素养培优集训(五) 万有引力定律及航天
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．一颗小行星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径是地球公转半径的4倍，则这颗小行星的运行速率是地球运行速率的( )
A．4倍
B．2倍
C．
D．16倍
C [小行星和地球绕太阳做匀速圆周运动的向心力都是由太阳对它们的引力提供的，由＝得，v＝，由此得＝，又r1＝4r2，故C正确。]
2．(2020·常德模拟)“神舟”系列载人飞船返回舱返回时，先靠降落伞减速，竖直落地前还靠反冲火箭使其速度进一步减小。假设返回舱速度是8
m/s，反冲火箭工作0.3
s后，速度减小为2
m/s，在这个过程中，返回舱中的航天员(g取10
m/s2)( )
A．处于超重状态，对座椅的平均压力约是自身重力的3倍
B．处于失重状态，对座椅的平均压力约是自身重力的
C．处于超重状态，对座椅的平均压力约是自身重力的2倍
D．处于失重状态，对座椅的平均压力约是自身重力的
A [航天员随返回舱向下减速，加速度向上，航天员处于超重状态。设反冲火箭工作时返回舱的加速度大小为a，则a＝＝20
m/s2，以航天员为研究对象，根据牛顿第二定律得F－mg＝ma，解得座椅对航天员的支持力F＝m(g＋a)＝3mg。由牛顿第三定律得航天员对座椅的平均压力约为航天员自身重力的3倍。]
3．三颗人造地球卫星A、B、C在同一平面内沿不同的轨道绕地球做匀速圆周运动，且绕行方向相同，已知RAA B C D
C [由G＝mω2r得ω＝，可知：ωA＞ωB＞ωC，在相同的时间内转过的角度θA＞θB＞θC，故C项正确。]
4．(多选)如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则( )
A．该卫星的发射速度必定大于11.2
km/s
B．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9
km/s
C．在椭圆轨道上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度
D．卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ
CD [11.2
km/s是卫星脱离地球引力束缚的最小发射速度，而同步卫星仍然绕地球运动，选项A错误；7.9
km/s(第一宇宙速度)是近地卫星的环绕速度，也是卫星最大的环绕速度，同步卫星运动的线速度一定小于第一宇宙速度，选项B错误；椭圆轨道Ⅰ上，P是近地点，故卫星在P点的速度大于在Q点的速度；卫星在轨道Ⅰ上的Q点做近心运动，只有加速后才能沿轨道Ⅱ运动，选项C、D正确。]
5．图是“嫦娥三号”奔月示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测，下列说法正确的是( )
A．发射“嫦娥三号”的速度必须达到第三宇宙速度
B．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关
C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比
D．在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力
C [“嫦娥三号”只是摆脱地球吸引，但并未飞离太阳系，则其发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，A错误；根据G＝m卫R可得T＝，可知绕月周期与卫星质量无关，B错误；根据万有引力定律可知C正确；卫星在绕月圆轨道上受月球的引力远大于受地球的引力，D错误。]
6．两个行星各有一个卫星绕其表面运行，已知两个卫星的周期之比为1∶2，两行星半径之比为2∶1，则下列选项正确的是( )
①两行星密度之比为4∶1 ②两行星质量之比为16∶1
③两行星表面处重力加速度之比为8∶1 ④两卫星的速率之比为4∶1
A．①②
B．①②③
C．②③④
D．①③④
D [由万有引力提供向心力，列出等式：＝m，行星质量M＝，密度ρ＝＝，ρ1∶ρ2＝4∶1，①正确；M1∶M2＝32∶1，②错误；忽略行星自转影响，由万有引力等于重力，＝m＝mg，g1∶g2＝8∶1，③正确；由v＝得v1∶v2＝4∶1，④正确。故D选项正确。]
7．(多选)“土卫十”和“土卫十一”是土星的两颗卫星，都沿近似为圆周的轨道绕土星运动，其参数如表：
卫星半径/m
卫星质量/kg
轨道半径/m
土卫十
8.90×104
2.01×1018
1.51×108
土卫十一
5.70×104
5.60×1017
1.51×108
两卫星相比，“土卫十”( )
A．受土星的万有引力较大
B．绕土星做圆周运动的周期较大
C．绕土星做圆周运动的向心加速度较大
