第2节 万有引力定律的应用
第3节 人类对太空的不懈探索
[核心素养·明目标]
核心素养
学习目标
物理观念
(1)能建立模型计算天体质量。(2)知道三个宇宙速度及其含义。(3)了解“地心说”和“日心说”的内容及意义，了解开普勒行星运动定律的建立过程。
科学思维
(1)掌握计算天体质量和密度的方法。(2)会推导第一宇宙速度。(3)掌握人造卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系。
科学探究
能建立发射人造卫星的模型，探究第二宇宙速度和第三宇宙速度。
科学态度与责任
了解通过万有引力定律预测未知天体，了解人类在宇宙探索方面的重要成就，培养应用物理规律造福人类的意识。
知识点一 天体质量的计算
1．不考虑地球的自转，可以认为在地面附近重力等于万有引力，即mg＝G
式中R为地球的半径，m为物体的质量，M为地球的质量，由此可以估算出地球的质量。
2．假设质量为m的行星绕质量为M的恒星运动，由于万有引力提供向心力，有G＝m，得恒星质量M＝。
提醒：只能计算中心天体的质量，无法计算绕行天体的质量。
1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知引力常量和重力加速度就可以计算出地球的质量。
(×)
(2)根据地面上的物体所受的重力等于地球对它的万有引力可以计算地球的质量。
(√)
(3)地面上物体的质量M＝。
(×)
知识点二 人造卫星上天
1．人造地球卫星的发射原理
(1)牛顿设想：如图甲所示，当物体被抛出的速度足够大时，它将围绕地球旋转而不再落回地面，成为一颗人造地球卫星。
甲 乙
(2)发射过程简介
如图乙所示，发射人造地球卫星的火箭一般为三级。使卫星进入地球轨道后的大致过程也为三个阶段．
2．人造卫星绕地球运动的规律
(1)动力学特点
一般情况下可认为人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其向心力由地球对它的万有引力提供。
(2)速度和轨道半径的关系
由G＝m可得v＝。可知，卫星的轨道半径越小，线速度越大。
3．宇宙速度
(1)第一宇宙速度：v1＝7.9
km/s，又称环绕速度，是人造卫星在地面附近轨道绕地球做匀速圆周运动的速度。
(2)第二宇宙速度：v2＝11.2
km/s，又称脱离速度，是人造卫星脱离地球引力所需的速度。
(3)第三宇宙速度：v3＝16.7
km/s，又称逃逸速度，是人造卫星脱离太阳引力所需的速度。
2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)第一宇宙速度是发射卫星的最小速度。
(√)
(2)当发射速度v>7.9
km/s时，卫星将脱离地球的吸引，不再绕地球运动。
(×)
(3)地球所有的卫星在轨道上的运行速度都为7.9
km/s。
(×)
知识点三 人类对太空的不懈探索
1．古希腊人的探索
(1)亚里士多德认为，地球在宇宙中心静止不动，其他星球绕地球转动，很好地解释了天体升降的现象。
(2)阿波罗尼奥斯认为，行星沿某一圆周运动，该圆周的圆心沿另一圆周绕地球运动。
(3)托勒密提出了地心体系，可以解释已知天体的运动。
2．文艺复兴的撞击
(1)哥白尼提出了“日心说”：太阳是宇宙的中心，水星、金星、地球、火星、木星及土星都绕太阳做匀速圆周运动，月球是地球的卫星。
(2)第谷通过观测发现，托勒密与哥白尼的理论计算结果都与观测数据不相符。
(3)开普勒研究了第谷的数据，提出了三大定律。
3．牛顿的大综合
牛顿的万有引力定律是物理学的第一次大综合，它将地上的力学与天上的力学统一起来，形成了以牛顿三大运动定律为基础的力学体系。
4．人类“飞天”梦的实现
(1)1957年10月4日，苏联的人造地球卫星上天，震惊了世界。
(2)我国在1970年发射了第一颗人造地球卫星“东方红一号”，成为世界上第五个发射人造地球卫星的国家。
(3)1961年4月12日，世界上第一艘载人宇宙飞船发射升空，苏联宇航员加加林成功完成了人类第一次环绕地球的飞行。
(4)1969年7月20日，美国的“阿波罗十一号”宇宙飞船将人类送上了月球。当时，上亿人通过电视注视着走出登月舱的阿姆斯特朗。他在月球上迈出的一小步，却是人类迈出的一大步，实现了人类的“飞天”梦。
(5)1971年4月19日，苏联“礼炮一号”空间站成为人类进入太空的第一个空间站。
(6)1971年12月2日，苏联“火星三号”探测器在火星表面着陆。
(7)1981年4月12日，美国的第一架航天飞机“哥伦比亚号”成功发射。目前，科学家正在研究一种新型的航天器——空天飞机。
(8)2003年10月15日，“神舟五号”载人飞船成功发射，中国成为世界上第三个独立掌握载人航天技术的国家。
