(共86张PPT)
第二章 平面解析几何
§2.8 直线与圆锥曲线的位置关系(一)
学习目标
1.会用代数法判断直线与圆锥曲线的位置关系.
2.能解决和弦的中点有关的简单问题.
随堂演练
课时对点练
一、直线与椭圆的交点问题
二、直线与双曲线的交点问题
三、直线与抛物线的交点问题
内容索引
四、中点弦问题
一、直线与椭圆的交点问题
?
方程特征
交点个数
位置关系
直线与椭圆
a≠0，Δ>0
__
_____
a≠0，Δ＝0
__
_____
a≠0，Δ<0
__
_____
知识梳理
联立直线方程与椭圆方程，消去y得ax2＋bx＋c＝0，则直线与椭圆的位置关系如下
2
1
0
相交
相切
相离
注意点：设直线时，要注意斜率不存在的情况.
例1 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：
＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不同的公共点；
解 直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③
关于x的一元二次方程的判别式
Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
①
②
可知原方程组有两组不同的实数解.
这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点.
(2)有且只有一个公共点；
方程③有两个相同的实数根，
可知原方程组有两组相同的实数解.
这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，
即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
(3)没有公共点？
方程③没有实数根，
可知原方程组没有实数解.
这时直线l与椭圆C没有公共点.
反思感悟 直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，将求最小距离问题转化为直线与椭圆的相切问题.此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用.
跟踪训练1 已知椭圆
＝1，直线l：x＋my－m＝0(m∈R)，则直线l与椭圆的位置关系是
A.相离
B.相切
C.相交
D.不确定
√
解析 由题意知，l：x＋my－m＝0(m∈R)恒过点(0,1)，
所以点(0,1)在椭圆内部，所以直线l与椭圆相交.
二、直线与双曲线的交点问题
知识梳理
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式.
(1)Δ>0时，直线与双曲线有
不同的公共点.
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有
公共点.
(3)Δ<0时，直线与双曲线
公共点.
当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有
公共点.
注意点：
直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支.
两个
一个
一个
没有
例2 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围.
消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(
)
当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2).
此时方程(
)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点.
延伸探究
若直线l与双曲线有且只有一个公共点，确定满足条件的实数k的取值范围.
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(
)
当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2).
此时方程(
)有两个相同的实数解，
即直线l与双曲线有且只有一个公共点；
当1－k2＝0，即k＝±1时，
直线l与双曲线的渐近线平行，
方程(
)化为2x＝5，
故方程(
)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，
有且只有一个公共点.
直线l与双曲线有且只有一个公共点.
反思感悟 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.
(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
(3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
跟踪训练2 已知双曲线x2－
＝1，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k.
解 (ⅰ)当直线l的斜率不存在时，
l：x＝1与双曲线相切，符合题意.
(ⅱ)当直线l的斜率存在时，
设l的方程为y＝k(x－1)＋1，
代入双曲线方程，
得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.
当4－k2＝0时，k＝±2，
l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；
三、直线与抛物线的交点问题
知识梳理
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
(1)若k≠0，当
时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当
时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当
时，直线与抛物线相离，没有公共点.
(2)若k＝0，直线与抛物线有
交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
一个
注意点：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况.
例3 已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点.
得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.
(
)
此时直线l平行于x轴.
当k≠0时，(
)式是一个一元二次方程，
Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k).
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离.
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k>1时，l与C没有公共点.
反思感悟 判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点.
解析 由题意知，直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y并整理，
得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
当k＝0时，显然满足题意；
当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，
解得－1≤k<0或0
因此直线l的斜率的取值范围是[－1,1].
跟踪训练3 已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2,0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.
[－1,1]
四、中点弦问题
例4 已知椭圆
＝1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，求直线AB的方程.
解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法
由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y－1＝k(x－2).
将其代入椭圆方程并整理，
得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，
又M为线段AB的中点，
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法二 点差法
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2.
∵M(2,1)为线段AB的中点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法三 对称点法(或共线法)
设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，
由于点M(2,1)为线段AB的中点，
则另一个交点为B(4－x,2－y).
∵A，B两点都在椭圆上，
①
②
①－②，得x＋2y－4＝0.
即点A的坐标满足这个方程，
根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，
而过A，B两点的直线只有一条，
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
反思感悟 解决圆锥曲线中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和圆锥曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入圆锥曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆
＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)
是线段AB的中点，则
①
②
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，
跟踪训练4 (1)直线l的斜率为4，过点M(4,1)且与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，若点M恰好为AB的中点，则抛物线方程为________.
y2＝8x
(2)已知双曲线的方程为x2－
＝1，是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；若不存在，请说明理由.
解 方法一 由题意知直线的斜率存在，
设被点B(1,1)平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，
得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0，
∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0，
∵B(1,1)是弦的中点，
故不存在被点B(1,1)平分的弦.
方法二 设弦的两端点为A(x1，y1)，C(x2，y2)，
∴B(1,1)为AC的中点，
即kAC＝2，
∴直线AC的方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1，
整理有2x2－4x＋3＝0，
Δ＝16－4×2×3＝－8<0，
故y＝2x－1与双曲线无交点，
∴不存在被点B(1,1)平分的弦.
课堂小结
1.知识清单：
(1)直线与圆锥曲线的位置关系.
(2)中点弦的问题.
2.方法归纳：公式法、点差法、对称点法、数形结合、分类讨论.
3.常见误区：容易忽视讨论直线的斜率是否存在.
随堂演练
1.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆
＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是
A.相离
B.相切
C.相交
D.相交或相切
√
∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，
∴直线与椭圆相离.