D．动能较大
AD [由G＝mr可知在二者轨道半径r相等的情况下，周期T也相等，而向心加速度a＝r，故a相等。较“土卫十一”而言，“土卫十”质量大，因此其受土星的万有引力G大，动能mv2也大，故A、D正确。]
8．当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，2019年6月10日出现了一次“木星冲日”。已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍。则下列说法正确的是( )
A．下一次的“木星冲日”时间肯定在2021年
B．下一次的“木星冲日”时间肯定在2020年
C．木星公转的加速度比地球的大
D．木星公转的周期比地球的小
B [设太阳质量为M，行星质量为m，轨道半径为r，周期为T，加速度为a，地球公转的角速度为ω1，木星公转的角速度为ω2。对行星由牛顿第二定律可得G＝ma＝mr，解得a＝，T＝2π，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍，因此，木星运行的加速度比地球的小，木星运行的周期比地球的大，故C、D错误；地球公转周期T1＝1年，土星公转周期T2＝T1≈11.18年。设经时间t，再次出现“木星冲日”，则有ω1t－ω2t＝2π，其中ω1＝，ω2＝，解得t≈1.1年，因此下一次“木星冲日”发生在2020年，故A错误，B正确。]
9．(多选)(2020·保定检测)发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆形轨道1，然后经点火加速使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火加速将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示。则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是( )
A．卫星在轨道3上的运行速率大于在轨道1上的运行速率
B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在椭圆轨道2上经过Q点时的加速度
D．卫星在椭圆轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度
BD [由G＝m，得v＝，因轨道1的半径小于轨道3的半径，故此卫星在轨道1上的速度大于在轨道3上的速度，故A选项错误；由＝mω2r，得ω＝，因轨道1的半径小于轨道3的半径，故此卫星在轨道1上的角速度大于在轨道3上的角速度，故B选项正确；Q点是圆轨道1与椭圆轨道2的切点，Q点既在圆轨道1上又在椭圆轨道2上，Q点到地心的距离r一定，由牛顿第二定律有＝ma，所以a＝，可知卫星在圆轨道1上的Q点和在椭圆轨道2上的Q点时的加速度均为a＝，故C选项错误；同理，卫星在圆轨道3上的P点与椭圆轨道2上的P点的加速度相等，故D选项正确。]
10.如图所示，人造地球卫星M、N在同一平面内沿同方向绕地心O做匀速圆周运动，M、N连线与M、O连线间的夹角用θ表示。已知θ从0°变到最大值30°经历的最短时间为t，引力常量为G，由已知的数据分析以下说法中正确的是( )
A．可以求出地球的质量
B．M、N的线速度之比为1∶2
C．M、N的周期之比为3∶1
D．卫星N的角速度为
D [设卫星M、N的轨道半径分别为rM和rN。当M、N连线与N的圆轨道相切时θ最大，由几何关系得rM∶rN＝2∶1，由卫星的线速度公式v＝得M、N的线速度之比为vM∶vN＝1∶，由T＝2π得M、N的周期之比为TM∶TN＝2∶1，根据ω＝得ωN∶ωM＝2∶1，θ从0°变到最大值30°时，N与M转过的角度之差等于60°＝，则有＝(ωN－ωM)t，联立解得ωN＝。由于卫星的轨道半径未知，所以不能求出地球的质量。故A、B、C错误，D正确。]
二、非选择题
11．已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T、轨道半径为r，地球表面的重力加速度大小为g，试求出地球的密度(引力常量G为已知量)。
[解析] 由月球绕地球做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，可分析得：G＝mr，解得地球质量M＝
由地球表面重力加速度g＝G，解得R＝
又地球密度为ρ＝，V＝πR3
从而由各式联立解得：ρ＝。
[答案]
12.如图所示是发射地球同步卫星的简化轨道示意图，先将卫星发射至距地面高度为h1的近地轨道Ⅰ上。在卫星经过A点时点火实施变轨，进入远地点为B的椭圆轨道Ⅱ上，最后在B点再次点火，将卫星送入同步轨道Ⅲ。已知地球表面重力加速度为g，地球自转周期为T，地球的半径为R，求：
(1)近地轨道Ⅰ上的线速度大小；
(2)远地点B距地面的高度。