人造卫星能够绕地球转动而不落回地面，是否是由于卫星不再受到地球引力的作用？
提示：不是，卫星仍然受到地球引力的作用，但地球引力全部用来提供向心力。
3：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在地面上发射人造卫星的最小速度是7.9
km/s。
(√)
(2)在地面上发射火星探测器的速度应为11.2
km/skm/s。
(√)
(3)要发射离开太阳系进入银河系的探测器，所需发射速度至少为16.7
km/s。
(√)
(4)要发射一颗月球卫星，在地面的发射速度应大于16.7
km/s。
(×)
考点1 万有引力与重力的关系
假如某个人做环球旅行，可能到达地球的任何地点，如果地球看成标准的球体，那么该人分别位于赤道上某点、北半球的某点、南半球的某点、北极点、南极点等不同地点。
(1)该人在各地点所受的万有引力有什么关系？
(2)该人在各地点所受的重力有什么关系？
提示：(1)在各地点所受的万有引力大小相等，方向沿对应的地球半径指向地心。
(2)由于地球自转的影响，该人在各地点所受的重力大小不一定相等，方向也不一定指向地心。
1．地球表面上的重力与万有引力的关系
如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝G。图中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力，F2就是物体的重力mg，故一般情况mg＜G。
2．重力与纬度的关系
(1)在赤道上：重力和向心力在一条直线上，G＝mω2R＋mg。
(2)在两极上：F向＝0，G＝mg。
(3)在一般位置：重力是万有引力的一个分力，G＞mg。
越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即G＝mg。
3．重力、重力加速度与高度的关系
(1)地球表面物体的重力约等于地球对物体的万有引力，即mg＝G，所以地球表面的重力加速g＝。
(2)地球上空h高度，万有引力等于重力，即mg＝G，所以h高度的重力加速度g＝。
【典例1】 火星半径是地球半径的，火星质量大约是地球质量的，那么地球表面上质量为50
kg的宇航员(地球表面的重力加速度g取10
m/s2)求：
(1)在火星表面上受到的重力大小？
(2)若宇航员在地球表面能跳1.5
m高，那他在火星表面能跳多高？
[解析] (1)在地球表面有mg＝G，得g＝G
同理可知，在火星表面上有g′＝G
即g′＝＝＝g＝
m/s2
宇航员在火星表面上受到的重力
G′＝mg′＝50×
N≈222.2
N。
(2)在地球表面宇航员跳起的高度H＝
eq
\f(v,2g)在火星表面宇航员跳起的高度h＝
eq
\f(v,2g′)
综上可知，h＝H＝×1.5
m＝3.375
m。
[答案] (1)222.2
N (2)3.375
m
处理万有引力与重力关系的思路
(1)若题目中不考虑地球自转的影响，不考虑重力随纬度的变化，可认为重力等于万有引力，mg＝G。
(2)若题目中需要考虑地球自转，需要考虑重力随纬度的变化，就要注意重力与万有引力的差别，两极：mg＝G；赤道：mg＋F向＝G。
1．某行星为质量分布均匀的球体，半径为R，质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为( )
A．
B．
C．
D．
B [由万有引力定律和重力的定义可知G＝mg＝1.1mg1，由牛顿第二定律可得G－mg1＝mRω2，联立解得ω＝，故选B。]
考点2 天体质量和密度的计算
土星最大的“卫星”叫“泰坦”，如果知道“泰坦”绕土星一周需16天，其公转半径为R，能不能求出土星的质量？
提示：能，据＝mR可得M＝。
1．天体质量的计算
重力加速度法
环绕法
情景
已知天体(如地球)的半径R和天体(如地球)表面的重力加速度g
行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动
思路
物体的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力：mg＝G
行星或卫星受到的万有引力充当向心力：G＝m或G＝mω2r或G＝mr
结果
天体(如地球)质量：M＝
中心天体质量：M＝或M＝或M＝
2．天体密度的计算
(1)一般思路：若天体半径为R，则天体的密度ρ＝，将质量代入可求得密度。
(2)特殊情况
①卫星绕天体做半径为r的圆周运动，若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝，将M＝代入得：ρ＝。当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝。
