？
提示：根据牛顿第三定律可知F＝F′。
2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)自然界中任何两个有质量的物体之间都存在万有引力作用。
(√)
(2)当两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。
(×)
(3)牛顿发现了万有引力定律，是第一个测出地球质量的人。
(×)
考点1 行星运动的定律
如图所示是“金星凌日”的示意图，观察图中地球、金星的位置，地球和金星哪一个的公转周期更长？
提示：地球。由题图可知，地球到太阳的距离大于金星到太阳的距离，根据开普勒第三定律可得，地球的公转周期更长一些。
1．从空间分布上认识：行星的运行轨道都是椭圆，不同行星轨道的半长轴不同，即各行星的椭圆轨道大小不同，但所有轨道都有一个共同的焦点，太阳在此焦点上。因此开普勒第一定律又叫焦点定律。
2．对速度大小的认识
(1)如图所示，如果时间间隔相等，即t2－t1＝t4－t3，由开普勒第二定律，面积SA＝SB，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大。因此开普勒第二定律又叫面积定律。
(2)近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点，所以同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小。
3．对周期长短的认识
(1)行星公转周期跟轨道半长轴之间有依赖关系，椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长；反之，其公转周期越短。
(2)该定律不仅适用于行星，也适用于其他天体。例如，绕某一行星运动的不同卫星。
(3)研究行星时，常数k与行星无关，只与太阳有关。研究其他天体时，常数k只与其中心天体有关。
【典例1】 如图所示是行星m绕恒星M运动情况的示意图，下列说法正确的是( )
A．速度最大点是B点
B．速度最小点是C点
C．m从A到B做减速运动
D．m从B到A做减速运动
思路点拨：(1)A点比B点距恒星更近。
(2)由开普勒第二定律可比较A、B两点的速率。
C [由开普勒第二定律可知，近日点时行星运行速度最大，故A、B错误；行星由A向B运动的过程中，行星与恒星的连线变长，其速度减小，故C正确，D错误。]
开普勒三定律的三点注意
(1)开普勒三定律是通过对行星运动的观察结果总结而得出的规律，它们都是经验定律。
(2)开普勒第二定律与第三定律的区别：前者揭示的是同一行星在距太阳不同距离时的运动快慢的规律，后者揭示的是不同行星运动快慢的规律。
(3)绕同一中心天体运动的轨道分别为椭圆、圆的天体，k值相等，即
eq
\f(a3,T)＝
eq
\f(r3,T)＝k。
1．(角度一)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．它们公转周期的平方与轨道半长轴的立方之比都与太阳质量有关
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
C [火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒第一定律可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，选项A错误；根据开普勒第二定律可知，火星和木星绕太阳运行速度的大小不相等，在近日点速度较大，在远日点速度较小，选项B错误；根据开普勒第三定律可知，它们公转周期的平方与轨道半长轴的立方之比相等，且都与太阳质量有关，选项C正确；根据开普勒第二定律可知，相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积相等，但是与木星与太阳连线扫过的面积不相等，选项D错误。]
2．(角度二)某宇宙飞船进入一个围绕太阳运行的近似圆形轨道，如果轨道半径是地球轨道半径的9倍，那么宇宙飞船绕太阳运动的周期为(地球绕太阳运动周期是1年)( )
A．3年
B．9年
C．27年
D．54年
C [由开普勒第三定律＝k得
eq
\f(r,T)＝
eq
\f(r,T)，所以宇宙飞船绕太阳运动的周期T船＝
eq
\r(\f(r,r))T地＝27年，故选项C正确。]
考点2 万有引力定律的理解
李华认为两个人距离非常近时，根据公式F＝，可得：r→0时，F→∞。李华同学的想法正确吗？为什么？
提示：不正确，因为两个人距离非常近时，不能视为质点，此公式不成立。
1．对万有引力定律表达式F＝G的说明
(1)引力常量G：G＝6.67×10－11N·m2/kg2；其物理意义为：引力常量在数值上等于两个质量都是1
kg的质点相距1
m时的相互吸引力。
(2)距离r：公式中的r是两个质点间的距离，对于质量均匀分布的球体，就是两球心间的距离。
2．F＝G的适用条件
(1)万有引力定律公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身的尺度大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。
(2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。
(3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。
3．万有引力的四个特性
普遍性
万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性
两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上
宏观性
地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
特殊性
两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关
【典例2】 (多选)对于万有引力的表达式F＝G，下列说法正确的是( )
A．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反
B．当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C．如果m1>m2，则1对2的引力大于2对1的引力
D．公式中的G是引力常量，其单位是N·m2/kg2，它的数值是卡文迪许用扭秤在实验室测得的
AD [根据牛顿第三定律可知，两个物体之间的引力是一对作用力与反作用力，总是大小相等，方向相反，作用在两个不同的物体上，与两物体的质量无关，故A正确，C错误；万有引力公式只适用于两个质点间引力的计算，距离趋于零时物体不能再看成质点，即此公式不再适用，所以得不到：当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大的结论，故B错误；万有引力公式F＝G中的G为引力常量，其单位为N·m2/kg2，它的数值是卡文迪许用扭秤在实验室测得的，故D正确。]
