素养培优集训(三) 平抛运动规律和应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．人站在平台上平抛一小球，球离手时的速度为v1，落地时速度为v2，不计空气阻力，下列选项中能表示出速度矢量的演变过程的是( )
A B C D
C [物体做平抛运动时，在水平方向上做匀速直线运动，其水平方向的分速度不变，故选项C正确。]
2.如图所示，以10
m/s的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为45°的斜面上(g取10
m/s2)，可知物体完成这段飞行的时间是( )
A．
s
B．
s
C．1
s
D．2
s
C [物体垂直地撞在倾角θ为45°的斜面上，根据几何关系可知此时速度方向与水平方向的夹角为45°，由平抛运动的规律得vy＝v0tan
45°＝gt，代入数据解得t＝1
s，故选项C正确，A、B、D错误。]
3．下列选项所示，关于物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角θ的正切tan
θ随时间t的变化图像正确的是( )
A B C D
B [如图，tan
θ＝＝，可见tan
θ与t成正比，选项B正确。]
4．(2020·广东学业水平等级考试)玩“套圈圈”游戏时，大人和小孩直立站在同一水平线上，两人同时向各自正前方3
m处放置在水平地面上的玩具小熊水平抛出小圆环，小圆环恰好都套中玩具熊，小圆环离手后的运动可视作平抛运动，下列说法正确的是( )
A．小孩先套住玩具熊
B．大人先套住玩具熊
C．两人同时套住玩具熊
D．两人水平抛出小圆环的初速度相同
A [设抛出的小圆环做平抛运动的初速度为v，水平抛出时的高度为h，下落的时间为t，则由h＝gt2，解得t＝，因小孩的高度比较低，则其抛出的小圆环运动的时间较短，所以小孩先套住玩具熊，故A正确，B、C错误；小圆环水平方向的位移x＝vt＝v，由于x相等，小孩水平抛出的小圆环运动时间短，则小孩水平抛出小圆环的速度比大人水平抛出小圆环的速度要大，故D错误。]
5.如图所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd。从a点正上方的O点以初速度v水平抛出一个小球，它落在斜面上b点。若小球从O点以速度2v水平抛出，不计空气阻力，则它会落在斜面上的( )
A．b与c之间某一点
B．c点
C．c与d之间某一点
D．d点
A [如图所示，过b作水平线交竖直线Oa于O′，当速度为v时，x＝；当速度为2v时，x′＝2x＝2，由几何关系知小球在斜面上落点必在b、c之间，选项A正确。]
6．某同学对着墙壁练习打网球，假定球在墙面上以25
m/s的速度沿水平方向反弹，落地点到墙面的距离在10
m至15
m之间．忽略空气阻力，g取10
m/s2，球在墙面上反弹点的高度范围是( )
A．0.8
m至1.8
m
B．0.8
m至1.6
m
C．1.0
m至1.6
m
D．1.0
m至1.8
m
A [设球从反弹到落地的时间为t，球在墙面上反弹点的高度为h。球反弹后做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动。故
ss。且h＝gt2，所以0.8
mm，故选项A正确，B、C、D错误。]
7．如图所示，两小球a、b从直角三角形斜面的顶端以相同大小的水平速率v0向左、向右水平抛出，分别落在两个斜面上，三角形的两底角分别为30°和60°，则两小球a、b运动时间之比为( )
A．1∶
B．1∶3
C．∶1
D．3∶1
B [设a、b两球运动的时间分别为ta和tb，则tan
30°＝
eq
\f(\f(1,2)gt,v0ta)＝，tan
60°＝
eq
\f(\f(1,2)gt,v0tb)＝，两式相除得：＝＝，故B正确。]
8.如图所示，一篮球从离地H高处的篮板上A点以初速度v0水平弹出，刚好在离地h高处被跳起的同学接住，不计空气阻力。则篮球在空中飞行的( )
A．时间为
B．时间为
C．水平位移为v0
D．水平位移为v0
C [根据H－h＝gt2知，篮球在空中飞行的时间：t＝，故A、B错误；篮球的水平位移为：x＝v0t＝v0，故C正确，D错误。]
9.如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足( )
A．tan
φ＝sin
θ
B．tan
φ＝cos
θ
