(共66张PPT)
第2课时 直线的方向向量、法向量
第二章 2.2.1 直线的倾斜角与斜率
学习目标
1.理解直线的方向向量、法向量的概念.
2.会求直线的方向向量和法向量.
3.理解直线的方向向量、法向量与直线的斜率之间的关系并会简单应用.
导语
同学们，上节课我们求了直线的倾斜角和斜率，我们知道如果直线有斜率，只需知直线上的任意两点，就可以求直线的斜率，也知道两点确定一条直线，我们今天就来研究一下两点的直线的方向问题.
随堂演练
课时对点练
一、直线的方向向量
二、直线的方向向量与倾斜角、斜率的关系
三、直线的法向量
内容索引
一、直线的方向向量
问题1 什么是直线的方向向量？如何求？
提示 与已知直线平行或重合的向量就是直线的方向向量，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则
＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量.
知识梳理
定义：一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l_____
_______，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作______.
(1)a＝______表示所有倾斜角为0°(即与y轴垂直)的直线的一个方向向量.
b＝______表示所有倾斜角为90°(即与x轴垂直)的直线的一个方向向量.
(2)如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量____都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定_____.
平行
或重合
(1，0)
(0，1)
λa
共线
a∥l
(3)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则
＝(x2－x1，y2
－y1)是直线l的一个方向向量.
注意点：(1)任意的直线都有方向向量；(2)任意直线的方向向量不唯一；(3)直线的方向向量是非零向量.
例1 (1)过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的一个方向向量为n＝(－1，－1)，则y等于
√
解析 由直线上的两点A(4，y)，B(2，－3)，
又直线AB的一个方向向量为n＝(－1，－1)，
∴(－2)×(－1)－(－3－y)×(－1)＝0，解得y＝－1.
(2)平面内点A(－1，－5)，B(2,1)，C(4,5)，证明：A，B，C三点共线.
∵kAB＝kAC，
∴A，B，C三点共线.
反思感悟 直线的方向向量的求法
(1)在直线上任找两点P，Q，则
为直线l的一个方向向量.
(2)已知直线的斜率为k，则a＝(1，k)为直线的一个方向向量.
(3)a＝(t，0)(t≠0)表示与x轴平行或重合的直线的方向向量，a＝(0，t)
(t≠0)表示与y轴平行或重合的直线的方向向量.
跟踪训练1 (1)直线l过点(－1，－2)，(－1,2)且直线l的方向向量为a＝(m，n)，则mn＝____.
0
解析 依题意，直线l垂直于x轴，
∴m＝0，n为任意非零实数，
∴mn＝0.
(2)已知直线l经过点P(1,2)和点Q(－2，－2)，则直线l的单位方向向量为
√
二、直线的方向向量与倾斜角、斜率的关系
问题2 直线的方向向量与直线的倾斜角、斜率有什么样的关系？
知识梳理
1.如果直线l的倾斜角为θ，则a＝____________为直线l的一个方向向量.
如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)为直线l的一个方向向量.
2.如果a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则
当u＝0时，直线的斜率_______，倾斜角为_____；
当u≠0时，直线的斜率存在，且k＝tan
θ＝_____.
(cos
θ，sin
θ)
不存在
90°
注意点：(1)任意斜率不存在时的直线的方向向量为a＝(0,1)；(2)斜率存在时的直线的方向向量a＝(1，k)；(3)任意直线的方向向量可表示为a＝(cos
θ，sin
θ).
∴cos
α≠0，sin
α≠±1.
令直线l的倾斜角为θ，
又θ∈[0，π)，
(2)直线l过点P(1，－3)，Q(4，
)，求直线l的一个方向向量、斜率和倾斜角.
反思感悟 直线的方向向量与倾斜率、斜率之间的关系
如果直线l的倾斜角为θ，则a＝(cos
θ，sin
θ)为直线l的一个方向向量.
如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)为直线l的一个方向向量.
跟踪训练2 (1)直线l的倾斜角为150°，则该直线的斜率为______，一个
方向向量为_________.
(2)经过A(0，2)，B(1，0)两点的直线的方向向量为(1，k)，则k的值是
A.1
B.－1
C.2
D.－2
√
三、直线的法向量
问题3 什么是直线的法向量？如何求？
提示 直线的法向量与直线垂直.则直线的法向量与直线的方向向量也垂直，若直线的方向向量是a＝(x0，y0)，由向量垂直的数量积为0可知，直线的法向量为v＝(y0，－x0).
知识梳理
定义：一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l_____，则称向量v为直线l的一个法向量，记作_____.
(1)一条直线的方向向量与法向量_________.
(2)当x0，y0不全为0时，若a＝(x0，y0)为直线l的方向向量，则v＝_________为直线l的法向量；若v＝(x0，y0)为直线l的法向量，则a＝_________为直线l的方向向量.
注意点：(1)任意直线都有法向量.
(2)直线的法向量不唯一.
(3)直线的法向量是非零向量.
垂直
v⊥l
互相垂直
(y0，－x0)
(y0，－x0)
例3 (1)直线l过点A(－1,3)和B(3,2)，则直线l的法向量为
A.(－1,4)
B.(2,5)
C.(5，－2)
D.(－1，－4)
√
∴直线l的法向量v＝(－1，－4).
(2)直线l的法向量为v＝(
，－3)，则直线l的斜率为____，倾斜角为____.
30°
反思感悟 直线的法向量的求法
若直线的方向向量为a＝(x0，y0)，则直线的法向量v＝(y0，－x0)，即要求直线的法向量，只需先求直线的方向向量即可.