②已知天体表面的重力加速度为g，则
ρ＝＝＝。
【典例2】 “好奇号”火星探测器是美国国家宇航局研制的一台探测火星任务的火星车，于2011年11月发射，2012年8月成功登陆火星表面。假设探测器贴近火星表面做圆周运动，已知探测器绕火星运行的周期为T，火星的半径为R，引力常量为G。试求火星的密度是多少？
[解析] 设火星的质量为M，“好奇号”火星探测器的质量为m，探测器运行过程中，火星对其引力为其做圆周运动提供向心力，可得：G＝mR
解得：M＝
根据数学知识可知，火星体积V＝πR3
故火星的密度ρ＝＝。
[答案]
[母题变式] (1)在“典例2”的情境中，如果好奇号火星探测器距离火星表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则火星的密度如何表示？
(2)在“典例2”的情境中，探测器在距火星表面h0处将一小球以初速度v0水平抛出，求落地点和抛出点的水平距离。
[解析] (1)当好奇号火星探测器距离火星表面的距离为h时，忽略火星自转有：
G＝m(R＋h)
解得：M＝
eq
\f(4π2,GT)(R＋h)3
故火星的密度ρ＝＝
eq
\f(3π（R＋h）3,GTR3)。
(2)设火星表面的重力加速度为g0，火星对小球m0的万有引力等于它所受“重力”，即：G＝m0g0，解得：g0＝G＝
小球在火星表面做平抛运动，设运动时间为t，则在竖直方向：h0＝g0t2，得
t＝＝
水平方向：x＝v0t＝。
[答案] (1)
eq
\f(3π（R＋h）3,GTR3) (2)
求解天体质量常见的两种误区
(1)求得的天体质量M＝是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量。
(2)易混淆天体半径和轨道半径，为了正确并清楚运用，应一开始就养成好习惯，比如天体半径用R表示，轨道半径用r表示。
2．(角度一)有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上的重力加速度的2倍，则该星球的质量将是地球质量的( )
A．
B．8倍
C．16倍
D．64倍
B [在星球表面处的物体有G＝mg且星球质量M＝πR3ρ，解得g＝。星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上的重力加速度的2倍，则星球的半径是地球半径的2倍。据M＝πR3ρ知，星球的质量将是地球质量的8倍，故选B。]
3．(角度二)近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常数)( )
A．ρ＝kT
B．ρ＝
C．ρ＝kT2
D．ρ＝
D [探测器绕火星做“近地”匀速圆周运动，万有引力提供向心力，故有G＝mR，解得M＝R3，故火星的平均密度为ρ＝＝＝，，故选D。]
考点3 人造卫星及其运行参量分析
如图所示，在地球的周围，有许多的卫星在不同的轨道上绕地球转动。
(1)这些卫星的轨道平面有什么特点？
(2)这些卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度等都跟什么因素有关呢？
提示：(1)轨道平面过地心。
(2)与轨道半径有关。
1．人造卫星的三种轨道
(1)赤道轨道：卫星轨道在赤道所在平面上，卫星始终处于赤道上方。
(2)极地轨道：卫星轨道平面与赤道平面垂直，卫星经过两极上空。
(3)一般轨道：卫星轨道平面和赤道平面成一定角度(不等于0或90°)，如图所示。
2．四个重要结论：设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。
(1)由＝m得v＝，r越大，天体的v越小。
(2)由G＝mω2r得ω＝，r越大，天体的ω越小。
(3)由G＝mr得T＝2π，r越大，天体的T越大。
(4)由G＝man得an＝，r越大，天体的an越小。
以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”。
3．地球同步卫星及特点：同步卫星就是与地球同步运转，相对地球静止的卫星，因此可用来作为通信卫星。同步卫星有以下几个特点：
(1)周期一定：同步卫星在赤道正上方相对地球静止，它绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期就等于地球自转的周期，T＝24
h。
(2)角速度一定：同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速度。
(3)轨道一定。
①因提供向心力的万有引力指向圆心，所有同步卫星的轨道必在赤道平面内。
