第3课时 直线的一般式方程
学习目标 1.理解直线的一般式方程的特点，以及与其它方程形式的区别与联系.2.掌握直线的一般式方程与其它形式之间的相互转化，进一步掌握求直线方程的方法．
导语
同学们，前面我们学习了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，我们知道每一种形式都有它的适用范围，而且发现它们都是二元一次方程，我们今天要研究的是能否用统一的一个方程来表示上述四种形式．
一、直线的一般式方程
问题1 直线y＝2x＋1可以化成二元一次方程吗？方程2x－y＋3＝0表示一条直线吗？
提示 y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，可以化为二元一次方程.2x－y＋3＝0可以化为y＝2x＋3，可以表示直线．
知识梳理
1．直线的一般式方程
关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0)表示直线的方程．我们把Ax＋By＋C＝0称为直线的一般式方程．
(1)A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.
(2)直线的一般式方程能表示所有的直线方程，在求直线方程时，最后结果一般都化成一般式方程．
2．直线方程五种形式的比较
名称
已知条件
标准方程
适用范围
点斜式
点P1(x1，y1)和斜率k
y－y1＝k(x－x1)
不垂直于x轴的直线
斜截式
斜率k和在y轴上的截距b
y＝kx＋b
不垂直于x轴的直线
两点式
点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2)
＝
不垂直于x，y轴的直线
截距式
在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且截距不为零
＋＝1
不垂直于x，y轴的直线，不过原点的直线
一般式
两个独立的条件
Ax＋By＋C＝0
A，B不全为零
注意点：(1)直线一般式方程的结构特征
①方程是关于x，y的二元一次方程．
②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．
③x的系数一般不为分数和负数．
④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．
(2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质：
①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；
②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；
③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；
④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；
⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合．
例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是，且经过点A(5,3)；
(2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；
(3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1；
(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴．
解 (1)由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)，
即x－y－5＋3＝0.
(2)由两点式，得直线方程为＝，
即2x＋y－3＝0.
(3)由截距式，得直线方程为＋＝1，
即x＋3y＋3＝0.
(4)y－2＝0.
反思感悟 求直线一般式方程的策略
在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．
跟踪训练1 根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式：
(1)斜率是－，且经过点A(8，－6)；
(2)在x轴和y轴上的截距分别是和－3；
(3)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)．
解 (1)由点斜式，得直线方程为y＋6＝－(x－8)，
即x＋2y＋4＝0.
(2)由截距式，得直线方程为＋＝1，
即2x－y－3＝0.
(3)由两点式，得直线方程为＝，
即x＋y－1＝0.
二、直线的法向量与一般式方程的关系
问题2 如何用直线的一般式的系数表示直线的方向向量和法向量？
提示 对于Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，当B≠0时，直线的斜率为k＝－，故为直线的一个方向向量，一般地，(B，－A)是任意直线的方向向量，由直线的法向量与直线方向向量的垂直关系，可知(A，B)是直线的一个法向量．
知识梳理
a＝(B，－A)为直线Ax＋By＋C＝0的一个方向向量．
v＝(A，B)为直线Ax＋By＋C＝0的一个法向量．
例2 求下列直线的方程：
(1)经过点(2,1)，且一个法向量为v＝(2，－3)；
(2)经过点(2，－3)，且一个方向向量为a＝(2,4)．
解 (1)∵直线的一个法向量为v＝(2，－3)，
∴设直线的一般式方程为2x－3y＋C＝0，
代入点(2,1)得4－3＋C＝0，
解得C＝－1，
∴直线的方程为2x－3y－1＝0.
(2)方法一 ∵直线的一个方向向量为a＝(2,4)，
∴k＝＝2，
故所求直线方程为y＋3＝2(x－2)，
即2x－y－7＝0.
方法二 ∵直线的一个方向向量为a＝(2,4)，
∴直线的一个法向量为v＝(4，－2)，
故设直线的一般式方程为4x－2y＋C＝0，代入点(2，－3)有8＋6＋C＝0，解得C＝－14，
∴所求直线方程为4x－2y－14＝0，即2x－y－7＝0.
反思感悟 已知直线的方向向量或法向量求直线方程的思路
(1)若已知直线的法向量(m，n)，可直接设直线的方程为mx＋ny＋C＝0，然后代点求C；
(2)若已知直线的方向向量，可先求直线的斜率，然后利用点斜式求直线的方程，但需要考虑斜率不存在的情况，或转化为直线的法向量．
跟踪训练2 直线2x＋y－3＝0的一个方向向量为a＝(m，－6)，则m＝________.
答案 3
解析 由直线的一般式方程可知，该直线的一个法向量v＝(2，1)，所以a⊥v，
所以2m－6＝0，解得m＝3.
三、直线的一般式方程的应用
例3 设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；
(2)已知直线l的斜率为1，求m的值．
解 (1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，得x＝，
∴＝－3，得m＝－或m＝3(舍去)．
∴m＝－.
(2)由题意知，2m2＋m－1≠0，
即m≠且m≠－1.
由直线l化为斜截式方程
得y＝x＋，
则＝1，得m＝－2或m＝－1(舍去)．
∴m＝－2.
延伸探究
对于本例中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值．
解 ∵直线l与y轴平行，
∴∴m＝.
反思感悟 含参直线方程的研究策略
(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.
(2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．
(3)解分式方程要注意验根．
跟踪训练3 (1)已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，直线l与坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积为________．
答案 6
解析 直线l的方程为3x＋4y－12＝0，
令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝4，
故令A(4,0)，B(0,3)，S△AOB＝×4×3＝6.
(2)直线l的方程为kx－y＋2k＋1＝0(k∈R)，则该直线过定点________．
答案 (－2,1)
解析 方法一 直线l的方程可化为y－1＝k(x＋2)，
由直线的点斜式方程可知，直线过定点(－2,1)．
方法二 直线l的方程可化为k(x＋2)－y＋1＝0，
则解得x＝－2，y＝1，
则直线l过定点(－2,1)．
1.知识清单：
(1)直线的一般式方程．
(2)直线的一般式方程与其他四种形式的区别与联系以及相互转化．
(3)直线的一般式方程的应用．
2．方法归纳：数形结合、公式法、分类讨论．
3．常见误区：直线的一般式方程转化为其他四种形式时易忽视讨论斜率不存在的情况．
1．直线＋＝1化成一般式方程为( )
A．y＝－x＋4
B．y＝－(x－3)
C．4x＋3y－12＝0
D．4x＋3y＝12
答案 C
2．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是( )
A．30°
B．60°
C．150°
D．120°
答案 C
解析 直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C.
3．直线ax＋3my＋2a＝0(m≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k等于( )
A．－3
B．3
C.
D．－
答案 D
解析 由点(1，－1)在直线上，可得a－3m＋2a＝0(m≠0)，解得m＝a，故直线方程为ax＋3ay＋2a＝0(a≠0)，
即x＋3y＋2＝0，其斜率k＝－.
4．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值为________．
答案 3
解析 由已知得
∴m＝3.
课时对点练
1．过点(2,1)，斜率k＝－2的直线方程为( )
A．x－1＝－2(y－2)
B．2x＋y－1＝0
C．y－2＝－2(x－1)
D．2x＋y－5＝0
答案 D
解析 根据直线方程的点斜式可得，y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.
2．已知过点M(2,1)的直线与x轴、y轴分别交于P，Q两点．若M为线段PQ的中点，则这条直线的方程为( )
A．2x－y－3＝0
B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－4＝0
D．x－2y＋3＝0
答案 C
解析 依题意P(4,0)，Q(0,2)，
所以直线方程为＋＝1，
即x＋2y－4＝0，故选C.
3．直线的一个方向向量为a＝(1，－3)，且经过点(0,2)，则直线的方程为( )
A．3x－y＋2＝0
B．3x＋y－2＝0
C．3x＋y＋2＝0
D．3x－y－2＝0
答案 B
解析 ∵直线的方向向量为a＝(1，－3)，
∴k＝－3，
∴直线的方程为y＝－3x＋2，
即3x＋y－2＝0.
4．若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则( )
A．ab>0，bc>0
B．ab>0，bc<0
C．ab<0，bc>0
D．ab<0，bc<0
答案 D
解析 如图，ax＋by＋c＝0可化为y＝－x－，
∴
即ab<0，bc<0.