C．tan
φ＝tan
θ
D．tan
φ＝2tan
θ
D [如图所示，tan
θ＝＝＝，tan
φ＝＝，解得tan
φ＝2tan
θ。]
10.(2020·浙江衢州等三市模拟联考)如图所示，网球发球机水平放置在距地面某高度处，正对着竖直墙面发射网球(假设所有网球均完全相同)，两次发射网球分别在墙上留下A、B两点印迹。测得OA＝AB。OP为水平线，若忽略网球在空中受到的阻力，则下列说法正确的是( )
A．两球发射的初速度vOA∶vOB＝1∶2
B．两球碰到墙面前运动的时间tA∶tB＝1∶2
C．两球碰到墙面时的速度可能相同
D．两球碰到墙面时的动能可能相等
D [设OA＝AB＝h，忽略网球在空中受到的阻力，则网球做平抛运动，竖直方向上有h＝gt，2h＝gt，整理得tA∶tB＝1∶，故B错误；网球在水平方向的运动为匀速直线运动，而且两次水平位移大小相等，则x＝vOAtA＝vOBtB，整理得vOA∶vOB＝∶1，故A错误；速度为矢量，由图可知，两球与墙碰撞时的速度方向不相同，故C错误；设两球的质量均为m，两球碰到墙面时的动能分别为EkA、EkB，从抛出到与墙碰撞，根据动能定理有mgh＝EkA－mv，2mgh＝EkB－mv，整理得EkA－mgh＝mv，EkB－2mgh＝mv，解得EkA＝2EkB－3mgh，若要使EkA＝EkB，则EkB＝3mgh，解得此时vOB＝，vOA＝2，即若两球发射的初速度满足该条件时，两球碰到墙面时的动能相等，故D正确。]
二、非选择题
11．如图所示，设光滑斜面长为L1，宽为L2，倾角为θ。一物体沿斜面上方顶点P水平射入，而后从右下方顶点Q离开斜面，求物体射入时的初速度。
[解析] 物体沿斜面向下的加速度a＝＝g
sin
θ
在水平方向上有L2＝v0t
在沿斜面向下的方向上有L1＝at2
解得v0＝＝L2。
[答案] L2
12.2019年9月份，在日本举行的第13届世界杯赛事中，中国女排11连胜，蝉联世界杯冠军。在发球过程中，排球的运动可视为平抛运动，若某次将排球以6
m/s的速度水平击出，它落地时的速度大小为10
m/s。(不计空气阻力，g＝10
m/s2)求：
(1)排球在空中运动的时间t；
(2)排球运动的水平位移x；
(3)排球在空中下落的高度h。
[解析] (1)根据平抛运动可知排球落地时速度大小为vt＝
eq
\r(v＋v)
解得小球落地时竖直方向的速度大小为：vy＝8
m/s
故排球在空中运动的时间为：t＝＝0.8
s。
(2)排球运动的水平位移：x＝v0t＝4.8
m。
(3)排球在空中下落的高度：h＝gt2＝3.2
m。
[答案] (1)0.8
s (2)4.8
m (3)3.2
m
13．一支探险队在探险时遇到一条山沟，山沟的一侧OA竖直，另一侧呈抛物线形状的坡面OB与一个平台BC相连，如图所示。已知山沟竖直一侧OA的高度为2h，平台离沟底的高度为h，C点离OA的水平距离为2h。以沟底的O点为原点建立坐标系xOy，坡面的抛物线方程为y＝。质量为m的探险队员在山沟的竖直一侧从A点沿水平方向跳向平台。人可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。
(1)若探险队员从A点以初速度v0水平跳出时，掉在坡面OB的某处，则他在空中运动的时间为多少？
(2)为了能跳在平台上，他在A点的初速度应满足什么条件？请计算说明。
[解析] 设探险队员在OB坡面上的落点坐标为(x，y)，由平抛运动规律可得x＝v0t，2h－y＝gt2，又y＝，联立解得t＝
eq
\f(2h,\r(v＋gh))。
(2)将y＝h代入y＝可求得B点的横坐标xB＝h，而C点的横坐标xC＝2h。由平抛运动规律得xB＝vOBt1，xC＝vOCt1，2h－h＝gt，解得vOB＝，vOC＝，所以为了能跳到平台上，他在A点的初速度应满足≤v0≤。
[答案] (1)
eq
\f(2h,\r(v＋gh)) (2)≤v0≤
4素养培优课(三) 平抛运动规律和应用
[培优目标] 1.加深理解平抛运动的特点、性质及规律。2.掌握研究平抛运动的方法，分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。3.熟练应用平抛运动的规律，及分解、合成法处理题目，提高解题能力。
考点1 对平抛运动的规律的理解
1．飞行时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
