素养培优集训(一) 功和功率的计算
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．关于功率的概念，下列说法中正确的是( )
A．力对物体做功越多，则力做功的功率越大
B．由P＝可知，功率与时间成反比
C．从P＝Fv可知，只要F不为零，v也不为零，那么功率P就一定不为零
D．某个力对物体做功越快，它的功率一定越大
D [功率是描述做功快慢的物理量，功率大说明单位时间内做功多，时间不确定时，某个力对物体做功多，它的功率不一定大，故A错误；由P＝，可以知道做功一定时，功率与时间成反比，故B错误；从公式P＝Fv，可以知道F不为零，v也不为零，但F与v的方向垂直，此时功率为零，故C错误；功率是描述做功快慢的物理量，所以某个力对物体做功越快，它的功率一定越大，故D正确。]
2.如图所示是小孩滑滑梯的情景，假设滑梯是固定光滑斜面，倾角为30°，小孩质量为m，由静止开始沿滑梯下滑，滑行距离为s时，重力的瞬时功率为( )
A．mg
B．mg
C．mg
D．mg
B [小孩的加速度a＝＝g，由v2＝2as，得小孩滑行距离s时的速率v＝，故此时重力的瞬时功率P＝mgv
sin
30°＝mg，B正确。]
3．一个小球做自由落体运动，在第1
s内重力做功为W1，在第2
s内重力做功为W2；在第1
s末重力的瞬时功率为P1，在第2
s末重力的瞬时功率为P2，则W1∶W2及P1∶P2分别等于( )
A．1∶1，1∶1
B．1∶2，1∶3
C．1∶3，1∶2
D．1∶4，1∶2
C [由W＝Fs
cos
α知，W1＝mgh1＝mg·gt，W2＝mg
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)gt－\f(1,2)gt))所以W1∶W2＝1∶3；由P＝Fv知P1＝mgv1＝mg·gt1，P2＝mgv2＝mg·gt2，所以P1∶P2＝1∶2，选项C正确。]
4．(2020·淮南模拟)如图所示，一物体以一定初速度沿水平面由A点滑到B点摩擦力做功W1；若该物体从A′点沿两斜面滑到B′点，摩擦力做功W2。已知物体与各接触面间的动摩擦因数均相同，则( )
A．W1＝W2
B．W1＞W2
C．W1＜W2
D．不能确定
A [沿水平面由A到B时，W1＝－μmgsAB，沿两斜面由A′滑到B′时，W2＝－μmgsA′Ccos
A′－μmgsCB′cos
B′＝－μmgsA′B′，故选项A正确。]
5．质量为m、初速度为零的物体，在不断变化的合外力作用下都通过位移s0。下列各种情况中合外力做功最多的是( )
A B C D
C [根据公式W＝Fs可知，图像与坐标轴s围成的面积表示做功多少，故C项做功最多。]
6.一根质量为M的直木棒，悬挂在O点，有一只质量为m的猴子抓着木棒，如图所示。剪断悬挂木棒的细绳，木棒开始下落，同时猴子开始沿木棒向上爬。设在一段时间内木棒沿竖直方向下落，猴子对地的高度保持不变，忽略空气阻力，则如图所示的四个图像中，能正确反映在这段时间内猴子做功的功率随时间变化的关系的是( )
A B
C D
B [猴子对地的高度不变，所以猴子受力平衡。设猴子的质量为m，木棒对猴子的作用力为F，则有F＝mg，设木棒重力为Mg，则木棒受合外力为F＋Mg＝Mg＋mg，根据牛顿第二定律得Mg＋mg＝Ma，可见a是恒量，t时刻木棒速度v＝at，猴子做功的功率P＝mgv＝mgat，P与t为正比例关系，故B正确。]
7．(2020·武汉二中月考)如图所示，n个完全相同、边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以速度v在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的数值为( )
A．μMgl
B．μMgl
C．μMgl
D．μMgl
C [方法一：力的平均值法。小方块依次进入粗糙区域，摩擦力逐渐增大，设小方块全部进入粗糙区域时的摩擦力为f，则f＝μMg，整个过程中摩擦力的平均值＝＝μMg，摩擦力对所有小方块做的功为W＝－·l＝－μMgl，做功的数值为μMgl，故选C。