5．(多选)直线l：mx－m2y＋3＝0经过点P(2,1)，则倾斜角与直线l的倾斜角互为补角且过点P的直线的方程可以是( )
A．x－y－1＝0
B．3x－y－5＝0
C．x＋y－3＝0
D．x＋3y－5＝0
答案 AD
解析 将点(2,1)代入直线方程有
m2－2m－3＝0，
解得m＝3或m＝－1，
当m＝3时直线l的方程为x－3y＋1＝0，
即y＝x＋，
斜率为，故所求直线的斜率k＝－，
方程为y－1＝－(x－2)，即x＋3y－5＝0.
当m＝－1时，直线l的方程为x＋y－3＝0，
即y＝－x＋3，斜率为－1，
故所求直线的斜率为k＝1，
方程为y－1＝1·(x－2)，即x－y－1＝0.
故选AD.
6．(多选)下列有关直线l：x＋my－1＝0(m∈R)的说法不正确的是( )
A．直线l的斜率为－
B．直线l过定点(1,0)
C．直线l在y轴上的截距为
D．直线l的方程可化为截距式
答案 ACD
解析 当m＝0时，直线l：x－1＝0表示一条垂直于x轴的直线，斜率不存在，与y轴无交点，故A，C，D不正确；又当y＝0时，x＝1，故直线过定点(1,0)，故B正确．
7．直线l的一个法向量为v＝(3,2)且过点(2,3)，则直线l的方程为________________．
答案 3x＋2y－12＝0
解析 ∵直线l的一个法向量为v＝(3,2)，
故设直线l的方程为3x＋2y＋C＝0，代入点(2,3)，
有6＋6＋C＝0，即C＝－12，
故直线l的方程为3x＋2y－12＝0.
8．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．
答案 －
解析 把(3,0)代入已知方程，得(a＋2)×3－2a＝0，
∴a＝－6，
∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0，
令x＝0，得y＝－.
9．求满足下列条件的直线方程．
(1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率的3倍；
(2)过点M(0,4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为12.
解 (1)直线3x＋8y－1＝0可化为y＝－x＋，斜率为－，
故所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，
即9x＋8y＋33＝0.
(2)设直线的方程为＋＝1(a≠0)，
∴S＝·|a|·4＝12，解得a＝±6，
故所求的直线方程为＋＝1，
即2x＋3y－12＝0或2x－3y＋12＝0.
10．已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程．
解 设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点，
∵点B在中线BE：y－1＝0上，
∴设B点坐标为(x,1)．
又∵A点坐标为(1,3)，D为AB的中点，
∴由中点坐标公式得D点坐标为.
又∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上，
∴－2×2＋1＝0，解得x＝5，
∴B点坐标为(5,1)．
同理可求出C点的坐标是(－3，－1)．
故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0.
11．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A.
B.∪
C.
D.
答案 D
解析 ∵k＝－，∴－1≤k<0.
∴倾斜角的取值范围是.
12．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图像大致是( )
答案 C
解析 将l1与l2的方程化为l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a.
A中，由图知l1∥l2，而a≠b，故A错；
B中，由l1的图像可知，a<0，b>0，由l2的图像知b>0，a>0，两者矛盾，故B错；
C中，由l1的图像可知，a>0，b>0，由l2的图像可知，a>0，b>0，故正确；
D中，由l1的图像可知，a>0，b<0，由l2的图像可知a>0，b>0，两者矛盾，故D错．
13．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为( )
A.，1
B.，－1
C．－，1
D．－，－1
答案 D
解析 原方程化为＋＝1，∴＝－1，∴b＝－1.
又∵ax＋by－1＝0的斜率k＝－＝a，且x－y－＝0的倾斜角为60°，∴k＝tan
120°，∴a＝－，故选D.
14．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－(4m－1)＝0在x轴上的截距等于1，则m＝________.
答案 －或2
解析 由题意知，2m2＋m－3≠0.
令y＝0，得直线在x轴上的截距为x＝＝1，
解得m＝2或m＝－.
15．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2)，B(－2,0)，C(1,0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为____________________．
答案 x＋4y－14＝0
解析 过点H，F分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N(图略)．
∵四边形ACGH为正方形，
∴Rt△AMH≌Rt△COA，
∵OC＝1，MH＝OA＝2，
∴OM＝OA＋AM＝3，
∴点H的坐标为(2,3)，同理得到F(－2,4)，
∴直线FH的方程为＝，
化为一般式方程为x＋4y－14＝0.
16．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第一象限，求实数a的取值范围．
解 (1)依题意知，直线在两坐标轴上的截距都存在，
∴a＋1≠0，∴a≠－1，
令x＝0，y＝a－2，
令y＝0，x＝，
则a－2＝，
解得a＝2或a＝0.
当a＝2时，直线l的方程为3x＋y＝0，
当a＝0时，直线l的方程为x＋y＋2＝0.
综上所述，所求直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)直线方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
斜率k＝－(a＋1)，截距为a－2，
则解得－1≤a≤2，
所以实数m的取值范围为[－1,2]．(共60张PPT)
第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程
第二章 2.2.2 直线的方程
学习目标
1.了解直线的方程、方程的直线的概念.
2.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程.
3.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截
距的含义.
导语
同学们，直线与方程就是直线的方程，在几何问题的研究中，我们常常直接依据几何图形中点、直线、平面间的关系研究几何图形的性质，我们在平面直角坐标系中，建立直线的方程，然后通过方程，研究直线的有关性质，今天我们来探究直线的方程.
随堂演练
课时对点练
一、直线的方程的理解
二、直线的点斜式方程
三、直线的斜截式方程
内容索引
一、直线的方程的理解
问题1 已知l1，l2是平面直角坐标系下的直线，判断满足以下条件的直线l1，l2是否唯一.
①已知l1的斜率不存在；②已知l1的斜率不存在且l1过点A(1,2)；③已知l2的斜率为2；④已知l2的斜率为2且过点B(2,3).
提示 显然，满足①的直线有无数条，满足②的直线是唯一的，即横坐标为1的点都在直线上，且直线上所有点的横坐标也都为1；同样，满足③的直线有无数条，满足④的直线是唯一的，我们只需找异于B点任意一点P(x，y)，有
＝2，即y－3＝2(x－2)，因此直线上的点都在方程
y－3＝2(x－2)上，而满足方程y－3＝2(x－2)上的点也都在直线上.
知识梳理
如果直线l上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，而且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称___________为直线l的方程，而直线l称为方程F(x，y)＝0的直线，“直线l”也可说成“直线F(x，y)＝0”，记作l：__________.
F(x，y)＝0
F(x，y)＝0
例1 下列各点在二元一次方程x＋2y－1＝0上的是
√
解析 将选项A，B，C，D分别代入方程x＋2y－1＝0，检验只有A满足题意.
反思感悟 直线l上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，而且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x，y)＝0为直线l的方程.
跟踪训练1 已知点A(1，m)在二元一次方程x－y＋1＝0上，则实数m的值为
A.2
B.3
C.4
D.5
√
解析 因为点A(1，m)在x－y＋1＝0上，
故1－m＋1＝0?m＝2.
二、直线的点斜式方程
问题2 给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线.怎么确定P0(x0，y0)和斜率k之间的关系？
提示 y－y0＝k(x－x0).
知识梳理
我们把方程_______________称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程.
方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它称为直线的___________，简称点斜式.
注意点：(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式.
(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.
y－y0＝k(x－x0)
点斜式方程
例2 若直线l满足下列条件，求其直线方程.
(1)过点(－1，2)且斜率为3；
(2)过点(－1，2)且与x轴平行；
(3)过点(－1，2)且与x轴垂直；
解 y－2＝3(x＋1)，即y＝3x＋5.
解 y＝2.
解 x＝－1.
(4)已知点A(3，3)，B(－1，5)，过线段AB的中点且倾斜角为60°.
(5)过点(－1,2)且直线的方向向量为a＝(2，－1).
解 直线的方向向量为a＝(2，－1)，
反思感悟 (1)只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程.
(2)当倾斜角为0°，即k＝0时，这时直线l与x轴平行或重合，直线l的方程是y＝y0.
(3)当倾斜角为90°时，直线无斜率，这时直线l与y轴平行或重合，直线l的方程是x＝x0.