2．水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。
3．落地速度：vt＝
eq
\r(v＋v)＝
eq
\r(v＋2gh)，以θ表示落地速度与x轴正方向的夹角，有tan
θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关。
4．速度改变量：因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示。
【典例1】 一演员表演飞刀绝技，由O点先后抛出完全相同的三把飞刀，分别垂直打在竖直木板上M、N、P三点，如图所示。假设不考虑飞刀的转动，并可将其看作质点，已知O、M、N、P四点距水平地面高度分别为h、4h、3h、2h，以下说法正确的是( )
A．三把飞刀在击中木板时速度相同
B．三次飞行时间之比为1∶∶
C．三次初速度的竖直分量之比为3∶2∶1
D．设三次抛出飞刀的初速度与水平方向夹角分别为θ1、θ2、θ3，则有θ1＞θ2＞θ3
思路点拨：(1)飞刀都做斜抛运动，分解为水平方向匀速运动，竖直方向为竖直上抛运动。
(2)因飞刀垂直打在木板上，所以竖直速度为0，可用逆向思维，利用比例关系求解。
D [初速度为零的匀变速直线运动推论：(1)静止起通过连续相等位移所用时间之比t1∶t2∶t3…＝1∶(－1)∶(－)…，(2)前h、前2h、前3h…所用的时间之比为1∶∶…，对末速度为零的匀变速直线运动，也可以运用这些规律倒推。三把飞刀在击中木板时速度不等，选项A错误；飞刀击中M点所用时间长一些，选项B错误；三次初速度的竖直分量之比等于∶∶1，选项C错误。故选项D正确。]
平抛运动的分析方法
用运动的合成与分解方法研究平抛运动，要根据运动的独立性理解平抛运动的两分运动，即水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。分析方法通常有两种：若已知位移的大小或方向就分解位移；若已知速度的大小和方向就分解速度。
1.如图所示，在同一平台上的O点水平抛出的三个物体，分别落到a、b、c三点，不计空气阻力，则三个物体运动的初速度va、vb、vc的关系和三个物体运动的时间ta、tb、tc的关系分别是( )
A．va＞vb＞vc；ta＞tb＞tc
B．va＜vb＜vc；ta＝tb＝tc
C．va＜vb＜vc；ta＞tb＞tc
D．va＞vb＞vc；ta＜tb＜tc
C [根据h＝gt2可得t＝，故ta＞tb＞tc；根据v＝及xc＞xb＞xa可得va＜vb＜vc，选项C正确。]
考点2 与斜面结合的平抛运动问题
1．常见的两类情况
(1)物体从空中抛出落在斜面上；
(2)从斜面上抛出后又落在斜面上。
2．两种情况处理方法
方法
内容
斜面
总结
分解速度
水平：vx＝v0竖直：vy＝gt合速度：v＝
eq
\r(v＋v)
分解速度，构建速度三角形
分解位移
水平：x＝v0t竖直：y＝gt2合位移：x合＝
分解位移，构建位移三角形
物体垂直落在斜面上
【典例2】 如图所示，倾角θ＝30°的斜面放在水平地面上，P是斜面底端O点正上方的一点，一物体从P点水平抛出，垂直落到斜面上的A点。A点距离水平面的高度为h，由此可知OP之间的距离为( )
A．2h
B．2.5
h
C．2h
D．2h
B [设OP之间的距离为H，平抛运动的水平位移为s，则H－h＝vy·t，s＝v0t，两式相除＝，因为＝，s＝，所以H＝h＋，代入数据求得H＝2.5h，B正确。]
从斜面上平抛后又落在斜面上
【典例3】 (多选)跳台滑雪运动员的动作惊险而优美，其实滑雪运动可抽象为物体在斜坡上的平抛运动。如图所示，设可视为质点的滑雪运动员，从倾角为θ的斜坡顶端P处，以初速度v0水平飞出，运动员最后又落到斜坡上A点处，AP之间距离为L，在空中运动时间为t，改变初速度v0的大小，L和t都随之改变。关于L、t与v0的关系，下列说法中正确的是( )
A．L与v0成正比
B．L与v成正比
C．t与v0成正比
D．t与v成正比
BC [滑雪运动可抽象为物体在斜坡上的平抛运动。设水平位移为x，竖直位移为y，结合几何关系，有：水平方向上：x＝L
cosθ＝v0t，竖直方向上：y＝L
sin
θ＝gt2，联立可得：t＝，即t与v0成正比；L＝
eq
\f(2vtan
θ,cos
θ)，即L与v成正比，B、C正确。]
与斜面结合的平抛运动
(1)物体做平抛运动时垂直落在斜面上，是速度方向与斜面垂直，而不是位移方向垂直于斜面。