②由于所有同步卫星的周期相同，由r＝知，所有同步卫星的轨道半径都相同，即在同一轨道上运动，其确定的高度约为3.6×104
km。
(4)运行速度大小和方向一定：所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的，都是3.08
km/s，运行方向与地球自转方向相同。
【典例3】 如图所示，是同一轨道平面内的三颗人造地球卫星，下列说法正确的是( )
A．根据v＝，可知vA＜vB＜vC
B．根据万有引力定律，可知FA＞FB＞FC
C．角速度ωA＞ωB＞ωC
D．向心加速度aA＜aB＜aC
思路点拨：仔细观察卫星的运行轨道图，找出卫星所在的轨道位置，判断出轨道半径的大小，然后结合相应的公式比较各物理量的关系。
C [同一轨道平面内的三颗人造地球卫星都绕同一中心天体(地球)做圆周运动，根据万有引力定律G＝m，得v＝，由题图可以看出卫星的轨道半径rC＞rB＞rA，故可以判断出vA＞vB＞vC，选项A错误；因不知三颗人造地球卫星的质量关系，故无法根据F＝G判断它们与地球间的万有引力的大小关系，选项B错误；由G＝mω2r得ω＝，又rC＞rB＞rA，所以ωA＞ωB＞ωC，选项C正确；由G＝ma得a＝G，又rC＞rB＞rA，所以aA＞aB＞aC，选项D错误。]
天体运动问题解答技巧
(1)比较围绕同一个中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星的v、ω、T、an等物理量的大小时，可考虑口诀“越远越慢”(v、ω、T)、“越远越小”(an)。
(2)涉及绕同一个中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星的计算问题时，若已知量或待求量中涉及重力加速度g，则应考虑黄金代换式gR2＝GM的应用。
(3)若已知量或待求量中涉及v或ω或T，则应考虑从G＝m＝mω2r＝mr中选择相应公式应用。
4．(角度一)(多选)(2020·天津市部分区高一期末)据《科技日报》报道，我国将发射8颗绕地球做匀速圆周运动的海洋系列卫星：包括4颗海洋水色卫星、2颗海洋动力环境卫星和2颗海陆雷达卫星，以加强对黄岩岛、钓鱼岛及西沙群岛等岛屿附近海域的监测。已知海陆雷达卫星的轨道半径大于海洋动力环境卫星的轨道半径，则( )
A．海陆雷达卫星的线速度大于海洋动力环境卫星的线速度
B．海陆雷达卫星的线速度小于海洋动力环境卫星的线速度
C．海陆雷达卫星的周期大于海洋动力环境卫星的周期
D．海陆雷达卫星的周期小于海洋动力环境卫星的周期
BC [根据万有引力提供向心力可知G＝，所以v＝，已知海陆雷达卫星的轨道半径大于海洋动力环境卫星的轨道半径，则海陆雷达卫星的线速度小于海洋动力环境卫星的线速度，故A错误，B正确；根据开普勒第三定律可得＝k，已知海陆雷达卫星的轨道半径大于海洋动力环境卫星的轨道半径，则海陆雷达卫星的周期大于海洋动力环境卫星的周期，故C正确，D错误。]
5．(角度二)在地球的卫星中有两类卫星的轨道比较特殊，一是极地卫星，二是同步卫星。已知某极地卫星的运行周期为12
h，则下列关于极地卫星和同步卫星的描述正确的是( )
A．该极地卫星的运行速度一定小于同步卫星的运行速度
B．该极地卫星的向心加速度一定大于同步卫星的向心加速度
C．该极地卫星的发射速度一定大于同步卫星的发射速度
D．该极地卫星和同步卫星均与地面相对静止
B [由G＝m＝ma＝mr得v＝，T＝，a＝，同步卫星的周期为24
h，则同步卫星的周期大于极地卫星的周期，由周期与轨道半径的关系知，同步卫星的轨道半径较大，则同步卫星的线速度较小，加速度较小，故A错误，B正确；同步卫星的高度高，所以同步卫星的发射速度大，C错误；极地卫星不是地球同步卫星，所以相对于地面不静止，D错误。]
考点4 发射速度与宇宙速度
要发射卫星，其发射速度要大于等于第一宇宙速度。
试探究：(1)怎样求第一宇宙速度？
(2)不同的中心天体第一宇宙速度相等吗？
提示：(1)由＝得v＝，M为中心天体的质量，R为中心天体的半径。
(2)因中心天体的M、R不同，所以v也不同。
1．人造卫星的两个速度
(1)发射速度：指将人造卫星送入预定轨道运行所必须具有的速度。卫星离地面越高，卫星的发射速度越大。
(2)绕行速度：卫星进入轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度，由v＝可知，轨道半径越大，卫星的绕行速度就越小。
2．第一宇宙速度的推导
项目
方法一
方法二
原理
万有引力提供卫星环绕地球运动的向心力
星球表面的重力约等于万有引力，提供向心力
公式
G＝m
mg＝m
结果
v＝
v＝
3．三大宇宙速度的含义
数值
意义
第一宇宙速度