跟踪训练2 求满足下列条件的直线方程.
(1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝
的倾斜角的2倍；
(2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行；
解 与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示.
但直线上点的横坐标均为5，
故直线方程可记为x＝5.
(3)过点P(4，－2)，倾斜角为150°.
三、直线的斜截式方程
问题3 直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程.
提示 y＝kx＋b.
知识梳理
1.直线的截距
当直线l既不是x轴也不是y轴时，若l与x轴的交点为(a,0)，则称l在x轴上的截距为___；若l与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为___.一条直线在y轴上的截距简称为_____.
2.把方程y＝kx＋b称为直线的斜截式方程，简称斜截式.
a
b
截距
注意点：(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.
(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.
(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距.
(4)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程.
例3 (1)(多选)下列四个选项中，正确的是
A.任何一条直线在y轴上都有截距
B.直线在y轴的截距一定是正数
C.直线方程的斜截式可以表示不垂直于x轴的任何直线
D.直线y＝2x－1在y轴上的截距为－1
√
√
解析 平行于y轴的直线与y轴不相交，所以在y轴上没有截距，故A不正确.
直线在y轴上的截距即为直线与y轴交点的纵坐标，可正、可负、可为0，故B不正确.
直线的斜截式方程y＝kx＋b所表示的直线斜率要存在，且直线在y轴上的截距要存在，所以直线的斜截式方程不能表示垂直于x轴的直线，故C正确.
直线y＝2x－1在y轴上的截距为－1，故D正确.
(2)根据条件写出下列直线的斜截式方程.
①斜率为2，在y轴上的截距是5；
②倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
解 由直线方程的斜截式可知，
所求直线方程为y＝2x＋5.
解 ∵倾斜角α＝150°，
③倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
解 ∵直线的倾斜角为60°，
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
反思感悟 (1)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解.
(2)截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零.
跟踪训练3 (1)直线y＋2＝－2(x－3)化成斜截式方程为____________，在y轴上的截距为____.
y＝－2x＋4
4
解析 y＋2＝－2(x－3)可化为y＝－2x＋4，在y轴上的截距为4.
(2)已知直线l与直线l1：y＝2x＋6在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1的斜率互为相反数，则直线l的方程为____________.
y＝－2x＋6
解析 l1：y＝2x＋6在y轴上的截距为6，斜率为2，
故直线l的斜率为－2，在y轴上的截距为6，
所以直线l的方程为y＝－2x＋6.
课堂小结
1.知识清单：
(1)直线的方程与方程的直线.
(2)直线的点斜式方程.
(3)直线的斜截式方程.
2.方法归纳：公式法.
3.常见误区：直线的点斜式方程、斜截式方程并不能表示所有直线.
随堂演练
1.方程y＝k(x－2)表示
A.通过点(－2,0)的所有直线
B.通过点(2,0)的所有直线
C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线
解析 易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴.
√
1
2
3
4
√
1
2
3
4
3.直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有
A.k>0，b>0
B.k>0，b<0
C.k<0，b>0
D.k<0，b<0
√
1
2
3
4
解析 如图，∵直线经过第一、三、四象限，∴k>0，b<0.
4.已知直线l过点P(2,1)，且直线l的斜率为直线x－4y＋3＝0的斜率的2倍，
则直线l的点斜式方程为______________.
1
2
3
4
解析 由x－4y＋3＝0，
又直线l过点P(2，1)，
课时对点练
基础巩固
1.已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为
A.x＝3
B.x＝－2
C.y＝3
D.y＝－2
√
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解析 ∵直线与x轴平行，∴其斜率为0，
∴直线的方程为y＝－2.
2.若直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是
A.y－1＝x
B.y＋1＝x
C.y－1＝－x
D.y＋1＝－x
√
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解析 ∵直线l的倾斜角为45°，∴直线l的斜率为1，
又∵直线l过点(0，－1)，∴直线l的方程为y＋1＝x.
√
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4.直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点为
A.(3，1)
B.(2，3)
C.(2，－3)
D.(－2，3)
√
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16
解析 直线方程为y＝k(x－2)＋3，
可化为y－3＝k(x－2)，所以过定点(2,3).
5.(多选)在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程为
√
1
2
3
4
5
6
7
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16
√
解析 因为直线与y轴相交成30°角，
所以直线的倾斜角为60°或120°，
又因为在y轴上的截距为－6，
6.(多选)经过点(2,1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为
A.y＝x＋3
B.y＝x－1
C.y＝－x＋3
D.y＝－x－1
√
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16
√
解析 由题意可知直线的斜率为±1，当直线的斜率为1时，直线方程为y－1＝x－2，化简得y＝x－1；
当直线的斜率为－1时，直线方程为y－1＝－(x－2)，化简得y＝－x＋3.
7.已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝____.
1
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3
4
5
6
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4
解析 直线l的方程可化为y＝(m－1)x＋2m－1，
∴2m－1＝7，得m＝4.
8.设直线l的倾斜角是直线y＝
＋1的倾斜角的
，且与y轴的交点到x轴
的距离是3，则直线l的斜率为______，直线l的方程是__________.
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3
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由题意知，l在y轴上的截距为±3，
1
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9.求倾斜角为直线y＝
的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的
直线方程.
(1)经过点(－4,1)；
1
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16
(2)在y轴上的截距为－10.
解 因为直线在y轴上的截距为－10，
10.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程.
(1)过定点A(－2,0)；
1
2
3
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5
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8
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16
解 依题意直线l的斜率存在且不为0.
设直线l的方程为y＝k(x＋2)
令x＝0，y＝2k，令y＝0，x＝－2，
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16
令x＝0，y＝b，令y＝0，x＝－6b，
解得b＝±1.
综合运用
11.一条直线过点(－2,3)且直线的一个法向量为v＝(2,3)，则该直线的方程为
√
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2
3
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5
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8
9
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11
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16
解析 直线的一个法向量v＝(2，3)，
则该直线的一个方向向量为a＝(3，－2)，
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16
又直线过点(－2，3)，
解析 ①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距为a>0，A，B，C，D都不成立；
②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A，B，C，D都不成立；
③当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距为a<0，只有C成立.
12.下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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14
15
16
√
13.已知直线l不经过第三象限，设它的斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，那么
A.kb<0 B.kb≤0 C.kb>0 D.kb≥0
√
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解析 直线l不经过第三象限，则k≤0且b>0，
即kb≤0.
14.将直线y＝x＋
－1绕其上面一点(1，
)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是________________.
1
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4
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16
∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°，
拓广探究
15.已知点A(1，3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，
则k的取值范围是________.
1
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16
解析 由已知得，直线l恒过定点P(2，1)，如图所示.
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3
4
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16
若l与线段AB相交，
则kPA≤k≤kPB，
故直线l恒经过第一象限.
(1)证明：直线l恒经过第一象限；
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(2)若直线l一定经过第二象限，求a的取值范围.
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12
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故只需l在y轴上的截距大于0即可，
故a的取值范围是(－∞，3).
本课结束(共53张PPT)
第2课时 直线的两点式方程
第二章 2.2.2 直线的方程
学习目标
1.掌握直线方程的两点式及截距式，并理解它们存在的条件.
2.会利用直线两点式和截距式求直线方程.
导语
斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线.怎样表示直线的方程呢？
随堂演练
课时对点练
一、直线的两点式方程
二、直线的截距式方程
内容索引
一、直线的两点式方程
问题1 我们知道已知两点也可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程.若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？
知识梳理
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程______________，我们把它称为直线的两点式方程，简称_______.
注意点：(1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示.
(2)两点式方程与这两个点的顺序无关.
(3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等.
两点式
例1 在△ABC中，已知点A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2).
(1)求BC边的方程；
解 BC边过点B(5，－4)，C(0，－2)，
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
解 设BC的中点为M(a，b)，
又BC边的中线过点A(－3,2)，
反思感悟 利用两点式求直线的方程
首先要判断是否满足两点式方程的适用条件.
若满足即可考虑用两点式求方程.在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程.
跟踪训练1 (1)过点A(－2,1)，B(3，－3)的直线方程为_____________.
4x＋5y＋3＝0
解析 因为直线过点(－2,1)和(3，－3)，
化简得4x＋5y＋3＝0.