方法二：图像法。摩擦力随位移的变化关系图如图所示，则摩擦力f做的功在数值上等于图线与横轴所包围的面积大小，则W＝μMgl。]
8．如图所示是一款儿童弹跳器，它底部的弹簧可简化为劲度系数为k的轻质弹簧。某次小孩在玩耍时，弹到空中后从最高点开始下落，落地后将弹簧由A位置(原长)压缩至最低的C位置。不计空气阻力，则在从A到C的过程中( )
甲 乙
A．小孩的加速度先增大后减小
B．小孩重力的功率先增大后减小
C．小孩重力的功率先减小后增大
D．弹簧弹力的功率一直不变
B [弹簧压缩过A点后，弹簧开始产生弹力，弹力方向与重力方向相反，弹力随压缩量的增大而增大，合力方向向下，合力大小逐渐变小，小孩做加速度减小的加速运动。直至重力与弹力大小相等时，速度达到最大，其后弹力大于重力，合力方向向上，大小逐渐增大，做加速度逐渐增大的减速运动，所以，小孩重力的功率先增大后减小，所以A、C错误，B正确；在小孩速度达到最大之前，速度变大，弹簧弹力变大，所以弹力的功率变大，D错误。]
9．(多选)如图甲所示，物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动。监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律如图乙、丙所示。取g＝10
m/s2，则( )
甲 乙 丙
A．第1
s内推力做功为1
J
B．第2
s内摩擦力做的功为2.0
J
C．第1.5
s时推力F的功率为3
W
D．第2
s内推力F做功的平均功率为3
W
CD [由题v?t图可知第1
s内物体速度为零没有运动，所以推力做的功为零，A错误；由题v?t图和F?t图可知第3
s内物体匀速，则f＝F＝2
N，第2
s内位移为1
m，由Wf＝－fL＝－2×1
J＝－2.0
J，B错误；1.5
s时的瞬时速度为1
m/s，推力为3
N，则P＝Fv＝3×1
W＝3
W，C正确；第2
s内的推力为3
N，第2
s内物体做匀加速直线运动，平均速度为1
m/s，由＝F＝3×1
W＝3
W，D正确。]
10．(多选)如图所示，一子弹以水平速度射入放置在光滑水平面上原来静止的木块，并留在木块当中，在此过程中子弹钻入木块的深度为d，木块的位移为l，木块与子弹间的摩擦力大小为F，则( )
A．F对木块做功为Fl
B．F对木块做功为F(l＋d)
C．F对子弹做功为－Fd
D．F对子弹做功为－F(l＋d)
AD [木块的位移为l，由W＝Fl
cos
α得，F对木块做功为Fl，子弹的位移为l＋d，木块对子弹的摩擦力的方向与位移方向相反，故木块对子弹的摩擦力做负功，W＝－F(l＋d)。故A、D正确。]
二、计算题
11.如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m的木块相连，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，弹簧处于自然状态，用水平力缓慢拉木块，使木块前进l，求这一过程中拉力对木块做了多少功。
[解析] 缓慢拉动木块，可认为木块处于平衡状态，故拉力大小等于弹力大小，即F＝kl。
因该力与位移成正比，故可用平均力＝求功，W＝·l＝kl2。
[答案] kl2
12．由于地球本身的自转和公转以及月亮和太阳对海水的作用力，其共同结果形成潮汐运动。若已知地球自转能量与其自转周期的关系式为E＝；其中A＝1.65×1039J·s2，T为地球自转一周的时间，现取8.64×104
s，最近一百万年来(3.16×1013s)由于潮汐作用，地球自转周期变长了16
s，试估算潮汐的平均功率为多少？
[解析] 由于潮汐作用，地球自转能量在一百万年内减少量，即地球克服潮汐运动所做的功等于：
ΔE＝－＝A≈
所以潮汐的功率
＝＝＝
W≈2.59×1012W。
[答案] 2.59×1012
W
13．如图甲所示，质量mA＝3
kg的薄板A静止在光滑水平地面上，其左端放有质量mB＝2
