课后素养落实(六) 运动的合成与分解
(建议用时：40分钟)
?考点一 曲线运动的理解
1.如图是我国著名网球运动员李娜精彩的比赛瞬间，如果网球离开球拍后，沿图中虚线做曲线运动，则图中能正确表示网球在相应点速度方向的是( )
A．v1
B．v2
C．v3
D．v4
B [依据曲线运动特征可知：物体做曲线运动时，任意时刻的速度方向是曲线上该点的切线方向上，所以图中能正确表示网球在相应点速度方向的是v2，故B正确，A、C、D错误。]
2.如图，乒乓球从斜面上滚下，以一定的速度沿直线运动。在与乒乓球路径相垂直的方向上放一个纸筒(纸筒的直径略大于乒乓球的直径)，当乒乓球经过筒口时，对着球横向吹气，则关于乒乓球的运动，下列说法中正确的是( )
A．乒乓球将保持原有的速度继续前进
B．乒乓球将偏离原有的运动路径，但不进入纸筒
C．乒乓球一定能沿吹气方向进入纸筒
D．只有用力吹气，乒乓球才能沿吹气方向进入纸筒
B [当乒乓球经过筒口时，对着球横向吹气，乒乓球沿着原方向做匀速直线运动的同时也会沿着吹气方向做加速运动，实际运动是两个运动的合运动；故一定不会进入纸筒，要提前吹才会进入纸筒，故A、C、D错误，B正确。]
?考点二 运动的合成与分解
3．趣味投篮比赛中的运动员站在一个旋转较快的大平台边缘上，相对平台静止，向大平台圆心处的篮筐内投篮球，则下面各俯视图中哪幅图中的篮球可能被投入篮筐(图中箭头指向表示投篮方向)( )
A B C D
C [当篮球沿圆周切线方向的速度和出手速度的合速度的方向指向篮筐时，球可能会被投入篮筐。故C正确，A、B、D错误。]
4．(2020·天津静海区月考)各种大型的货运站中少不了旋臂式起重机，如图所示。该起重机的旋臂保持不动，可沿旋臂“行走”的天车有两个功能，一是吊着货物沿竖直方向运动，二是吊着货物沿旋臂水平运动。现天车吊着货物正在沿水平方向向右匀速行驶，同时启动天车上的起吊电动机，使货物沿竖直方向向上做匀减速运动。此时，我们站在地面上观察到货物运动的轨迹可能是图中的( )
A B C D
D [由于货物在水平方向向右做匀速运动，在竖直方向向上做匀减速运动，故货物所受的合外力竖直向下，货物做曲线运动，所受的合外力指向运动轨迹的凹侧，则对应的运动轨迹可能为D。]
5．游船在汉江中从西向东匀速直线航行，船上的人正相对于船以1
m/s的速度匀速升起一面旗帜(竖直向上)。当他用20
s升旗完毕时，船匀速行驶了60
m，那么旗相对于岸的速度大小为( )
A．
m/s
B．3
m/s
C．
m/s
D．1
m/s
A [选河岸为参考系，船运动的速度v1＝
m/s＝3
m/s，旗子相对于船竖直向上的速度为v2＝1
m/s，故旗子相对于河岸的速度为v＝
eq
\r(v＋v)＝
m/s＝
m/s，故A正确，B、C、D错误。]
6．已知河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，且v2＞v1，下面用小箭头表示小船船头的指向，则图中能正确反映小船用最短时间渡河、最短位移渡河的情境分别是( )
①
② ③ ④ ⑤
A．①②
B．①⑤
C．④⑤
D．②③
C [船的实际速度是v1和v2的合速度，v1与河岸平行，对渡河时间没有影响，所以v2与河岸垂直(即船头指向对岸)时，渡河时间最短，为tmin＝，式中d为河宽，此时合速度与河岸成一定夹角，船的实际路线应如④所示。由v2>v1知，最短位移为d，应使合速度垂直河岸，则v2应指向河岸上游，实际路线如⑤所示，综合可得选项C正确。]
7．如图所示，物体A和B的质量均为m，且分别与跨过定滑轮的轻绳连接(不计绳与滑轮、滑轮与轴之间的摩擦)在用水平变力F拉物体B沿水平方向向右做匀速直线运动的过程中，则( )
