素养培优课(四) 圆周运动规律及其应用
[培优目标] 1.掌握处理圆周运动问题的思路和方法。2.会分析水平面内常见的圆周运动模型。3.掌握竖直平面内两类模型的特点及分析方法。
考点1 水平面内的常见圆周运动模型
1．模型特点：(1)运动平面是水平面。
(2)合外力提供向心力，且沿水平方向指向圆心。
2．常见装置
运动模型
飞机在水平面内做圆周运动
火车转弯
圆锥摆
向心力的来源图示
运动模型
飞车走壁
汽车在水平路面转弯
水平转台
向心力的来源图示
【典例1】 (2020·安徽肥东二中月考)如图所示，在光滑圆锥体顶用长为L的细线悬挂一质量为m(可视为质点)的小球，圆锥固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30°，小球以速率v绕圆锥体轴线做水平圆周运动。
(1)当v1＝时，求细线对小球的拉力；
(2)当v2＝时，求细线对小球的拉力。
[解析] 小球离开圆锥面的临界条件为圆锥体对小球的支持力FN＝0，如图甲所示，设此时小球的线速度为v0，则F＝ma＝m
eq
\f(v,r)＝m
eq
\f(v,L
sin
30°)＝mg
tan
30°，
解得v0＝。
甲 乙 丙
(1)因v1＜v0，FN≠0，对小球受力分析，如图乙所示，有T
sin
30°－FNcos
30°＝
eq
\f(mv,L
sin
30°)，T
cos
30°＋FNsin
30°＝mg，解得T＝。
(2)因v2＞v0，小球离开斜面，对小球受力分析，如图丙所示，有T′sin
α＝
eq
\f(mv,L
sin
α)，T′cos
α＝mg，解得T′＝2mg。
[答案] (1) (2)2mg
1．(2020·开封模拟)质量为m的飞机以恒定速率v在空中水平盘旋，如右图所示，其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则此时空气对飞机的作用力大小为( )
A．m
B．mg
C．m
D．m
C [飞机在空中水平盘旋，其实质应是圆锥摆模型，其受力情况如图所示。即空气对飞机的作用力F，在竖直方向的分力与重力平衡，水平方向的分力提供向心力，为m，故F＝
eq
\r(（mg）2＋F)＝m，故C正确。]
考点2 竖直平面内圆周运动的轻绳模型
如图所示，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，二者运动规律相同，现以甲图为例。
甲 乙
1．最低点动力学方程：
T1－mg＝m
eq
\f(v,L)
T1＝mg＋m
eq
\f(v,L)。
2．最高点动力学方程：
T2＋mg＝m
eq
\f(v,L)
所以T2＝m
eq
\f(v,L)－mg。
3．最高点的最小速度：由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由T2＋mg＝
eq
\f(mv,L)可知，当T2＝0时，v2最小，最小速度为v2＝。
讨论：当v2＝时，拉力或压力为零。
当v2＞时，小球受向下的拉力或压力。
当v2＜时，小球不能到达最高点。
【典例2】 如图所示，长度为L＝0.4
m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5
kg，小球半径不计，g取10
m/s2，求：
(1)小球刚好通过最高点时的速度大小；
(2)小球通过最高点时的速度大小为4
m/s时，绳的拉力大小；
(3)若轻绳能承受的最大张力为45
N，小球运动过程中速度的最大值。
[解析] (1)小球刚好能够通过最高点时，恰好只由重力提供向心力，
故有mg＝m
eq
\f(v,L)，
解得v1＝＝2
m/s。
(2)小球通过最高点时的速度大小为4
m/s时，拉力和重力的合力提供向心力。
则有T＋mg＝m
eq
\f(v,L)，
解得T＝15
N。
(3)分析可知小球通过最低点时绳张力最大，在最低点由牛顿第二定律得T′－mg＝m
eq
\f(v,L)，
将T′＝45
N代入解得v3＝4
m/s，
即小球的速度不能超过4
m/s。
[答案] (1)2
m/s (2)15
N (3)4
m/s
2.如图所示是半径为r的竖直光滑圆形轨道，将一玩具小车放到与轨道圆心O处于同一水平面的A点，并给小车一竖直向下的初速度，使小车沿轨道内侧做圆周运动。要使小车不脱离轨道，则在A处使小车获得竖直向下的最小初速度应为( )
A．
B．
C．
D．
C [小车恰好不脱离轨道的条件是在最高点满足mg＝m。小车沿轨道内侧做圆周运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒。设小车在A处获得的最小初速度为vA，由机械能守恒定律得mv＝mgr＋mv2，解得vA＝。故选项C正确。]
考点3 竖直平面内圆周运动的轻杆模型
如图所示，细杆上固定的小球和光滑管形轨道内运动的小球在重力和杆(管道)的弹力作用下做圆周运动。