1
2
3
4
2.直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是
√
1
2
3
4
消去y得2x2＋(x－1)2＝4，即3x2－2x－3＝0，
1
2
3
4
所以它与双曲线只有1个交点.
A.1
B.2
C.1或2
D.0
√
1
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3
4
4.已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1,0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是______________
__________.
1
2
3
4
(－∞，－1)∪
(1，＋∞)
解析 设点A(x，y)，
依题意，得点A在以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，
该抛物线的标准方程为y2＝4x.
过点P(－1,0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1).
当k＝0时，显然不符合题意；
当k≠0时，依题意，得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，
化简得k2－1＞0，解得k＞1或k<－1，
因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
1
2
3
4
课时对点练
可得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝0，
基础巩固
1.若直线y＝kx＋2与椭圆
＝1相切，则斜率k的值是
√
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2.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为
A.(－2,2)
B.[－2,2)
C.(－2,2]
D.[－2,2]
解析 易知k≠±2，
将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，
由Δ>0可得－2√
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3.直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是
A.(1,2)
B.(－2，－1)
C.(－1，－2)
D.(2,1)
√
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解析 将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，
4.直线x＋4y＋m＝0交椭圆
＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m的值是
A.－2
B.－1
C.1
D.2
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解析 ∵x＋4y＋m＝0，
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵AB中点的横坐标为1，
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解得m＝－2.
√
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√
6.(多选)设椭圆的方程为
＝1，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是
A.kAB·kOM＝－1
B.若点M的坐标为(1,1)，则直线l的方程为2x＋y－3＝0
C.若直线l的方程为y＝x＋1，则点M的坐标为
D.若直线l的方程为y＝x＋2，则|AB|＝
√
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√
即kAB·kOM＝－2.
对于A，kAB·kOM＝－2≠－1，所以A不正确；
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
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对于B，由kAB·kOM＝－2，M(1,1)，得kAB＝－2，
所以直线l的方程为y－1＝－2(x－1)，
即2x＋y－3＝0，所以B正确；
则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C不正确；
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7.若直线y＝x＋2与椭圆
＝1有两个公共点，则m的取值范围是______
__________.
(1,3)∪
(3，＋∞)
∴m>0且m≠3.
得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0，
∴Δ＝16m2－4m(m＋3)>0，解得m>1或m<0.
∴m>1且m≠3，
∴m的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞).
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8.若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________.
(4,2)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，
故线段AB的中点坐标为(4,2).
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9.已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离.
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解 设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0，
消x得9y2－2ay＋a2－8＝0，
由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，
解得a＝3或a＝－3，
∴与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0，
它们之间的距离即为所求最短距离，
且直线x－y＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P.
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化简得2x2＋y2＝2(x≠±1).
即点M的轨迹方程为2x2＋y2＝2(x≠±1).
10.已知点A，B的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.
(1)求动点M的轨迹方程；
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解 设M(x，y).
因为kAM·kBM＝－2，
(2)若过点N
的直线l交动点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的
中点，求直线l的方程.
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解 设C(x1，y1)，D(x2，y2).
易知此时线段CD的中点不是N，不符合题意.
当直线l不与x轴垂直时，
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即所求直线l的方程为2x＋2y－3＝0.
11.椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中
综合运用
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消去y，得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为(x0，y0)，
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12.过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于a2＋2a＋5(a∈R)，则这样的直线
A.有且仅有一条
B.有且仅有两条
C.有1条或2条
D.不存在
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解析 |AB|＝xA＋xB＋p＝a2＋2a＋7＝(a＋1)2＋6>4，而通径的长为4，
所以有且仅有两条.
13.以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是
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则b2＝4时，e取最大值，故选C.
得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0，
由Δ≥0得b2≥4，
所以b2的最小值为4，
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解析 设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a>0)，
∴a＝3，故选B.
14.已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝
x交于A，B两点，若|AB|＝
，则该双曲线的方程为
A.x2－y2＝6
B.x2－y2＝9
C.x2－y2＝16
D.x2－y2＝25
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√
拓广探究
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3
4
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8
9
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√
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16
消去x，化简得(a2＋2b2)y2－8b2y＋b2(8－a2)＝0，
由Δ＝0得2b2＋a2－8＝0.
设F′为椭圆C的左焦点，连接F′E(图略)，易知F′E∥l，
所以F′E⊥EF.
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在Rt△F′EF中，由|F′E|2＋|EF|2＝|F′F|2，
化简得2b2＝a2，代入2b2＋a2－8＝0得b2＝2，a＝2，c2＝2.
所以|EF|＝|F′E|＝2，
解 由圆的方程x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，
可知圆心为F(2,0)，半径为2，
又由抛物线的焦点为已知圆的圆心，
得到抛物线焦点为F(2,0)，
故抛物线方程为y2＝8x.
16.如图，抛物线的顶点在坐标原点，圆x2＋y2＝4x的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点且斜率为2，直线l交抛物线和圆依次于A，B，C，D四点.
(1)求抛物线的方程；
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16
(2)求|AB|＋|CD|的值.
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解 |AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|，
∵|BC|为已知圆的直径，
∴|BC|＝4，
则|AB|＋|CD|＝|AD|－4，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵|AD|＝|AF|＋|FD|，而A，D在抛物线上，
由已知可得直线l的方程为y＝2(x－2)，
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得x2－6x＋4＝0，
∴x1＋x2＝6，
∴|AD|＝6＋4＝10，
∴|AB|＋|CD|＝10－4＝6.