A．物体A也做匀速直线运动
B．绳子拉力始终等于物体A所受重力
C．绳子对A物体的拉力逐渐增大
D．绳子对A物体的拉力逐渐减小
D [将B物体的速度vB进行分解如图所示，则vA＝vB
cos
α，α减小，vB不变，则vA逐渐增大，说明A物体在竖直方向上做加速运动，选项A错误；对A由牛顿第二定律T－mg＝ma，可知绳子对A的拉力T＞mg，选项B错误；运用外推法：若绳子无限长，B物体距滑轮足够远，即当α→0时，有vA→vB，这表明，物体A在上升的过程中，加速度必定逐渐减小，绳子对A物体的拉力逐渐减小，故C错误，D正确。]
8．(2020·河南顶尖名校联盟月考)2020年3月3日消息，国网武汉供电公司每天用无人机对火神山医院周边线路进行巡检，一次最长要飞130分钟，它们是火神山医院的电力“保护神”。图甲、乙分别是某一无人机在相互垂直的x方向和y方向运动的v?t图像。在0～2
s内，以下判断正确的是( )
甲 乙
A．无人机的加速度大小为10
m/s2，做匀变速直线运动
B．无人机的加速度大小为10
m/s2，做匀变速曲线运动
C．无人机的加速度大小为14
m/s2，做匀变速直线运动
D．无人机的加速度大小为14
m/s2，做匀变速曲线运动
A [在0～2
s内，x方向的初速度大小v0x＝0，加速度大小ax＝
m/s2＝6
m/s2，y方向初速度大小v0y＝0，加速度大小ay＝
m/s2＝8
m/s2，根据平行四边形定则可以得到无人机合初速度为v＝0，合加速度大小为a＝
eq
\r(a＋a)＝10
m/s2，故合运动为匀变速直线运动，A正确，B、C、D错误。]
9．由于暴雪，在阿勒泰地区有多人被困。为营救被困人员，新疆军区派出直升机，用直升机空投救援物资时，直升机可以停留在离地面100
m的空中不动，设投出的物资离开直升机后由于降落伞的作用在空中能匀速下落，无风时落地速度为5
m/s。若直升机停留在离地面100
m高处空投物资，由于风的作用，使降落伞和物资以1
m/s的速度匀速水平向北运动，求：
(1)物资在空中运动的时间；
(2)物资落地时速度的大小；
(3)物资在下落过程中水平方向移动的距离。
[解析] 如图所示，物资的实际运动可以看作是竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀速直线运动两个分运动的合运动。
(1)分运动与合运动具有等时性，故物资实际运动的时间与竖直方向分运动的时间相等。
所以t＝＝
s＝20
s。
(2)物资落地时，vy＝5
m/s，vx＝1
m/s，
由平行四边形定则得
v＝
eq
\r(v＋v)＝
m/s＝
m/s。
(3)物资水平方向的位移大小为
s＝vxt＝1×20
m＝20
m。
[答案] (1)20
s (2)
m/s (3)20
m
10.(多选)如图所示，某商场设有同起点线和终点线的步行楼梯和自动扶梯，步行楼梯每级的高度是0.2
m，自动扶梯与水平面的夹角为30°，自动扶梯前进的速度恒为0.8
m/s。有甲、乙两位顾客，分别从自动扶梯和步行楼梯的起点同时上楼，甲在自动扶梯上站立不动，乙在步行楼梯上以每秒上两个台阶的速度匀速上楼。若该楼层高为4.8
m，则( )
A．甲和乙同时到达楼上
B．重力、支持力、摩擦力三个力一直对甲做功
C．甲在竖直方向的速度大小为0.4
m/s
D．乙沿楼梯斜坡方向速度大小为0.4
m/s
AC [甲用时间t甲＝
s＝12
s，乙在步行楼梯上以每秒上两个台阶的速度匀速上楼，则上楼的时间t乙＝
s＝12
s，选项A正确；甲随扶梯匀速上升，不受摩擦力作用，则摩擦力做功为零，选项B错误；甲在竖直方向的速度大小为v甲y＝v甲sin
30°＝0.4