跟踪训练3 (1)直线PQ的斜率为
，则直线PQ的法向量所在直线的倾斜角为
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
√
∴PQ的倾斜角为120°，
又直线PQ的法向量与直线PQ垂直，
故PQ的法向量所在直线的倾斜角为30°.
(2)直线l上两点A(－2,3)，B(4，m)，若直线l的法向量为v＝(2，－3)，则m＝____.
7
∴6×2＋(－3)·(m－3)＝0，
∴m＝7.
课堂小结
1.知识清单：
(1)直线的方向向量.
(2)直线的法向量.
(3)直线的方向向量和法向量的应用.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：斜率不存在、斜率为0的直线的方向向量，法向量易混淆.
随堂演练
√
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2
3
4
2.直线AB的方向向量a＝(3，
)，则该直线的倾斜角为
A.45°
B.60°
C.120°
D.150°
√
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2
3
4
又0°≤θ＜180°，∴θ＝150°.
3.直线l1与l2的法向量分别为v1＝(2，－3)，v2＝(3，－1)，则直线l1与l2的斜率k1，k2的大小关系为
A.k1>k2 B.k1＝k2 C.k1√
1
2
3
4
解析 v1＝(2，－3)，则l1的方向向量a1＝(－3，－2)，
v2＝(3，－1)，则l2的方向向量a2＝(－1，－3)，
∴k2>k1.
4.已知向量m＝(a，a2＋1)(a≠0)，直线AB的一个方向向量为n，则m与n共线，则直线AB的斜率的取值范围是______________________.
1
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(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析 ∵m∥n，∴m＝(a，a2＋1)为直线AB的一个方向向量，
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综上有k∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).
课时对点练
基础巩固
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3.直线的倾斜角为120°，一个法向量为v＝(m，m＋1)，则m的值为
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√
∴a⊥v，又v＝(m，m＋1)，
又△ABC为等边三角形，
∴AB与AC所在直线的倾斜角一个为60°，另一个为120°，
∴kAB＋kAC＝tan
60°＋tan
120°＝0.
√
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√
√
故选ABD.
6.(多选)下列说法正确的是
A.若直线垂直于y轴，则该直线的一个方向向量为(1,0)，一个法向量为
(0，1)
B.若直线的一个方向向量为(a，a＋1)，则该直线的斜率为k＝
C.若直线的法向量为v＝(x0，y0)，则a＝(y0，－x0)能作为该直线的一个方
向向量
D.任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是相互垂直的
√
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√
√
解析 由直线的方向向量、法向量的定义知A，C，D正确，
选项B中当a＝0时，不成立，故选ACD.
7.直线l的一个法向量为u＝(3，
)，则直线l的倾斜角为____.
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8.已知直线的倾斜角为120°，一个方向向量为a＝(4，m)，则m＝______.
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∵a∥a0，
9.已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5)，N(2m－1,1).
(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角；
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解 倾斜角θ为锐角，则k＝tan
θ>0，
即(m＋2)(m－4)<0，
解得－2(2)若直线MN的方向向量为a＝(0，－2
021)，求m的值.
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解 直线MN的方向向量为a＝(0，－2
021)，
∴直线MN的斜率不存在.
故过M，N两点的直线垂直于x轴.
∴m＋3＝2m－1，即m＝4.
10.已知a>0，b>0，且向量u＝(a，3)和v＝(1－b，2)都是直线l的法向量.
求
的最小值.
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解 ∵u，v都是直线l的法向量，则u∥v，
∴2a－3(1－b)＝0，
即2a＋3b＝3，
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综合运用
√
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∴PQ的倾斜角为120°.
绕点P逆时针旋转120°后所得直线的倾斜角为60°，
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∴与a共线的向量都是所得直线的方向向量，故选D.
12.将直线l沿y轴负方向平移a(a>0)个单位长度，再沿x轴正方向平移(a＋1)个单位长度，得到直线l′，此时直线l′与l重合，若直线l的方向向量为a＝(2，－1)，则a的值为
A.
B.1
C.2
D.4
√
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解析 设直线l上一点为A(m，n)，
则平移后的坐标为A′(m＋a＋1，n－a).
∵A与A′都在直线l上，
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∴－2a＋(a＋1)＝0，∴a＝1.
13.直线l的法向量为v＝(1，a2＋1)，则直线l的倾斜角的取值范围为
√
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解析 直线l的法向量为v＝(1，a2＋1)，
∴方向向量a＝(a2＋1，－1)，
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又∵a2＋1≥1，
∴k∈[－1,0)，
∴tan
θ∈[－1,0)，且θ∈[0，π)，
14.已知点A(－3，－1)，B(1，a)，C(5，a2＋1)，若A，B，C不能构成一个三角形，则a的值为______.
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0或2
解析 ∵A，B，C不能构成一个三角形，
∴A，B，C三点共线.
4(a2＋2)－8(a＋1)＝0，
即a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2.
∴当a＝0或a＝2时，A，B，C三点共线，不能构成三角形.
拓广探究
15.已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，若直线l的方向向量为a＝(2x，－3y)，则直线l的斜率的取值范围为___________.
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[－3，－1]
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解析 直线l的方向向量为a＝(2x，－3y)，
即k∈[－3，－1].
16.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是函数y＝x3的图像上任意三个不同的点.求证：若A，B，C三点共线，则x1＋x2＋x3＝0.
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证明 ∵A，B，C三点共线，
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∴(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0，
又A，B，C三点不共点，
∴x1≠x2，x1≠x3，x2≠x3，
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即(x3－x2)(x3＋x2)＋x1(x3－x2)＝0，
即(x3－x2)(x3＋x2＋x1)＝0，
∵x2≠x3，∴x1＋x2＋x3＝0，
即证原等式成立.