本课结束§2.8 直线与圆锥曲线的位置关系(二)
学习目标 1.掌握圆锥曲线的两种形式的弦长公式.2.会根据弦长解决一些简单的问题．
一、弦长问题
问题1 当直线与圆锥曲线相交时，如何求弦长？
提示 设直线与圆锥曲线相交于A，B两点，直线的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝，
所以|AB|＝
＝
＝，
或|AB|＝
＝
＝.
知识梳理
直线与圆锥曲线相交于A，B两点，直线的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝|x1－x2|＝
＝|y1－y2|
＝.
特别地，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.
注意点：(1)一定先有判别式大于零，才有两根之和、两根之积．
(2)对于斜率不确定的问题，要分类讨论．
例1 已知斜率为2的直线l经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长．
解 因为直线l过椭圆＋＝1的右焦点F1(1,0)，
又直线斜率为2，所以直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
方法一 解方程组
得交点A(0，－2)，B，
所以|AB|＝
＝
＝＝.
方法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程组
消去y得3x2－5x＝0，因为Δ＝(－5)2＝25>0，
则x1＋x2＝，x1x2＝0.
所以|AB|＝
＝
＝
＝＝.
方法三 由方程组
消去x得3y2＋2y－8＝0，
因为Δ＝22－4×3×(－8)＝100>0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
所以|AB|＝
＝
＝
＝
＝.
反思感悟 求解弦长可以先求出交点坐标，利用两点之间的距离公式进行求解；也可以直接利用弦长公式求解．
跟踪训练1 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
解 (1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan
60°＝.
又F.所以直线l的方程为y＝.
联立消去y，得x2－5x＋＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝＋＝x1＋x2＋p.
所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，
所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－，
所以M到准线的距离等于3＋＝.
二、由弦长求参数的值
例2 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
解 (1)由题意得得b＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝
＝
＝.
又点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，
所以△AMN的面积S＝|MN|·d＝，
由＝，得k＝±1，满足Δ>0.
所以当△AMN的面积为时，k＝±1.
反思感悟 根据题意，通过建立等式或不等式求参数的值或取值范围，数学运算是正确解决问题的关键．
跟踪训练2 设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值．
解 (1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝，
∴＝y＋，化简得x2＝2y.
故点P的轨迹方程为x2＝2y.
(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y化简得x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵|AB|＝·
＝·
＝2，
∴k4＋3k2－4＝0，
又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
三、弦长的最值问题
例3 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且点P(2,1)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值．
解 (1)由题意得∴
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设直线AB的方程为y＝－x＋m，
联立得3x2－4mx＋2m2－6＝0，
∴
∴|AB|＝|x1－x2|＝，
原点到直线的距离d＝.
∴S△OAB＝×·
＝≤·
＝.
当且仅当m＝±时，等号成立，
∴△AOB面积的最大值为.
反思感悟 求与弦长有关的最值、范围问题的方法
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．
(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．
跟踪训练3 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若△ABC的面积为＋1.
(1)求双曲线E的方程；
(2)若直线l：y＝kx－1与双曲线E的左、右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．
解 (1)因为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)为等轴双曲线，
所以a＝b，设双曲线的焦距为2c，c>0，
故c2＝a2＋b2＝2a2，即c＝a.
因为BC过右焦点F，且垂直于x轴，
将xB＝c＝a代入－＝1，
可得|yB|＝a，故|BC|＝2a.
因为△ABC的面积为＋1，
所以×|BC|×|AF|＝＋1，
即×2a×(a＋c)＝＋1，
所以a2＝1，a＝1，故双曲线E的方程为x2－y2＝1.
(2)依题意，直线l：y＝kx－1与双曲线E的左、右两支分别交于M，N两点，
联立方程组消去y可得
(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
所以
解得－1所以|MN|＝
＝|xM－xN|
＝
＝
＝.
联立方程组得xP＝，同理xQ＝，
所以|PQ|＝|xP－xQ|
＝＝.
所以＝＝，
其中－1所以∈(1，]．
1.知识清单：
(1)弦长的问题．
(2)由弦长求参数．
(3)与弦长有关的最值、范围问题．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：容易忽略直线斜率不存在的情况．
1．过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点F(c,0)的弦中最短弦长是( )
A.
B. C.
D.
答案 A
解析 最短弦是过焦点F(c,0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦．
将x＝c代入椭圆＋＝1，
得y＝±，
故最短弦长是.
2．斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，则线段AB的长为( )
A．4
B．6
C．8
D．8
答案 D
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，则直线l的方程为y＝x－1，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)
联立可得x2－6x＋1＝0，Δ＝62－4>0，
所以x1＋x2＝6，
由抛物线的焦点弦长公式得|AB|＝x1＋x2＋2＝8.
3．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l与双曲线相交于A，B两点，则满足|AB|＝3的直线l有( )
A．1条
B．2条 C．3条
D．4条
答案 C
解析 双曲线－＝1，
过F1的直线l垂直于x轴时，|AB|＝＝＝3，
双曲线两个顶点的距离为2，
∴满足|AB|＝3的直线l有3条，
一条是通径所在的直线，另两条与右支相交．
4．已知斜率为1的直线l与双曲线－y2＝1的右支交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为( )
A．y＝x＋
B．y＝x－ C．y＝x－
D．y＝x＋
答案 B
解析 设斜率为1的直线l的方程为y＝x＋t，
联立双曲线方程－y2＝1，
可得3x2＋8tx＋4t2＋4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
可得x1＋x2＝－，x1x2＝，
则|AB|＝·
＝·＝·＝8，
解得t＝±，
由于直线l与双曲线的右支交于两点，可得t＝－，
则直线l的方程为y＝x－.
课时对点练
1．直线2x－y－4＝0与抛物线y2＝6x交于A，B两点，则线段AB的长度为( )
A．8
B. C.
D.