(2)从斜面上开始运动又落在斜面上的过程中，速度方向与斜面平行时，物体到斜面距离最远。
2.(角度一)如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球，某次球与墙壁上A点碰撞后水平弹离，恰好垂直落在球拍上的B点。已知球拍与水平方向夹角θ＝60°，AB两点高度差h＝1
m，忽略空气阻力，重力加速度g＝10
m/s2，则球刚要落到球拍上时速度大小为( )
A．2
m/s
B．2
m/s
C．4
m/s
D．
m/s
C [根据h＝gt2得，t＝＝
s＝s，竖直分速度：vy＝gt＝10×
m/s＝2m/s，根据平行四边形定则知，球刚要落到球拍上时速度大小v＝＝4m/s，故C正确，A、B、D错误。]
3．(角度二)如图所示，从倾角为θ的斜面顶端分别以v0和2v0的速度水平抛出a、b两个小球，若两个小球都落在斜面上且不发生反弹，不计空气阻力，则a、b两球( )
A．水平位移之比为1∶2
B．下落的高度之比为1∶2
C．在空中飞行的时间之比为1∶2
D．落到斜面时速度方向与斜面夹角之比为1∶2
C [因为两个小球均落到斜面上，所以二者的位移偏转角相同，又由于初速度之比为1∶2，所以根据位移偏转角的正切值tan
θ＝，所以运动时间之比为1∶2，C正确；再结合x＝v0t，可得水平位移之比为1∶4，A错误；再根据h＝gt2，下落的高度之比为1∶4，B错误；再根据速度偏转角的正切值是位移偏转角正切值的两倍可知，速度偏转角相同，速度方向与斜面夹角之比为1∶1，D错误。]
考点3 平抛运动中的临界极值问题
【典例4】 (多选)如图所示，李娜在边界A处正上方B点将球水平向右击出，球恰好过网C落在D处，已知AB高h1＝1.8
m，x＝18.3
m，CD＝9.15
m，网高为h2，不计空气阻力，则( )
A．球网上边缘的高度h2＝1
m
B．若保持击球位置、高度和击球方向不变，球刚被击出时的速率为60
m/s，球不能落在对方界内
C．任意增加击球高度，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内
D．任意降低击球高度(仍高于h2)，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内
AC [根据h1＝gt得：t1＝＝
s＝0.6
s，则平抛运动的初速度为：v0＝＝
m/s＝45.75
m/s。
则运动到球网的时间为：t＝＝
s＝0.4
s；则下落的高度为：Δh＝gt2＝×10×0.16
m＝0.8
m，则球网上边缘的高度为：h2＝h1－Δh＝1.8
m－0.8
m＝1
m，故A正确；根据x＝v0t1＝60×0.6
m＝36
m＜2x，知球一定能落在对方界内，故B错误；增加击球高度，只要速度合适，球一定能发到对方界内，故C正确；任意降低击球高度(仍大于h2)，会有一临界情况，此时球刚好触网又刚好压界，若小于该临界高度，速度大会出界，速度小会触网，所以不是高度比网高，就一定能将球发到界内，故D错误。]
分析平抛运动中临界问题的思路
(1)确定运动性质——匀变速曲线运动。
(2)分析临界条件，一般采用极限法，即把平抛运动的初速度增大或减小，使临界状态呈现出来。
(3)确定临界状态的运动轨迹，必要时画出轨迹示意图，画示意图可以使抽象的物理情境变得直观，更可以使有些隐藏的条件显现出来。
(4)灵活运用数学知识分析求解有关临界与极值问题。
4．如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6
m，墙的厚度d＝0.3
m，某人在离墙壁L＝1.2
m、距窗子上沿h＝0.2
m处的P点，将可视为质点的小物体以速度v水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，g取10
m/s2。则v的取值范围是( )
A．0＜v＜7
m/s
B．0＜v＜2.5
m/s
C．2
m/s＜v＜6
m/s
D．2.5
m/s＜v＜6
m/s
D [小物体做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时v最大。此时有L＝vmaxt，h＝gt2，代入解得vmax＝6
m/s；小物体恰好擦着窗子下沿左侧穿过时速度v最小，则有L＋d＝vmint′，H＋h＝gt′2，解得vmin＝2.5
m/s，故v的取值范围是2.5
m/sm/s。选项D正确。]
1