7.9
km/s
人造地球卫星的最小发射速度
第二宇宙速度
11.2
km/s
发射的卫星挣脱地球引力束缚，离开地球的最小发射速度
第三宇宙速度
16.7
km/s
发射的卫星挣脱太阳引力束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去的最小发射速度
【典例4】 近期世界上掀起了一股火星探测热潮，不过，人类现有的探测器登陆火星后还不具有足够的能量返回地球。探测器要脱离火星速度不能小于第二宇宙速度，第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝·v1已知地球和火星的质量之比约为9∶1，半径之比约为2∶1，地球表面重力加速度为g、地球的半径为R，则火星的第二宇宙速度最接近( )
A．
B．
C．
D．
B [设星球的质量为M，半径为R，绕其飞行的卫星质量m，由万有引力提供向心力得：G＝m
eq
\f(v,R)，解得第一宇宙速度v1＝；地球和火星的质量之比约为9∶1，半径之比约为2∶1。则地球的第一宇宙速度v1地＝，火星的第一宇宙速度v1火＝＝v1地，地球表面重力加速度为g、地球的半径为R，忽略星球自转，G＝mg，GM＝gR2，v1地＝，v1火＝；第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1则火星的第二宇宙速度v2火＝，故B正确。A、C、D错误。]
三种宇宙速度问题
(1)三种宇宙速度均指在地球上的发射速度。
(2)第一宇宙速度是卫星环绕地球表面做匀速圆周运动的最大速度，也是卫星的最小发射速度。
(3)轨道半径越大的卫星，其运行速度越小，但其地面发射速度越大。
6．(多选)下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是( )
A．第一宇宙速度v1＝7.9
km/s，第二宇宙速度v2＝11.2
km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2
B．我国发射的“天问一号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度
C．第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造小行星的最小发射速度
D．第一宇宙速度7.9
km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度
CD [根据v＝可知，卫星的轨道半径r越大，即距离地面越远，卫星的环绕速度越小，v1＝7.9
km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，选项D正确；实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度，选项A错误；我国发射的“天问一号”火星探测卫星，仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，选项B错误；第二宇宙速度是使物体挣脱地球束缚而成为太阳的一颗人造小行星的最小发射速度，选项C正确。]
1．(多选)如图所示，三颗人造卫星正在围绕地球做匀速圆周运动，则下列有关说法中正确的是( )
A．卫星可能的轨道为a、b、c
B．卫星可能的轨道为a、c
C．同步卫星可能的轨道为a、c
D．同步卫星可能的轨道为a
BD [卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必须与地心重合，所以卫星可能的轨道为a、c，选项A错误，B正确；同步卫星位于赤道的上方，可能的轨道为a，选项C错误，D正确。]
2.“嫦娥四号”探测器发射后，进入月球表面附近的环月轨道，如图所示。其发射速度v应满足( )
A．v<7.9
km/s
B．v＝7.9
km/s
C．7.9
km/s＜v＜11.2
km/s
D．v＞11.2
km/s
C [“嫦娥四号”探测器仍然没有脱离地球的引力束缚，则其发射速度小于第二宇宙速度。即7.9
km/skm/s，故A、B、D错误，C正确。]
3．金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金＜R地＜R火，由此可以判定( )
A．a金＞a地＞a火
B．a火＞a地＞a金
C．v地＞v火＞v金
D．v火＞v地＞v金
A [金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有G＝ma，解得a＝G，结合题中R金＜R地＜R火，可得a金＞a地＞a火，选项A正确，B错误；同理，有G＝m，解得v＝，再结合题中R金＜R地＜R火，可得v金＞v地＞v火，选项C、D错误。]