答案 B
解析 联立
消去y并整理得2x2－11x＋8＝0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝4，
∴|AB|＝·＝×＝.
2．已知P为抛物线y2＝4x上一点，Q为圆(x－6)2＋y2＝1上一点，则|PQ|的最小值为( )
A.－1
B．2－ C．2－1
D．21－4
答案 C
解析 设点P的坐标为，圆(x－6)2＋y2＝1的圆心坐标为A(6,0)，
∴|PA|2＝2＋m2＝(m2－16)2＋20≥20，
∴|PA|≥2，
∵Q是圆(x－6)2＋y2＝1上任意一点，
∴|PQ|的最小值为2－1.
3．已知离心率为2的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx与双曲线C交于A，B两点，若|AB|＝|F1F2|，则k等于( )
A．±
B．±1
C．±2
D．±3
答案 B
解析 由双曲线C的离心率为2，可得＝2，
故b2＝3a2，
故双曲线的方程可化为－＝1，
联立可得x2＝和y2＝，
设A(x，y)，则B(－x，－y)，
故|AB|＝2＝2a，
而|F1F2|＝2＝4a，
由|AB|＝|F1F2|，可得2a＝×4a，
则k＝±1.
4．椭圆＋＝1，过原点O斜率为的直线与椭圆交于C，D，若|CD|＝4，则椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1 C.＋＝1
D.＋＝1
答案 D
解析 由题意可知，直线CD的方程为y＝x，直线倾斜角为，
不妨设C点在第一象限，则OC＝2，
因此可得C(1，)，
又点C在椭圆＋＝1上，
所以＋＝1?b2＝，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
5．若直线y＝x＋t与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，当|t|变化时，|AB|的最大值为( )
A．2
B. C.
D.
答案 C
解析 联立两个方程化为5x2＋8tx＋4t2－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－t，x1x2＝(t2－1)，
∴|AB|＝
＝＝，
而Δ＝(8t)2－4×5×(4t2－4)>0，解得0≤t2<5.
∴取t2＝0得|AB|max＝.
6．(多选)设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0A．|AF|＋|BF|为定值
B．△ABF的周长的取值范围是[6,12]
C．当m＝时，△ABF为直角三角形
D．当m＝1时，△ABF的面积为
答案 ACD
解析 设椭圆的左焦点为F′，
则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；
△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，
∵|AF|＋|BF|为定值6，
|AB|的取值范围是(0,6)，
∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误；
将y＝与椭圆方程联立，
可解得A，B，又∵F(，0)，
∴·＝＋2＝0，
∴△ABF为直角三角形，C正确；
将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－，1)，B(，1)，
∴S△ABF＝×2×1＝，D正确．
7．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________.
答案 4
解析 由双曲线方程可得右焦点为(2,0)，渐近线方程为y＝±x，把x＝2代入渐近线方程，得y＝±2，故|AB|＝4.
8．已知椭圆两顶点A(－1,0)，B(1,0)，过焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两点，当|CD|＝时，直线l的方程为________________．
答案 x－y＋1＝0或x＋y－1＝0
解析 由题意得b＝1，c＝1.
∴a2＝b2＋c2＝1＋1＝2.
∴椭圆方程为＋x2＝1.
当直线l的斜率不存在时，|CD|＝2，不符合题意．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋1，
联立得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.
Δ＝8(k2＋1)>0恒成立．
设C(x1，y1)，D(x2，y2)．
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－.
∴|CD|＝|x1－x2|
＝
＝.
即＝，
解得k2＝2，∴k＝±.
∴直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且有|PF1|＋|PF2|＝2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过F2的直线l与椭圆交于A，B两点，求△AOB面积的最大值．
解 (1)由|PF1|＋|PF2|＝2，得2a＝2，
∴a＝.
将P代入＋＝1，得b2＝1.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由已知，直线l的斜率为零时，不符合题意；
设直线方程为x－1＝my，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，
由根与系数的关系，得
∴S△AOB＝|OF2|·|y1－y2|
＝
＝
＝×
＝×
＝×
≤×＝，
当且仅当m2＋1＝，即m＝0时，等号成立．
∴△AOB面积的最大值为.
10.如图，已知抛物线y2＝4x，其焦点为F.
(1)求以M(1,1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程；
(2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．
解 (1)由题意知，中点弦所在的直线斜率存在．
设所求直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y＝4x1，y＝4x2，kPQ＝＝＝2，
∴所求直线方程为2x－y－1＝0.
(2)依题意知，直线m，n的斜率存在，设直线m的方程为y＝k(x－1)，与抛物线方程联立，得消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，其两根为x3，x4，且x3＋x4＝＋2.
由抛物线的定义可知，|AB|＝2＋x3＋x4＝＋4，
同理，|CD|＝4k2＋4，
∴四边形ACBD的面积S＝(4k2＋4)·＝8≥32.当且仅当k＝±1时取得最小值．
11．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )
A.
B. C.
D.
答案 B
解析 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋m，
由消去y得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，
Δ＝(8m)2－4×5×4(m2－1)＝80－16m2>0，即0≤m2<5.
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·
＝·，
∴当m＝0时，|AB|取得最大值.
12．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为( )
A．4
B．8
C．16
D．32
答案 B
解析 ∵C：－＝1(a>0，b>0)，
∴双曲线的渐近线方程是y＝±x，
∵直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，
不妨设D在第一象限，E在第四象限，
联立解得故D(a，b)，
联立解得故E(a，－b)，
∴|ED|＝2b，∴S△ODE＝a×2b＝ab＝8.