m/s，选项C正确；乙的竖直速度为v乙y＝0.4
m/s，则乙沿楼梯斜坡方向速度大小为v′＝＝0.8
m/s，选项D错误。]
11.如图所示，河宽L＝200
m，越到河中央河水的流速越大，且流速大小满足u＝0.2x(x是离最近的河岸的距离)。一小船在静水中的速度v＝10
m/s，小船自A处出发，渡河时，船头始终垂直河岸方向，到达对岸B处，设船的运动方向与水流方向的夹角为θ，下列说法正确的是( )
A．小船渡河时间大于20
s
B．A、B两点间距离为200
m
C．到达河中央前小船加速度大小为0.2
m/s2
D．在河中央时，θ最小，且tan
θ＝0.5
D [船头始终垂直河岸方向，渡河的时间为t＝＝
s＝20
s，故A错误；船在静水中速度不变，而水流速度满足u＝0.2x，因x＝vt，那么u＝2t，因此到达河中央前小船加速度大小为2
m/s2，故C错误；当到达河中央时，水流速度为u＝0.2×100
m/s＝20
m/s，由几何知识可知船的运动方向与水流方向的夹角最小，则有tan
θ＝＝0.5，故D正确；小船到达河中央前有u＝2t，同理可知，小船由河中央至对岸过程有u＝－2t＋40，作u?t图像如图所示，可得小船渡河过程沿河岸方向的位移为L′＝×20
m/s×20
s＝200
m，所以A、B两点间的直线距离为s＝
m＝200
m，故B错误。]
12．飞机在航行测量时，它的航线要严格地从东到西，如果飞机的速度是80
km/h，风从南面吹来，风的速度为40
km/h，那么：
(1)飞机应朝哪个方向飞行？
(2)如果所测地区长达80
km，所需时间是多少？
[解析] (1)如图所示，飞机飞行速度方向与正西方向夹角θ的正弦值为(v1为风速，v2是飞机速度)sin
θ＝＝＝，得θ＝30°。
(2)飞机的合速度
v＝v2cos
30°＝40
km/h
据x＝vt得t＝＝
h＝2
h。
[答案] (1)方向西偏南30° (2)2
h
13．质量m＝2
kg的物体在光滑的平面上运动，其分速度vx和vy随时间变化的图线如图所示，求：
(1)物体的初速度；
(2)物体受的合外力的大小；
(3)t＝8
s时物体的速度；
(4)前4
s内物体的位移大小。
[解析] (1)由图可知vx0＝3
m/s，vy0＝0
所以v0＝3
m/s
方向沿x轴正方向。
(2)由图可知，x方向没有加速度，y方向加速度
ay＝0.5
m/s2
所以F＝may＝1
N。
(3)t＝8
s时
vx＝3
m/s，vy＝4
m/s
所以v＝
eq
\r(v＋v)＝5
m/s
方向与x轴正方向成53°角。
(4)前4
s内x方向位移x＝vxt＝12
m
前4
s内y方向位移y＝at2＝4
m
所以位移s＝＝4
m。
[答案] 见解析
1第1节 运动的合成与分解
[核心素养·明目标]
核心素养
学习目标
物理观念
(1)了解曲线运动的内涵。(2)知道物体做曲线运动的条件。(3)能从运动合成与分解角度分析曲线运动。
科学思维
(1)知道速度方向、合力方向及轨迹弯曲情况之间的关系。(2)能在熟悉情境中运用运动的合成与分解解决曲线运动问题。
科学探究
(1)通过迷你实验，探究曲线运动的条件和方向。(2)通过分析小船渡河运动，初步体会等效替代的物理思想。
科学态度与责任
能领略曲线运动的奇妙与和谐，发展对科学的好奇心与求知欲。
知识点一 认识曲线运动
1．曲线运动
运动轨迹是曲线的运动叫曲线运动。如水平扔出的飞镖、绕地球运动的卫星的运动等。
2．物体做曲线运动的条件
物体所受合力的方向(即它的加速度的方向)跟物体速度方向不在同一直线上。
3．曲线运动的速度方向
做曲线运动的物体在某一点(或某一时刻)的速度方向，为沿曲线在该点的切线方向。
4．曲线运动的运动性质