[解析] (1)设地球的质量为M，卫星的质量为m，地球表面某物体的质量为m′，卫星在近地轨道Ⅰ上的速度为v1，在近地轨道Ⅰ上：
＝m
eq
\f(v,R＋h1)
①
在地球表面：G＝m′g
②
由①②得：v1＝。
(2)设B点距地面高度是h2。
在同步轨道Ⅲ上：G＝m(R＋h2)
③
由②③得h2＝－R。
[答案] (1) (2)－R
13．某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星。试问，春分那天(太阳光直射赤道)在日落后12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？(已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射)
[解析] 设所求时间为t，m、M分别为卫星、地球的质量，r为卫星到地心的距离，有G＝mr，春分时，太阳光直射地球赤道，如图所示，图中S表示卫星，A表示观察者，O表示地心。由图可看出，当卫星由S位置转到S′位置的过程中，卫星恰好处于地球的阴影区，卫星无法反射太阳光，观察者将看不见此卫星。由图可知r
sin
θ＝R，又t＝T，
对地面上质量为m′的物体有G＝m′g，
联立以上各式可得t＝arcsin
。
[答案] arcsin
1素养培优课(五) 万有引力定律及航天
[培优目标] 1.加深理解万有引力定律及其公式的内涵。2.掌握解决天体问题的模型及思路方法。3.会分析人造卫星发射、变轨等天体运动的问题。
考点1 处理天体问题的基本思路及规律
1．天体问题的两步求解法
(1)建立一个模型：天体绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即：F万＝F向。
(2)写出两组等式：
①＝m＝mω2r＝mr＝ma；
②代换关系：天体表面＝mg，空间轨道上＝ma。
2．人造卫星的向心加速度、线速度、角速度、周期与半径的关系
G＝??
【典例1】 为了迎接太空时代的到来，美国国会通过一项计划：在2050年前建成太空升降机，就是把长绳的一端固定在地球的卫星上，另一端系住升降机，放开绳使升降机能到达地球，人坐在升降机里，在卫星上通过电动机把升降机拉回卫星，已知地球表面的重力加速度g＝10
m/s2，地球半径R＝6
400
km。地球自转周期为T。求：
(1)某人在地球表面用体重计称得重力为800
N，站在升降机中，当升降机以加速度a＝g(g为地球表面处的重力加速度)垂直地面上升，在某一高度时此人再一次用同一体重计称得重力为850
N，忽略地球自转的影响，求升降机此时距地面的高度。
(2)如果把绳的一端固定在同步卫星上，绳的长度至少为多长？(结果用g、R、T表示)
[解析] (1)人的质量m＝＝kg＝80
kg，
人在升降机中以加速度a＝g垂直地面上升时，
FN－mg′＝ma，解得g′＝
m/s2＝g，
由万有引力与重力加速度的关系得G＝mg、G＝mg′，
解得h＝3R＝1.92×107
m。
(2)设H为同步卫星的高度，同步卫星所受万有引力充当向心力，则G＝m(R＋H)，
解得H＝－R，即绳长至少为－R。
[答案] (1)1.92×107
m (2)－R
1．我国十分重视海洋动力环境卫星遥感及其监测技术的发展，已经实现了自主海洋卫星的研制、发射、在轨运行和业务应用，发挥了显著的经济和社会效益。已知海陆雷达卫星轨道半径是海洋动力环境卫星轨道半径的n倍，则( )
A．海陆雷达卫星线速度是海洋动力环境卫星线速度的
B．海陆雷达卫星线速度是海洋动力环境卫星线速度的倍
C．在相同的时间内，海陆雷达卫星与海洋动力环境卫星各自到地球球心的连线扫过的面积相等
D．在相同的时间内，海陆雷达卫星与海洋动力环境卫星各自到地球球心的连线扫过的面积之比为∶1
D [对卫星，由万有引力提供向心力，可知G＝m，所以v＝。因为海陆雷达卫星轨道半径是海洋动力环境卫星轨道半径的n倍，所以海陆雷达卫星线速度是海洋动力环境卫星线速度的，故A、B错误；相同时间内做匀速圆周运动的天体与中心天体连线扫过的面积是扇形的面积，S＝lr＝vt·r＝t·r＝t∝，所以在相同的时间内，海陆雷达卫星与海洋动力环境卫星各自到地球球心的连线扫过的面积之比为∶1，故C错误，D正确。]
考点2 人造卫星的变轨问题
1．制动变轨：卫星的速率变小时，使得万有引力大于所需向心力，即G＞m，卫星做向心运动，轨道半径将变小，所以要使卫星的轨道半径变小，需开动反冲发动机使卫星做减速运动。
2．加速变轨：卫星的速率增大时，使得万有引力小于所需向心力，即G＜m，卫星做离心运动，轨道半径将变大，所以要使卫星的轨道半径变大，需开动反冲发动机使卫星做加速运动。