1．最高点的最小速度
由于杆和管在最高点处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力N＝mg。
2．小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况
(1)v＞，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，mg＋F＝m，所以F＝m－mg，F随v增大而增大；
(2)v＝，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F＝0，mg＝m；
(3)0【典例3】 如图，长为0.5
m的轻杆OA绕O点在竖直面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2
kg的小球(半径不计)。求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向(g取10
m/s2，取π2＝10)：
(1)杆做匀速圆周运动的转速为2
r/s；
(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5
r/s。
[解析] 假设小球在最高点受到轻杆的作用力竖直向下，则小球受力如图所示：
(1)杆的转速为2
r/s时，ω＝2π·n＝4π
rad/s，
由牛顿第二定律得F＋mg＝mLω2，
故小球所受杆的作用力
F＝mLω2－mg＝2×(0.5×42×π2－10)N≈138
N，
即杆对小球有138
N的拉力，由牛顿第三定律可知，小球对杆的拉力大小为140
N，方向竖直向上。
(2)杆的转速为0.5
r/s时，ω′＝2π·n′＝π
rad/s，
同理可得小球所受杆的作用力
F′＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10)N≈－10
N。
力F′为负值表示它的方向与受力分析中假设的方向相反，即杆对小球有10
N的支持力，由牛顿第三定律可知，小球对杆的压力大小为10
N，方向竖直向下。
[答案] (1)138
N 方向竖直向上 (2)10
N 方向竖直向下
“二明、一分、一用”解竖直平面内圆周运动问题
3.如图所示，小球m在竖直放置的内壁光滑的圆形细管内做半径为R的圆周运动，小球过最高点速度为v，则下列说法中正确的是( )
A．v的最小值为v＝
B．v从减小，受到的管壁弹力也减小
C．小球通过最高点时一定受到向上的支持力
D．小球通过最低点时一定受到外管壁的向上的弹力
D [小球在管道中运动，在最高点的最小速度为零，选项A错误；当管子对小球的弹力为零，重力提供向心力，根据mg＝m，解得v＝，当v由逐渐减小，管子对小球的弹力向上，根据牛顿第二定律得，mg－F＝m，知弹力增大，选项B错误；小球在最高点时由于速度的大小未知，故可能受到向下的弹力，也可能受到向上的弹力，选项C错误；在最低点，因为向心力指向圆心，所以重力和弹力的合力方向竖直向上，知外管壁对小球有弹力作用，选项D正确。]
1素养培优集训(四) 圆周运动规律及其应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．一轻杆一端固定一质量为M的小球，另一端连在轴上，并可绕轴在竖直平面内运动，不计空气阻力，在最低点给小球一水平速度v0时，小球刚好能到达最高点，若小球在最低点的瞬时速度从v0不断增大，则可知( )
A．小球在最高点对杆的作用力不断增大
B．小球在最高点对杆的作用力先减小后增大
C．小球在最高点对杆的作用力不断减小
D．小球在最高点对杆的作用力先增大后减小
B [杆既能给小球支持力，又能给小球拉力，也就是说，杆在最高点给小球的弹力既可能向上又可能向下，因此，小球在最高点的速度可以为零。当最高点小球速度为零时，杆对小球的作用力为支持力且等于mg。随着速度的增大，支持力逐渐减小，当v＝时，杆的作用力为零，当速度继续增大时，杆对小球的作用力为拉力且不断增大，故选B。]
2．如图所示，圆盘绕过圆心且垂直于盘面的轴匀速转动，其上有a、b、c三点，已知Oc＝Oa，则下列说法中错误的是( )
A．a、b两点线速度相同
B．a、b、c三点的角速度相同
C．c点的线速度大小是a点线速度大小的一半
D．a、b、c三点的运动周期相同
A [同轴转动的不同点角速度相同，B正确；根据T＝知，a、b、c三点的运动周期相同，D正确；根据v＝ωr可知c点的线速度大小是a点线速度大小的一半，C正确；a、b两点线速度的大小相等，方向不同，A错误。]
3．(多选)有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁高速行驶，做匀速圆周运动。如图所示，图中虚线表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h，下列说法中正确的是( )