4．(新情境题，以“嫦娥号”登月飞船绕月球飞行为背景，考查天体质量的计算)设想我国宇航员随“嫦娥号”登月飞船绕月球飞行，飞船上备有以下实验仪器：A.计时表一只，B.弹簧测力计一把，C.已知质量为m的物体一个，D.天平一台(附砝码一盒)。在飞船贴近月球表面时可近似看成绕月做匀速圆周运动，宇航员测量出飞船在靠近月球表面的圆形轨道上绕行N圈所用时间为t，飞船的登月舱在月球上着陆后，遥控机器人利用所携带的仪器又进行第二次测量，科学家利用上述两次测量数据便可计算出月球的半径和质量。若已知引力常量为G。
问题：(1)简述机器人是如何进行第二次测量的；
(2)试利用测量数据(用符号表示)计算月球的半径和质量。
[解析] (1)利用弹簧测力计测量质量为m的物体的重力F。
(2)在月球近地表面有G＝mR，T＝
在月球表面有G＝F
联立解得R＝，M＝。
[答案] (1)见解析 (2)
回归本节知识，自我完成以下问题：
(1)计算天体的质量有哪两种方法？
提示：①重力加速度法：由mg＝G得M＝
②环绕法：由＝m＝mω2r＝m·r
可得：M＝＝＝。
(2)第一、二、三宇宙速度各多大？分别又称为什么速度？
提示：第一宇宙速度大小为7.9
km/s，又称为环绕速度；
第二宇宙速度大小为11.2
km/s，又称为脱离速度；
第三宇宙速度大小为16.7
km/s，又称为逃逸速度。
(3)同步卫星有什么特点？
提示：同步卫星的运动速度大小和方向、运动周期、角速度、离地面的高度及轨道平面均是一定的。
估测太阳的密度
设太阳的半径为R，地球到太阳中心的距离OO′(即地球做圆周运动的轨道半径)为r，地球做圆周运动的周期为T。地球上观察太阳的视角为θ，这时，与观察者眼睛距离为D、视角为θ的物体宽度为d，如图所示。根据相似三角形的关系可以近似得
＝
由此可得太阳密度与相关量之间的关系为
ρ＝＝
其中D、d的值可用仪器测得。
观测太阳时的几何关系
由于一般不能用祼眼直接观察太阳，请针对图中D、d的测量，给出你的实验方案。
提示：在一个足够大的黑屋子里，用小孔成像的方法，呈现太阳的像，然后测出像的直径即为D，像到小孔的距离即为d。
19课后素养落实(十三) 万有引力定律的应用 人类对太空的不懈探索
(建议用时：40分钟)
?考点一 天体质量和密度的计算
1．2019年10月5日，我国在太原卫星发射中心用“长征四号丙”运载火箭，成功将“高分十号”卫星发射升空。其地面像元分辨率最高可达亚米级，主要用于国土普查、土地确权、路网设计、农作物估产和防灾减灾等领域。“高分十号”卫星绕地球运转的轨道半径是R1、周期是T1，而地球绕太阳运转的轨道半径是R2、周期是T2。若将两者的运转均视为匀速圆周运动，则地球质量与太阳质量之比是( )
A．
eq
\f(RT,RT)
B．
eq
\f(RT,RT)
C．
eq
\f(RT,RT)
D．
eq
\f(RT,RT)
A [地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有：
eq
\f(GM太M地,R)＝M地
eq
\f(4π2,T)R2；“高分十号”卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有：
eq
\f(GM地m,R)＝m
eq
\f(4π2,T)R1；联立解得地球质量和太阳质量之比：＝
eq
\f(RT,RT)，故A正确，B、C、D错误。]
2．2018年2月，我国500
m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19
ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11
N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109kg/m3
B．5×1012kg/m3
C．5×1015kg/m3
D．5×1018kg/m3
C [脉冲星自转，边缘物体m恰对星体无压力时万有引力提供向心力，则有G＝mr，又M＝ρ·πr3，整理得密度ρ＝＝
kg/m3≈5.2×1015kg/m3。]
?考点二 人造卫星上天
3．(2020·天津高考)北斗问天，国之夙愿。我国“北斗三号”系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍。与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星( )
A．周期大
B．线速度大
C．角速度大
D．加速度大