曲线运动中速度的方向时刻在变化，因此曲线运动是变速运动。
拿出一枚硬币水平抛出后在空中(不计空气阻力)将做曲线运动，硬币做曲线运动的速度方向、合力方向及运动轨迹之间的空间关系怎样？大致画出轨迹，标出一些位置的速度方向与合力方向。
提示：如图所示，速度方向与合力方向不在一条直线上，轨迹处于速度方向与合力方向所夹的范围内且向合力指向的一侧弯曲。
1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)水平扔出的石子一定做直线运动。
(×)
(2)做曲线运动的物体速度方向和受力方向一定不在同一条直线上。
(√)
(3)做曲线运动的物体受力的方向一定沿着轨迹的切线方向。
(×)
知识点二 生活中运动的合成与分解
1．如果一个物体同时参与几个运动，那么物体实际发生的运动就是这几个运动的合运动，这几个运动就是物体实际运动的分运动。
2.竹筏过河时，竹筏一边向对岸划行，一边随流水向下游运动，这两个运动是分运动，竹筏最后沿斜线到达对岸A点的运动是合运动。
3．运动的合成与分解的方法
(1)运动的合成与分解遵从矢量运算法则。
(2)如果两个分运动方向在同一直线上，求合运动时直接进行代数加减。
(3)如果两个分运动方向不在同一条直线上，而是成一定夹角，根据矢量运算法则进行合成与分解。
4．相互垂直的两个分运动的合成
(1)合位移：s＝
eq
\r(s＋s)；
(2)合速度：v＝
eq
\r(v＋v)。
实际发生的运动是合运动，实际运动的速度是合速度。
2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)运动的合成就是把两个分运动加起来。
(×)
(2)运动的分解就是把一个运动分成两个完全相同的运动。
(×)
(3)运动的合成与分解遵从矢量运算法则。
(√)
考点1 曲线运动的理解
如图所示，砂轮上打磨下来的炽热微粒沿什么方向飞出？如何确定物体在某一点的速度方向？
提示：从砂轮上打磨下来的炽热微粒沿脱落点的切线方向飞出，所以物体在某一点的速度方向沿曲线在这一点的切线方向。
1．曲线运动条件的理解
(1)从运动学角度来理解：物体的加速度方向与速度方向不在同一条直线上。
(2)从动力学角度理解：物体所受合外力的方向与物体的速度方向不在同一条直线上，具体有如图所示的几种形式。
2．极限法分析曲线运动的速度方向
如图所示，质点由A点运动到B点做曲线运动，由平均速度公式知曲线运动的平均速度等于时间t内的位移与时间的比值，所以物体由A点运动到B点的平均速度为＝，方向由A指向B。随着时间取值的减小，由图可知时间t内的位移方向逐渐向A点的切线靠近，当时间t→0时，位移由割线变为切线，位移方向即为A点的切线方向，故在极短时间内的平均速度的方向即为A点的瞬时速度方向，即A点的切线方向。
3．判断曲线运动轨迹的方法
分析曲线轨迹时应注意三点：凹向、弯曲程度与轨迹位置。曲线上某点处合力的方向在曲线上该点的切线的哪一侧，曲线就向哪一侧弯曲；曲线上某点的加速度越大、速度越小，则曲线轨迹弯曲越厉害；曲线轨迹必定夹在a、v方向之间。
【典例1】 如图所示，物体以恒定的速率沿圆弧AB做曲线运动。下列对它的运动分析正确的是( )
A．因为它的速率恒定不变，故做匀速运动
B．该物体受的合外力一定不等于0
C．该物体受的合外力一定等于0
D．它的加速度方向与速度方向有可能在同一直线上
思路点拨：(1)曲线运动的速度方向时刻变化。
(2)因速度方向改变所以曲线运动一定是变速运动，一定有加速度。
(3)做曲线运动的条件是速度与加速度方向不在同一直线上。