(2)已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程．
解 由直线经过点A(1,0)，B(m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在．
(1)当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；
综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1；
当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.
二、直线的截距式方程
问题2 若给定直线上两点A(a,0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？
知识梳理
我们把方程_______叫做直线的截距式方程，简称截距式.直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线_____________，此时直线在y轴上的截距是__.
注意点：(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程.
(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图.
(3)与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示.
(4)过原点的直线的横、纵截距都为零.
在x轴上的截距
b
例2 求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.
解 (1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，
即x－y＋1＝0.
(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，
设直线l的方程为y＝kx，
综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0.
延伸探究
1.若将点A的坐标改为“A(－3，－4)”，其他条件不变，又如何求解？
(2)当直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，
由于l过点(－3，－4)，所以－4＝k·(－3)，
所以直线l的方程为4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x－y－1＝0或4x－3y＝0.
2.若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？
所以直线l的方程为x＋y－7＝0.
(2)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx，
综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0.
反思感悟 截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可.
(2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.
(3)要注意截距式方程的逆向应用.
√
(2)已知线段BC的中点为D
.若线段BC所在直线在两坐标轴上的截距
之和是9，则BC所在直线的方程为_______________________.
解析 依题意知，直线BC在坐标轴上的截距存在，且都不为0，
整理得2a2－21a＋54＝0，
课堂小结
1.知识清单：
(1)直线的两点式方程.
(2)直线的截距式方程.
2.方法归纳：公式法、待定系数法、分类讨论.
3.常见误区：直线过原点时，直线在坐标轴上的截距都为0,0与0既相等、相反，也是倍数关系.
随堂演练
1.在x轴、y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是
1
2
3
4
√
2.过(1,2)，(5,3)的直线方程是
√
1
2
3
4
解析 ∵所求直线过点(1,2)，(5,3)，
3.直线
过第一、三、四象限，则
A.a>0，b>0
B.a>0，b<0
C.a<0，b>0
D.a<0，b<0
√
1
2
3
4
4.过点P(1，2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为______________
___________.
1
2
3
4
2x－y＝0或
x－y＋1＝0
解析 当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0；
当在坐标轴上的截距不为零时，
将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，
得直线方程为x－y＋1＝0.
∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.
课时对点练
基础巩固
1.过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为
A.y＝x＋3
B.y＝－x＋1
C.y＝x＋2
D.y＝－x－2
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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16
整理得y＝x＋3.
2.已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是
A.1
B.－1
C.－2或－1
D.－2或1
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，
3.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线方程为
A.y＝－2x＋8
B.y＝2x＋8
C.y＝－2x－12
D.y＝2x－12
√
1
2
3
4
5
6
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8
9
10
11
12
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15
16
解析 由中点坐标公式可得M(2,4)，N(3,2)，
即y＝－2x＋8.
4.若直线l过点(－1，－1)和
(2,5)，且点(1
010，b)在直线l上，则b的值为
A.2
021
B.2
020
C.2
019
D.2
018
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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16
即y＝2x＋1，代入点(1
010，b)，
得b＝2×1
010＋1＝2
021.故选A.
5.(多选)下列说法不正确的是
A.过任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程都可以写成
B.直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线斜率为－1
C.若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0
D.若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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13
14
15
16
√
√
当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距相等，但斜率不一定为－1，故B错误；
设直线在y轴上的截距为b，则直线方程为y＝x＋b.
令y＝0，得直线在x轴上的截距为x＝－b，于是b＋(－b)＝0，故C正确；
若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为±1，故D错误.
1
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5
6
7
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15
16
解得a＝－2或a＝1.
6.(多选)已知直线l：y＝－ax＋2＋a在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是
A.1
B.－1
C.－2
D.2
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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14
15
16
√
解析 直线在x，y轴上截距相等，设直线的斜率存在，
∴－a≠0，∴a≠0，
令x＝0，y＝2＋a，
7.过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是____________.
1
2
3
4
5
6
7
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9
10
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15
16
y＝－3x＋6
解析 由题意知直线过点(2,0)，
整理得y＝－3x＋6.
8.若直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6，－2)，则
直线l的方程为_________________________.
1
2
3
4
5
6
7
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解析 设直线l在y轴上的截距为a(a≠0且a≠－1)，
则在x轴上的截距为a＋1，
即a2－3a＋2＝0，
9.已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0).
(1)求边AC和AB所在直线的方程；
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即y＝－x＋4.
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程.
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即y＝2x＋10.
解 由题意，得点D的坐标为(－4,2)，
10.已知△ABC的顶点A(5，－2)，B(7,3)且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上.
(1)求顶点C的坐标；
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解 设M(0，m)，N(n，0)，
所以xC＝0－5＝－5，yC＝0－3＝－3，
所以点C的坐标为(－5，－3).
(2)求直线MN的方程.
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解 因为2m＝yC＋yA＝－3＋(－2)＝－5，
因为2n＝xC＋xB＝－5＋7＝2，故n＝1.
综合运用
11.直线l过点(1,2)且在y轴上的距离是在x轴上的截距的2倍，则直线l的方程为
A.y＝2x
B.y＝－2x＋4
C.y＝2x或y＝－2x＋4
D.y＝2x或y＝2x－2
√
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∴直线l的方程为y＝2x.
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即y＝－2x＋4.
12.若直线l在x轴上的截距与在y轴上的截距都是负数，则
A.l的倾斜角为锐角且不过第二象限
B.l的倾斜角为钝角且不过第一象限
C.l的倾斜角为锐角且不过第四象限
D.l的倾斜角为钝角且不过第三象限
√
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显然直线l只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B.
13.直线
与
(m≠n)在同一平面直角坐标系中的图像可能是
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√
于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，检验4个选项，知只有B选项满足.
把(2，3)代入，解得b＝4，所以l的方程为x＋2y－8＝0.
综上，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋2y－8＝0.
14.已知直线l过点(2,3)，且在x轴上的截距是在y轴上截距的两倍，则直线l的方程为_______________________.
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3x－2y＝0或x＋2y－8＝0
解析 若l在坐标轴上的截距均为0，即l过原点，满足题意，
当l在坐标轴上的截距不为0时，设其在y轴上的截距为b，
拓广探究
15.已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是____.
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16.已知直线l在x，y轴上的截距之和为4.
(1)若直线l的斜率为2，求实数m的值；
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解 依题意直线在x，y轴上的截距都存在且不为0，
由直线方程可知，直线过点(m，0)，(0,4－m)，
解得m＝－4.
即y＝－x＋2.
(2)若直线l分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程.
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又A(m，0)，B(0，4－m)，
∴当m＝2时，(S△AOB)最大＝2，
本课结束2.2.2 直线的方程
第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程
学习目标 1.了解直线的方程、方程的直线的概念.2.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程.3.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义．
导语
同学们，直线与方程就是直线的方程，在几何问题的研究中，我们常常直接依据几何图形中点、直线、平面间的关系研究几何图形的性质，我们在平面直角坐标系中，建立直线的方程，然后通过方程，研究直线的有关性质，今天我们来探究直线的方程．
一、直线的方程的理解
问题1 已知l1，l2是平面直角坐标系下的直线，判断满足以下条件的直线l1，l2是否唯一．
①已知l1的斜率不存在；②已知l1的斜率不存在且l1过点A(1,2)；③已知l2的斜率为2；
④已知l2的斜率为2且过点B(2,3)．
提示 显然，满足①的直线有无数条，满足②的直线是唯一的，即横坐标为1的点都在直线上，且直线上所有点的横坐标也都为1；同样，满足③的直线有无数条，满足④的直线是唯一的，我们只需找异于B点任意一点P(x，y)，有＝2，即y－3＝2(x－2)，因此直线上的点都在方程y－3＝2(x－2)上，而满足方程y－3＝2(x－2)上的点也都在直线上．
知识梳理
如果直线l上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，而且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x，y)＝0为直线l的方程，而直线l称为方程F(x，y)＝0的直线，“直线l”也可说成“直线F(x，y)＝0”，记作l：F(x，y)＝0.
例1 下列各点在二元一次方程x＋2y－1＝0上的是( )
A．(1,0)
B．(0,1)
C.
D.