A．h越高，摩托车对侧壁的压力将越大
B．h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
C．h越高，摩托车做圆周运动的周期将越大
D．h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大
BC [摩托车受力分析如图所示。由于N＝，所以摩托车受到侧壁的支持力与高度无关，保持不变，摩托车对侧壁的压力N′也不变，A错误；由F＝mg
tan
θ＝m＝mω2r知，h变化时，向心力F不变，但高度升高，r变大，所以线速度变大，角速度变小，周期变大，选项B、C正确，D错误。]
4．如图所示，将完全相同的两小球A、B用长L＝0．8
m的细绳悬于以v＝4
m/s向左匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触。由于某种原因，小车突然停止，此时悬线中张力之比TA∶TB为(g取10
m/s2)( )
A．1∶1
B．1∶2
C．1∶3
D．1∶4
C [小车突然停止，B球将做圆周运动，所以TB＝m＋mg＝30m；A球将静止，TA＝mg＝10m，故此时悬线中张力之比为TA∶TB＝1∶3，C选项正确。]
5．有一根长为0.4
m的杆一端束缚着一个质量为0.5
kg的小球，并绕杆的另一端以2
rad/s的角速度在竖直平面内做匀速圆周运动，则小球在最低点和最高点对杆的作用力分别为( )
A．5.8
N，方向竖直向上；4.2
N，方向竖直向下
B．5.8
N，方向竖直向上；4.2
N，方向竖直向上
C．5.8
N，方向竖直向下；4.2
N，方向竖直向下
D．5.8
N，方向竖直向下；4.2
N，方向竖直向上
C [小球在最低点有N1－mg＝mω2r，解得N1＝5.8
N，方向竖直向上，根据牛顿第三定律，小球对杆的作用力方向竖直向下。小球在最高点有mg－N2＝mω2r，解得N2＝4.2
N，方向竖直向上，根据牛顿第三定律，小球对杆的作用力方向竖直向下，选项C正确，A、B、D错误。]
6．如图所示，滑块M能在水平光滑杆上自由滑动，滑杆固定在转盘上，M用绳跨过在圆心处的光滑滑轮与另一质量为m的物体相连。当转盘以角速度ω转动时，M离轴距离为r，且恰能保持稳定转动。当转盘转速增到原来的2倍，调整r使之达到新的稳定转动状态，则滑块M( )
A．所受向心力变为原来的4倍
B．线速度变为原来的
C．转动半径r变为原来的
D．角速度变为原来的
B [转速增加，再次稳定时，M做圆周运动的向心力仍由拉力提供，拉力仍然等于物体m的重力，所以向心力不变，故A错误；转速增到原来的2倍，则角速度变为原来的2倍，根据F＝mrω2，向心力不变，则r变为原来的。根据v＝rω，线速度变为原来的，故B正确，C、D错误。]
7.如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上。小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)。现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，两次金属块Q都保持在桌面上静止。则后一种情况与原来相比较，下列说法中正确的是( )
A．Q受到桌面的支持力变大
B．Q受到桌面的静摩擦力变大
C．小球P运动的角速度变小
D．小球P运动的周期变大
B [根据小球做圆周运动的特点，设细线与竖直方向的夹角为θ，故FT＝，对金属块受力分析，由平衡条件，Ff＝FTsin
θ＝mg
tan
θ，FN＝FTcos
θ＋Mg＝mg＋Mg，故在θ增大时，Q受到的支持力不变，静摩擦力变大，选项A错误，B正确；设细线的长度为L，由mg
tan
θ＝mω2L
sin
θ，得ω＝，故角速度变大，周期变小，选项C、D均错误。]
8.杂技演员表演“水流星”，在长为1.6
m的细绳的一端，系一个总质量为m＝0.5
kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，使其在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4
m/s，则下列说法正确的是(g取10
m/s2)( )
A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的水的压力均为零
C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D．“水流星”通过最高点时，绳的拉力大小为5
N
B [“水流星”刚好通过最高点的临界速度v＝＝4
m/s，由此可知，绳的拉力恰好为零，容器底部对水的压力也为零，且水恰不流出容器，处于完全失重状态，只受重力作用，故选B。]