B [物体做曲线运动时，速度方向沿轨迹的切线方向，速度方向时刻在变，故物体做变速运动，A错误；物体做变速运动，具有加速度，故所受合外力不等于0，B正确，C错误；物体做曲线运动的条件是合外力与速度方向不共线，所以物体的加速度方向与速度方向不可能在同一直线上，D错误。]
关于曲线运动轨迹问题的三个结论
(1)速度方向与轨迹相切。
(2)合力(加速度)的方向指向轨迹凹侧。
(3)运动轨迹总是在合力(加速度)和速度的方向之间。
1．假如在弯道上高速行驶的赛车，突然后轮脱离赛车，关于脱离赛车后的车轮的运动情况，以下说法正确的是( )
A．仍然沿着汽车行驶的弯道运动
B．沿着与弯道垂直的方向飞出
C．沿着脱离时轮子前进的方向做直线运动，离开弯道
D．上述情况都有可能
C [赛车沿弯道行驶，任一时刻赛车上任何一点的速度方向都是赛车运动的曲线轨迹上对应点的切线方向。被甩出的后轮的速度方向就是曲线轨迹上甩出点的切线方向。所以C选项正确。]
考点2 运动合成与分解的方法
下雨时，如果没有风，雨滴是竖直下落的，如图一个人正在冒雨骑车前进。骑车人为什么总觉得雨滴是向后倾斜的？当车速增大时，他会觉得雨滴怎么变化？
提示：人感觉到雨滴的速度是雨滴相对于人的速度v雨人，v雨地是v雨人和v人地的合速度，如图所示，所以人前进时，感觉雨滴向后倾斜，而且由图可知，当车速增大时，雨相对于人的速度将增大，且向后倾斜得更厉害。
1．合运动与分运动的关系
(1)等效性：各分运动叠加起来的共同效果与合运动有相同的效果。
(2)独立性：某个方向上的运动不会因为其他方向上是否有运动而影响自己的运动性质。在运动中一个物体可以同时参与几种不同的运动，在研究时，可以把各个运动都看作是互相独立进行，互不影响的运动。
(3)等时性：合运动通过合位移所需时间和对应的每个分运动通过分位移的时间相等，即各分运动总是同时开始、同时结束。
(4)同体性：各分运动与合运动是同一物体的运动。
2．运动的合成与分解的方法
(1)位移、速度、加速度都是矢量，因此运动的合成与分解遵循矢量运算法则，应用平行四边形定则进行运动的合成与分解。
(2)如果各分运动都在同一直线上，可以选取沿直线的某一方向作为正方向，与正方向相同的分运动取正值，与正方向相反的分运动取负值，把矢量的运算转化为代数运算。
(3)如果各分运动互成角度，应用平行四边形定则，运用作图法、解直角三角形法等方法进行求解。
3．互成角度的两个分运动的合成
分运动
合运动
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
沿合加速度方向的匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀加速直线运动(其初速度v1和v2的矢量和为v，加速度a1和a2的矢量和为a)
v和a在同一条直线上时，物体做匀变速直线运动
v和a不在同一条直线上时，物体做匀变速曲线运动
【典例2】 质量为m＝2
kg的物体在光滑平面上运动，其分速度vx和vy随时间变化的图像分别如图甲和图乙所示。求：
甲 乙
(1)物体受到的合力和初速度；
(2)t＝8
s时物体的速度；
(3)t＝4
s时物体的位移。
[解析] (1)物体在x轴方向有ax＝0，y轴方向有ay＝
m/s2，由牛顿第二定律，得F合＝may＝1
N，方向沿y轴正方向；由题图甲、乙知v0x＝3
m/s，v0y＝0，所以物体的初速度v0＝3
m/s，方向沿x轴正方向。
(2)当t＝8
s时，vx＝3
m/s，vy＝4
m/s，
所以v＝
eq
\r(v＋v)＝
m/s＝5
m/s，
设速度与x轴的夹角为θ，则
tan
θ＝＝。
(3)当t＝4
s时，x＝v0xt＝12
m，y＝ayt2＝4
m，
物体的位移x合＝＝4
m，
设位移与x轴的夹角为α，则
