(共52张PPT)
第二章 §2.7 抛物线及其方程
2.7.2 抛物线的几何性质
学习目标
1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.
2.会利用抛物线的几何性质解决一些简单的抛物线问题.
随堂演练
课时对点练
一、抛物线的简单几何性质
二、抛物线中的最值问题
三、与抛物线有关的轨迹方程的求法
内容索引
一、抛物线的简单几何性质
问题1 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2＝2px(p>0)的哪些几何性质，如何研究这些性质？
提示 1.范围
当x>0时，抛物线y2＝2px(p＞0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.抛物线是无界曲线.
2.对称性
观察图像，不难发现，抛物线y2＝2px(p＞0)关于x轴对称，
我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线只有一条
对称轴.
3.顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是坐标原点
(0,0).
4.离心率
抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离之比，称为抛物线的离心率.用e表示，e＝1.
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
?
?
?
?
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
知识梳理
焦点
?
?
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?
准线方程
?
?
?
?
顶点坐标
O(0,0)
离心率
e＝1
注意点：只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.
例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.
∴抛物线的对称轴为x轴，
∴设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，
其准线方程分别为x＝－3和x＝3.
反思感悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图像开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
跟踪训练1 边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是
√
解析 设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).
二、抛物线中的最值问题
例2 已知抛物线C：y＝a2x2的焦点为(0,2)，点P是抛物线C上任意一点，则点P到点A(0,5)距离的最小值为
√
解析 因为抛物线C的焦点为(0,2)，
所以x2＝8y，设P(x，y)，
反思感悟 求两点之间的距离最大或最小值的问题，转化为两点之间的距离，消元后根据二次函数求最值，但要注意自变量的取值范围.
跟踪训练2 已知P为抛物线y2＝4x上一点，Q为圆(x－6)2＋y2＝1上一点，则|PQ|的最小值为
√
解析 设圆心为M，P(x，y)，则M(6,0)，
三、与抛物线有关的轨迹方程的求法
解析 设点M坐标为(a,0)，点N坐标为(0，b)，点P坐标为(x，y)，
代入a＝－b2可得y2＝4x.
例3 已知点A(1,0)，M，N分别是x轴、y轴上的动点，且满足
＝0.若点P满足
，则点P的轨迹方程是________.
y2＝4x
反思感悟 根据题意设出动点的坐标，即“求谁设谁”，建立等式即可.
跟踪训练3 在平面直角坐标系xOy中，已知M(－1,2)，N(1,0)，动点P满
A.y2＝4x
B.x2＝4y
C.y2＝－4x
D.x2＝－4y
√
解析 设P(x，y)，M(－1,2)，N(1,0)，
整理得y2＝4x.
课堂小结
1.知识清单：
(1)抛物线的简单几何性质.
(2)抛物线中的最值问题.
(3)与抛物线有关的轨迹方程的求法.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：在求抛物线的焦点或准线方程时，是否把抛物线转化为标准形式.
随堂演练
1.抛物线y2＝4x上的点与其焦点的距离的最小值为
√
1
2
3
4
解析 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1，设抛物线上的动点P(x0，y0)，
根据抛物线的定义可知，|PF|＝1＋x0，
因为x0∈[0，＋∞)，所以|PF|＝1＋x0≥1，
故抛物线y2＝4x上的点与其焦点的距离的最小值为1.
C.x2＝4y
D.x2＝－4y
√
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2.已知点A(0，－1)，当B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是
解析 设M的坐标为(x，y)，由题意点B与点A(0，－1)所连线段的中点为M，可知B(2x,2y＋1)，
动点B在抛物线y＝2x2＋1上运动，
所以2y＋1＝2(2x)2＋1，
1
2
3
4
∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，
∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.
3.若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2
，则点P到抛物线的焦点F的距离为
A.4
B.5
C.6
D.7
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解析 由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
√
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4.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为
√
解析 设抛物线的焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，
由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|，
课时对点练
1.若抛物线y2＝2mx的焦点与圆x2＋y2－4x＝0的圆心重合，则m的值为
A.－2
B.2
C.－4
D.4
基础巩固
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将圆的方程变形为(x－2)2＋y2＝4可知其圆心为(2,0)，
2.若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为
解析 根据抛物线y2＝8x，知p＝4，
根据抛物线的定义可知点P到其焦点的距离
等于点P到其准线x＝－2的距离，得xP＝7，
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所以△MOF的面积为
3.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，M为C上一点，若|MF|＝4，则△MOF(O为坐标原点)的面积为
解析 因为|OF|＝1，由抛物线的定义可得|MF|＝xM＋1＝4，
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解析 设圆心C的坐标为(x，y)，
过点C作CE⊥y轴，垂足为E，则|ME|＝4，
∴|CA|2＝|CM|2＝|ME|2＋|EC|2，
∴(x－4)2＋y2＝42＋x2，得y2＝8x.