本课结束第2课时 直线的方向向量、法向量
学习目标 1.理解直线的方向向量、法向量的概念.2.会求直线的方向向量和法向量.3.理解直线的方向向量、法向量与直线的斜率之间的关系并会简单应用．
导语
同学们，上节课我们求了直线的倾斜角和斜率，我们知道如果直线有斜率，只需知直线上的任意两点，就可以求直线的斜率，也知道两点确定一条直线，我们今天就来研究一下两点的直线的方向问题．
一、直线的方向向量
问题1 什么是直线的方向向量？如何求？
提示 与已知直线平行或重合的向量就是直线的方向向量，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量．
知识梳理
定义：一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l.
(1)a＝(1,0)表示所有倾斜角为0°(即与y轴垂直)的直线的一个方向向量．
b＝(0,1)表示所有倾斜角为90°(即与x轴垂直)的直线的一个方向向量．
(2)如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线．
(3)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量．
注意点：(1)任意的直线都有方向向量；(2)任意直线的方向向量不唯一；(3)直线的方向向量是非零向量．
例1 (1)过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的一个方向向量为n＝(－1，－1)，则y等于( )
A．－
B.
C．－1
D．1
答案 C
解析 由直线上的两点A(4，y)，B(2，－3)，
得＝(－2，－3－y)，
又直线AB的一个方向向量为n＝(－1，－1)，
∴n∥，
∴(－2)×(－1)－(－3－y)×(－1)＝0，解得y＝－1.
(2)平面内点A(－1，－5)，B(2,1)，C(4,5)，证明：A，B，C三点共线．
解 方法一 kAB＝＝＝2，
kAC＝＝＝2.
∵kAB＝kAC，∴A，B，C三点共线．
方法二 ＝(2,1)－(－1，－5)＝(3,6)，
＝(4,5)－(－1，－5)＝(5,10)＝.
∴∥，
又与有公共点A，∴A，B，C三点共线．
反思感悟 直线的方向向量的求法
(1)在直线上任找两点P，Q，则()为直线l的一个方向向量．
(2)已知直线的斜率为k，则a＝(1，k)为直线的一个方向向量．
(3)a＝(t,0)(t≠0)表示与x轴平行或重合的直线的方向向量，a＝(0，t)(t≠0)表示与y轴平行或重合的直线的方向向量．
跟踪训练1 (1)直线l过点(－1，－2)，(－1,2)且直线l的方向向量为a＝(m，n)，则mn＝________.
答案 0
解析 依题意，直线l垂直于x轴，∴m＝0，n为任意非零实数，∴mn＝0.
(2)已知直线l经过点P(1,2)和点Q(－2，－2)，则直线l的单位方向向量为( )
A．(－3，－4)
B.
C.
D．±
答案 D
解析 由题意得，直线l的一个方向向量为＝(－2－1，－2－2)＝(－3，－4)，则||＝＝5，
因此直线l的单位方向向量为±＝±(－3，－4)＝±.
二、直线的方向向量与倾斜角、斜率的关系
问题2 直线的方向向量与直线的倾斜角、斜率有什么样的关系？
提示 我们知道如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量，它可以表示任意直线的方向向量，若x2≠x1，即θ≠90°时，则＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)·＝(x2－x1)(1，k)＝(x2－x1)(1，tan
θ)＝(x2－x1)＝(x2－x1)(cos
θ，sin
θ)．
知识梳理
1．如果直线l的倾斜角为θ，则a＝(cos
θ，sin
θ)为直线l的一个方向向量．
如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)为直线l的一个方向向量．
2．如果a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则
当u＝0时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
当u≠0时，直线的斜率存在，且k＝tan
θ＝.
注意点：(1)任意斜率不存在时的直线的方向向量为a＝(0,1)；(2)斜率存在时的直线的方向向量a＝(1，k)；(3)任意直线的方向向量可表示为a＝(cos
θ，sin
θ)．
例2 (1)直线l的方向向量为，则直线l的倾斜角的取值范围是________________．
答案 ∪
解析 ∵α≠＋kπ，k∈Z，
∴cos
α≠0，sin
α≠±1.
令直线l的倾斜角为θ，
∴tan
θ＝＝sin
α.
∵sin
α∈(－1,1)，∴tan
α∈(－，)，
又θ∈[0，π)，
故θ∈∪.
(2)直线l过点P(1，－3)，Q(4，－3)，求直线l的一个方向向量、斜率和倾斜角．
解 方法一 ＝(4，－3)－(1，－3)＝(3，)．
∴＝(3，)为直线l的一个方向向量，
∴k＝，∴tan
θ＝，θ＝30°.
故该直线的斜率为，倾斜角为30°.
方法二 kPQ＝＝，
∴tan
θ＝，∴θ＝30°.
直线l的一个方向向量a＝(1，k)＝.
反思感悟 直线的方向向量与倾斜率、斜率之间的关系
如果直线l的倾斜角为θ，则a＝(cos
θ，sin
θ)为直线l的一个方向向量．
如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)为直线l的一个方向向量．
跟踪训练2 (1)直线l的倾斜角为150°，则该直线的斜率为________，一个方向向量为________．
答案 －
解析 ∵θ＝150°，∴k＝tan
150°＝－.
∴a＝为直线的一个方向向量．
(2)经过A(0,2)，B(1,0)两点的直线的方向向量为(1，k)，则k的值是( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
答案 D
解析 由已知得k＝＝－2.
三、直线的法向量
问题3 什么是直线的法向量？如何求？
提示 直线的法向量与直线垂直．则直线的法向量与直线的方向向量也垂直，若直线的方向向量是a＝(x0，y0)，由向量垂直的数量积为0可知，直线的法向量为v＝(y0，－x0)．
知识梳理
定义：一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l.