答案 A
解析 将选项A，B，C，D分别代入方程x＋2y－1＝0，检验只有A满足题意．
反思感悟 直线l上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，而且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x，y)＝0为直线l的方程．
跟踪训练1 已知点A(1，m)在二元一次方程x－y＋1＝0上，则实数m的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
答案 A
解析 因为点A(1，m)在x－y＋1＝0上，故1－m＋1＝0?m＝2.
二、直线的点斜式方程
问题2 给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线．怎么确定P0(x0，y0)和斜率k之间的关系？
提示
y－y0＝k(x－x0)．
知识梳理
我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程．
方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它称为直线的点斜式方程，简称点斜式．
注意点：(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．
(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.
例2 若直线l满足下列条件，求其直线方程．
(1)过点(－1,2)且斜率为3；
(2)过点(－1,2)且与x轴平行；
(3)过点(－1,2)且与x轴垂直；
(4)已知点A(3,3)，B(－1,5)，过线段AB的中点且倾斜角为60°.
(5)过点(－1,2)且直线的方向向量为a＝(2，－1)．
解 (1)y－2＝3(x＋1)，即y＝3x＋5.
(2)y＝2.
(3)x＝－1.
(4)斜率k＝tan
60°＝，AB的中点为(1,4)，
则该直线的点斜式方程为y－4＝(x－1)，
即y＝x－＋4.
(5)直线的方向向量为a＝(2，－1)，
∴k＝＝－，
故直线的方程为y－2＝－(x＋1)，
即y＝－x＋.
反思感悟 (1)只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程．
(2)当倾斜角为0°，即k＝0时，这时直线l与x轴平行或重合，直线l的方程是y＝y0.
(3)当倾斜角为90°时，直线无斜率，这时直线l与y轴平行或重合，直线l的方程是x＝x0.
跟踪训练2 求满足下列条件的直线方程．
(1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍；
(2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行；
(3)过点P(4，－2)，倾斜角为150°.
解 (1)∵直线y＝x的斜率为，
∴直线y＝x的倾斜角为30°.
∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为.
∴所求直线方程为y＋3＝(x－2)，
即x－y－2－3＝0.
(2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示．
但直线上点的横坐标均为5，
故直线方程可记为x＝5.
(3)∵α＝150°，∴k＝tan
150°＝－，
∴直线的点斜式方程为y＋2＝－(x－4)，
即x＋3y＋6－4＝0.
三、直线的斜截式方程
问题3 直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程．
提示 y＝kx＋b.
知识梳理
1．直线的截距
当直线l既不是x轴也不是y轴时，若l与x轴的交点为(a,0)，则称l在x轴上的截距为a；若l与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b.一条直线在y轴上的截距简称为截距．
2．把方程y＝kx＋b称为直线的斜截式方程，简称斜截式．
注意点：(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况．
(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.
(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距．
(4)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程．
例3 (1)(多选)下列四个选项中，正确的是( )
A．任何一条直线在y轴上都有截距
B．直线在y轴的截距一定是正数
C．直线方程的斜截式可以表示不垂直于x轴的任何直线
D．直线y＝2x－1在y轴上的截距为－1
答案 CD
解析 平行于y轴的直线与y轴不相交，所以在y轴上没有截距，故A不正确．直线在y轴上的截距即为直线与y轴交点的纵坐标，可正、可负、可为0，故B不正确．直线的斜截式方程y＝kx＋b所表示的直线斜率要存在，且直线在y轴上的截距要存在，所以直线的斜截式方程不能表示垂直于x轴的直线，故C正确．直线y＝2x－1在y轴上的截距为－1，故D正确．
(2)根据条件写出下列直线的斜截式方程．
①斜率为2，在y轴上的截距是5；
②倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
③倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
解 ①由直线方程的斜截式可知，
所求直线方程为y＝2x＋5.
②∵倾斜角α＝150°，
∴斜率k＝tan
150°＝－.
由斜截式可得直线方程为y＝－x－2.
③∵直线的倾斜角为60°，
∴斜率k＝tan
60°＝.
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.
反思感悟 (1)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解．
(2)截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零．
跟踪训练3 (1)直线y＋2＝－2(x－3)化成斜截式方程为________________，在y轴上的截距为________．
答案 y＝－2x＋4 4
解析 y＋2＝－2(x－3)可化为y＝－2x＋4，在y轴上的截距为4.
(2)已知直线l与直线l1：y＝2x＋6在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1的斜率互为相反数，则直线l的方程为________________．
答案 y＝－2x＋6
解析 l1：y＝2x＋6在y轴上的截距为6，斜率为2，
故直线l的斜率为－2，在y轴上的截距为6，
所以直线l的方程为y＝－2x＋6.
1.知识清单：
(1)直线的方程与方程的直线．
(2)直线的点斜式方程．
(3)直线的斜截式方程．
2．方法归纳：公式法．
3．常见误区：直线的点斜式方程、斜截式方程并不能表示所有直线．
1．方程y＝k(x－2)表示( )
A．通过点(－2,0)的所有直线
B．通过点(2,0)的所有直线
C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线
答案 C
解析 易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．
2．已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为，则此直线方程为( )
A．y＝x＋
B．y＝－x＋
C．y＝－x－
D．y＝x－
答案 A
解析 直线的倾斜角为60°，则其斜率为，利用斜截式直接写方程．
3．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有( )
A．k>0，b>0
B．k>0，b<0
C．k<0，b>0
D．k<0，b<0
答案 B
解析 如图，∵直线经过第一、三、四象限，∴k>0，b<0.
4．已知直线l过点P(2,1)，且直线l的斜率为直线x－4y＋3＝0的斜率的2倍，则直线l的点斜式方程为____________．
答案 y－1＝(x－2)
解析 由x－4y＋3＝0，
得y＝x＋，其斜率为，
故所求直线l的斜率为，
又直线l过点P(2,1)，
所以直线l的点斜式方程为y－1＝(x－2)．
课时对点练
1．已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为( )
A．x＝3
B．x＝－2
C．y＝3
D．y＝－2
答案 D
解析 ∵直线与x轴平行，∴其斜率为0，
∴直线的方程为y＝－2.
2．若直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是( )
A．y－1＝x
B．y＋1＝x
C．y－1＝－x
D．y＋1＝－x
答案 B
解析 ∵直线l的倾斜角为45°，∴直线l的斜率为1，
又∵直线l过点(0，－1)，∴直线l的方程为y＋1＝x.
3．直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为( )
A．60°，2
B．120°，2－
C．60°，2－
D．120°，2
答案 B
解析 该直线的斜率为－，当x＝0时，y＝2－，
∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－.
4．直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点为( )
A．(3,1)
B．(2,3)
C．(2，－3)
D．(－2,3)
答案 B
解析 直线方程为y＝k(x－2)＋3，
可化为y－3＝k(x－2)，所以过定点(2,3)．
5．(多选)在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程为( )
A．y＝x－6
B．y＝x－6
C．y＝－x－6
D．y＝－x－6
答案 AC
解析 因为直线与y轴相交成30°角，
所以直线的倾斜角为60°或120°，
所以直线的斜率为或－，
又因为在y轴上的截距为－6，
所以直线的斜截式方程为y＝x－6或y＝－x－6.
6．(多选)经过点(2,1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为( )
A．y＝x＋3
B．y＝x－1
C．y＝－x＋3
D．y＝－x－1
答案 BC
解析 由题意可知直线的斜率为±1，当直线的斜率为1时，直线方程为y－1＝x－2，化简得y＝x－1；当直线的斜率为－1时，直线方程为y－1＝－(x－2)，化简得y＝－x＋3.
7．已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝________.
答案 4
解析 直线l的方程可化为y＝(m－1)x＋2m－1，
∴2m－1＝7，得m＝4.
8．设直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的，且与y轴的交点到x轴的距离是3，则直线l的斜率为________，直线l的方程是____________________．
答案 y＝x±3
解析 y＝x＋1的倾斜角为60°，则l的倾斜角为30°，故斜率为tan
30°＝.
由题意知，l在y轴上的截距为±3，
∴直线l的方程为y＝x±3.
9．求倾斜角为直线y＝－x＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程．
(1)经过点(－4,1)；
(2)在y轴上的截距为－10.
解 由直线y＝－x＋1的斜率为－，可知此直线的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率k＝.
(1)因为直线过点(－4,1)，所以由直线的点斜式方程得y－1＝(x＋4)，
即y＝x＋4＋1.