3．(多选)关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是( )
A．不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力
B．只有能看作质点的两物体间的引力才能用F＝G计算
C．由F＝G知，两物体间距离r减小时，它们之间的万有引力增大
D．引力常量G的测出，证明了万有引力定律的正确性
CD [任何有质量的物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A错误；两个质量分布均匀的球体间的万有引力也能用F＝G来计算，B错误；物体间的万有引力与它们之间的距离r的二次方成反比，故r减小，它们间的万有引力增大，C正确；引力常量的测出，证明了万有引力定律的正确性，D正确。]
考点3 万有引力定律的简单应用
如图所示，若将质量为m的质点放入质量为M、半径为R的地球的中心处，质点所受万有引力大小为多少？
提示：零。
1．任何两个物体间都存在着万有引力，但F＝G有其适用范围，在计算万有引力的大小时注意判断是否符合适用条件。
2．在应用万有引力定律表达式F＝G进行有关计算时，r是指两质点(或两球心，或质点与球心)之间的距离，而不是两物体(球)之间的距离。
【典例3】 如图所示，2019年1月3日，“嫦娥四号”飞船完成人类航天史上的一项壮举——成功软着陆在月球背面。已知“嫦娥四号”飞船的质量是m＝1
000
kg，月球的质量是M＝7×1022kg，月球半径R＝1
700
km，引力常量为G＝6.67×10－11N·m2/kg2，求：月球对在月球表面“嫦娥四号”飞船的引力大小(计算结果保留两位有效数字)。
[解析] 根据万有引力定律可得，月球对飞船的引力为：
F万＝
＝
N
≈1.6×103
N。
[答案] 1.6×103
N
[母题变式] 在“典例3”所处物理情境中，如果地球质量M地＝6.0×1024kg，月地平均距离为r＝3.8×108
m，试求：
(1)地球对在月球表面“嫦娥四号”飞船的引力大小；
(2)地球对月球的万有引力大小。(计算结果保留两位有效数字)
[解析] (1)根据万有引力定律可得，地球对月球表面“嫦娥四号”飞船的引力为：
F万′＝
＝
N≈2.8
N。
(2)根据万有引力定律可得，地球对月球的引力为：
F万″＝
＝
N
≈1.9×1020
N。
[答案] (1)2.8
N (2)1.9×1020
N
万有引力定律的解题步骤
(1)分析能否满足用F＝G公式求解万有引力的条件。
(2)明确公式中各物理量的大小。
(3)利用万有引力公式求解引力的大小及方向。
4.理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示，一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)。设在x1＝R与x2＝R处所受到地球对它的万有引力分别为F1和F2，则F1、F2的值为( )
A．9∶8
B．8∶9
C．2∶3
D．3∶2
A [质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，半径小于小物体位置x的球壳组成的球体对小物块有万有引力作用，而半径大于小物体位置x的球壳组成的球体对小物块无万有引力作用，根据万有引力公式，可知在x1＝R处有：F1＝；在x2＝R处有：F2＝，联立可得F1∶F2＝9∶8，故A正确，B、C、D错误。]
1.(多选)如图所示，对开普勒第一定律的理解。下列说法中正确的是( )
A．在行星绕太阳运动一周的时间内，它到太阳的距离是不变的
B．太阳系中的所有行星有一个共同的轨道焦点
C．一个行星绕太阳运动的轨道一定是在某一固定的平面内
D．行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直
BC [根据开普勒第一定律(轨道定律)的内容可以判定：行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，行星有时远离太阳，有时靠近太阳，其轨道在某一确定平面内，运动方向并不总是与它和太阳的连线垂直。故A、D错误，B、C正确。]
2．如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m1、m2，半径大小分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为( )
A．G
B．G
eq
\f(m1m2,r)
C．G
D．G
D [两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由万有引力公式可知两球间的万有引力应为G，故D正确。]
3．2019年1月，我国“嫦娥四号”探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是( )
A B C D
D [在“嫦娥四号”探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律，可知随着h的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小但并不是均匀减小的，故能够描述F随h变化关系的图像是D，故D正确。]
4．(新情境题，以“天王星冲日现象”为背景，考查开普勒行星运动定律)2019年10月28日发生了天王星冲日现象，即太阳、地球、天王星处于同一直线上，此时是观察天王星的最佳时间。如果已知日地距离为R0，天王星和地球的公转周期分别为T和T0。
问题：你能通过上述情境，得出天王星与太阳间的距离吗？距离为多少？
[解析] 设天王星与太阳间的距离为Rx，根据开普勒第三定律，可知：
eq
\f(R,T)＝
eq
\f(R,T2)，解得Rx＝R0
eq
\r(3,\f(T2,T))。
[答案] 能 R0
eq
\r(3,\f(T2,T))
回归本节知识，自我完成以下问题：
(1)开普勒三定律的内容是什么？
提示：开普勒第一定律：所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律：任何一个行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
开普勒第三定律：行星绕太阳运行轨道半长轴的三次方与周期的平方成正比。
(2)试写出万有引力定律表达式？
提示：F＝G。
(3)万有引力常量G是哪位科学家测出的？所用的实验装置是什么？
提示：英国物理学家卡文迪许，所用的装置为卡文迪许扭秤。
1