4.若动圆C过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8，则动圆圆心C的轨迹方程是
C.y2＝8x
D.y2＝8x(x≠0)
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5.若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝
，则抛物线的焦点到直线AB的距离为
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解析 由题意知，线段AB所在的直线方程为x＝1，
6.(多选)以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为
A.y2＝8x
B.y2＝－8x
C.y2＝16x
D.y2＝－16x
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解析 设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
由题意知p＝4，
∴抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
7.已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为______.
解析 ∵点A(－2,3)在抛物线C的准线上，
∴抛物线的方程为y2＝8x，则焦点F的坐标为(2,0).
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解析 如图，过点M作MM′⊥y轴，垂足为M′，|OF|＝2，
∵M为FN的中点，|MM′|＝1，
∴M到准线距离
∴|MF|＝3，∴|FN|＝6.
8.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则|FN|＝________.
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9.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝
，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程.
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所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
解 设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，
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10.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵|AF|＋|BF|＝8，
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解 设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，
∵Q(6,0)在线段AB的中垂线上，
∴|QA|＝|QB|，
∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.
∵AB与x轴不垂直，
∴x1≠x2.
故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.
从而抛物线方程为y2＝8x.
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将P点的坐标代入y2＝2px，得p＝3，故C的方程为y2＝6x.
11.已知P是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，若|PF|＝2，∠PFO＝
，则抛物线C的方程为
A.y2＝6x
B.y2＝2x
C.y2＝x
D.y2＝4x
综合运用
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解析 过P向x轴作垂线，设垂足为Q，
12.M是抛物线y2＝x上一点，N是圆(x＋1)2＋(y－4)2＝1关于直线x－y＋1＝0的对称曲线C上的一点，则|MN|的最小值是
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曲线C为(x－3)2＋y2＝1，设M(a2，a)，
解析 设圆心(－1,4)关于直线对称的点为C(x，y)，
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解析 设M(x1，y1)，
解得p＝4，即抛物线的方程为y2＝8x.
13.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO
的面积为
，则抛物线方程为
A.y2＝6x
B.y2＝8x
C.y2＝16x
D.y2＝
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要使△ABF为等边三角形，
14.抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线
＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝______.
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当且仅当y＝0时取等号，此时点P的坐标为(0,0).
15.已知点A(2,0)，B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则
取得最小值时的点P的坐标是________.
(0,0)
拓广探究
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x≥0，且在此区间上函数单调递增，
故距离点A最近的点P的坐标为(0,0).
解 设抛物线上任一点P(x，y)，则
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16.已知抛物线y2＝2x.
(1)设点A的坐标为
，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的
距离|PA|；
(2)在抛物线上求一点M，使M到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值.
解 设点M(x0，y0)是y2＝2x上任一点，
则M到直线x－y＋3＝0的距离为
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本课结束2.7.2 抛物线的几何性质
学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的几何性质解决一些简单的抛物线问题．
一、抛物线的简单几何性质
问题1 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2＝2px(p>0)的哪些几何性质，如何研究这些性质？
提示 1.范围
当x>0时，抛物线y2
＝2px(p＞0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．
2．对称性
观察图像，不难发现，抛物线y2
＝2px(p＞0)关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴.
3．顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是坐标原点(0,0)．
4．离心率
抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离之比，称为抛物线的离心率．用e表示，e＝1.
知识梳理
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点
F
F
F
F
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
顶点坐标
O(0,0)
离心率
e＝1
注意点：只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程．
例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．
解 椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，
∴抛物线的对称轴为x轴，
∴设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)．
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
即＝3，∴p＝6，
∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，
其准线方程分别为x＝－3和x＝3.
反思感悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图像开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
跟踪训练1 边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A．y2＝x
B．y2＝－x
C．y2＝±x
D．y2＝±x
答案 C
解析 设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．
又A(取点A在x轴上方)，
则有＝±a，
解得a＝±，
所以抛物线方程为y2＝±x.