(1)一条直线的方向向量与法向量互相垂直．
(2)当x0，y0不全为0时，若a＝(x0，y0)为直线l的方向向量，则v＝(y0，－x0)为直线l的法向量；若v＝(x0，y0)为直线l的法向量，则a＝(y0，－x0)为直线l的方向向量．
注意点：(1)任意直线都有法向量．
(2)直线的法向量不唯一．
(3)直线的法向量是非零向量．
例3 (1)直线l过点A(－1,3)和B(3,2)，则直线l的法向量为( )
A．(－1,4)
B．(2,5)
C．(5，－2)
D．(－1，－4)
答案 D
解析 ＝(3,2)－(－1,3)＝(4，－1)为直线l的一个方向向量，∴直线l的法向量v＝(－1，－4)．
(2)直线l的法向量为v＝(，－3)，则直线l的斜率为________，倾斜角为________．
答案 30°
解析 v＝(，－3)为直线l的法向量，
则a＝(－3，－)为直线l的方向向量．
∴k＝＝，
∴tan
θ＝，θ＝30°.
∴直线l的斜率为，倾斜角为30°
反思感悟 直线的法向量的求法
若直线的方向向量为a＝(x0，y0)，则直线的法向量v＝(y0，－x0)，即要求直线的法向量，只需先求直线的方向向量即可．
跟踪训练3 (1)直线PQ的斜率为－，则直线PQ的法向量所在直线的倾斜角为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
答案 A
解析 kPQ＝－，
∴PQ的倾斜角为120°，
又直线PQ的法向量与直线PQ垂直，
故PQ的法向量所在直线的倾斜角为30°.
(2)直线l上两点A(－2,3)，B(4，m)，若直线l的法向量为v＝(2，－3)，则m＝________.
答案 7
解析 ＝(4，m)－(－2,3)＝(6，m－3)，
∴为直线l的一个方向向量．
∴⊥v，
∴6×2＋(－3)·(m－3)＝0，
∴m＝7.
1.知识清单：
(1)直线的方向向量．
(2)直线的法向量．
(3)直线的方向向量和法向量的应用．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：斜率不存在、斜率为0的直线的方向向量，法向量易混淆．
1．直线过点(－3,0)，(－2，)，则该直线的一个方向向量为( )
A．(－1，)
B．(1，－)
C．(1，)
D．(5，)
答案 C
解析 直线的方向向量为a＝(－2，)－(－3,0)＝(1，)．
2．直线AB的方向向量a＝(3，－)，则该直线的倾斜角为( )
A．45°
B．60°
C．120°
D．150°
答案 D
解析 a＝(3，－)＝3，
∴k＝－，∴tan
θ＝－，
又0°≤θ＜180°，∴θ＝150°.
3．直线l1与l2的法向量分别为v1＝(2，－3)，v2＝(3，－1)，则直线l1与l2的斜率k1，k2的大小关系为( )
A．k1>k2
B．k1＝k2
C．k1D．不确定
答案 C
解析 v1＝(2，－3)，则l1的方向向量a1＝(－3，－2)，
∴斜率k1＝＝.
v2＝(3，－1)，则l2的方向向量a2＝(－1，－3)，
∴斜率k2＝＝3，
∴k2>k1.
4．已知向量m＝(a，a2＋1)(a≠0)，直线AB的一个方向向量为n，则m与n共线，则直线AB的斜率的取值范围是________________．
答案 (－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析 ∵m∥n，∴m＝(a，a2＋1)为直线AB的一个方向向量，
∴kAB＝＝a＋.
①当a>0时，a＋≥2，当且仅当a＝1时取等号，所以a＋∈[2，＋∞)．
②当a<0时，a＋＝－≤－2，当且仅当(－a)＝，即a＝－1时取等号，
所以a＋∈(－∞，－2]．
综上有k∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
课时对点练
1．直线AB的方向向量为a＝(－1,2)，则直线AB的斜率为( )
A.＋1
B.－1
C.
D.
答案 A
解析 a＝(－1,2)，
∴k＝＝＋1.
2．过点A(，3)，B(0，－2)的直线的一个法向量为( )
A．(－5，－)
B．(－，－5)
C．(－5，)
D．(5，)
答案 C
解析 ＝(0，－2)－(，3)＝(－，－5)为直线的一个方向向量，
所以该直线的一个法向量v＝(－5，)．
3．直线的倾斜角为120°，一个法向量为v＝(m，m＋1)，则m的值为( )
A．1－
B.＋1
C.
D．－
答案 D
解析 k＝tan
120°＝－，
∴直线的一个方向向量为a＝(1，－)．
∴a⊥v，又v＝(m，m＋1)，
∴m－(m＋1)＝0，
解得m＝－.
4．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的BC边所在的直线的方向向量为a＝(－，0)，则AC与AB所在直线的斜率之和为( )
A．－2
B．0
C.
D．2
答案 B
解析 a＝(－，0)，∴BC所在直线的斜率为0.
又△ABC为等边三角形，
∴AB与AC所在直线的倾斜角一个为60°，另一个为120°，
∴kAB＋kAC＝tan
60°＋tan
120°＝0.
5．(多选)已知直线l过点A(4,2)，B(－1,2＋)，则直线l的方向向量可以是( )
A．(－5，)
B．(5，－)
C．(，5)
D．(5，－3)
答案 ABD
解析 直线l的一个方向向量为＝(－1,2＋)－(4,2)＝(－5，)，
所以与共线的向量都能作为直线的方向向量，
故选ABD.