tan
α＝＝。
[答案] (1)见解析 (2)5
m/s，且速度与x轴的夹角为arctan
(3)4
m，且位移与x轴的夹角为arctan
确定曲线运动轨迹的方法
(1)做曲线运动的物体，运动轨迹不断改变，其改变后的轨迹处在运动方向与合外力方向构成的夹角之间，且偏向合外力所指的一侧。
(2)若物体在恒力作用下做曲线运动，物体的运动轨迹越来越接近力的方向，但不会与力的方向相同。
2．质量为2
kg的质点在xy平面上做曲线运动，在x方向的速度图像和y方向的位移图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．质点的初速度为3
m/s
B．质点所受的合外力为3
N
C．质点初速度的方向与合外力方向垂直
D．2
s末质点速度大小为6
m/s
B [x轴方向初速度为vx＝3
m/s，y轴方向初速度vy＝＝
m/s＝－4
m/s，质点的初速度v0＝
eq
\r(v＋v)＝
m/s＝5
m/s，故A项错误；x轴方向的加速度a＝＝
m/s2＝1.5
m/s2，质点的合力F合＝ma＝3
N，故B项正确；合力沿x轴方向，而初速度方向既不在x轴也不在y轴方向，质点初速度的方向与合外力方向不垂直，故C项错误；由题图可知，2
s末x方向质点速度的大小为6
m/s，而y方向的速度仍然是－4
m/s，所以合速度是
m/s＝2
m/s，故D项错误。]
考点3 小船渡河问题
在小船渡河的问题中，小船参与了哪两个运动？怎样过河时间最短？
提示：小船参与了船相对水的运动(即船在静水中的运动)和船随水漂流的运动(即速度等于水的流速)。当船头垂直河岸时，过河时间最短。
小船渡河的两类问题、三种情景
最短时间
当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
最短位移
如果v船>v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cos
θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船【典例3】 小船在水速较小的河中横渡，并使船头始终垂直河岸航行，到达河中间时突然上游来水使水流速度加快，则对此小船渡河的说法正确的是( )
A．小船要用更长的时间才能到达对岸
B．小船到达对岸的时间不变，但位移将变大
C．因小船船头始终垂直河岸航行，故所用时间及位移都不会变化
D．因船速与水速关系未知，故无法确定渡河时间及位移的变化
B [因为小船船头垂直于河岸，则渡河时间t＝，水流速度增大，渡河时间不变，沿河岸方向的位移增大，则最终渡河的位移变大，故B正确，A、D错误；因小船船头始终垂直河岸航行，渡河时间不会随着水流速度增大而变化，故C错误。]
[母题变式] (1)在[典例3]中小船在静水中的速度v1＝5
m/s，水流速度v2＝3
m/s，河的宽度为60
m，请问小船渡河的最短时间是多少？
(2)在[典例3]中小船渡河位移最短时，小船的渡河时间是多少？
[解析] (1)经分析可知，当船头与河岸垂直时，渡河时间最短。最短时间t1＝＝12
s。
(2)经分析可知，当小船的合速度方向与河岸垂直时，小船渡河的位移最短，此时的合速度为v＝
eq
\r(v－v)＝4
m/s，渡河时间t＝＝15
s。
[答案] (1)12
s (2)15
s
小船渡河问题
(1)小船渡河时间仅与河宽和船沿垂直于河岸方向上的速度大小有关，与河水流动的速度无关。
(2)小船渡河问题，多是求渡河最短时间或是渡河最小位移，需牢记这两类渡河问题的解题关键：
①船头与河岸垂直时渡河时间最短。
②船随水向下游运动速度与水速相同。
③船的合速度与河岸垂直时能到达河正对岸。