(2)因为直线在y轴上的截距为－10，所以由直线的斜截式方程得y＝x－10.
10．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程．
(1)过定点A(－2,0)；
(2)斜率为.
解 依题意直线l的斜率存在且不为0.
(1)设直线l的方程为y＝k(x＋2)
令x＝0，y＝2k，
令y＝0，x＝－2，
∴S＝|－2|·|2k|＝3，
解得k＝±.
∴直线l的方程为y＝(x＋2)或y＝－(x＋2)．
(2)设直线l的方程为y＝x＋b，
令x＝0，y＝b，令y＝0，x＝－6b，
∴S＝|－6b|·|b|＝3，
解得b＝±1.
∴直线l的方程为y＝x＋1或y＝x－1.
11．一条直线过点(－2,3)且直线的一个法向量为v＝(2,3)，则该直线的方程为( )
A．y＝x＋
B．y＝x＋6
C．y＝－x
D．y＝－x＋
答案 D
解析 直线的一个法向量v＝(2,3)，
则该直线的一个方向向量为a＝(3，－2)，
故k＝－，
又直线过点(－2,3)，
所以直线方程为y－3＝－(x＋2)，
即y＝－x＋，故选D.
12．下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是( )
答案 C
解析 ①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距为a>0，A，B，C，D都不成立；②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A，B，C，D都不成立；③当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距为a<0，只有C成立．
13．已知直线l不经过第三象限，设它的斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，那么( )
A．kb<0
B．kb≤0
C．kb>0
D．kb≥0
答案 B
解析 直线l不经过第三象限，则k≤0且b>0，
即kb≤0.
14．将直线y＝x＋－1绕其上面一点(1，)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是______________．
答案 y－＝(x－1)
解析 由y＝x＋－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°.
∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°，
∴所求直线的斜率为.
又∵直线过点(1，)，
∴由直线的点斜式方程可得y－＝(x－1)．
15．已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是________．
答案
解析 由已知得，直线l恒过定点P(2,1)，如图所示．
若l与线段AB相交，
则kPA≤k≤kPB，
因为kPA＝＝－2，kPB＝＝，
所以－2≤k≤.
16．直线l的方程为y＝ax＋，
(1)证明：直线l恒经过第一象限；
(2)若直线l一定经过第二象限，求a的取值范围．
(1)证明 直线l：y＝ax＋，
可化为y－＝a，
所以直线l过定点P，
又点P在第一象限，
故直线l恒经过第一象限．
(2)解 因为直线l过点P且点P在第一象限，
故只需l在y轴上的截距大于0即可，
即>0得a<3.
故a的取值范围是(－∞，3)．(共61张PPT)
第3课时 直线的一般式方程
第二章 2.2.2 直线的方程
学习目标
1.理解直线的一般式方程的特点，以及与其它方程形式的区别与联系.
2.掌握直线的一般式方程与其它形式之间的相互转化，进一步掌握求
直线方程的方法.
导语
同学们，前面我们学习了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，我们知道每一种形式都有它的适用范围，而且发现它们都是二元一次方程，我们今天要研究的是能否用统一的一个方程来表示上述四种形式.
随堂演练
课时对点练
一、直线的一般式方程
二、直线的法向量与一般式方程的关系
三、直线的一般式方程的应用
内容索引
一、直线的一般式方程
问题1 直线y＝2x＋1可以化成二元一次方程吗？方程2x－y＋3＝0表示一条直线吗？
提示 y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，可以化为二元一次方程.
2x－y＋3＝0可以化为y＝2x＋3，可以表示直线.
知识梳理
1.直线的一般式方程
关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0)表示直线的方程.我们把Ax＋By＋C＝0称为直线的___________.
(1)A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.
(2)直线的一般式方程能表示所有的直线方程，在求直线方程时，最后结果一般都化成___________.
一般式方程
一般式方程
2.直线方程五种形式的比较
名称
已知条件
标准方程
适用范围
点斜式
点P1(x1，y1)和斜率k
_____________
不垂直于x轴的直线
斜截式
斜率k和在y轴上的截距b
__________
不垂直于x轴的直线
两点式
点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2)
___________________
截距式
在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且截距不为零
________
不垂直于x，y轴的直线，不过原点的直线
一般式
两个独立的条件
_____________
A，B不全为零
y－y1＝k(x－x1)
y＝kx＋b
不垂直于x，y轴的直线
Ax＋By＋C＝0
注意点：(1)直线一般式方程的结构特征
①方程是关于x，y的二元一次方程.
②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.
③x的系数一般不为分数和负数.
④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.
(2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质：
①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；
②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；
③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；
④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；
⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合.
例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是
，且经过点A(5,3)；
(2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；
即2x＋y－3＝0.
(3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1；
(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴.
即x＋3y＋3＝0.
解 y－2＝0.
反思感悟 求直线一般式方程的策略
在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式.
跟踪训练1 根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式：
(1)斜率是
，且经过点A(8，－6)；
即x＋2y＋4＝0.
(2)在x轴和y轴上的截距分别是
和－3；
即2x－y－3＝0.
(3)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4).
即x＋y－1＝0.
二、直线的法向量与一般式方程的关系
问题2 如何用直线的一般式的系数表示直线的方向向量和法向量？
提示 对于Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，当B≠0时，直线的斜率为k＝
，
故
为直线的一个方向向量，一般地，(B，－A)是任意直线的方向
向量，由直线的法向量与直线方向向量的垂直关系，可知(A，B)是直线的一个法向量.
知识梳理
a＝(B，－A)为直线Ax＋By＋C＝0的一个方向向量.
v＝(A，B)为直线Ax＋By＋C＝0的一个法向量.
例2 求下列直线的方程：
(1)经过点(2，1)，且一个法向量为v＝(2，－3)；
解 ∵直线的一个法向量为v＝(2，－3)，
∴设直线的一般式方程为2x－3y＋C＝0，
代入点(2,1)得4－3＋C＝0，
解得C＝－1，
∴直线的方程为2x－3y－1＝0.
(2)经过点(2，－3)，且一个方向向量为a＝(2,4).
解 方法一 ∵直线的一个方向向量为a＝(2,4)，
故所求直线方程为y＋3＝2(x－2)，
即2x－y－7＝0.
方法二 ∵直线的一个方向向量为a＝(2,4)，
∴直线的一个法向量为v＝(4，－2)，
故设直线的一般式方程为4x－2y＋C＝0，代入点(2，－3)有8＋6＋C＝0，解得C＝－14，
∴所求直线方程为4x－2y－14＝0，即2x－y－7＝0.
反思感悟 已知直线的方向向量或法向量求直线方程的思路
(1)若已知直线的法向量(m，n)，可直接设直线的方程为mx＋ny＋C＝0，然后代点求C；
(2)若已知直线的方向向量，可先求直线的斜率，然后利用点斜式求直线的方程，但需要考虑斜率不存在的情况，或转化为直线的法向量.
跟踪训练2 直线2x＋y－3＝0的一个方向向量为a＝(m，－6)，则m＝___.
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解析 由直线的一般式方程可知，该直线的一个法向量v＝(2，1)，所以a⊥v，
所以2m－6＝0，解得m＝3.
三、直线的一般式方程的应用
例3 设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；
解 由题意知m2－2m－3≠0，
(2)已知直线l的斜率为1，求m的值.
解 由题意知，2m2＋m－1≠0，
由直线l化为斜截式方程
∴m＝－2.
延伸探究
对于本例中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值.
解 ∵直线l与y轴平行，
反思感悟 含参直线方程的研究策略
(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.
(2)令x＝0可得在y轴上的截距.令y＝0可得在x轴上的截距.若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式.
(3)解分式方程要注意验根.
跟踪训练3 (1)已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，直线l与坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积为_____.
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解析 直线l的方程为3x＋4y－12＝0，
令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝4，
(2)直线l的方程为kx－y＋2k＋1＝0(k∈R)，则该直线过定点________.
(－2，1)
解析 方法一 直线l的方程可化为y－1＝k(x＋2)，
由直线的点斜式方程可知，直线过定点(－2，1).
方法二 直线l的方程可化为k(x＋2)－y＋1＝0，
则直线l过定点(－2，1).
课堂小结
1.知识清单：
(1)直线的一般式方程.