6．(多选)下列说法正确的是( )
A．若直线垂直于y轴，则该直线的一个方向向量为(1,0)，一个法向量为(0,1)
B．若直线的一个方向向量为(a，a＋1)，则该直线的斜率为k＝
C．若直线的法向量为v＝(x0，y0)，则a＝(y0，－x0)能作为该直线的一个方向向量
D．任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是相互垂直的
答案 ACD
解析 由直线的方向向量、法向量的定义知A，C，D正确，选项B中当a＝0时，不成立，故选ACD.
7．直线l的一个法向量为u＝(3，－)，则直线l的倾斜角为________．
答案
解析 直线l的法向量为u＝(3，－)，
则直线l的一个方向向量a＝(－，－3)，
则斜率k＝＝.
∴tan
θ＝，且θ∈[0，π)，
故θ＝.
8．已知直线的倾斜角为120°，一个方向向量为a＝(4，m)，则m＝________.
答案 －4
解析 θ＝120°，∴k＝tan
120°＝－.
∴直线的一个方向向量为a0＝(1，－)，
∵a∥a0，
∴1×m－4×(－)＝0，∴m＝－4.
9．已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5)，N(2m－1,1)．
(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角；
(2)若直线MN的方向向量为a＝(0，－2
021)，求m的值．
解 (1)倾斜角θ为锐角，则k＝tan
θ>0，
又k＝＝>0，
即(m＋2)(m－4)<0，
解得－2(2)直线MN的方向向量为a＝(0，－2
021)，
∴直线MN的斜率不存在．
故过M，N两点的直线垂直于x轴．
∴m＋3＝2m－1，即m＝4.
10．已知a>0，b>0，且向量u＝(a,3)和v＝(1－b,2)都是直线l的法向量．求＋的最小值．
解 ∵u，v都是直线l的法向量，则u∥v，
∴2a－3(1－b)＝0，
即2a＋3b＝3，
∴(2a＋3b)＝1，且a>0，b>0.
∴＋＝·(2a＋3b)
＝＝＋2
≥＋2×2＝，
当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．
∴当a＝b＝时，＋最小为.
11．已知直线PQ的斜率为－，将直线PQ绕点P逆时针旋转120°，所得直线的一个方向向量为( )
A．(－，1)
B．(，－1)
C．(－1，)
D．(－，－3)
答案 D
解析 kPQ＝－，
∴PQ的倾斜角为120°.
绕点P逆时针旋转120°后所得直线的倾斜角为60°，
∴k＝tan
60°＝.
∴所得直线的一个方向向量为a＝(1，)，
∴与a共线的向量都是所得直线的方向向量，故选D.
12．将直线l沿y轴负方向平移a(a>0)个单位长度，再沿x轴正方向平移(a＋1)个单位长度，得到直线l′，此时直线l′与l重合，若直线l的方向向量为a＝(2，－1)，则a的值为( )
A.
B．1
C．2
D．4
答案 B
解析 设直线l上一点为A(m，n)，
则平移后的坐标为A′(m＋a＋1，n－a)．
∵A与A′都在直线l上，
∴＝(m＋a＋1，n－a)－(m，n)＝(a＋1，－a)为直线l的一个方向向量．
∴∥a，
∴－2a＋(a＋1)＝0，∴a＝1.
13．直线l的法向量为v＝(1，a2＋1)，则直线l的倾斜角的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 直线l的法向量为v＝(1，a2＋1)，
∴方向向量a＝(a2＋1，－1)，
k＝＝－.
又∵a2＋1≥1，
∴0<≤1.
∴k∈[－1,0)，
∴tan
θ∈[－1,0)，且θ∈[0，π)，
∴θ∈.
14．已知点A(－3，－1)，B(1，a)，C(5，a2＋1)，若A，B，C不能构成一个三角形，则a的值为________．
答案 0或2
解析 ∵A，B，C不能构成一个三角形，
∴A，B，C三点共线．
＝(4，a＋1)，＝(8，a2＋2)，
∴∥，
4(a2＋2)－8(a＋1)＝0，
即a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2.
∴当a＝0或a＝2时，A，B，C三点共线，不能构成三角形．
15．已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，若直线l的方向向量为a＝(2x，－3y)，则直线l的斜率的取值范围为____________．
答案 [－3，－1]
解析 直线l的方向向量为a＝(2x，－3y)，
则k＝＝－·，
∵＝＝－2＋，
又∵2≤x≤3，∴≤≤4，
∴≤≤2，
∴－3≤－·≤－1，
即k∈[－3，－1]．
16．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是函数y＝x3的图像上任意三个不同的点．求证：若A，B，C三点共线，则x1＋x2＋x3＝0.
证明 ∵A，B，C三点共线，
∴与共线，
＝(x2－x1，y2－y1)，＝(x3－x1，y3－y1)，
∴(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0，
即(x2－x1)(x－x)－(x3－x1)(x－x)＝0.
∴(x2－x1)(x3－x1)(x＋x3x1＋x)－(x3－x1)(x2－x1)(x＋x2x1＋x)＝0，
即(x2－x1)(x3－x1)[(x＋x3x1＋x)－(x＋x2x1＋x)]＝0，
即(x2－x1)(x3－x1)(x＋x3x1－x－x2x1)＝0.