A [本题考查万有引力定律的应用。卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供其做圆周运动的向心力，根据万有引力定律有G＝m＝mω2R＝mR＝ma，解得线速度v＝，角速度ω＝，向心加速度a＝，周期T＝2π，可知v、ω、a随轨道半径的增大而减小，周期T随轨道半径的增大而增大，故A正确。]
4．如图所示，A、B、C三颗人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，已知三颗卫星的质量关系为mA＝mB＜mC，轨道半径的关系为rA＜rB＝rC，则三颗卫星( )
A．线速度大小关系为vA＜vB＝vC
B．加速度大小关系为aA＞aB＝aC
C．向心力大小关系为FA＝FB＜FC
D．周期关系为TA＞TB＝TC
B [人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，则有＝＝ma＝，解得v＝，a＝，T＝，由题意有rA＜rB＝rC，因此可知线速度大小关系为vA＞vB＝vC，加速度大小关系为aA＞aB＝aC，周期关系为TA＜TB＝TC，根据F向＝、mA＝mB＜mC和rA＜rB＝rC可知FA＞FB，FB＜FC，无法比较A、C的向心力大小。故选项B正确，A、C、D错误。]
5．(2020·四川成都期末)如图所示是微信启动的界面，该照片由我国新一代静止轨道卫星“风云四号”拍摄，见证着科学家15年的辛苦和努力。下列说法正确的是( )
A．“风云四号”可能经过无锡正上空
B．“风云四号”的向心加速度大于月球的向心加速度
C．与“风云四号”同轨道的卫星运动的动能都相等
D．“风云四号”的运行速度大于7.9
km/s
B [由题可知，“风云四号”卫星是地球同步卫星，而同步卫星只能在赤道正上空，且高度保持不变，故A错误；根据＝man，得an＝，其中G为引力常量，M为地球质量，r为轨道半径，因“风云四号”卫星的轨道半径小于月球的轨道半径，故“风云四号”的向心加速度大于月球的向心加速度，故B正确；与“风云四号”同轨道的卫星都是同步卫星，故线速度大小一定相等，但不知道各个卫星的质量是否相等，根据Ek＝mv2知动能不一定相等，故C错误；卫星围绕地球表面运行的最大线速度是7.9
km/s，此时它的轨道半径等于地球半径，而“风云四号”的轨道半径大于地球半径，根据v＝可知，其线速度小于7.9
km/s，故D错误。]
6．同步卫星是指相对于地面不动的人造地球卫星，它( )
A．可以在地面上任一点的正上方，且离地心的距离可按需要选择不同值
B．可以在地面上任一点的正上方，但离地心的距离是一定的
C．只能在赤道的正上方，但离地心的距离可按需要选择不同值
D．只能在赤道的正上方，且离地心的距离是一定的
D [同步卫星的轨道在赤道正上方，且线速度、角速度、向心加速度、周期和离地高度都是一定的。故选D。]
?考点三 宇宙速度
7．关于第一宇宙速度，下面说法正确的是( )
A．它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度
B．它是近地圆形轨道上人造地球卫星的运行速度
C．它的大小与地球赤道上物体跟着地球自转的线速度相等
D．它是卫星在椭圆轨道上运行时近地点的速度
B [人造卫星在圆轨道上运行时，运行速度为v＝，由此可知轨道半径越小，速度越大，由于第一宇宙速度对应的轨道半径为近地轨道半径，半径最小，故第一宇宙速度是卫星在圆轨道上运行的最大速度，也是近地圆形轨道上人造卫星的运行速度，故A、D错误，B正确；第一宇宙速度远大于地球赤道上物体跟着地球自转的线速度，故C错误。]
8．(2020·北京高考)我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是( )
A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
A [地球的第一宇宙速度为卫星环绕地球做圆周运动的最小发射速度，地球的第二宇宙速度为使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度，故火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度，故A正确，B错误；星体的第一宇宙速度等于贴近星体表面做圆周运动的卫星的线速度，故由＝，得v＝，由题可知M火＝M地，R火＝R地，则v火＝＝＜＝v地，即火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误；在星体表面处有＝mg，可得g＝，则g火＝
eq
\f(GM火,R)＝·
eq
\f(GM地,R)＜
eq