(2)直线的一般式方程与其他四种形式的区别与联系以及相互转化.
(3)直线的一般式方程的应用.
2.方法归纳：数形结合、公式法、分类讨论.
3.常见误区：直线的一般式方程转化为其他四种形式时易忽视讨论斜率不存在的情况.
随堂演练
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√
2.在直角坐标系中，直线x＋
－3＝0的倾斜角是
A.30°
B.60°
C.150°
D.120°
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3.直线ax＋3my＋2a＝0(m≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k等于
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解析 由点(1，－1)在直线上，可得a－3m＋2a＝0(m≠0)，解得m＝a，
故直线方程为ax＋3ay＋2a＝0(a≠0)，
4.若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值为_____.
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∴m＝3.
课时对点练
基础巩固
1.过点(2，1)，斜率k＝－2的直线方程为
A.x－1＝－2(y－2)
B.2x＋y－1＝0
C.y－2＝－2(x－1)
D.2x＋y－5＝0
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解析 根据直线方程的点斜式可得，y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.
2.已知过点M(2,1)的直线与x轴、y轴分别交于P，Q两点.若M为线段PQ的中点，则这条直线的方程为
A.2x－y－3＝0
B.2x＋y－5＝0
C.x＋2y－4＝0
D.x－2y＋3＝0
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解析 依题意P(4,0)，Q(0,2)，
即x＋2y－4＝0，故选C.
3.直线的一个方向向量为a＝(1，－3)，且经过点(0,2)，则直线的方程为A.3x－y＋2＝0
B.3x＋y－2＝0
C.3x＋y＋2＝0
D.3x－y－2＝0
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解析 ∵直线的方向向量为a＝(1，－3)，
∴k＝－3，
∴直线的方程为y＝－3x＋2，
即3x＋y－2＝0.
4.若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则
A.ab>0，bc>0
B.ab>0，bc<0
C.ab<0，bc>0
D.ab<0，bc<0
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即ab<0，bc<0.
5.(多选)直线l：mx－m2y＋3＝0经过点P(2,1)，则倾斜角与直线l的倾斜角互为补角且过点P的直线的方程可以是
A.x－y－1＝0
B.3x－y－5＝0
C.x＋y－3＝0
D.x＋3y－5＝0
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当m＝－1时，直线l的方程为x＋y－3＝0，
即y＝－x＋3，斜率为－1，
故所求直线的斜率为k＝1，
方程为y－1＝1·(x－2)，即x－y－1＝0.故选AD.
解析 将点(2,1)代入直线方程有m2－2m－3＝0，
解得m＝3或m＝－1，
当m＝3时直线l的方程为x－3y＋1＝0，
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6.(多选)下列有关直线l：x＋my－1＝0(m∈R)的说法不正确的是
A.直线l的斜率为
B.直线l过定点(1,0)
C.直线l在y轴上的截距为
D.直线l的方程可化为截距式
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解析 当m＝0时，直线l：x－1＝0表示一条垂直于x轴的直线，斜率不存在，与y轴无交点，故A，C，D不正确；
又当y＝0时，x＝1，故直线过定点(1,0)，故B正确.
7.直线l的一个法向量为v＝(3，2)且过点(2，3)，则直线l的方程为______
________.
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－12＝0
解析 ∵直线l的一个法向量为v＝(3，2)，
故设直线l的方程为3x＋2y＋C＝0，代入点(2，3)，
有6＋6＋C＝0，即C＝－12，
故直线l的方程为3x＋2y－12＝0.
3x＋2y
8.已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线
在y轴上的截距为_____.
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解析 把(3，0)代入已知方程，得(a＋2)×3－2a＝0，
∴a＝－6，
∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0，
9.求满足下列条件的直线方程.
(1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率的3倍；
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即9x＋8y＋33＝0.
(2)过点M(0,4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为12.
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即2x＋3y－12＝0或2x－3y＋12＝0.
10.已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程.
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解 设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点，
∵点B在中线BE：y－1＝0上，
∴设B点坐标为(x，1).
又∵A点坐标为(1,3)，D为AB的中点，
又∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上，
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∴B点坐标为(5，1).
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同理可求出C点的坐标是(－3，－1).
故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，
x－4y－1＝0和x－y＋2＝0.
综合运用
11.直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是
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12.直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图像大致是
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解析 将l1与l2的方程化为l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a.
A中，由图知l1∥l2，而a≠b，故A错；
B中，由l1的图像可知，a<0，b>0，由l2的图像知b>0，a>0，两者矛盾，故B错；
C中，由l1的图像可知，a>0，b>0，由l2的图像可知，a>0，b>0，故正确；
D中，由l1的图像可知，a>0，b<0，由l2的图像可知a>0，b>0，两者矛盾，故D错.
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14.若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－(4m－1)＝0在x轴上的截距等于1，
则m＝________.
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解析 由题意知，2m2＋m－3≠0.
拓广探究
15.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2)，B(－2,0)，C(1,0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为_____________.
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x＋4y－14＝0
解析 过点H，F分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N(图略).
∵四边形ACGH为正方形，
∴Rt△AMH≌Rt△COA，
∵OC＝1，MH＝OA＝2，
∴OM＝OA＋AM＝3，
∴点H的坐标为(2,3)，同理得到F(－2,4)，
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化为一般式方程为x＋4y－14＝0.
16.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
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解 依题意知，直线在两坐标轴上的截距都存在，
∴a＋1≠0，∴a≠－1，
令x＝0，y＝a－2，
解得a＝2或a＝0.
当a＝2时，直线l的方程为3x＋y＝0，
当a＝0时，直线l的方程为x＋y＋2＝0.
综上所述，所求直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)若l不经过第一象限，求实数a的取值范围.
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解 直线方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
斜率k＝－(a＋1)，截距为a－2，
所以实数m的取值范围为[－1,2].
本课结束第2课时 直线的两点式方程
学习目标 1.掌握直线方程的两点式及截距式，并理解它们存在的条件.2.会利用直线两点式和截距式求直线方程．
导语
斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线．怎样表示直线的方程呢？
一、直线的两点式方程
问题1 我们知道已知两点也可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程．若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？
提示 ＝.
知识梳理
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程
＝，我们把它称为直线的两点式方程，简称两点式．
注意点：(1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示．
(2)两点式方程与这两个点的顺序无关．
(3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等．
例1 在△ABC中，已知点A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)．
(1)求BC边的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
解 (1)BC边过点B(5，－4)，C(0，－2)，
由两点式，得＝，
即y＝－x－2，
故BC边的方程是y＝－x－2(0≤x≤5)．
(2)设BC的中点为M(a，b)，
则a＝＝，b＝＝－3，
所以M.
又BC边的中线过点A(－3,2)，
所以＝，
即y＝－x－，
所以BC边上的中线所在直线的方程是y＝－x－.
反思感悟 利用两点式求直线的方程
首先要判断是否满足两点式方程的适用条件．
若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．
跟踪训练1 (1)过点A(－2,1)，B(3，－3)的直线方程为____________．
答案 4x＋5y＋3＝0
解析 因为直线过点(－2,1)和(3，－3)，
所以＝，即＝，
化简得4x＋5y＋3＝0.
(2)已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程．
解 由直线经过点A(1,0)，B(m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在．
(1)当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；
(2)当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，即x－(m－1)y－1＝0.
综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1；
当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.
二、直线的截距式方程
问题2 若给定直线上两点A(a,0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？
提示 ＋＝1.
知识梳理
我们把方程＋＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b.
注意点：(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程．
(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图．
(3)与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示．
(4)过原点的直线的横、纵截距都为零．
例2 求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程．
解 (1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1.又l过点A(3,4)，所以＋＝1，解得a＝－1.
所以直线l的方程为＋＝1，
即x－y＋1＝0.
(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝，直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0.
延伸探究
1．若将点A的坐标改为“A(－3，－4)”，其他条件不变，又如何求解？
解 (1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，设直线l的方程为＋＝1，
又l过点A(－3，－4)，所以＋＝1，解得a＝1.
所以直线l的方程为＋＝1，即x－y－1＝0.
(2)当直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，由于l过点(－3，－4)，所以－4＝k·(－3)，
解得k＝.
所以直线l的方程为4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x－y－1＝0或4x－3y＝0.