又A，B，C三点不共点，
∴x1≠x2，x1≠x3，x2≠x3，
∴x＋x3x1－x－x2x1＝0，
即(x3－x2)(x3＋x2)＋x1(x3－x2)＝0，
即(x3－x2)(x3＋x2＋x1)＝0，
∵x2≠x3，∴x1＋x2＋x3＝0，
即证原等式成立．§2.2 直线及其方程
2.2.1 直线的倾斜角与斜率
第1课时 直线的倾斜角与斜率
学习目标 1.理解直线的倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.2.体会用斜率和倾斜角刻画直线的倾斜程度，并掌握它们之间的关系．
导语
交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝＝.若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小．那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？
一、直线的倾斜角
问题1 在平面中，怎样才能确定一条直线？
提示 两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线．
问题2 在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？
提示 直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同．
知识梳理
定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角．
(1)倾斜角θ的取值范围是0°～180°.
(2)直线与x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°；直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°.
(3)每一条直线都有唯一的倾斜角．
例1 (1)(多选)下列命题中，正确的是( )
A．任意一条直线都有唯一的倾斜角
B．一条直线的倾斜角可以为－30°
C．倾斜角为0°的直线有无数条
D．若直线的倾斜角为α，则sin
α∈(0,1)
答案 AC
解析 任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确．
D中，当α＝0°时，sin
α＝0；当α＝90°时，sin
α＝1，故D错误．
(2)已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A．0°≤α<90°
B．90°≤α<180°
C．90°<α<180°
D．0°<α<180°
答案 C
解析 直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，
又直线l经过第二、四象限，
所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.
反思感悟 (1)解答本类题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围来解答．
(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
跟踪训练1 (1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________．
答案 60°或120°
解析 有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.
②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
(2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为____．
答案 135°
解析 设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，
所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.
二、直线的斜率
问题3 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.
(1)已知直线l经过O(0,0)，P(，1)，α与O，P的坐标有什么关系？
(2)类似地，如果直线l经过P1(－1,1)，P2(，0)，α与P1，P2的坐标有什么关系？
(3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有什么关系？
提示 (1)tan
α＝＝.
(2)tan
α＝＝1－.
(3)tan
α＝.
知识梳理
1．定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan_θ为直线l的斜率；当θ＝90°时，直线l的斜率不存在．
2．两点的斜率公式
若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝，当x1＝x2时，直线l的斜率不存在；当y1＝y2时，直线l的斜率为0.
注意点：(1)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关．
(2)k＝＝，要求分子、分母下标的顺序一致．
(3)与x轴平行或重合的直线斜率为0.
(4)与x轴垂直的直线的斜率不存在．
例2 (1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角．
①A(2,3)，B(4,5)；
②C(－2,3)，D(2，－1)；
③P(－3,1)，Q(－3,10)．
解 ①存在．直线AB的斜率kAB＝＝1，
则直线AB的倾斜角α满足tan
α＝1，
又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.
②存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1，
则直线CD的倾斜角α满足tan
α＝－1，
又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.
③不存在．因为xP＝xQ＝－3，
所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
(2)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率．
解 当a＝3时，斜率不存在；
当a≠3时，直线的斜率k＝.
反思感悟 (1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；
②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．
(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
倾斜角α
0°
30°
45°
60°
120°
135°
150°
斜率k
0
1
－
－1
－
跟踪训练2 (1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为________．
答案 －
(2)若过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________．
答案 1
解析 由斜率公式k＝＝1，得m＝1.
三、倾斜角和斜率的应用
问题4 当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？为什么？
提示 当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大．
知识梳理
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
α的大小
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k的范围
k＝0
k>0
不存在
k<0
k的增减性
随α的增大而增大
随α的增大而增大
例3 已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
解 如图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1，
(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，
所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
反思感悟 倾斜角和斜率的应用
(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系．
(2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解．
跟踪训练3 已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
解 (1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝.直线AC的斜率kAC＝＝.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.
(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.
1.知识清单：
(1)直线的倾斜角．
(2)直线的斜率以及两点的斜率公式．
(3)倾斜角和斜率的应用．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：垂直于x轴的直线斜率不存在，倾斜角存在且为90°.
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B．若k是直线的斜率，则k∈R
C．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
答案 ABC
2．若经过A(m,2)，B(4,5)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于( )
A．2
B．1
C．－1
D．－2
答案 B
解析 由题意知，tan
45°＝，得m＝1.
3．已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为( )
A．－1
B．1
C．2
D.
答案 D
解析 由＝2，得m＝.
4．经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m≥1)
答案 0°<α≤90°
解析 当m＝1时，倾斜角α＝90°；当m>1时，tan
α＝>0，∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.
课时对点练
1．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是( )
A．(4,2)与(－4,1)
B．(0,3)与(3,0)
C．(3，－1)与(2，－1)
D．(－2,2)与(－2,5)
答案 D
解析 D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在．
2．已知点A(，1)，B(3，3)，则直线AB的倾斜角是( )
A．60°
B．30°
C．120°
D．150°
答案 B
解析 kAB＝＝，
∴tan
θ＝且0°≤θ＜180°，
∴θ＝30°.
3．如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1＜k3＜k2
B．k3＜k1＜k2
C．k1＜k2＜k3
D．k3＜k2＜k1
答案 A
解析 设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，
则由图知0°＜α3＜α2＜90°＜α1＜180°，
所以tan
α1＜0，tan
α2＞tan
α3＞0，
即k1＜0，k2＞k3＞0.
4．若某直线的斜率k∈(－∞，]，则该直线的倾斜角α的取值范围是( )
A.
B.
C.∪
D.
答案 C
解析 ∵直线的斜率k∈(－∞，]，∴k≤tan
，
∴该直线的倾斜角α的取值范围是∪.
5．(多选)已知直线斜率的绝对值为，则直线的倾斜角可以为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
答案 BC
解析 由题意得直线的斜率为或－，故直线的倾斜角为60°或120°.