\f(GM地,R)＝g地，即火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D错误。]
9．2020年，我国将依次实现火星的“环绕、着陆、巡视”三个目标。假设探测器到达火星附近时，先在高度恰好等于火星半径的轨道上环绕火星做匀速圆周运动，测得运动周期为T，之后通过变轨、减速落向火星。探测器与火星表面碰撞后，以速度v竖直向上反弹，经过时间t再次落回火星表面。不考虑火星的自转及火星表面大气的影响，已知万有引力常量为G，求：
(1)火星表面的重力加速度g；
(2)火星的半径R与质量M。
[解析] (1)探测器在火星表面做竖直上抛运动，根据速度公式可知：t＝，
解得火星表面重力加速度：g＝。
(2)物体在火星表面受到的万有引力等于重力，
即＝mg
探测器在高度恰好等于火星半径的轨道上环绕火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，
可得：＝m′·2R，
联立解得：R＝，M＝。
[答案] (1) (2)
10．(2020·河北衡水中学模拟)对月球的形成，目前主要有“俘获说”“分离说”两种说法，若月球是从地球分离出去的，则地球与月球的密度应该大致相等。请同学们选用下列某些条件求出地球与月球的密度之比约为( )
地球表面的重力加速度
9.80
m/s2
月球表面的重力加速度
1.56
m/s2
地球半径
6.40×106
m
月球半径
1.74×106
m
地球与月球之间的距离
3.80×108
m
月球公转周期
27.3天
引力常量
G＝6.67×10－11N·m2/kg2
A.1
B．2
C．3
D．4
B [地球或月球表面上的质量为m的物体受到的万有引力近似等于重力，则mg＝G，可得M＝，由ρ＝＝得＝，代入数据可得≈2，故B正确，A、C、D错误。]
11．(多选)如图所示，赤道上空的卫星A距地面高度为R，质量为m的物体B静止在地球表面的赤道上，卫星A绕行方向与地球自转方向相同。已知地球半径也为R，地球自转角速度为ω0，地球的质量为M，引力常量为G。若某时刻卫星A恰在物体B的正上方(已知地球同步卫星据地高度比卫星A大很多)，下列说法正确的是( )
A．物体B与卫星A的向心加速度大小之比为
eq
\f(4R3ω,GM)
B．卫星A的线速度为2ω0R
C．卫星A的角速度大于ω0
D．物体B受到地球的引力为mRω
AC [卫星A运动过程中，万有引力充当向心力，故有G＝maA，解得aA＝，物体B的向心加速度aB＝ωR，因此向心加速度之比为＝
eq
\f(4R3ω,GM)，A正确；绕地卫星受到的万有引力提供向心力，＝mω2r，解得ω＝，和同步卫星相比，卫星A的轨道半径远小于同步卫星轨道半径，故卫星A的运行角速度大于同步卫星的运行角速度，而同步卫星的运行角速度和地球自转角速度相等，所以卫星A的角速度大于ω0，C正确；卫星A的线速度v＝ω·2R＞ω0·2R，B错误；物体B受到万有引力分解为两部分，一部分为重力，一部分为随地球自转需要的向心力，而向心力为mωR，所以两者不等，D错误。]
12．已知地球半径为R，地球表面重力加速度大小为g，不考虑地球自转的影响。若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求：
(1)卫星的向心加速度；
(2)卫星的运行周期T。
[解析] (1)设卫星的质量为m，地球的质量为M，地球表面处物体质量为m′
在地球表面附近满足G＝m′g
①
则GM＝R2g
②
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力
G＝ma
③
解得a＝g。
(2)结合②式卫星受到的万有引力为
F＝G＝
④
由牛顿第二定律得
F＝m(R＋h)
⑤
④⑤式联立解得T＝。
[答案] (1)g (2)
13．两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星离地面的高度为R，b卫星离地面的高度为3R，则
(1)a、b两卫星运行的线速度大小之比va∶vb是多少？
(2)a、b两卫星的周期之比Ta∶Tb是多少？
(3)a、b两卫星所在轨道处的重力加速度大小之比ga∶gb是多少？
[解析] 设地球的质量为M，a、b卫星的质量分别为ma、mb。
(1)由万有引力定律和牛顿第二定律有
对a卫星：G＝
eq
\f(mav,2R)
对b卫星：G＝
eq
\f(mbv,4R)
解以上两式得va∶vb＝∶1。
(2)由圆周运动的规律T＝可得
Ta＝
Tb＝
解以上两式得Ta∶Tb＝1∶2。
(3)由万有引力定律和牛顿第二定律有
对a卫星：G＝maga
对b卫星：G＝mbgb
解以上两式得ga∶gb＝4∶1。
[答案] (1)∶1 (2)1∶2 (4)4∶1
1