∵双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，
∴其焦距为2c＝2≥2＝2＝8，
当且仅当a＝b＝2时取等号，
∴C的焦距的最小值为8.
13．已知双曲线C：x2－y2＝2，过右焦点的直线交双曲线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则弦AB的长为( )
A．3
B．4
C．6
D．6
答案 D
解析 双曲线C：－＝1，则c2＝4，
∴右焦点为F(2,0)，
根据题意易得过F的直线斜率存在，
设方程为y＝k(x－2)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，
联立化简得(1－k2)x2＋4k2x－4k2－2＝0，
∴xA＋xB＝，xAxB＝.
∵线段AB中点的横坐标为4，
∴xA＋xB＝＝8，
解得k2＝2，∴xAxB＝＝10，
则(xA－xB)2＝(xA＋xB)2－4xAxB＝82－4×10＝24，
则|AB|＝＝＝6.
14．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．
答案 32
解析 设AB的方程为x＝my＋4，
代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，Δ>0，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，
所以y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32，
当m＝0时，y＋y的最小值为32.
15．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆(x－2)2＋y2＝6相交于A，B两点，且|AB|＝4，则此双曲线的离心率为( )
A．2
B.
C.
D.
答案 D
解析 设双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为bx－ay＝0，
∵|AB|＝4，r＝，∴圆心(2,0)到渐近线的距离为，
即＝，解得b＝a，∴c＝＝a，
∴此双曲线的离心率为e＝＝.
16．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1(－2,0)，F2(2,0)，点P(5，)在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面积为2，求直线l的方程．
解 (1)依题意知，c＝2，
所以a2＋b2＝4，
则双曲线C的方程为－＝1(0将点P(5，)代入上式，得－＝1，
解得a2＝50(舍去)或a2＝2，
故所求双曲线的方程为－＝1.
(2)依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6＝0.
因为直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，
所以解得(
)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，
所以|AB|＝·
＝·.
又原点O到直线l的距离d＝，
所以S△OAB＝d·|AB|＝×··＝.
又S△OAB＝2，即＝1，
所以k4－k2－2＝0，解得k＝±，满足(
)．
故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y＝x＋2和y＝－x＋2.§2.8 直线与圆锥曲线的位置关系(一)
学习目标 1.会用代数法判断直线与圆锥曲线的位置关系.2.能解决和弦的中点有关的简单问题．
一、直线与椭圆的交点问题
知识梳理
联立直线方程与椭圆方程，消去y得ax2＋bx＋c＝0，则直线与椭圆的位置关系如下
方程特征
交点个数
位置关系
直线与椭圆
a≠0，Δ>0
2
相交
a≠0，Δ＝0
1
相切
a≠0，Δ<0
0
相离
注意点：设直线时，要注意斜率不存在的情况．
例1 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不同的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点？
解 直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③
关于x的一元二次方程的判别式
Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)由Δ>0，得－3于是，当－3(2)由Δ＝0，得m＝±3.
也就是当m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)由Δ<0，得m<－3或m>3.
从而当m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
反思感悟 直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，将求最小距离问题转化为直线与椭圆的相切问题．此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用．
跟踪训练1 已知椭圆＋＝1，直线l：x＋my－m＝0(m∈R)，则直线l与椭圆的位置关系是( )
A．相离
B．相切
C．相交
D．不确定
答案 C
解析 由题意知，l：x＋my－m＝0(m∈R)恒过点(0,1)，
因为＋<1，
所以点(0,1)在椭圆内部，所以直线l与椭圆相交．
二、直线与双曲线的交点问题
知识梳理
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
注意点：
直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．
例2 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围．
解 联立
消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(
)
当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．
由得－此时方程(
)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点．
延伸探究
若直线l与双曲线有且只有一个公共点，确定满足条件的实数k的取值范围．
解 联立消去y，
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(
)
当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．
由得k＝±，
此时方程(
)有两个相同的实数解，
即直线l与双曲线有且只有一个公共点；
当1－k2＝0，即k＝±1时，
直线l与双曲线的渐近线平行，
方程(
)化为2x＝5，
故方程(
)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，
有且只有一个公共点．
故当k＝±或±1时，
直线l与双曲线有且只有一个公共点．
反思感悟 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．
(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．
(3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论．
跟踪训练2 已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k.
解 (ⅰ)当直线l的斜率不存在时，
l：x＝1与双曲线相切，符合题意．
(ⅱ)当直线l的斜率存在时，
设l的方程为y＝k(x－1)＋1，
代入双曲线方程，
得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.
当4－k2＝0时，k＝±2，
l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；
当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝.
综上，k＝或k＝±2或k不存在．
三、直线与抛物线的交点问题
知识梳理
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．
(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
注意点：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．
例3 已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．
解 联立消去y，
得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(
)
当k＝0时，(
)式只有一个解x＝，
∴直线l与C只有一个公共点，
此时直线l平行于x轴．
当k≠0时，(
)式是一个一元二次方程，
Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k>1时，l与C没有公共点．
反思感悟 判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点．
跟踪训练3 已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2,0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．
答案 [－1,1]
解析 由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；
当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k<0或0四、中点弦问题
例4 已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，求直线AB的方程．
解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法
由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)．
将其代入椭圆方程并整理，
得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，
于是x1＋x2＝.
又M为线段AB的中点，
∴＝＝2，解得k＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法二 点差法
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2.
∵M(2,1)为线段AB的中点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，
则x＋4y＝16，x＋4y＝16，
两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴＝－＝－＝－，
即kAB＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法三 对称点法(或共线法)
设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，
由于点M(2,1)为线段AB的中点，
则另一个交点为B(4－x,2－y)．
∵A，B两点都在椭圆上，
∴
①－②，得x＋2y－4＝0.