9.质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上，杆端套有一个质量为m的小球，今使小球沿水平方向做半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω，如图所示，则杆的上端受到的作用力大小为( )
A．mω2R
B．m
C．m
D．不能确定
C [小球在重力和杆的作用力下做匀速圆周运动。这两个力的合力提供向心力，方向指向圆心，如图所示。用力的合成法可得杆对球的作用力N＝
eq
\r(（mg）2＋F)＝m，根据牛顿第三定律，小球对杆的上端的反作用力N′＝N，C正确。]
10.质量为M的物体中央有光滑圆形轨道，现有一质量为m的小滑块沿该圆形轨道的竖直面做圆周运动，A、C为圆形轨道的最高点和最低点，B、D与圆心O在同一水平线上。小滑块运动时，物体M保持静止，关于物体M对地面的压力FN和地面对物体的摩擦力，下列说法正确的是( )
A．滑块运动到A点时，FN>Mg，摩擦力方向向左
B．滑块运动到B点时，FNC．滑块运动到C点时，FN＝(M＋m)g，物体与地面间无摩擦力
D．滑块运动到D点时，FN＝Mg，摩擦力方向向左
D [滑块在A、C点时，滑块对物体的作用力在竖直方向上，系统在水平方向不受力的作用，所以物体与地面间没有摩擦力的作用，A错误；滑块在B点时，需要的向心力向右，所以物体对滑块有向右的支持力的作用，对物体进行受力分析可知，地面对物体有向右的摩擦力的作用。在竖直方向上，由于没有加速度，物体受力平衡，所以物体对地面的压力FN＝Mg，B错误；滑块在C点时，滑块需要的向心力向上，所以滑块对物体的压力大于滑块的重力，则物体对地面的压力大于(M＋m)g，C错误；滑块在D点和B点的受力情况类似，由B项分析可知，FN＝Mg，物体受到地面的摩擦力方向向左，D正确。]
二、计算题
11．AB是竖直平面内的四分之一圆弧轨道，下端B与水平直轨道相切，如图所示。一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑。已知圆弧轨道半径为R，小球的质量为m，不计各处摩擦。求：
(1)小球运动到B点时的动能；
(2)小球经过圆弧轨道的B点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力NB、NC各是多大。
[解析] (1)小球自A点由静止开始沿轨道运动到最低点B的过程中，只有重力做功，机械能守恒。取BC水平面为零势能面，则mgR＝mv
B点的动能为Ek＝mv＝mgR。
(2)小球运动到B点时，由牛顿第二定律得，
NB－mg＝m
eq
\f(v,R)
则NB＝3mg
到达C点时，竖直方向由平衡条件得：
NC＝mg。
[答案] (1)mgR (2)3mg mg
12.如图所示，两绳系着一个质量为m＝0.1
kg的小球C，上面绳长l＝2
m，两绳都拉直时与轴夹角分别为30°与45°。问球的角速度ω满足什么条件时，两绳始终张紧？(g取10
m/s2)
[解析] 对小球受力分析，如图所示。
当BC绳恰好拉直，但没有拉力存在时，
有T1cos
30°＝mg
T1sin
30°＝ml
sin
30°·ω
解得ω1≈2.4
rad/s；
当AC绳恰好拉直，但没有拉力存在时，
有T2cos
45°＝mg
T2sin
45°＝ml
sin
30°·ω
解得ω2≈3.16
rad/s
所以要使两绳始终张紧，ω必须满足的条件是
2．4
rad/s≤ω≤3.16
rad/s。
[答案] 2.4
rad/s≤ω≤3.16
rad/s
13.如图所示，一个半径为R＝1.5
m的金属圆环竖直固定放置，环上套有一个质量为m的小球，小球可在环上自由滑动，与环间的动摩擦因数为0.75。不计空气阻力，重力加速度g＝10
m/s2。当小球逆时针滑动经过环的最高点时：(结果可用根号表示)
(1)若此刻环对小球的摩擦力为零，求此刻小球的速率；
(2)若此刻环对小球的摩擦力大小为0.3mg，求此刻环对小球的作用力大小；
(3)若此刻环对小球的摩擦力大小为0.3mg，求此刻小球的速率。
[解析] (1)环对小球的摩擦力f＝0时，环对小球的弹力N＝0，则有mg＝m
解得小球速率v＝
m/s。
(2)滑动摩擦力f＝μN，将f＝0.3
mg、μ＝0.75代入得环对小球的弹力大小N＝＝＝0.4
mg
弹力方向与摩擦力方向垂直，由力的合成可知环对小球的作用力大小F＝＝0.5
mg。
(3)由(2)可知，环对小球的弹力大小N＝0.4mg
当环对小球的弹力方向向上时，有mg－N＝
eq
\f(mv,R)
解得小球的速率v1＝3
m/s
当环对小球的弹力方向向下时，有mg＋N＝
eq
\f(mv,R)
解得小球的速率v2＝
m/s。
[答案] (1)
m/s (2)0.5mg
(3)3
m/s或
m/s
1