【典例2】 (多选)如图所示，发射同步卫星的一般程序是：先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在P点变轨，进入椭圆形转移轨道(该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P点，远地点为同步圆轨道上的Q点)，到达远地点Q时再次变轨，进入同步轨道。设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在椭圆形转移轨道的近地点P点的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在同步轨道上的速率为v4，三个轨道上运动的周期分别为T1、T2、T3,
则下列说法正确的是( )
A．在P点变轨时需要加速，Q点变轨时要减速
B．在P点变轨时需要减速，Q点变轨时要加速
C．T1＜T2＜T3
D．v2＞v1＞v4＞v3
思路点拨：(1)在P、Q点都是加速，速度变大后才能运动的外轨道上。
(2)由开普勒第三定律可比较周期。
CD [由离心运动条件知卫星在P点做离心运动，变轨时需要加速，在Q点变轨时仍要加速，故选项A、B错误；卫星在椭圆形转移轨道的近地点P时做离心运动，所受的万有引力小于所需要的向心力，即G
eq
\f(Mm,R)＜m
eq
\f(v,R1)，而在圆轨道时万有引力等于向心力，即G
eq
\f(Mm,R)＝m
eq
\f(v,R1)，所以v2＞v1，由卫星在Q点点火加速进入圆轨道可知v3＜v4，又由人造卫星的线速度v＝可知v1＞v4，故选项D正确；由于轨道半径R1＜R2＜R3，由开普勒第三定律＝k(k为常量)得T1＜T2＜T3，故选项C正确。]
由于人造地球卫星在轨道上运行时，所需要的向心力是由万有引力提供的，若由于某种原因，使卫星的速度增大，则所需要的向心力也必然会增加，而万有引力在轨道不变的时候，是不可能增加的，这样卫星由于所需要的向心力大于外界所提供的向心力而做离心运动。
2．如图所示，假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。则( )
A．飞船在轨道Ⅰ上的运行速度为
B．飞船在A点处点火时，速度增加
C．飞船在轨道Ⅰ上运行时通过A点的加速度大于在轨道Ⅱ上运行时通过A点的加速度
D．飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为2π
D [据题意，飞船在轨道Ⅰ上运动时有G＝m，经过整理得v＝，而GM＝g0R2，代入上式计算得v＝，选项A错误；飞船在A点处点火使速度减小，飞船做靠近圆心的运动，所以飞船速度减小，选项B错误；飞船两条运动轨迹的A点距地心的距离均相等，所以加速度相等，选项C错误；飞船在轨道Ⅲ上运行一周的时间为：G＝mR经过整理得T＝2π，选项D正确。]
考点3 天体中的追及、相遇问题
1．对于天体中的追及、相遇问题的处理思路
(1)根据G＝mrω2判断出谁的角速度大。
(2)根据两星追上(或相距最近)时满足两星运行的角度差等于2π的整数倍，相距最远时两星运行的角度差等于π的奇数倍列式求解。
2．在分析卫星与地球上的物体的相遇与追及问题时，要根据地球上物体与同步卫星角速度相同的特点进行判断。
【典例3】 如图所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是( )
A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度
B．a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大
C．c加速可以追上同一轨道上的b，b减速可以等候同一轨道上的c
D．b、c向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
B [人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M，有G＝m＝ma，解得卫星线速度v＝，由题图可知，ra3．(2019·西安模拟)假设有一艘载人宇宙飞船在距地面高度为4
200
km的赤道上空绕地球做匀速圆周运动，地球半径约为6
400
km，地球同步卫星距地面高为36
000
km，宇宙飞船和一地球同步卫星绕地球同向运动，每当两者相距最近时，宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站，某时刻两者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号( )
A．4次
B．6次
C．7次
D．8次
C [根据圆周运动的规律，一昼夜同步卫星与宇宙飞船相距最近的次数即为卫星发射信号的次数，也为接收站接收到信号的次数。
设宇宙飞船的周期为T，由＝mr，得T＝2π，则＝，解得T＝3
h，
设两者由相距最远至第一次相距最近的时间为t1，有
·t1＝π，解得t1＝
h，
再设两者相邻两次相距最近的时间间隔为t2，有·t2＝2π，
解得t2＝
h，
由n＝＝6.5(次)知，接收站接收信号7次。]
1