即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
反思感悟 解决圆锥曲线中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和圆锥曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入圆锥曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则
由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.
同理可得双曲线－＝1中kAB＝，
抛物线y2＝2px(p>0)中kAB＝.
跟踪训练4 (1)直线l的斜率为4，过点M(4,1)且与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，若点M恰好为AB的中点，则抛物线方程为________________．
答案 y2＝8x
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，
由相减得y－y＝2p(x1－x2)，
整理有＝，
即kAB＝，
∴＝4，∴p＝4，∴y2＝8x.
(2)已知双曲线的方程为x2－＝1，是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；若不存在，请说明理由．
解 方法一 由题意知直线的斜率存在，设被点B(1,1)平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程x2－＝1，
得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0，
∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0，
解得k<且k≠±，
x1＋x2＝.
∵B(1,1)是弦的中点，∴＝1，
解得k＝2>，故不存在被点B(1,1)平分的弦．
方法二 设弦的两端点为A(x1，y1)，C(x2，y2)，
∴B(1,1)为AC的中点，
∴两式相减有x－x＝，
即＝2·＝2×＝2，
即kAC＝2，
∴直线AC的方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1，
联立
整理有2x2－4x＋3＝0，
Δ＝16－4×2×3＝－8<0，
故y＝2x－1与双曲线无交点，
∴不存在被点B(1,1)平分的弦．
1.知识清单：
(1)直线与圆锥曲线的位置关系．
(2)中点弦的问题．
2．方法归纳：公式法、点差法、对称点法、数形结合、分类讨论．
3．常见误区：容易忽视讨论直线的斜率是否存在．
1．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A．相离
B．相切
C．相交
D．相交或相切
答案 A
解析 把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，
得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.
∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，
∴直线与椭圆相离．
2．直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 由
消去y得2x2＋(x－1)2＝4，即3x2－2x－3＝0，
∴弦的中点的横坐标是x＝×＝，
代入直线方程y＝x－1中，得y＝－，
∴弦的中点坐标是.
3．直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a>0，b>0)的交点个数是( )
A．1
B．2
C．1或2
D．0
答案 A
解析 由题意，双曲线－＝1(a>0，b>0)，
可得其渐近线方程为y＝x，
因为直线y＝x＋3与双曲线的一条渐近线y＝x平行，
所以它与双曲线只有1个交点．
4．已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1,0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是________________．
答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 设点A(x，y)，依题意，得点A在以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，
该抛物线的标准方程为y2＝4x.
过点P(－1,0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)．
由消去x，得ky2－4y＋4k＝0.
当k＝0时，显然不符合题意；
当k≠0时，依题意，得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，
化简得k2－1＞0，解得k＞1或k<－1，
因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
课时对点练
1．若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是( )
A.
B．－
C．±
D．±
答案 C
解析 联立方程
可得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝0，
解得k＝±.
2．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为( )
A．(－2,2)
B．[－2,2)
C．(－2,2]
D．[－2,2]
答案 A
解析 易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，
由Δ>0可得－23．直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是( )
A．(1,2)
B．(－2，－1)
C．(－1，－2)
D．(2,1)
答案 C
解析 将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，
由此可得弦的中点的横坐标为＝＝－1，纵坐标为－1－1＝－2.
4．直线x＋4y＋m＝0交椭圆＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m的值是( )
A．－2
B．－1 C．1
D．2
答案 A
解析 ∵x＋4y＋m＝0，
∴y＝－x－，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
两式相减，得＝－＝－.
∵AB中点的横坐标为1，
∴纵坐标为，
将代入直线y＝－x－，
解得m＝－2.
5．(多选)椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为( )
A．－
B．－
C.
D.
答案 AD
解析 根据椭圆的离心率为，得＝.
由x0＝b，得y＝b2＝，
∴y0＝±，∴k＝＝±＝±.
6．(多选)设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是( )
A．kAB·kOM＝－1
B．若点M的坐标为(1,1)，则直线l的方程为2x＋y－3＝0
C．若直线l的方程为y＝x＋1，则点M的坐标为
D．若直线l的方程为y＝x＋2，则|AB|＝
答案 BD
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
则
两式相减，得＋＝0，
即·＝－2，
即kAB·kOM＝－2.
对于A，kAB·kOM＝－2≠－1，所以A不正确；
对于B，由kAB·kOM＝－2，M(1,1)，得kAB＝－2，所以直线l的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B正确；
对于C，若直线l的方程为y＝x＋1，M，则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C不正确；
对于D，由得3x2＋4x＝0，解得x＝0或x＝－，所以|AB|＝＝，所以D正确．
7．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是________．
答案 (1,3)∪(3，＋∞)
解析 ∵＋＝1表示椭圆，
∴m>0且m≠3.
由
得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0，
∴Δ＝16m2－4m(m＋3)>0，解得m>1或m<0.
∴m>1且m≠3，
∴m的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)．
8．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________.
答案 (4,2)
解析 由得x2－8x＋4＝0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，
故线段AB的中点坐标为(4,2)．
9．已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．
解 设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0，
由
消x得9y2－2ay＋a2－8＝0，
由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，
解得a＝3或a＝－3，
∴与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0，
它们之间的距离即为所求最短距离，
且直线x－y＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P.
故所求最短距离为d＝＝.
由
得即P.