2．若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？
解 (1)当截距不为0时，设直线l的方程为＋＝1，
又l过点(3,4)，所以＋＝1，解得a＝7，
所以直线l的方程为x＋y－7＝0.
(2)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx，
又l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝，
所以直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0.
反思感悟 截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可．
(2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．
(3)要注意截距式方程的逆向应用．
跟踪训练2 (1)已知直线＋＝－1在x轴和y轴上的截距分别为a，b，则a，b的值分别为( )
A.，
B．－，－
C.，7
D．－，－7
答案 D
解析 ＋＝－1可化为＋＝1，
所以直线在x，y轴上的截距分别为－，－7，
故a＝－，b＝－7.
(2)已知线段BC的中点为D.若线段BC所在直线在两坐标轴上的截距之和是9，则BC所在直线的方程为________________．
答案 y＝－x＋3或y＝－x＋
解析 依题意知，直线BC在坐标轴上的截距存在，且都不为0，
故设BC的方程为＋＝1，
代入点有＋＝1，
整理得2a2－21a＋54＝0，
解得a＝6或.
a＝6时，BC方程为＋＝1，即y＝－x＋3，
a＝时，BC方程为＋＝1，即y＝－x＋，
所以BC所在的直线方程为
y＝－x＋3或y＝－x＋.
1.知识清单：
(1)直线的两点式方程．
(2)直线的截距式方程．
2．方法归纳：公式法、待定系数法、分类讨论．
3．常见误区：直线过原点时，直线在坐标轴上的截距都为0,0与0既相等、相反，也是倍数关系．
1．在x轴、y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.－＝1
D.＋＝1
答案 A
2．过(1,2)，(5,3)的直线方程是( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
答案 B
解析 ∵所求直线过点(1,2)，(5,3)，
∴所求直线方程是＝.
3．直线＋＝1过第一、三、四象限，则( )
A．a>0，b>0
B．a>0，b<0
C．a<0，b>0
D．a<0，b<0
答案 B
4．过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为________________________．
答案 2x－y＝0或x－y＋1＝0
解析 当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0；
当在坐标轴上的截距不为零时，
可设直线方程为－＝1，
将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，
得直线方程为x－y＋1＝0.
∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.
课时对点练
1．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为( )
A．y＝x＋3
B．y＝－x＋1
C．y＝x＋2
D．y＝－x－2
答案 A
解析 代入两点式得直线方程为＝，
整理得y＝x＋3.
2．已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是( )
A．1
B．－1
C．－2或－1
D．－2或1
答案 A
解析 显然a≠0.把直线l：ax＋y－2＝0化为＋＝1.
∵直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，
∴＝2，解得a＝1.
3．已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线方程为( )
A．y＝－2x＋8
B．y＝2x＋8
C．y＝－2x－12
D．y＝2x－12
答案 A
解析 由中点坐标公式可得M(2,4)，N(3,2)，再由两点式可得直线MN的方程为＝，即y＝－2x＋8.
4．若直线l过点(－1，－1)和
(2,5)，且点(1
010，b)在直线l上，则b的值为( )
A．2
021
B．2
020
C．2
019
D．2
018
答案 A
解析 直线l的两点式方程为＝，
即＝，
即y＝2x＋1，代入点(1
010，b)，
得b＝2×1
010＋1＝2
021.故选A.
5．(多选)下列说法不正确的是( )
A．过任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程都可以写成＝
B．直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线斜率为－1
C．若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0
D．若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1
答案 ABD
解析 当x1＝x2或y1＝y2时，直线方程不能写成＝，故A错误；当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距相等，但斜率不一定为－1，故B错误；设直线在y轴上的截距为b，则直线方程为y＝x＋b.令y＝0，得直线在x轴上的截距为x＝－b，于是b＋(－b)＝0，故C正确；若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为±1，故D错误．
6．(多选)已知直线l：y＝－ax＋2＋a在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是( )
A．1
B．－1
C．－2
D．2
答案 AC
解析 直线在x，y轴上截距相等，设直线的斜率存在，
∴－a≠0，∴a≠0，
令x＝0，y＝2＋a，
令y＝0，x＝，
∴＝a＋2，
解得a＝－2或a＝1.
7．过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是______________．
答案 y＝－3x＋6
解析 由题意知直线过点(2,0)，
又直线过点(1,3)，由两点式可得，＝，
整理得y＝－3x＋6.
8．若直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6，－2)，则直线l的方程为________________．
答案 y＝－x＋2或y＝－x＋1
解析 设直线l在y轴上的截距为a(a≠0且a≠－1)，则在x轴上的截距为a＋1，则l的方程为＋＝1，将点A(6，－2)代入得－＝1，即a2－3a＋2＝0，
∴a＝2或a＝1，∴直线l的方程为y＝－x＋2或y＝－x＋1.
9．已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．
(1)求边AC和AB所在直线的方程；
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程．
解 (1)由截距式，得边AC所在直线的方程为
＋＝1，即y＝x＋4.
由两点式，得边AB所在直线的方程为＝，
即y＝－x＋4.
(2)由题意，得点D的坐标为(－4,2)，
由两点式，得边BD所在直线的方程为＝，
即y＝2x＋10.
10．已知△ABC的顶点A(5，－2)，B(7,3)且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．
(1)求顶点C的坐标；
(2)求直线MN的方程．
解 (1)设M(0，m)，N(n,0)，
则
所以xC＝0－5＝－5，yC＝0－3＝－3，
所以点C的坐标为(－5，－3)．
(2)因为2m＝yC＋yA＝－3＋(－2)＝－5，
故m＝－.
因为2n＝xC＋xB＝－5＋7＝2，故n＝1.
所以直线MN的方程为＋＝1，
即y＝x－.
11．直线l过点(1,2)且在y轴上的距离是在x轴上的截距的2倍，则直线l的方程为( )
A．y＝2x
B．y＝－2x＋4
C．y＝2x或y＝－2x＋4
D．y＝2x或y＝2x－2
答案 C
解析 (1)当直线l过原点时，kl＝＝1，
∴直线l的方程为y＝2x.
(2)当直线l不过原点时，设直线l的方程为＋＝1(a≠0)，
代入点(1,2)得＋＝1，解得a＝2.
故直线l的方程为＋＝1，
即y＝－2x＋4.
12．若直线l在x轴上的截距与在y轴上的截距都是负数，则( )
A．l的倾斜角为锐角且不过第二象限
B．l的倾斜角为钝角且不过第一象限
C．l的倾斜角为锐角且不过第四象限
D．l的倾斜角为钝角且不过第三象限
答案 B
解析 依题意知，直线l的截距式方程为＋＝1(a>0，b>0)，显然直线l只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B.
13．直线－＝1与－＝1(m≠n)在同一平面直角坐标系中的图像可能是( )
答案 B
解析 易知直线－＝1的斜率为，直线－＝1的斜率为，于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，检验4个选项，知只有B选项满足．
14．已知直线l过点(2,3)，且在x轴上的截距是在y轴上截距的两倍，则直线l的方程为________________．
答案 3x－2y＝0或x＋2y－8＝0
解析 若l在坐标轴上的截距均为0，即l过原点，满足题意，此时l的方程为y＝x，即3x－2y＝0.当l在坐标轴上的截距不为0时，设其在y轴上的截距为b，则l的方程为＋＝1，把(2,3)代入，解得b＝4，所以l的方程为x＋2y－8＝0.综上，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋2y－8＝0.
15．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．
答案 3
解析 直线AB的方程为＋＝1，
则x＝3－y，
∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)
＝[－(y－2)2＋4]≤3.
即当P点坐标为时，xy取得最大值3.
16．已知直线l在x，y轴上的截距之和为4.
(1)若直线l的斜率为2，求实数m的值；
(2)若直线l分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．
解 依题意直线在x，y轴上的截距都存在且不为0，
设直线l的方程为＋＝1(m≠0，m≠4)．
(1)由直线方程可知，直线过点(m,0)，(0,4－m)，
∴kl＝＝＝2，
解得m＝－4.
(2)依题意解得0又A(m,0)，B(0,4－m)，
∴S△AOB＝|m|·|4－m|
＝m·(4－m)
＝(－m2＋4m)
＝－(m－2)2＋2，
∴当m＝2时，(S△AOB)最大＝2，
此时直线l的方程为＋＝1，
即y＝－x＋2.