二、抛物线中的最值问题
例2 已知抛物线C：y＝a2x2的焦点为(0,2)，点P是抛物线C上任意一点，则点P到点A(0,5)距离的最小值为( )
A．2
B．5
C．2
D．6
答案 A
解析 因为抛物线C的焦点为(0,2)，
由题意得＝2，则a2＝，
所以x2＝8y，设P(x，y)，
则|PA|＝＝＝＝，
所以当y＝1时，|PA|min＝2.
反思感悟 求两点之间的距离最大或最小值的问题，转化为两点之间的距离，消元后根据二次函数求最值，但要注意自变量的取值范围．
跟踪训练2 已知P为抛物线y2＝4x上一点，Q为圆(x－6)2＋y2＝1上一点，则|PQ|的最小值为( )
A.－1
B．2－
C．2－1
D．21－4
答案 C
解析 设圆心为M，P(x，y)，则M(6,0)，
|PM|＝＝＝＝，
当x＝4时，|PM|min＝2，|PQ|min＝2－1.
三、与抛物线有关的轨迹方程的求法
例3 已知点A(1,0)，M，N分别是x轴、y轴上的动点，且满足·＝0.若点P满足＝2，则点P的轨迹方程是________．
答案 y2＝4x
解析 设点M坐标为(a,0)，点N坐标为(0，b)，点P坐标为(x，y)，
则＝(－1，b)，＝(－a，b)，
∴·＝a＋b2＝0?a＝－b2，
而＝(x－a，y)，＝(x，y－b)，
∴＝2??
代入a＝－b2可得y2＝4x.
反思感悟 根据题意设出动点的坐标，即“求谁设谁”，建立等式即可．
跟踪训练3 在平面直角坐标系xOy中，已知M(－1,2)，N(1,0)，动点P满足|·|＝||，则动点P的轨迹方程是( )
A．y2＝4x
B．x2＝4y
C．y2＝－4x
D．x2＝－4y
答案 A
解析 设P(x，y)，M(－1,2)，N(1,0)，
＝(－1－x,2－y)，＝(1,0)，＝(1－x，－y)，
因为|·|＝||，
所以|1＋x|＝，
整理得y2＝4x.
1.知识清单：
(1)抛物线的简单几何性质．
(2)抛物线中的最值问题．
(3)与抛物线有关的轨迹方程的求法．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：在求抛物线的焦点或准线方程时，是否把抛物线转化为标准形式．
1．抛物线y2＝4x上的点与其焦点的距离的最小值为( )
A．4
B．2
C．1
D.
答案 C
解析 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1，设抛物线上的动点P(x0，y0)，
根据抛物线的定义可知，|PF|＝1＋x0，
因为x0∈[0，＋∞)，所以|PF|＝1＋x0≥1，
故抛物线y2＝4x上的点与其焦点的距离的最小值为1.
2．已知点A(0，－1)，当B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是( )
A．x2＝－y
B．x2＝y
C．x2＝4y
D．x2＝－4y
答案 B
解析 设M的坐标为(x，y)，由题意点B与点A(0，－1)所连线段的中点为M，可知B(2x,2y＋1)，
动点B在抛物线y＝2x2＋1上运动，
所以2y＋1＝2(2x)2＋1，
所以x2＝y.
所以点B与点A(0，－1)所连线段的中点M的轨迹方程是x2＝y.
3．若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
答案 A
解析 由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
∵抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，
则P(3，±2)，
∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，
∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.
4．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 设抛物线的焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|，又F?，所以x0＝，所以y＝，所以y0＝±.
课时对点练
1．若抛物线y2＝2mx的焦点与圆x2＋y2－4x＝0的圆心重合，则m的值为( )
A．－2
B．2
C．－4
D．4
答案 D
解析 由抛物线方程y2＝2mx可知其焦点为，
将圆的方程变形为(x－2)2＋y2＝4可知其圆心为(2,0)，
根据题意可得＝2，所以m＝4.
2．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为( )
A．(7，±)
B．(14，±)
C．(7，±2)
D．(7,2)
答案 C
解析 根据抛物线y2＝8x，知p＝4，
根据抛物线的定义可知点P到其焦点的距离
等于点P到其准线x＝－2的距离，得xP＝7，
把xP代入抛物线方程解得yP＝±2.
3．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，M为C上一点，若|MF|＝4，则△MOF(O为坐标原点)的面积为( )
A.
B．2
C．4
D．6
答案 A
解析 因为|OF|＝1，由抛物线的定义可得|MF|＝xM＋1＝4，
解得xM＝3，代入抛物线方程可得yM＝±2，
所以点M的坐标为(3，±2)，
所以△MOF的面积为|OF|·|yM|＝×1×2＝.