10．已知点A，B的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若过点N的直线l交动点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程．
解 (1)设M(x，y)．
因为kAM·kBM＝－2，
所以·＝－2(x≠±1)，
化简得2x2＋y2＝2(x≠±1)．
即点M的轨迹方程为2x2＋y2＝2(x≠±1)．
(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)．
当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x＝，易知此时线段CD的中点不是N，不符合题意．
当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y－1＝k，将点C(x1，y1)，D(x2，y2)的坐标代入2x2＋y2＝2(x≠±1)得2x＋y＝2，①
2x＋y＝2，②
①－②整理得k＝＝－＝－＝－1，
故直线l的方程为y－1＝－，
即所求直线l的方程为2x＋2y－3＝0.
11．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为，则的值是( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 由
消去y，得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为(x0，y0)，
则x1＋x2＝，∴x0＝，
代入y＝1－x得y0＝.
由题意知＝，∴＝.
12．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于a2＋2a＋5(a∈R)，则这样的直线( )
A．有且仅有一条
B．有且仅有两条
C．有1条或2条
D．不存在
答案 B
解析 |AB|＝xA＋xB＋p＝a2＋2a＋7＝(a＋1)2＋6>4，而通径的长为4，所以有且仅有两条．
13．以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
答案 C
解析 由题意设椭圆方程为＋＝1，
由
得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0，
由Δ≥0得b2≥4，
所以b2的最小值为4，
又e＝＝，
则b2＝4时，e取最大值，故选C.
14．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为( )
A．x2－y2＝6
B．x2－y2＝9
C．x2－y2＝16
D．x2－y2＝25
答案 B
解析 设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a>0)，
与y＝x联立，得x2＝a2，
∴|AB|＝×a＝2，∴a＝3，故选B.
15．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋y－2＝0与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相切，若椭圆C的右焦点F(c,0)关于直线l：y＝x的对称点E在椭圆C上，则△OEF的面积为( )
A.
B.
C．1
D．2
答案 C
解析 联立方程可得
消去x，化简得(a2＋2b2)y2－8b2y＋b2(8－a2)＝0，
由Δ＝0得2b2＋a2－8＝0.
设F′为椭圆C的左焦点，连接F′E(图略)，易知F′E∥l，
所以F′E⊥EF.
又点F到直线l的距离d＝＝，
所以|EF|＝，|F′E|＝2a－|EF|＝.
在Rt△F′EF中，由|F′E|2＋|EF|2＝|F′F|2，
化简得2b2＝a2，代入2b2＋a2－8＝0得b2＝2，a＝2，c2＝2.
所以|EF|＝|F′E|＝2，
所以S△OEF＝S△F′EF＝1.
16.如图，抛物线的顶点在坐标原点，圆x2＋y2＝4x的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点且斜率为2，直线l交抛物线和圆依次于A，B，C，D四点．
(1)求抛物线的方程；
(2)求|AB|＋|CD|的值．
解 (1)由圆的方程x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，
可知圆心为F(2,0)，半径为2，
又由抛物线的焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为F(2,0)，故抛物线方程为y2＝8x.
(2)|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|，
∵|BC|为已知圆的直径，∴|BC|＝4，
则|AB|＋|CD|＝|AD|－4，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵|AD|＝|AF|＋|FD|，而A，D在抛物线上，
由已知可得直线l的方程为y＝2(x－2)，
由消去y，
得x2－6x＋4＝0，∴x1＋x2＝6，
∴|AD|＝6＋4＝10，
∴|AB|＋|CD|＝10－4＝6.(共95张PPT)
第二章 平面解析几何
§2.8 直线与圆锥曲线的位置关系(二)
学习目标
1.掌握圆锥曲线的两种形式的弦长公式.
2.会根据弦长解决一些简单的问题.
随堂演练
课时对点练
一、弦长问题
二、由弦长求参数的值
三、弦长的最值问题
内容索引
一、弦长问题
问题1 当直线与圆锥曲线相交时，如何求弦长？
提示 设直线与圆锥曲线相交于A，B两点，直线的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
知识梳理
直线与圆锥曲线相交于A，B两点，直线的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则弦长|AB|＝_______________＝
＝________________
＝
特别地，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦长|AB|＝
.
x1＋x2＋p
注意点：(1)一定先有判别式大于零，才有两根之和、两根之积.
(2)对于斜率不确定的问题，要分类讨论.
例1 已知斜率为2的直线l经过椭圆
＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长.
又直线斜率为2，所以直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
方法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
消去y得3x2－5x＝0，因为Δ＝(－5)2＝25>0，
消去x得3y2＋2y－8＝0，
因为Δ＝22－4×3×(－8)＝100>0，
反思感悟 求解弦长可以先求出交点坐标，利用两点之间的距离公式进行求解；也可以直接利用弦长公式求解.
跟踪训练1 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
解 因为直线l的倾斜角为60°，
若设A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1＋x2＝5，
所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.
解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，
二、由弦长求参数的值
例2 已知椭圆C：
直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
反思感悟 根据题意，通过建立等式或不等式求参数的值或取值范围，数学运算是正确解决问题的关键.
跟踪训练2 设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O
为坐标原点)，点P到定点
的距离比点P到x轴的距离大
(1)求点P的轨迹方程；
解 过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，
故点P的轨迹方程为x2＝2y.
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝
求实
数k的值.
解 由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∴k4＋3k2－4＝0，
又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
三、弦长的最值问题
例3 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
且点P(2,1)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值.
解 设直线AB的方程为y＝－x＋m，
反思感悟 求与弦长有关的最值、范围问题的方法
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理.
(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解.
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围.
跟踪训练3 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线E：
＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若△ABC的面积为
(1)求双曲线E的方程；
所以a＝b，设双曲线的焦距为2c，c>0，
因为BC过右焦点F，且垂直于x轴，
可得|yB|＝a，故|BC|＝2a.