3．一条河宽为L＝900
m，水的流速为v＝50
m/s，并在下游形成壮观的瀑布。一艘游艇从距离瀑布水平距离为l＝1
200
m的上游渡河。
(1)为了不被冲进瀑布，游艇船头指向应如何航行速度最小，最小值为多少？
(2)在(1)的情况中游艇在河中航行的时间为多少？
[解析] (1)为了不被冲进瀑布，而且速度最小，则游艇的临界航线OA如图所示。船头应与航线垂直，并偏向上游，最小速度等于水的流速沿垂直于航线方向的分量，由几何关系可得sin
α＝，故α＝37°，船头与河岸成53°角并指向上游，vmin＝v⊥＝v
sin
α＝v＝30
m/s。
(2)在(1)中情况下，游艇在河中航行的时间为t＝＝＝37.5
s。
[答案] (1)船头与河岸成53°角指向上游，vmin＝30
m/s (2)37.5
s
考点4 关联速度问题
如图所示，人在岸上拉船，已知人向左匀速运动的速度为v0，当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v0吗？船做匀速运动吗？
提示：将船的速度分解为沿绳的速度和垂直于绳的速度，沿绳的速度为v0，故船的速度为。向左运动时，θ角变大，cos
θ减小，故船速增大。
1．常见问题：物体斜拉绳或绳斜拉物体，如图甲、乙所示。
甲 乙
2．规律：由于绳不可伸长，绳两端所连物体的速度沿着绳方向的分速度大小相等。
3．速度的分解方法：图甲中小车向右运动拉绳的效果，一方面使滑轮右侧绳变长，另一方面是使绳绕滑轮转动，由此可确定车的速度分解为沿绳和垂直绳的两个分速度，甲、乙两图的速度分解如图丙、丁所示。
丙 丁
4．进行速度分解：
(1)要分清合速度与分速度：合速度就是物体的实际运动的速度。
(2)分析物体的实际运动是由哪两个分运动合成的，找出相应的分速度。
(3)解决问题的关键：不可伸长的绳和杆，虽各点速度不同，但沿绳或杆轴线上的速度大小是相同的。
【典例4】 如图所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的速度为v0，绳某时刻与水平方向夹角为α，则小船的运动性质及此时刻小船的水平速度vx为( )
A．小船做变速运动，vx＝
B．小船做变速运动，vx＝v0cos
α
C．小船做匀速直线运动，vx＝
D．小船做匀速直线运动，vx＝v0cos
α
A [小船的实际运动是水平向左的运动，它的速度vx可以产生两个效果，对其进行分解，如图所示：
一是使绳子OP段缩短；二是使OP段绳与水平方向的夹角增大，所以小船的速度vx应有沿OP绳指向O的分速度v0和垂直OP的分速度v1。由运动的分解可求得vx＝，α角逐渐变大，可得vx是逐渐变大的，所以小船做的是变速运动，且vx＝。则A正确，B、C、D错误。]
绳物模型绳端速度分解方法
(1)分解实际速度(合运动的速度)，实际速度一般分解为一个沿绳的方向，一个垂直于绳的方向。
(2)若被拉紧的绳子的两端有两个物体做不同的运动时，绳子的哪一端有绕轴的转动，则将该端物体的运动看成合运动。
4．(多选)如图所示，做匀速直线运动的小车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和小车速度的大小分别为vB、vA，则( )
A．vA>vB
B．vAC．绳的拉力等于B的重力
D．绳的拉力大于B的重力
AD [假设绳子与水平方向的夹角为θ，则vB＝vA
cos
θ，vA>vB，所以A选项正确，B选项错误；小车A匀速，夹角θ变小，vB变大；由于B加速上升，所以B处于超重状态，绳的拉力大于B的重力，所以D选项正确，C选项错误。]