4．若动圆C过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8，则动圆圆心C的轨迹方程是( )
A.－＝1
B.－＝1(y>2)
C．y2＝8x
D．y2＝8x(x≠0)
答案 C
解析 设圆心C的坐标为(x，y)，
过点C作CE⊥y轴，垂足为E，则|ME|＝4，
∴|CA|2＝|CM|2＝|ME|2＋|EC|2，
∴(x－4)2＋y2＝42＋x2，得y2＝8x.
5．若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 由题意知，线段AB所在的直线方程为x＝1，
抛物线的焦点坐标为，
则焦点到直线AB的距离为1－＝.
6．(多选)以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A．y2＝8x
B．y2＝－8x
C．y2＝16x
D．y2＝－16x
答案 AB
解析 设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，由题意知p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
7．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为________．
答案 －
解析 ∵点A(－2,3)在抛物线C的准线上，
∴＝2，∴p＝4.
∴抛物线的方程为y2＝8x，则焦点F的坐标为(2,0)．
又A(－2,3)，根据斜率公式得kAF＝＝－.
8．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则|FN|＝________.
答案 6
解析 如图，过点M作MM′⊥y轴，垂足为M′，|OF|＝2，
∵M为FN的中点，|MM′|＝1，
∴M到准线距离
d＝|MM′|＋＝3，
∴|MF|＝3，∴|FN|＝6.
9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
解 设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，
设A(x0，y0)，由题意知M.
因为|AF|＝3，所以y0＋＝3，
因为|AM|＝，所以x＋2＝17，
所以x＝8，代入方程x＝2py0得，
8＝2p，解得p＝2或p＝4.
所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
10．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程．
解 设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，
则其准线方程为x＝－.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵|AF|＋|BF|＝8，
∴x1＋＋x2＋＝8，即x1＋x2＝8－p.
∵Q(6,0)在线段AB的中垂线上，
∴|QA|＝|QB|，
即＝，
又y＝2px1，y＝2px2，
∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.
∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2.
故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.
从而抛物线方程为y2＝8x.
11．已知P是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，若|PF|＝2，∠PFO＝，则抛物线C的方程为( )
A．y2＝6x
B．y2＝2x
C．y2＝x
D．y2＝4x
答案 A
解析 过P向x轴作垂线，设垂足为Q，
∵∠PFO＝，|PF|＝2，
∴|PQ|＝，|QF|＝1，P，
将P点的坐标代入y2＝2px，得p＝3，故C的方程为y2＝6x.
12．M是抛物线y2＝x上一点，N是圆(x＋1)2＋(y－4)2＝1关于直线x－y＋1＝0的对称曲线C上的一点，则|MN|的最小值是( )
A．2
B.－1
C.
D.－1
答案 D
解析 设圆心(－1,4)关于直线对称的点为C(x，y)，
则解得
曲线C为(x－3)2＋y2＝1，设M(a2，a)，
故|MC|＝＝＝，
当a2＝时，|MC|有最小值为，
故|MN|的最小值为－1.
13．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO
的面积为4，则抛物线方程为( )
A．y2＝6x
B．y2＝8x
C．y2＝16x
D．y2＝x
答案 B
解析 设M(x1，y1)，
则由|MF|＝4|OF|得x1＋＝4×，
即x1＝?p，则y＝3p2，
则|y1|＝p，则S△OMF＝××p＝4，解得p＝4，即抛物线的方程为y2＝8x.
14．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝__________.
答案 6
解析 抛物线的焦点坐标为F?，准线方程为y＝－.
将y＝－代入－＝1得|x|＝.要使△ABF为等边三角形，则tan?＝＝＝，解得p2＝36，p＝6.
15．已知点A(2,0)，B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则·取得最小值时的点P的坐标是________．
答案 (0,0)
解析 设P，则＝，＝，·＝＋y2＝＋y2＋8≥8，当且仅当y＝0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)．
16．已知抛物线y2＝2x.
(1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；
(2)在抛物线上求一点M，使M到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．
解 (1)设抛物线上任一点P(x，y)，则
|PA|2＝2＋y2＝2＋2x
＝2＋，
x≥0，且在此区间上函数单调递增，
故当x＝0时，|PA|min＝，
故距离点A最近的点P的坐标为(0,0)．
(2)设点M(x0，y0)是y2＝2x上任一点，
则M到直线x－y＋3＝0的距离为
d＝＝＝，
当y0＝1时，dmin＝＝，
此时点M的坐标为.