kg的小物块B(可视为质点)。取初始时薄板左端正下方地面上的点O为坐标原点，以水平向右为正方向建立坐标轴Ox，在小物块B上加一水平向右的外力F，在物块B还未滑离薄板A的过程中，通过传感器测出A、B的加速度随各自位移变化的a?x图像如图乙所示。重力加速度g取10
m/s2，求：
(1)B与A间的动摩擦因数μ；
(2)B离开A之前外力F的最大功率P。
甲 乙
[解析] (1)由题图乙可知A、B发生相对滑动时A的加速度大小aA＝4
m/s2，对A，由牛顿第二定律有μmBg＝mAaA，解得μ＝0.6。
(2)由题图乙可知x＝5
m时A、B分离，此时B的速度最大，设为vB，由题图乙中图线与x轴所围面积的意义，可得vB＝8
m/s。在x＝5
m时，aB＝11
m/s2，此时外力F最大。由F－μmBg＝mBaB，得F＝34
N，故P＝FvB＝272
W。
[答案] (1)0.6 (2)272
W
1素养培优课(一) 功和功率的计算
[培优目标] 1.掌握变力做功的分析和计算方法，能通过转换思想解决变力做功的问题。2.理解平均功率和瞬时功率之间的关系，能进行相关的计算。3.理解平均值法、图像法、微元法、等效替换法等科学方法，掌握其在处理实际问题中的应用。
考点1 变力做功的四种计算方法
1．平均值法：当力F的大小发生变化，且F、s成线性关系时，F的平均值
＝，用
计算变力F做的功。
2．图像法：变力做的功W可用F?s图线与s轴所围成的面积表示。s轴上方的面积表示力对物体做正功的多少，s轴下方的面积表示力对物体做负功的多少。
3．分段法(或微元法)：当力的大小不变，力的方向改变(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可，力做的总功W＝Fs路或W＝－Fs路。空气阻力和滑动摩擦力做功可以写成力与路程的乘积就是这个原理。
4．等效替换法：若某一变力做的功和某一恒力做的功相等，则可以用求得的恒力的功来替代变力做的功。
【典例1】 用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1
cm。击第二次时，能击入多深？(设铁锤每次做功相等)
思路点拨：根据阻力与深度成正比的关系，将变力求功转化为平均力求功，达到化变力做功为恒力做功的目的。
[解析] 法一：铁锤每次击打都用来克服铁钉阻力做功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F＝kx，可用平均阻力来代替。
如图所示，第一次击入深度为x1，平均阻力1＝kx1，做功为W1＝1x1＝kx
第二次击入深度为x1到x2，平均阻力2＝k(x2＋x1)，位移为x2－x1，做功为W2＝2(x2－x1)＝k(x－x)。
两次做功相等，W1＝W2
可解得：x2＝x1≈1.41
cm
Δx＝x2－x1＝0.41
cm。
法二：(图像法)因为阻力F＝kx，以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出F?x图像(如图所示)，图线与横轴所围成的面积的值等于F对铁钉做的功。
由于两次做功相等，故有
S1＝S2(面积)，即kx＝k(x2＋x1)(x2－x1)
所以Δx＝x2－x1≈0.41
cm。
[答案] 0.41
cm
(1)用＝求平均力，用W＝s求功时，力F必须与位移s成线性关系。
(2)在图中，阴影部分的面积为kx，此值等于阻力对铁钉做功的大小。
1．(角度一)如图所示，在水平面上，有一弯曲的槽道，槽道由半径分别为和R的两个半圆构成。现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿槽道拉至B点，若拉力F的方向时刻与小球运动方向一致，则此过程中拉力F所做的功为( )
A．0
B．FR
C．πFR
D．2πFR
C [在拉动的过程中，力F的方向总是与速度同向，用微元法的思想，在很小的一段位移内力F可以看成恒力，小球路程为，由此得W＝πFR，C正确。]