所以a2＝1，a＝1，故双曲线E的方程为x2－y2＝1.
(2)若直线l：y＝kx－1与双曲线E的左、右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求
的取值范围.
解 依题意，直线l：y＝kx－1与双曲线E的左、右两支分别交于M，N两点，
其中－1课堂小结
1.知识清单：
(1)弦长的问题.
(2)由弦长求参数.
(3)与弦长有关的最值、范围问题.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：容易忽略直线斜率不存在的情况.
随堂演练
1.过椭圆
＝1(a>b>0)的焦点F(c,0)的弦中最短弦长是
√
解析 最短弦是过焦点F(c,0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦.
1
2
3
4
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，
则直线l的方程为y＝x－1，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)
所以x1＋x2＝6，
由抛物线的焦点弦长公式得|AB|＝x1＋x2＋2＝8.
2.斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，则线段AB的长为
√
1
2
3
4
一条是通径所在的直线，另两条与右支相交.
3.已知双曲线
＝1的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l与双曲线相交于A，B两点，则满足|AB|＝
的直线l有
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
√
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2
3
4
4.已知斜率为1的直线l与双曲线
－y2＝1的右支交于A，B两点，若|AB|＝8，
则直线l的方程为
1
2
3
4
√
解析 设斜率为1的直线l的方程为y＝x＋t，
可得3x2＋8tx＋4t2＋4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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3
4
课时对点练
基础巩固
1.直线2x－y－4＝0与抛物线y2＝6x交于A，B两点，则线段AB的长度为
√
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消去y并整理得2x2－11x＋8＝0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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2.已知P为抛物线y2＝4x上一点，Q为圆(x－6)2＋y2＝1上一点，则|PQ|的最小值为
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∵Q是圆(x－6)2＋y2＝1上任意一点，
3.已知离心率为2的双曲线C：
＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx与双曲线C交于A，B两点，若|AB|＝
A.±
B.±1
C.±2
D.±3
√
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故b2＝3a2，
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设A(x，y)，则B(－x，－y)，
则k＝±1.
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√
4.椭圆
的直线与椭圆交于C，D，若|CD|＝4，则椭圆的标准方程为
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不妨设C点在第一象限，则OC＝2，
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5.若直线y＝x＋t与椭圆
＋y2＝1相交于A，B两点，当|t|变化时，|AB|的最大值为
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解析 联立两个方程化为5x2＋8tx＋4t2－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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而Δ＝(8t)2－4×5×(4t2－4)>0，解得0≤t2<5.
6.(多选)设椭圆
与椭圆交于A，B两点(xAA.|AF|＋|BF|为定值
B.△ABF的周长的取值范围是[6,12]
C.当m＝
时，△ABF为直角三角形
D.当m＝1时，△ABF的面积为
√
√
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√
解析 设椭圆的左焦点为F′，
则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；
△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，
∵|AF|＋|BF|为定值6，
|AB|的取值范围是(0,6)，
∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误；
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∴△ABF为直角三角形，C正确；
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7.过双曲线x2－
＝1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________.
8.已知椭圆两顶点A(－1,0)，B(1,0)，过焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两点，当|CD|＝
时，直线l的方程为____________________________.
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Δ＝8(k2＋1)>0恒成立.
设C(x1，y1)，D(x2，y2).
解析 由题意得b＝1，c＝1.
∴a2＝b2＋c2＝1＋1＝2.
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当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋1，
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9.已知椭圆
＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点
P在椭圆上，且有|PF1|＋|PF2|＝
(1)求椭圆C的标准方程；
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(2)过F2的直线l与椭圆交于A，B两点，求△AOB面积的最大值.
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解 由已知，直线l的斜率为零时，不符合题意；
设直线方程为x－1＝my，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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10.如图，已知抛物线y2＝4x，其焦点为F.
(1)求以M(1,1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程；
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解 由题意知，中点弦所在的直线斜率存在.
设所求直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∴所求直线方程为2x－y－1＝0.
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(2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值.
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解 依题意知，直线m，n的斜率存在，
设直线m的方程为y＝k(x－1)，
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消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，其两根为x3，x4，
同理，|CD|＝4k2＋4，
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当且仅当k＝±1时取得最小值.
11.斜率为1的直线l与椭圆
＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为
综合运用
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解析 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
直线l的方程为y＝x＋m，
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Δ＝(8m)2－4×5×4(m2－1)＝80－16m2>0，即0≤m2<5.
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12.设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：
＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为
A.4
B.8
C.16
D.32
√
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∵直线x＝a与双曲线C：
＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，
不妨设D在第一象限，E在第四象限，
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∴C的焦距的最小值为8.
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13.已知双曲线C：x2－y2＝2，过右焦点的直线交双曲线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则弦AB的长为
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√
∵线段AB中点的横坐标为4，
∴右焦点为F(2,0)，
根据题意易得过F的直线斜率存在，
设方程为y＝k(x－2)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，
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则(xA－xB)2＝(xA＋xB)2－4xAxB＝82－4×10＝24，
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14.已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则
的最小值是________.
32
解析 设AB的方程为x＝my＋4，
代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，Δ>0，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，
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15.已知双曲线
＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆(x－2)2＋y2＝6相交于A，B两点，且|AB|＝4，则此双曲线的离心率为
拓广探究
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16.已知双曲线C：
＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1(－2,0)，
F2(2,0)，点P(5，
)在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程；
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解 依题意知，c＝2，
所以a2＋b2＝4，
解得a2＝50(舍去)或a2＝2，
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(2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面积为
，求直线l的方程.
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解 依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6＝0.
因为直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，
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本课结束