1.(多选)如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它所受的力反向，大小不变。即由F变为－F。在此力作用下，物体以后的运动情况，下列说法正确的是( )
A．物体不可能沿曲线Ba运动
B．物体不可能沿直线Bb运动
C．物体不可能沿曲线Bc运动
D．物体不可能沿原曲线由B返回A
ABD [物体受力方向与速度方向不在同一条直线上时，物体将做曲线运动。力的方向指向轨迹弯曲的一侧，AB曲线向下弯曲，说明力F沿某一方向指向AB弯曲一侧；若换成－F，其方向指向另一侧，故曲线要向上弯曲，物体可能沿Bc运动；如果物体在B点不受力，从B点开始沿Bb方向做匀速直线运动；如果物体受力不变，则物体可能沿Ba做曲线运动。故此时只有可能沿曲线Bc运动，故A、B、D正确。]
2.如图所示，竖直放置且两端封闭的玻璃管内注满清水，水中放一个用红蜡做成的圆柱体，玻璃管倒置时圆柱体能匀速运动。已知圆柱体实际运动的速度是5
cm/s，θ＝30°，则玻璃管水平运动的速度是( )
A．5
cm/s
B．4.33
cm/s
C．2.5
cm/s
D．无法确定
B [将实际速度v分解如图，则玻璃管的水平速度vx＝v
cos
θ＝5cos
30°
cm/s＝5×
cm/s＝4.33
cm/s，B正确。]
3.质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时(如图所示)，下列判断正确的是( )
A．P的速率为v
B．P的速率为v
sin
θ2
C．P处于超重状态
D．P处于失重状态
C [将小车的速度v进行分解，如图所示，则有vP＝v
cos
θ2，选项A、B错误；小车向右运动，θ2减小，v不变，则vP逐渐增大，说明物体P沿斜面向上做加速运动，处于超重状态，选项C正确，D错误。]
4．(新情境题，以摩托艇抗洪抢险为背景，考查小船渡河问题)在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d。若战士想在最短时间内将人送上岸，则：
问题：摩托艇登陆的地点离O点的距离和所行驶的位移分别是多少？
[解析] 根据题意画出示意图，如图所示：
图中B为摩托艇登陆地点。要在最短时间内将人送上岸，v2应垂直河岸，由几何关系有：OB＝OA
tan
θ＝d
tan
θ
而tan
θ＝
故OB＝d
AB＝＝。
[答案] d
回归本节知识，自我完成以下问题：
(1)物体做曲线运动应满足什么条件？
提示：物体所受合力的方向与速度方向不在同一条直线上。
(2)物体做曲线运动时，在某点的速度方向沿什么方向？
提示：沿曲线在该点的切线方向。
(3)合运动的位移、速度、加速度与分运动的位移、速度、加速度间应满足什么规律？
提示：平行四边形定则。
跑马射箭
民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上，弯弓放箭射向固定目标(即图中的箭靶，箭靶平面与马运动方向平行)。
跑马射箭
假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d。要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短。不考虑空气阻力和重力的影响，则：
(1)箭被射出到射中靶的最短时间为多少？
(2)运动员放箭处与目标的距离为多少？
提示：(1)当箭被射出的方向与运动员运动方向垂直时，箭射中靶的时间最短，tmin＝。
(2)运动员放箭处与目标的距离s＝＝
eq
\r(d2＋\f(v,v)d2)。
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