6．(多选)已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为( )
A．(0,1)
B．(－1,0)
C．(3,0)
D．(0，－3)
答案 CD
解析 若设点P的坐标为P(x,0)，
则k＝＝tan
45°＝1，∴x＝3，即P(3,0)．
若设点P的坐标为P(0，y)，
则k＝＝tan
45°＝1，
∴y＝－3，即P(0，－3)．故选CD.
7．已知直线l经过点A(1,2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围为________．
答案 [0,2]
解析 如图所示，直线l过点A且不经过第四象限，则直线l在l2与l1之间，
∴≤kl≤，
又＝0，＝2，∴0≤kl≤2.
8．若经过点A(1－t,1＋t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是________．
答案 (－2,1)
解析 由题意知，kAB＝＝.因为直线的倾斜角为钝角，所以kAB＝<0，解得－29．已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时：
(1)直线l与x轴平行？
(2)直线l与y轴平行？
(3)直线的倾斜角为45°？
(4)直线的倾斜角为锐角？
解 (1)若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝0，
∴m＝1.
(2)若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，
∴m＝－1.
(3)由题意可知，直线l的斜率k＝1，
即＝1，解得m＝0.
(4)由题意可知，直线l的斜率k>0，
即>0，解得－110.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．
解 在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°，
所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°，
所以kOD＝kBC＝tan
60°＝.
因为CD∥OB，且OB在x轴上，
所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，
所以kOB＝kCD＝0，
由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°，
所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°，
所以kOC＝tan
30°＝，kBD＝tan
120°＝－.
11．如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是( )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
答案 B
解析 设A(a，b)是直线l上任意一点，
则平移后得到点A
′(a－2，b＋2)，
于是直线l的斜率k＝kAA′＝＝－1.
12．已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1,1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A.
B.
C.
D．{k|k<2}
答案 A
解析 ∵kAP＝＝2，kBP＝＝，如图，
∵直线l与线段AB始终没有交点，
∴斜率k的取值范围是.
13．已知直线l1的倾斜角为α(α≠0)，若直线l2与l1关于x轴对称，则直线l2的倾斜角为________，两直线l1与l2的斜率之和为________．
答案 π－α 0
解析 如图，∵l1与l2关于x轴对称，
∴α＝β＝γ.
又θ＋α＋β＝π，∴θ＋α＝π－β＝π－α.
故l2的倾斜角为π－α.
∴＋＝tan
α＋tan(π－α)＝tan
α－tan
α＝0.
14．已知O(O为坐标原点)是等腰直角三角形OAB的直角顶点，点A在第一象限，∠AOy＝15°，则斜边AB所在直线的斜率为________．
答案 或－
解析 设直线AB与x轴的交点为C(图略)，
则∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－105°＝30°，
或∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－75°＝60°.
所以kAB＝tan
30°＝或kAB＝tan
120°＝－.
15．若三点A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能构成三角形，则实数k的取值范围为________．
答案 (－∞，1)∪(1，＋∞)
解析 kAB＝＝，kAC＝＝＝0.
要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，
即kAB≠kAC，∴≠0，∴k≠1.
16．已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，求的取值范围．
解 的几何意义是过M(x，y)，N(2,1)两点的直线的斜率．
因为点M在函数x＋2y＝6的图像上，且1≤x≤3，
所以可设该线段为AB，且A，B，
又kNA＝－，kNB＝，
所以的取值范围是∪.(共58张PPT)
第二章 2.2.1 直线的倾斜角与斜率
第1课时 直线的倾斜角与斜率
学习目标
1.理解直线的倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.
2.体会用斜率和倾斜角刻画直线的倾斜程度，并掌握它们之间的关系.
导语
交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负
实数)，则坡度k＝
.若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示
下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？
随堂演练
课时对点练
一、直线的倾斜角
二、直线的斜率
三、倾斜角和斜率的应用
内容索引
一、直线的倾斜角
问题1 在平面中，怎样才能确定一条直线？
提示 两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线.
问题2 在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？
提示 直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同.
知识梳理
定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的_____按_______方向旋转到与直线重合时所转的_________记为θ，则称θ为这条直线的_______.
(1)倾斜角θ的取值范围是__________.
(2)直线与x轴平行或重合时，直线的倾斜角为____；直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为_____.
(3)每一条直线都有_____的倾斜角.
交点
逆时针
最小正角
倾斜角
0°～180°
0°
90°
唯一
例1 (1)(多选)下列命题中，正确的是
A.任意一条直线都有唯一的倾斜角
B.一条直线的倾斜角可以为－30°
C.倾斜角为0°的直线有无数条
D.若直线的倾斜角为α，则sin
α∈(0,1)
√
√
解析 任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确.
D中，当α＝0°时，sin
α＝0；当α＝90°时，sin
α＝1，故D错误.
(2)已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是
A.0°≤α<90°
B.90°≤α<180°
C.90°<α<180°
D.0°<α<180°
√
解析 直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，
又直线l经过第二、四象限，
所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.
反思感悟 (1)解答本类题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围来解答.
(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.
跟踪训练1 (1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为____________.
60°或120°
解析 有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.
②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
(2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为______.
135°
解析 设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，
所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.
二、直线的斜率
问题3 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.
(1)已知直线l经过O(0,0)，P(
，1)，α与O，P的坐标有什么关系？
(2)类似地，如果直线l经过P1(－1,1)，P2(
，0)，α与P1，P2的坐标有什么关系？
(3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有什么关系？
知识梳理
1.定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝______为直线l的斜率；当θ＝90°时，直线l的斜率_______.
2.两点的斜率公式
若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的
斜率为k＝_______，当x1＝x2时，直线l的斜率_______；当y1＝y2时，直线l的斜率为____.
tan
θ
不存在
不存在
0
注意点：(1)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关.