2．(角度二)如图所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体，开始时与物体相连的绳和水平面间的夹角是α，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角变为β。已知图中的高度h，求绳的拉力T对物体所做的功。(绳的质量、滑轮的质量及绳与滑轮间的摩擦不计)
[解析] 设绳的拉力T对物体做的功为WT，人的拉力F对绳做的功为WF，由题意知T＝F，WT＝WF
在绳与水平面间的夹角由α变为β的过程中，拉力F的作用点的位移大小为Δs＝l1－l2。
由W＝Fs，得WF＝FΔs＝Fh
故绳子的拉力T对物体做的功
WT＝WF＝Fh。
[答案] Fh
考点2 功率的理解和计算
公式P＝与P＝Fv的理解与应用
定义式P＝
计算式P＝Fv
(1)P＝是功率的定义式，适用于任何情况下功率的计算，既适用于合力或某个力做功时功率的计算，也适用于恒力或变力做功时功率的计算(2)P＝表示时间t内的平均功率，只有当物体做匀速运动时，才等于瞬时功率
(1)P＝Fv是由W＝Fs及P＝联立导出的，体现了P、F、v三个量的制约关系(2)P＝Fv通常用来计算某一时刻或某一位置的瞬时功率，此时v是瞬时速度；若v是某段时间内的平均速度，则计算的是该段时间内的平均功率(3)该式成立的条件是F、v同向，若不同向，应用P＝Fv
cos
α进行计算，其中α是F与v之间的夹角
【典例2】 如图所示，质量为m＝2
kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知：sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8，g取10
m/s2，求：
(1)前2
s内重力的平均功率；
(2)2
s末重力的瞬时功率。
思路点拨：(1)先对木块受力分析求出合力，求出加速度，得出位移。
(2)再求出前2
s重力做的功，由P＝可得平均功率。
(3)计算瞬时功率时要注意v与mg的夹角。
[解析] (1)木块沿斜面下滑时，对木块受力分析。由牛顿第二定律可得mg
sin
θ－μmg
cos
θ＝ma
解得a＝2
m/s2
由位移公式l＝at2＝×2×22
m＝4
m，
重力在前2
s内做的功为
W＝mgl
sin
θ＝2×10×4×0.6
J＝48
J，
重力在前2
s内的平均功率为
＝＝
W＝24
W。
(2)木块在2
s末的速度
v＝at＝2×2
m/s＝4
m/s，
2
s末重力的瞬时功率
P＝mgv
cos
(90°－θ)＝mgv
sin
θ＝2×10×4×0.6
W＝48
W。
[答案] (1)24
W (2)48
W
计算功率应该注意的问题
(1)要求功率，先求功。因此首先对物体进行受力分析，求出加速度和位移，进而计算功。
(2)求平均功率时需明确是哪段时间内的平均功率，可由公式P＝来求。
(3)求瞬时功率则需明确是哪一时刻或哪一位置，再确定该时刻或该位置的速度，应用公式P＝Fv求解，当F、v共线时，P＝Fv，当F、v夹角为θ时，P＝Fv
cos
θ。
3．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2
kg的物体在F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知(g取10
m/s2)( )
甲 乙
A．物体加速度大小为2
m/s2
B．4
s末F的功率大小为42
W
C．F的大小为21
N
D．4
s内F做功的平均功率为42
W
B [由速度—时间图像可得加速度a＝0.5
m/s2，由牛顿第二定律2F－mg＝ma得F＝＝10.5
N，4
s末F的功率为P＝F·2v＝10.5×2×2
W＝42
W，4
s内F做功的平均功率为＝＝＝
W＝21
W，故B正确。]
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