(2)k＝
，要求分子、分母下标的顺序一致.
(3)与x轴平行或重合的直线斜率为0.
(4)与x轴垂直的直线的斜率不存在.
例2 (1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角.
①A(2,3)，B(4,5)；
解 存在.
则直线AB的倾斜角α满足tan
α＝1，
又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.
②C(－2,3)，D(2，－1)；
解 存在.
则直线CD的倾斜角α满足tan
α＝－1，
又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.
③P(－3,1)，Q(－3,10).
解 不存在.
因为xP＝xQ＝－3，
所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
(2)求经过两点A(a，2)，B(3,6)的直线的斜率.
解 当a＝3时，斜率不存在；
反思感悟 (1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；
②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置.
(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.
倾斜角α
0°
30°
45°
60°
120°
135°
150°
斜率k
0
1
－
－1
－
跟踪训练2 (1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为______.
(2)若过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为__.
1
三、倾斜角和斜率的应用
问题4 当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？为什么？
提示 当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大.
知识梳理
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
α的大小
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k的范围
k＝0
____
不存在
____
k的增减性
?
随α的增大而_____
?
随α的增大而_____
k>0
k<0
增大
增大
例3 已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞).
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
解 由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，
又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，
所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
反思感悟 倾斜角和斜率的应用
(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系.
(2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解.
跟踪训练3 已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围.
解 如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，
课堂小结
1.知识清单：
(1)直线的倾斜角.
(2)直线的斜率以及两点的斜率公式.
(3)倾斜角和斜率的应用.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：垂直于x轴的直线斜率不存在，倾斜角存在且为90°.
随堂演练
1.(多选)下列说法正确的是
A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B.若k是直线的斜率，则k∈R
C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
√
1
2
3
4
√
√
2.若经过A(m，2)，B(4,5)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于
A.2
B.1
C.－1
D.－2
√
1
2
3
4
3.已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为
A.－1
B.1
C.2
D.
1
2
3
4
√
4.经过A(m，3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是____________.
(其中m≥1)
1
2
3
4
0°<α≤90°
解析 当m＝1时，倾斜角α＝90°；
∴0°<α<90°.
故0°<α≤90°.
课时对点练
基础巩固
1.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是
A.(4,2)与(－4,1)
B.(0,3)与(3,0)
C.(3，－1)与(2，－1)
D.(－2,2)与(－2,5)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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15
16
解析 D项，因为x1＝x2＝－2，
所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在.
2.已知点
，则直线AB的倾斜角是
A.60°
B.30°
C.120°
D.150°
√
1
2
3
4
5
6
7
8
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15
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∴θ＝30°.
3.如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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13
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15
16
A.k1＜k3＜k2
B.k3＜k1＜k2
C.k1＜k2＜k3
D.k3＜k2＜k1
√
解析 设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，
则由图知0°＜α3＜α2＜90°＜α1＜180°，
所以tan
α1＜0，tan
α2＞tan
α3＞0，
即k1＜0，k2＞k3＞0.
√
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3
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5.(多选)已知直线斜率的绝对值为
，则直线的倾斜角可以为
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
√
1
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3
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√
故直线的倾斜角为60°或120°.
∴y＝－3，即P(0，－3).故选CD.
6.(多选)已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为
A.(0,1) B.(－1,0) C.(3,0) D.(0，－3)
√
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√
解析 若设点P的坐标为P(x，0)，
若设点P的坐标为P(0，y)，
7.已知直线l经过点A(1,2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围为________.
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[0，2]
解析 如图所示，直线l过点A且不经过第四象限，则直线l在l2与l1之间，
∴
≤kl≤
，
又
＝0，
＝2，
∴0≤kl≤2.
8.若经过点A(1－t，1＋t)和点B(3，2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是________.
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(－2，1)
解得－29.已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m，1)，问：当m取何值时：
(1)直线l与x轴平行？
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解 若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝0，
∴m＝1.
(2)直线l与y轴平行？
解 若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，
∴m＝－1.
(3)直线的倾斜角为45°？
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解 由题意可知，直线l的斜率k＝1，
(4)直线的倾斜角为锐角？
解 由题意可知，直线l的斜率k>0，
10.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.
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解 在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°，
所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°，
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因为CD∥OB，且OB在x轴上，
所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，
所以kOB＝kCD＝0，
由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°，
所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°，
综合运用
11.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是
A.－2
B.－1
C.1
D.2
√
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解析 设A(a，b)是直线l上任意一点，
则平移后得到点A
′(a－2，b＋2)，
12.已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1,1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是
√
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∵直线l与线段AB始终没有交点，
13.已知直线l1的倾斜角为α(α≠0)，若直线l2与l1关于x轴对称，则直线l2的倾斜角为_____，两直线l1与l2的斜率之和为___.
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π－α
0
解析 如图，∵l1与l2关于x轴对称，
∴α＝β＝γ.
又θ＋α＋β＝π，∴θ＋α＝π－β＝π－α.
故l2的倾斜角为π－α.
∴ ＋ ＝tan
α＋tan(π－α)＝tan
α－tan
α＝0.
14.已知O(O为坐标原点)是等腰直角三角形OAB的直角顶点，点A在第一
象限，∠AOy＝15°，则斜边AB所在直线的斜率为__________.
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解析 设直线AB与x轴的交点为C(图略)，
则∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－105°＝30°，
或∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－75°＝60°.
拓广探究
15.若三点A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能构成三角形，则实数k的取值范围为_____________________.
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(－∞，1)∪(1，＋∞)
要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，
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16.已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，求
的取值范围.
因为点M在函数x＋2y＝6的图像上，且1≤x≤3，
本课结束
